第4章 再练1课(范围：§4.3)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（人教A版2019）

第四章 <<< 再练一课(范围：§4.3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 一、单项选择题 1.在等比数列{an}中，a1=4，a4=32，则数列{an}的前10项和为 A.211-2 B.212-2 C.211-4 D.212-4 √ 设等比数列{an}的公比为q，则a4=a1q3，即32=4q3，解得q=2，则数列{an}的前10项和为==212-4. 2.已知等比数列{an}的公比为2，前n项和为Sn.若S9=511，则a3等于 A.4 B.8 C.16 D.32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 依题意S9==511a1=511，a1=1，所以a3=1×22=4. 3.已知数列{an}是公差不为零的等差数列，{bn}是等比数列，a1=b1>0，a4=b4>0，则下列说法正确的是 A.a2+a3>b2+b3 B.a2+a3<b2+b3 C.a2+a3=b2+b3 D.a2+a3与b2+b3的大小不确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵数列{an}是公差不为零的等差数列，{bn}是等比数列，设公差、公比分别为d，q， ∴a2+a3=a1+a4=b1+b4=b1(1+q3)=b1(1+q)(1-q+q2)，b2+b3=b1q(1+q)， ∵数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=b1>0，a4=b4>0，∴q>0，q≠1， ∵q2-q+1-q=q2-2q+1=(q-1)2>0，∴a2+a3>b2+b3. 4.若等比数列{an}中的a5，a2 020是方程x2-4x+3=0的两个根，则log3a1+ log3a2+log3a3+…+log3a2 024等于 A. B.1 011 C. D.1 012 √ 因为a5，a2 020是方程x2-4x+3=0的两个根，则a5a2 020=3，又在等比数列{an}中，a1a2 024=a2a2 023=…=a5a2 020=a6a2 019=…=a1 012a1 013=3， ∴log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a2 024=log3(a1a2a3…a2 023a2 024) =log331 012=1 012. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2.定义数列{bn}如下：bm(m∈N*)是使不等式an≥m(m∈N*)成立的所有n中的最小值，则b1+b3+b5+…+b19等于 A.25 B.50 C.75 D.100 √ 由等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2，可得an=2n-1， 因为an≥m，即2n-1≥m，解得n≥，当m=2k-1(k∈N*)时， bm=k，即bm===， 即b2k-1=，从而b1+b3+b5+…+b19=×(1+3+5+…+19)=50. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.已知公比为q的等比数列{an}，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，满足a1>1，a2 022a2 023>1，<0.则下列结论正确的是 A.a2 012·a2 034>1 B.Tn的最大值为T2 022 C.Sn的最大值为S2 023 D.q>1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若q<0，则a2 022a2 023=q<0不符合题意，所以q>0，故数列{an}为正项等比数列，因为a1>1，a2 022·a2 023>1，<0，若q≥1，则a2 022 =a1·q2 021>1，a2 023=a1·q2 022>1， 则a2 022-1>0，a2 023-1>0，则>0，这与已知条件矛盾，所以q≥1不符合题意，所以0<q<1，故D错误； 因为a1>1，0<q<1，所以数列{an}为各项为正的递减数列，所以Sn无最大值，故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又<0，所以a2 022>1，0<a2 023<1， 所以a2 012·a2 034=<1，故A错误； 又a2 022>1，0<a2 023<1， 所以T2 022是数列{Tn}中的最大项，故B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、多项选择题 7.已知在等比数列{an}中，a1=1，q=2，则 A.数列是等差等列 B.数列是递减数列 C.数列{log2an}是等差数列 D.数列{log2an}是递减数列 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵在等比数列{an}中， a1=1，q=2，则an=2n-1， ∴=>0，==<1， log2an=log22n-1=n-1， log2an+1-log2an=n-(n-1)=1>0， ∴数列是等差数列，且为递增数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且2Sn=3an+m，则 A.m=-1 B.{an}是等差数列 C.an= D.Sn= √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当n=1时，2S1=2a1=3a1+m，因为a1=1，所以m=-1，故A正确； 于是2Sn=3an-1，当n≥2时，2Sn-1=3an-1-1，所以2an=2Sn-2Sn-1=3an-1-(3an-1-1)=3an-3an-1，即an=3an-1，即=3， 所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，故an=3n-1，Sn=，故BC错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.设Sn是公比为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2=，a3a5=，则 A.a1= B.S3= C.an+Sn为常数 D.{Sn-2}为等比数列 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设等比数列{an}的公比为q(q>0)，所以a3a5=a2qa2q3=q4=q4=，则q=，又因为a2=a1q=a1=，则a1=1，故A错误； an=a1qn-1=，Sn==2=2-，S3=2-=，故B错误； an+Sn=+2-=2，故C正确； Sn-2=2--2=-==，故{Sn-2}为等比数列，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、填空题 10.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，S6=4S3，则a4=　　.  3 a1=1，S6=4S3，显然q≠1， ∴=4×，∴1+q3=4，∴q3=3，∴a4=a1q3=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，Sn=an+1，则数列{an}的通 项公式为an=　　　　　　　　.  因为Sn=an+1，所以当n≥2时，Sn-1=an，两式相减可得Sn-Sn-1=an+1-an，即an=an+1-an，所以an+1=2an，当n=1时，a2=S1=a1=1，不满足a2=2a1， 所以从第二项起{an}是公比为2的等比数列，所以an=a22n-2=2n-2(n≥2)， 所以数列{an}的通项公式为an= 12.已知等差数列{an}的公差d>0，等比数列{bn}的公比q为正整数，若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q=　　　.  由a1=d，b1=d2，令m===， 取m为正整数，则有1+q+q2=，又q为正整数，所以1+q+q2∈{7，14}， 当1+q+q2=7时，解得q=2或q=-3(舍去)，当1+q+q2=14时，解得q不是正整数.综上，q=2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 四、解答题 13.已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，已知a5=5，S5=15. (1)求数列{an}的通项公式； 设等差数列的公差为d，则 ∴数列{an}的通项公式为an=1+1×(n-1)=n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)设an=log2bn，求数列{bn}的前n项和Tn. ∵an=log2bn=n，∴bn=2n， 由此可得b1=21=2，==2，则数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列. 因此，可得Tn==2n+1-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.小华计划从今年4月开始存钱买车，若他第一个月存10 000元，以后每个月在前一个月的基础上增加20%.记小华第一个月(今年4月)存入的金额为a1元，第n个月存入的金额为an元. (1)求小华前3个月的总存款金额； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 依题意，得a2=a1(1+20%)=1.2a1，a3=1.2a2， an+1=1.2an， 则an+1=1.2an，即数列{an}是首项为a1，公比为1.2的等比数列， 所以an=1.2n-1a1，又a1=10 000， 所以小华前3个月的总存款金额为a1+1.2a1+1.22a1=3.64a1=3.64(万元). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若小华想购买的汽车售价为11万元，求小华至少要存几个月钱才能全款购买这辆汽车.(1.26≈2.99，1.27≈3.58，1.28≈4.30) 由(1)知an=1.2n-1a1，设数列{an}的前n项和为Sn， 则Sn=≥11，可得1.2n≥3.2， 所以n≥7， 即小华至少要存7个月钱才能全款购买这辆汽车. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a2=3，且a5是a4，a8的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设数列{an}的公差为d(d≠0)，依题意得 即 又d≠0，解得 所以an=5+(n-1)·(-2)=-2n+7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)设bn=，Sn为数列{bn}的前n项和，求使<85成立的最大的n值. bn==2-2n+7=， 则=，b1==32， 所以数列{bn}是以32为首项，为公比的等比数列， 所以Sn==，==， 由<85，得<85，得4n<256=44， 所以n<4，所以n的最大值为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第四章 <<< $$ 再练一课(范围：§4.3) (分值：100分) 一、单项选择题（每小题5分，共30分） 1.在等比数列｛an｝中，a1=4，a4=32，则数列｛an｝的前10项和为（　　） A.211-2 B.212-2 C.211-4 D.212-4 答案　D 解析　设等比数列｛an｝的公比为q，则a4=a1q3，即32=4q3，解得q=2，则数列｛an｝的前10项和为==212-4. 2.已知等比数列｛an｝的公比为2，前n项和为Sn.若S9=511，则a3等于（　　） A.4 B.8 C.16 D.32 答案　A 解析　依题意S9==511a1=511，a1=1，所以a3=1×22=4. 3.已知数列｛an｝是公差不为零的等差数列，｛bn｝是等比数列，a1=b1>0，a4=b4>0，则下列说法正确的是（　　） A.a2+a3>b2+b3 B.a2+a3<b2+b3 C.a2+a3=b2+b3 D.a2+a3与b2+b3的大小不确定 答案　A 解析　∵数列｛an｝是公差不为零的等差数列，｛bn｝是等比数列，设公差、公比分别为d，q， ∴a2+a3=a1+a4=b1+b4=b1（1+q3）=b1（1+q）（1-q+q2），b2+b3=b1q（1+q）， ∵数列｛an｝是公差不为零的等差数列，a1=b1>0，a4=b4>0，∴q>0，q≠1， ∵q2-q+1-q=q2-2q+1=（q-1）2>0，∴a2+a3>b2+b3. 4.若等比数列｛an｝中的a5，a2 020是方程x2-4x+3=0的两个根，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a2 024等于（　　） A. B.1 011 C. D.1 012 答案　D 解析　因为a5，a2 020是方程x2-4x+3=0的两个根，则a5a2 020=3，又在等比数列｛an｝中，a1a2 024=a2a2 023=…=a5a2 020=a6a2 019=…=a1 012a1 013=3，∴log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a2 024=log3（a1a2a3…a2 023a2 024）=log331 012=1 012. 5.已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且Sn=n2.定义数列｛bn｝如下：bm（m∈N*）是使不等式an≥m（m∈N*）成立的所有n中的最小值，则b1+b3+b5+…+b19等于（　　） A.25 B.50 C.75 D.100 答案　B 解析　由等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且Sn=n2，可得an=2n-1， 因为an≥m，即2n-1≥m，解得n≥，当m=2k-1（k∈N*）时，bm=k，即bm===，即b2k-1=，从而b1+b3+b5+…+b19=×（1+3+5+…+19）=50. 6.已知公比为q的等比数列｛an｝，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，满足a1>1，a2 022a2 023>1，<0.则下列结论正确的是（　　） A.a2 012·a2 034>1 B.Tn的最大值为T2 022 C.Sn的最大值为S2 023 D.q>1 答案　B 解析　若q<0，则a2 022a2 023=q<0不符合题意，所以q>0，故数列｛an｝为正项等比数列，因为a1>1，a2 022·a2 023>1，<0，若q≥1，则a2 022=a1·q2 021>1，a2 023=a1·q2 022>1， 则a2 022-1>0，a2 023-1>0，则>0，这与已知条件矛盾，所以q≥1不符合题意， 所以0<q<1，故D错误；因为a1>1，0<q<1， 所以数列｛an｝为各项为正的递减数列，所以Sn无最大值，故C错误； 又<0，所以a2 022>1，0<a2 023<1， 所以a2 012·a2 034=<1，故A错误； 又a2 022>1，0<a2 023<1， 所以T2 022是数列｛Tn｝中的最大项，故B正确. 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 7.已知在等比数列｛an｝中，a1=1，q=2，则（　　） A.数列是等差等列 B.数列是递减数列 C.数列｛log2an｝是等差数列 D.数列｛log2an｝是递减数列 答案　BC 解析　∵在等比数列｛an｝中， a1=1，q=2，则an=2n-1， ∴=>0，==<1， log2an=log22n-1=n-1， log2an+1-log2an=n-（n-1）=1>0， ∴数列是等比数列，且为递减数列；数列是等差数列，且为递增数列. 8.设数列｛an｝的前n项和为Sn，a1=1，且2Sn=3an+m，则（　　） A.m=-1 B.｛an｝是等差数列 C.an= D.Sn= 答案　AD 解析　当n=1时，2S1=2a1=3a1+m，因为a1=1，所以m=-1，故A正确； 于是2Sn=3an-1，当n≥2时，2Sn-1=3an-1-1，所以2an=2Sn-2Sn-1=3an-1-（3an-1-1）=3an-3an-1，即an=3an-1，即=3， 所以数列｛an｝是首项为1，公比为3的等比数列，故an=3n-1，Sn=，故BC错误，D正确. 9.设Sn是公比为正数的等比数列｛an｝的前n项和，若a2=，a3a5=，则（　　） A.a1= B.S3= C.an+Sn为常数 D.｛Sn-2｝为等比数列 答案　CD 解析　设等比数列｛an｝的公比为q（q>0），所以a3a5=a2qa2q3=q4=q4=，则q=，又因为a2=a1q=a1=，则a1=1，故A错误；an=a1qn-1=，Sn==2=2-，S3=2-=，故B错误；an+Sn=+2-=2，故C正确；Sn-2=2--2=-，因为==，故｛Sn-2｝为等比数列，故D正确. 三、填空题（每小题5分，共15分） 10.设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若a1=1，S6=4S3，则a4=　　　　.  答案　3 解析　a1=1，S6=4S3，显然q≠1， ∴=4×，∴1+q3=4，∴q3=3，∴a4=a1q3=3. 11.已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足a1=1，Sn=an+1，则数列｛an｝的通项公式为an=　　　　.  答案　 解析　因为Sn=an+1，所以当n≥2时，Sn-1=an，两式相减可得Sn-Sn-1=an+1-an，即an=an+1-an，所以an+1=2an，当n=1时，a2=S1=a1=1，不满足a2=2a1， 所以从第二项起｛an｝是公比为2的等比数列，所以an=a22n-2=2n-2（n≥2）， 所以数列｛an｝的通项公式为an= 12.已知等差数列｛an｝的公差d>0，等比数列｛bn｝的公比q为正整数，若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q=　　　.  答案　2 解析　由a1=d，b1=d2，令m===， 取m为正整数，则有1+q+q2=，又q为正整数，所以1+q+q2∈｛7，14｝， 当1+q+q2=7时，解得q=2或q=-3（舍去），当1+q+q2=14时，解得q不是正整数.综上，q=2. 四、解答题（共37分） 13.（12分）已知｛an｝是等差数列，其前n项和为Sn，已知a5=5，S5=15. （1）求数列｛an｝的通项公式；（5分） （2）设an=log2bn，求数列｛bn｝的前n项和Tn.（7分） 解　（1）设等差数列的公差为d，则解得 ∴数列｛an｝的通项公式为an=1+1×（n-1）=n. （2）∵an=log2bn=n，∴bn=2n， 由此可得b1=21=2，==2，则数列｛bn｝是首项为2，公比为2的等比数列. 因此，可得Tn==2n+1-2. 14.（12分）小华计划从今年4月开始存钱买车，若他第一个月存10 000元，以后每个月在前一个月的基础上增加20%.记小华第一个月（今年4月）存入的金额为a1元，第n个月存入的金额为an元. （1）求小华前3个月的总存款金额；（5分） （2）若小华想购买的汽车售价为11万元，求小华至少要存几个月钱才能全款购买这辆汽车.（1.26≈2.99，1.27≈3.58，1.28≈4.30）（7分） 解　（1）依题意，得a2=a1（1+20%）=1.2a1，a3=1.2a2， an+1=1.2an， 则an+1=1.2an，即数列｛an｝是首项为a1，公比为1.2的等比数列， 所以an=1.2n-1a1，又a1=10 000， 所以小华前3个月的总存款金额为a1+1.2a1+1.22a1=3.64a1=3.64（万元）. （2）由（1）知an=1.2n-1a1，设数列｛an｝的前n项和为Sn， 则Sn=，由≥11，可得1.2n≥3.2， 所以n≥7， 即小华至少要存7个月钱才能全款购买这辆汽车. 15.（13分）已知数列｛an｝是公差不为零的等差数列，a2=3，且a5是a4，a8的等比中项. （1）求数列｛an｝的通项公式；（5分） （2）设bn=，Sn为数列｛bn｝的前n项和，求使<85成立的最大的n值.（8分） 解　（1）设数列｛an｝的公差为d（d≠0），依题意得 即 又d≠0，解得 所以an=5+（n-1）·（-2）=-2n+7. （2）bn==2-2n+7=， 则=，b1==32， 所以数列｛bn｝是以32为首项，为公比的等比数列， 所以Sn==， ==， 由<85，得<85，得4n<256=44， 所以n<4，所以n的最大值为3. 学科网（北京）股份有限公司 $$