章末检测试卷一(第4章)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（人教A版2019）

第四章 <<< 章末检测试卷一(第四章) 1.已知数列1，，，，…，，则3是这个数列的第 A.20项 B.21项 C.22项 D.23项 已知数列1，，…，，则该数列的通项公式为an==3=，即2n-1=45，解得n=23，则3是这个数列的第23项. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 一、单项选择题 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=8，S3=18，则S5等于 A.34 B.35 C.36 D.38 因为{an}是等差数列，设其公差为d， 因为S3=a1+a2+a3=3a2=18，则a2=6， 所以2d=a4-a2=2，则d=1， 所以a5=9，S5=S3+a4+a5=18+8+9=35. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.已知等比数列{an}的各项均为正数，若log3a1+log3a2+…+log3a12=12，则a6a7等于 A.1 B.3 C.6 D.9 因为等比数列{an}的各项均为正数，且log3a1+log3a2+…+log3a12=12，即log3(a1·a2·…·a12)=12，所以a1·a2·…·a12=312，所以(a6a7)6=312，所以a6a7=32=9. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1 011+a1 012+a1 013+a1 014=8，则S2 024等于 A.8 096 B.4 048 C.4 046 D.2 024 由等差数列的性质可得a1 011+a1 012+a1 013+a1 014=2(a1 012+a1 013)=8， 所以a1 012+a1 013=4，所以S2 024===4 048，故B正确. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.已知圆O的半径为5，|OP|=3，过点P的2 024条弦的长度组成一个等差数列{an}，圆O的最短弦长为a1，最长弦长为a2 024，则其公差为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 由题意，知最长弦长为直径，即a2 024=10，最短弦长和最长弦长垂直，由弦长公式得a1=2=8， 所以d==. 6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6+a7>0，a6+a8<0，则Sn最大时n的值为 A.4 B.5 C.6 D.7 ∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a6+a7>0，a6+a8<0， ∴a6+a8=2a7<0， ∴a6>0，a7<0， ∴Sn最大时n的值为6. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7 7.已知数列{an}中的项都是整数，且满足an+1=若a8=1，a1的所有可能取值构成集合M，则M中的元素的个数是 A.7 B.6 C.5 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 an+1= 若a8=1，可得a7=2，a6=4， 所以a5=8或a5=1. ①若a5=8，则a4=16，a3=32或a3=5， 当a3=32时，a2=64，a1=128或a1=21； 当a3=5时，a2=10，a1=20或a1=3； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ②若a5=1，则a4=2，a3=4，a2=8或a2=1， 当a2=8时，a1=16； 当a2=1时，a1=2， 故当a8=1时，a1的所有可能的取值集合M={2，3，16，20，21，128}， 即集合M中含有6个元素. 8.若数列{an}的前n项和为Sn，bn=，则称数列{bn}是数列{an}的“均值数列”.已知数列{bn}是数列{an}的“均值数列”且通项公式为bn=n，设数列的前n项和为Tn，若Tn<m2-m-1对一切n∈N*恒成立，则实数m的取值范围为 A.(-1，3) B.[-1，3] C.(-∞，-1)∪(3，+∞) D.(-∞，-1]∪[3，+∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意，得数列{an}的前n项和为Sn， 由“均值数列”的定义可得=n，所以Sn=n2， 当n=1时，a1=S1=1； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1， a1=1也满足an=2n-1，所以an=2n-1， 所以= =， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以Tn= =<， 又Tn<m2-m-1对一切n∈N*恒成立， 所以m2-m-1≥，整理得m2-2m-3≥0， 解得m≤-1或m≥3. 即实数m的取值范围为(-∞，-1]∪[3，+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9.已知数列{an}的通项公式为an=(n+2)·，则下列说法正确的是 A.a1是数列{an}的最小项 B.a4是数列{an}的最大项 C.a5是数列{an}的最大项 D.当n≥5时，数列{an}为递减数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 17 18 19 √ 二、多项选择题 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 假设第n项为{an}的最大项，则 即 所以又n∈N*，所以n=4或n=5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4=a5=，故B，C正确； 当n≥5时，数列{an}为递减数列，故A错误，D正确. 16 17 18 19 15 10.设d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，若S10=S20，则下列说法中正确的是 A.当n=15时，Sn取最大值 B.当n=30时，Sn=0 C.当d>0时，a10+a22>0 D.当d<0时，|a10|>|a22| √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 因为S10=S20，所以10a1+d=20a1+d，解得a1=-d. 所以Sn=-dn+d=n2-15nd=[(n-15)2-225].对于选项A，因为d的正负不确定，Sn不一定有最大值，故A错误； 对于选项B，S30=30a1+d=30×+15×29d=0，故B正确； 对于选项C，a10+a22=2a16=2(a1+15d)=2=d>0，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17 对于选项D，a10=a1+9d=-d+d=-d，a22=a1+21d=-d+d=d，因为d<0，所以|a10|=-d，|a22|=-d，|a10|<|a22|，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18 11.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则使得为整数的正整数n的值为 A.2 B.3 C.4 D.14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ √ 由题意可得=== ====3+， 由于为整数，则n+1为15的正约数，则n+1的可能取值有3，5，15， 因此，正整数n的可能取值有2，4，14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+an+1=4×3n-1，则S2 024 =　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题 根据题意，可得a1+a2=4×30=4，a3+a4=4×32，…，a2 023+a2 024=4×32 022， 所以S2 024=4×30+4×32+…+4×32 022 =4×(30+32+…+32 022)=4×=. 13.在等差数列{an}中，前m(m为奇数)项和为135，其中偶数项之和为63，且am-a1=14，则a100的值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 101 ∵在前m项中偶数项之和为S偶=63， ∴奇数项之和为S奇=135-63=72， 设等差数列{an}的公差为d， 则S奇-S偶==72-63=9. 又am=a1+d(m-1)，∴=9， ∵am-a1=14，∴a1=2，am=16. ∵=135，∴m=15， ∴d==1，∴a100=a1+99d=101. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.已知函数f(x)=(x+1)3+1，正项等比数列{an}满足a1 013=， 则f(lg ak)=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 025 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 函数f(x)=(x+1)3+1的图象可看成由y=x3的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到， 因为y=x3的对称中心为(0，0)，所以f(x)=(x+1)3+1的对称中心为(-1，1)， 所以f(x)+f(-2-x)=2， 因为正项等比数列{an}满足a1 013=，所以a1·a2 025=a2·a2 024=…= =， 所以lg a1+lg a2 025=lg a2+lg a2 024=…=2lg a1 013=-2， 所以f(lg a1)+f(lg a2 025)=f(lg a2)+f(lg a2 024)=…=2， 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 f(lg ak)=f(lg a1)+f(lg a2)+f(lg a3)+…+f(lg a2 025)， ① f(lg ak)=f(lg a2 025)+f(lg a2 024)+f(lg a2 023)+…+f(lg a1)， ② 则①②相加得 2f(lg ak)=[f(lg a1)+f(lg a2 025)]+[f(lg a2)+f(lg a2 024)]+… +[f(lg a2 025)+f(lg a1)]=2 025×2， 所以f(lg ak)=2 025. 16 17 18 19 15.在数列{an}中，a1=1，an+1=3an. (1)求{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题 因为a1=1，an+1=3an， 所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an=3n-1. (2)数列{bn}是等差数列，Sn为{bn}的前n项和，若b1=a1+a2+a3，b3=a3，求Sn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由(1)得，b1=a1+a2+a3=1+3+9=13，b3=9，则b3-b1=2d=-4，解得d=-2， 所以Sn=13n+×(-2)=-n2+14n. 16.已知等差数列{an}中，a5-a2=6，且a1，a6，a21依次成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设数列{an}的公差为d，因为a5-a2=6，所以3d=6，解得d=2. 因为a1，a6，a21依次成等比数列，所以=a1a21， 即(a1+5×2)2=a1(a1+20×2)，解得a1=5，所以an=2n+3. (2)设bn=，数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn=，求n的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由(1)知bn==， 所以bn=， 所以Sn= ==， 得n=15. 17.在数列{an}中，前n项和Sn=1+kan(k≠0，k≠1). (1)证明：数列{an}为等比数列； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为Sn=1+kan， ① Sn-1=1+kan-1(n≥2)， ② 由①-②，得Sn-Sn-1=kan-kan-1(n≥2)， 所以an=an-1. 当n=1时，S1=a1=1+ka1，所以a1=. 所以{an}是首项为的等比数列. (2)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为a1=，q=， 所以an=·=-. (3)当k=-1时，求++…+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为在数列{an}中，a1=， 公比q=， 所以数列{的等比数列. 当k=-1时，等比数列{， 所以++…+==×. 18.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元. (1)引进该生产线几年后总盈利最大，最大是多少万元？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设引进设备n年后总盈利为f万元，设除去设备引进费用，第n年的成本为an，构成一等差数列，前n年成本之和为万元， 所以f=100n-[24n+4n(n-1)+196] =-4n2+80n-196=-4+204，n∈N*， 所以当n=10时，f=204(万元)， 即引进生产线10年后总盈利最大，为204万元. 16 17 18 19 (2)引进该生产线几年后平均盈利最多，最多是多少万元？ 设n年后平均盈利为g万元， 则g(n)==-4n-+80，n∈N*， 因为g=-4+80， 当n∈N*时，n+≥2=14， 当且仅当n=，即n=7时取等号， 故当n=7时，g=g=24(万元)， 即引进生产线7年后平均盈利最多，为24万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.在如图所示的三角形数阵中，第n行有n个数，aij表示第i行第j个数，例如，a43表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0).已知a11=2，a41=a32+2，=m. (1)求m及a53； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由已知得a31=a11+(3-1)×m=2m+2， a32=a31×m=(2m+2)×m=2m2+2m， a41=a11+(4-1)×m=3m+2， ∵a41=a32+2， ∴3m+2=(2m2+2m)+2， 即m2-2m=0. 又m>0，∴m=2，∴a51=a11+4×2=10， ∴a53=a51×22=40. (2)记Tn=a11+a22+a33+…+ann，求Tn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由(1)得an1=a11+(n-1)×2=2n. 当n≥3时，ann=an1·2n-1=n·2n. (*) 又a21=a11+2=4，a22=ma21=2×4=8. a11=2，a22=8符合(*)式， ∴ann=n·2n. ∵Tn=a11+a22+a33+…+ann， ∴Tn=1×21+2×22+3×23+4×24+…+n·2n， ① 2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1， ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由①-②得， -Tn=21+22+23+24+…+2n-n·2n+1 =-n·2n+1 =2n+1-2-n·2n+1 =(1-n)·2n+1-2， ∴Tn=(n-1)·2n+1+2. 第四章 <<< $$ 章末检测试卷一(第四章) ［时间：120分钟 分值：150分］ 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.已知数列1，，，，…，，则3是这个数列的第（　　） A.20项 B.21项 C.22项 D.23项 答案　D 解析　已知数列1，，，，…，，则该数列的通项公式为an=，若=3=，即2n-1=45，解得n=23，则3是这个数列的第23项. 2.设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若a4=8，S3=18，则S5等于（　　） A.34 B.35 C.36 D.38 答案　B 解析　因为｛an｝是等差数列，设其公差为d， 因为S3=a1+a2+a3=3a2=18，则a2=6， 所以2d=a4-a2=2，则d=1， 所以a5=9，S5=S3+a4+a5=18+8+9=35. 3.已知等比数列｛an｝的各项均为正数，若log3a1+log3a2+…+log3a12=12，则a6a7等于（　　） A.1 B.3 C.6 D.9 答案　D 解析　因为等比数列｛an｝的各项均为正数，且log3a1+log3a2+…+log3a12=12，即log3（a1·a2·…·a12）=12，所以a1·a2·…·a12=312，所以（a6a7）6=312，所以a6a7=32=9. 4.等差数列｛an｝的前n项和为Sn.若a1 011+a1 012+a1 013+a1 014=8，则S2 024等于（　　） A.8 096 B.4 048 C.4 046 D.2 024 答案　B 解析　由等差数列的性质可得a1 011+a1 012+a1 013+a1 014=2（a1 012+a1 013）=8， 所以a1 012+a1 013=4，所以S2 024===4 048，故B正确. 5.已知圆O的半径为5，|OP|=3，过点P的2 024条弦的长度组成一个等差数列｛an｝，圆O的最短弦长为a1，最长弦长为a2 024，则其公差为（　　） A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意，知最长弦长为直径，即a2 024=10，最短弦长和最长弦长垂直，由弦长公式得a1=2=8， 所以d==. 6.已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若a6+a7>0，a6+a8<0，则Sn最大时n的值为（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 答案　C 解析　∵等差数列｛an｝的前n项和为Sn，a6+a7>0，a6+a8<0， ∴a6+a8=2a7<0， ∴a6>0，a7<0， ∴Sn最大时n的值为6. 7.已知数列｛an｝中的项都是整数，且满足an+1=若a8=1，a1的所有可能取值构成集合M，则M中的元素的个数是（　　） A.7 B.6 C.5 D.4 答案　B 解析　an+1= 若a8=1，可得a7=2，a6=4， 所以a5=8或a5=1. ①若a5=8，则a4=16，a3=32或a3=5， 当a3=32时，a2=64，a1=128或a1=21； 当a3=5时，a2=10，a1=20或a1=3； ②若a5=1，则a4=2，a3=4，a2=8或a2=1， 当a2=8时，a1=16； 当a2=1时，a1=2， 故当a8=1时，a1的所有可能的取值集合M=｛2，3，16，20，21，128｝， 即集合M中含有6个元素. 8.若数列｛an｝的前n项和为Sn，bn=，则称数列｛bn｝是数列｛an｝的“均值数列”.已知数列｛bn｝是数列｛an｝的“均值数列”且通项公式为bn=n，设数列的前n项和为Tn，若Tn<m2-m-1对一切n∈N*恒成立，则实数m的取值范围为（　　） A.（-1，3） B.［-1，3］ C.（-∞，-1）∪（3，+∞） D.（-∞，-1］∪［3，+∞） 答案　D 解析　由题意，得数列｛an｝的前n项和为Sn， 由“均值数列”的定义可得=n，所以Sn=n2， 当n=1时，a1=S1=1； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1， a1=1也满足an=2n-1，所以an=2n-1， 所以= =， 所以Tn= =<， 又Tn<m2-m-1对一切n∈N*恒成立， 所以m2-m-1≥，整理得m2-2m-3≥0， 解得m≤-1或m≥3. 即实数m的取值范围为（-∞，-1］∪［3，+∞）. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知数列｛an｝的通项公式为an=（n+2）·，则下列说法正确的是（　　） A.a1是数列｛an｝的最小项 B.a4是数列｛an｝的最大项 C.a5是数列｛an｝的最大项 D.当n≥5时，数列｛an｝为递减数列 答案　BCD 解析　假设第n项为｛an｝的最大项，则 即 所以又n∈N*，所以n=4或n=5，故数列｛an｝中a4与a5均为最大项，且a4=a5=，故B，C正确；当n≥5时，数列｛an｝为递减数列，故A错误，D正确. 10.设d，Sn分别为等差数列｛an｝的公差与前n项和，若S10=S20，则下列说法中正确的是（　　） A.当n=15时，Sn取最大值 B.当n=30时，Sn=0 C.当d>0时，a10+a22>0 D.当d<0时，|a10|>|a22| 答案　BC 解析　因为S10=S20，所以10a1+d=20a1+d，解得a1=-d. 所以Sn=-dn+d=n2-15nd=［（n-15）2-225］.对于选项A，因为d的正负不确定，Sn不一定有最大值，故A错误； 对于选项B，S30=30a1+d=30×+15×29d=0，故B正确； 对于选项C，a10+a22=2a16=2（a1+15d）=2=d>0，故C正确； 对于选项D，a10=a1+9d=-d+d=-d，a22=a1+21d=-d+d=d，因为d<0，所以|a10|=-d，|a22|=-d，|a10|<|a22|，故D错误. 11.已知两个等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则使得为整数的正整数n的值为（　　） A.2 B.3 C.4 D.14 答案　ACD 解析　由题意可得===，则====3+， 由于为整数，则n+1为15的正约数，则n+1的可能取值有3，5，15， 因此，正整数n的可能取值有2，4，14. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知数列｛an｝的前n项和为Sn，a1=1，an+an+1=4×3n-1，则S2 024=　　　　　　.  答案　 解析　根据题意，可得a1+a2=4×30=4，a3+a4=4×32，…，a2 023+a2 024=4×32 022， 所以S2 024=4×30+4×32+…+4×32 022=4×（30+32+…+32 022）=4×=. 13.在等差数列｛an｝中，前m（m为奇数）项和为135，其中偶数项之和为63，且am-a1=14，则a100的值为　　　　.  答案　101 解析　∵在前m项中偶数项之和为S偶=63， ∴奇数项之和为S奇=135-63=72， 设等差数列｛an｝的公差为d， 则S奇-S偶==72-63=9. 又am=a1+d（m-1）， ∴=9， ∵am-a1=14，∴a1=2，am=16. ∵=135，∴m=15， ∴d==1，∴a100=a1+99d=101. 14.已知函数f（x）=（x+1）3+1，正项等比数列｛an｝满足a1 013=，则f（lg ak）=　　　　.  答案　2 025 解析　函数f（x）=（x+1）3+1的图象可看成由y=x3的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到， 因为y=x3的对称中心为（0，0），所以f（x）=（x+1）3+1的对称中心为（-1，1）， 所以f（x）+f（-2-x）=2， 因为正项等比数列｛an｝满足a1 013=，所以a1·a2 025=a2·a2 024=…==， 所以lg a1+lg a2 025=lg a2+lg a2 024=…=2lg a1 013=-2， 所以f（lg a1）+f（lg a2 025）=f（lg a2）+f（lg a2 024）=…=2， f（lg ak）=f（lg a1）+f（lg a2）+f（lg a3）+…+f（lg a2 025）， ① f（lg ak）=f（lg a2 025）+f（lg a2 024）+f（lg a2 023）+…+f（lg a1）， ② 则①②相加得 2f（lg ak）=［f（lg a1）+f（lg a2 025）］+［f（lg a2）+f（lg a2 024）］+…+［f（lg a2 025）+f（lg a1）］ =2 025×2， 所以f（lg ak）=2 025. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.（13分）在数列｛an｝中，a1=1，an+1=3an. （1）求｛an｝的通项公式；（6分） （2）数列｛bn｝是等差数列，Sn为｛bn｝的前n项和，若b1=a1+a2+a3，b3=a3，求Sn.（7分） 解　（1）因为a1=1，an+1=3an， 所以数列｛an｝是首项为1，公比为3的等比数列，所以an=3n-1. （2）由（1）得，b1=a1+a2+a3=1+3+9=13，b3=9，则b3-b1=2d=-4，解得d=-2， 所以Sn=13n+×（-2）=-n2+14n. 16.（15分）已知等差数列｛an｝中，a5-a2=6，且a1，a6，a21依次成等比数列. （1）求数列｛an｝的通项公式；（6分） （2）设bn=，数列｛bn｝的前n项和为Sn，若Sn=，求n的值.（9分） 解　（1）设数列｛an｝的公差为d，因为a5-a2=6，所以3d=6，解得d=2. 因为a1，a6，a21依次成等比数列，所以=a1a21，即（a1+5×2）2=a1（a1+20×2），解得a1=5，所以an=2n+3. （2）由（1）知bn==， 所以bn=， 所以Sn= =，由=， 得n=15. 17.（15分）在数列｛an｝中，前n项和Sn=1+kan（k≠0，k≠1）. （1）证明：数列｛an｝为等比数列；（5分） （2）求数列｛an｝的通项公式；（4分） （3）当k=-1时，求++…+.（6分） （1）证明　因为Sn=1+kan， ① Sn-1=1+kan-1（n≥2）， ② 由①-②，得Sn-Sn-1=kan-kan-1（n≥2）， 所以an=an-1. 当n=1时，S1=a1=1+ka1，所以a1=. 所以｛an｝是首项为，公比为的等比数列. （2）解　因为a1=，q=， 所以an=·=-. （3）解　因为在数列｛an｝中，a1=， 公比q=， 所以数列｛｝是首项为，公比为的等比数列. 当k=-1时，等比数列｛｝的首项为，公比为， 所以++…+ ==×. 18.（17分）某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元. （1）引进该生产线几年后总盈利最大，最大是多少万元？（8分） （2）引进该生产线几年后平均盈利最多，最多是多少万元？（9分） 解　（1）设引进设备n年后总盈利为f万元，设除去设备引进费用，第n年的成本为an，构成一等差数列，前n年成本之和为万元， 所以f=100n-［24n+4n（n-1）+196］ =-4n2+80n-196=-4+204，n∈N*， 所以当n=10时，f=204（万元）， 即引进生产线10年后总盈利最大，为204万元. （2）设n年后平均盈利为g万元， 则g（n）==-4n-+80，n∈N*， 因为g=-4+80， 当n∈N*时，n+≥2=14， 当且仅当n=，即n=7时取等号， 故当n=7时，g=g=24（万元）， 即引进生产线7年后平均盈利最多，为24万元. 19.（17分）在如图所示的三角形数阵中，第n行有n个数，aij表示第i行第j个数，例如，a43表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m>0）.已知a11=2，a41=a32+2，=m. （1）求m及a53；（7分） （2）记Tn=a11+a22+a33+…+ann，求Tn.（10分） 解　（1）由已知得a31=a11+（3-1）×m=2m+2， a32=a31×m=（2m+2）×m=2m2+2m， a41=a11+（4-1）×m=3m+2， ∵a41=a32+2， ∴3m+2=（2m2+2m）+2， 即m2-2m=0. 又m>0，∴m=2， ∴a51=a11+4×2=10， ∴a53=a51×22=40. （2）由（1）得an1=a11+（n-1）×2=2n. 当n≥3时，ann=an1·2n-1=n·2n.（*） 又a21=a11+2=4，a22=ma21=2×4=8. a11=2，a22=8符合（*）式， ∴ann=n·2n. ∵Tn=a11+a22+a33+…+ann， ∴Tn=1×21+2×22+3×23+4×24+…+n·2n， ① 2Tn=1×22+2×23+3×24+…+（n-1）·2n+n·2n+1， ② 由①-②得， -Tn=21+22+23+24+…+2n-n·2n+1 =-n·2n+1 =2n+1-2-n·2n+1 =（1-n）·2n+1-2， ∴Tn=（n-1）·2n+1+2. 学科网（北京）股份有限公司 $$