第4章 再练1课(范围：§4.1～§4.2)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（人教A版2019）

再练一课(范围：§4.1~§4.2) (分值：100分) 一、单项选择题（每小题5分，共30分） 1.数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为（　　） A.an=2n-1 B.an=（-1）n（1-2n） C.an=（-1）n（2n-1） D.an=（-1）n（2n+1） 答案　B 解析　将n=1，2，…代入各选项，可得B选项为正确选项. 2.若Sn为等差数列｛an｝的前n项和，且Sn=3n2-2n，则数列｛an｝的公差d等于（　　） A.8 B.7 C.6 D.5 答案　C 解析　由题意可得Sn=na1+=n2+n=3n2-2n， ∴=3，解得d=6. 3.记Sn为等差数列｛an｝的前n项和，已知S4=0，a5=5，则（　　） A.a5=S5 B.S5>a5 C.S5<a5 D.S5=2a5 答案　A 解析　设等差数列｛an｝的公差为d，由S4=0，a5=5，得 ∴∴an=2n-5⇒Sn=n2-4n⇒S5=5=a5. 4.在等差数列｛an｝中，a6，a18是方程x2-8x-17=0的两个根，则｛an｝的前23项的和为（　　） A.-184 B.-92 C.92 D.184 答案　C 解析　a6，a18是方程x2-8x-17=0的两个根，所以a6+a18=8，所以｛an｝的前23项的和S23===92. 5.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最大的一份为（　　） A. B.20 C. D. 答案　D 解析　设5份从小到大依次为a1，a2，a3，a4，a5，公差为d且d>0，则 所以⇒ ⇒所以a5=a1+4d=. 6.已知数列an=（n+1），下列说法正确的是（　　） A.｛an｝有最大项，但没有最小项 B.｛an｝没有最大项，但有最小项 C.｛an｝既有最大项，又有最小项 D.｛an｝既没有最大项，也没有最小项 答案　C 解析　当n=2k（k∈N*）时，a2k=（2k+1），a2（k+1）=（2k+3），a2（k+1）-a2k=·，当k≤4时，a2（k+1）-a2k>0，a2k递增；当k≥5时，a2（k+1）-a2k<0，a2k递减，故a10最大，当n=2k-1（k∈N*）时，a2k-1=-2k·，a2（k+1）-1=-（2k+2），a2k+1-a2k-1=·， 当k≤4时，a2k+1-a2k-1<0，a2k-1递减；当k≥5时，a2k+1-a2k-1>0，a2k-1递增，故a9最小，综上，｛an｝既有最大项，又有最小项. 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 7.下列四个选项中，不正确的是（　　） A.数列，，，，…的一个通项公式是an= B.数列的图象是一群孤立的点 C.数列1，-1，1，-1，…与数列-1，1，-1，1，…是同一数列 D.数列，，…，是递增数列 答案　ACD 解析　对于A，当通项公式为an=时，a1=≠，故A选项错误； 对于B，由数列的通项公式以及n∈N*可知，数列的图象是一群孤立的点，故B选项正确； 对于C，由于两个数列中数的排列次序不同，因此不是同一数列，故C选项错误； 对于D，，，…，是递减数列，故D选项错误. 8.已知在数列｛an｝中，a1=1，an+1=（n∈N*），则下列结论正确的是（　　） A.｛an｝是等差数列 B.｛an｝是递增数列 C.是等差数列 D.是递增数列 答案　CD 解析　由an+1=（n∈N*）可得=+1（n∈N*），所以是以1为公差的等差数列，故CD正确，=1+（n-1）×1=n⇒an=，故｛an｝不是等差数列，而且｛an｝为递减数列，故AB错误. 9.已知等差数列｛an｝的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，若S20<S18<S19，则（　　） A.a1>0 B.> C.S38<0 D.当n=19时，Sn取到最大值 答案　ACD 解析　因为S20<S18<S19，所以a19+a20<0<a19，得到a19>0，a20=a19+d<0，所以a1>0，d<0，故选项A正确； 又a18+a19>0，a20+a21<0，a20+a21+a18+a19=2（a20+a19）<0，所以<，故选项B错误； S38==<0，故选项C正确； 因为a1>0，d<0，a19>0，a20<0，所以当n=19时，Sn取到最大值，故选项D正确. 三、填空题（每小题5分，共15分） 10.设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若a5+a6=2，则S10=　　　　.  答案　10 解析　因为｛an｝为等差数列，所以a1+a10=a5+a6=2，所以S10==10. 11.已知数列｛an｝满足a1=1，an+1+an=-3n（n∈N*），记数列｛an｝的前n项和为Sn，若Sn=-192，则n=　　　　　.  答案　16 解析　∵数列｛an｝满足a1=1，an+1+an=-3n（n∈N*），∴a2=-4，且an+2+an+1=-3（n+1），∴an+2-an=-3，∴数列｛an｝的奇数项是首项为1，公差为-3的等差数列， 偶数项是首项为-4，公差为-3的等差数列， ∴S2n=n+×（-3）-4n+×（-3）=-3n2=-192⇒n=8（负值舍去）， ∴S2n+1=n+1+×（-3）-4n+×（-3）=-3n2-3n+1=-192，此时n无正整数解，∴若Sn=-192，则n=16. 12.已知两个等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别为An和Bn，=，则=　　　　.  答案　9 解析　根据等差数列前n项和公式可知S2n-1=， 再由等差数列性质可得a1+a2n-1=an+an=2an；所以====，又因为=，所以====9，即=9. 四、解答题（共37分） 13.（12分）已知｛an｝是等差数列，其中a1=25，a4=16. （1）求｛an｝的通项公式；（5分） （2）求a1+a3+a5+…+a19的值.（7分） 解　（1）设等差数列｛an｝的公差为d， ∵a4=a1+3d，a1=25，a4=16， ∴d=-3， ∴an=25+（-3）×（n-1）=28-3n. （2）由题意可知a1=25，an=28-3n， ∴a1，a3，a5，…，a19是以25为首项，以-6为公差的等差数列， ∴a1+a3+a5+…+a19=10×25+×（-6）=-20. 14.（12分）已知｛an｝是等差数列，其前n项和为Sn，a4=-3，再从条件①和条件②中选择一个作为已知，求： （1）数列｛an｝的通项公式；（5分） （2）Sn的最小值，并求当Sn取得最小值时n的值.（7分） 条件①S4=-24；条件②a1=2a3. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解　（1）若选择条件①： 设等差数列｛an｝的公差为d，由a4=-3可得a1+3d=-3； 又S4=-24，得4a1+d=-24，即2a1+3d=-12， 解得a1=-9，d=2， 所以an=a1+（n-1）d=-9+2（n-1）=2n-11； 即数列｛an｝的通项公式为an=2n-11，n∈N*. 若选择条件②： 设等差数列｛an｝的公差为d，由a4=-3可得a1+3d=-3； 又a1=2a3，即a1=2（a1+2d），得a1+4d=0； 解得a1=-12，d=3， 所以an=a1+（n-1）d=-12+3（n-1）=3n-15， 即数列｛an｝的通项公式为an=3n-15，n∈N*. （2）若选择条件①： 由an=2n-11，n∈N*可得，Sn=-9n+×2=n2-10n=（n-5）2-25； 根据二次函数的性质可得当n=5时，Sn=-25为最小值； 即当n=5时，Sn取最小值，且最小值为S5=-25. 若选择条件②： 由an=3n-15，n∈N*可得，Sn=-12n+×3=（n2-9n）=-； 根据二次函数的性质可得当n=4或n=5时，Sn=-30为最小值； 即当n=4或n=5时，Sn取最小值，且最小值为S4=S5=-30. 15.（13分）已知数列｛an｝的前n项和Sn=n2-7n. （1）求｛an｝的通项公式；（6分） （2）求数列｛｝的前n项和Tn.（7分） 解　（1）因为Sn=n2-7n， 所以当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2-7n）-=2n-8， 又因为当n=1时，a1=S1=-6适合上式，所以an=2n-8. （2）因为== ①当1≤n≤4时，an≤0， 所以Tn=++…+=-a1-a2-…-an=-Sn=-n2+7n； ②当n≥5时，an>0， 所以Tn=+++…+=-a1-a2-a3-a4+a5+…+an =Sn-2S4=n2-7n+24. 所以Tn= 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 <<< 再练一课(范围：§4.1~§4.2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 一、单项选择题 1.数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为 A.an=2n-1 B.an=(-1)n(1-2n) C.an=(-1)n(2n-1) D.an=(-1)n(2n+1) √ 将n=1，2，…代入各选项，可得B选项为正确选项. 2.若Sn为等差数列{an}的前n项和，且Sn=3n2-2n，则数列{an}的公差d等于 A.8　　　B.7　　　C.6　　　D.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 由题意可得Sn=na1+=n2+n=3n2-2n， ∴=3，解得d=6. 3.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4=0，a5=5，则 A.a5=S5 B.S5>a5 C.S5<a5 D.S5=2a5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 设等差数列{an}的公差为d，由S4=0，a5=5，得 ∴∴an=2n-5⇒Sn=n2-4n⇒S5=5=a5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.在等差数列{an}中，a6，a18是方程x2-8x-17=0的两个根，则{an}的前23项的和为 A.-184 B.-92 C.92 D.184 √ a6，a18是方程x2-8x-17=0的两个根，所以a6+a18=8，所以{an}的前23项的和S23===92. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最大的一份为 A. B.20 C. D. √ 设5份从小到大依次为a1，a2，a3，a4，a5，公差为d且d>0， 则 所以⇒ ⇒所以a5=a1+4d=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.已知数列an=(n+1)，下列说法正确的是 A.{an}有最大项，但没有最小项 B.{an}没有最大项，但有最小项 C.{an}既有最大项，又有最小项 D.{an}既没有最大项，也没有最小项 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当n=2k(k∈N*)时，a2k=(2k+1)，a2(k+1)=(2k+3)，a2(k+1)-a2k =·，当k≤4时，a2(k+1)-a2k>0，a2k递增； 当k≥5时，a2(k+1)-a2k<0，a2k递减，故a10最大，当n=2k-1(k∈N*)时，a2k-1=-2k·，a2(k+1)-1=-(2k+2)，a2k+1-a2k-1=·， 当k≤4时，a2k+1-a2k-1<0，a2k-1递减；当k≥5时，a2k+1-a2k-1>0，a2k-1递增，故a9最小，综上，{an}既有最大项，又有最小项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、多项选择题 7.下列四个选项中，不正确的是 A.数列，，，，…的一个通项公式是an= B.数列的图象是一群孤立的点 C.数列1，-1，1，-1，…与数列-1，1，-1，1，…是同一数列 D.数列，，…，是递增数列 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，当通项公式为an=时，a1=≠，故A选项错误； 对于B，由数列的通项公式以及n∈N*可知，数列的图象是一群孤立的点，故B选项正确； 对于C，由于两个数列中数的排列次序不同，因此不是同一数列，故C选项错误； 对于D，，…，是递减数列，故D选项错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.已知在数列{an}中，a1=1，an+1=(n∈N*)，则下列结论正确的是 A.{an}是等差数列 B.{an}是递增数列 C.是等差数列 D.是递增数列 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由an+1=(n∈N*)可得=+1(n∈N*)，所以是以1为公差的等差数列，故CD正确， =1+(n-1)×1=n⇒an=，故{an}不是等差数列，而且{an}为递减数列，故AB错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，若S20<S18<S19，则 A.a1>0 B.> C.S38<0 D.当n=19时，Sn取到最大值 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为S20<S18<S19，所以a19+a20<0<a19，得到a19>0，a20=a19+d<0， 所以a1>0，d<0，故选项A正确； 又a18+a19>0，a20+a21<0，a20+a21+a18+a19=2(a20+a19)<0， 所以<，故选项B错误； S38==<0，故选项C正确； 因为a1>0，d<0，a19>0，a20<0， 所以当n=19时，Sn取到最大值，故选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、填空题 10.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a5+a6=2，则S10=　　　.  10 因为{an}为等差数列，所以a1+a10=a5+a6=2，所以S10==10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.已知数列{an}满足a1=1，an+1+an=-3n(n∈N*)，记数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=-192，则n=　　　.  16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵数列{an}满足a1=1，an+1+an=-3n(n∈N*)，∴a2=-4，且an+2+an+1= -3(n+1)，∴an+2-an=-3，∴数列{an}的奇数项是首项为1，公差为-3的等差数列， 偶数项是首项为-4，公差为-3的等差数列， ∴S2n=n+×(-3)-4n+×(-3)=-3n2=-192⇒n=8(负值舍去)， ∴S2n+1=n+1+×(-3)-4n+×(-3)=-3n2-3n+1=-192，此时n无正整数解，∴若Sn=-192，则n=16. 12.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，=，则=　　　.  根据等差数列前n项和公式可知S2n-1=， 再由等差数列性质可得a1+a2n-1=an+an=2an； 所以==== =====9，即=9. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 四、解答题 13.已知{an}是等差数列，其中a1=25，a4=16. (1)求{an}的通项公式； 设等差数列{an}的公差为d， ∵a4=a1+3d，a1=25，a4=16， ∴d=-3， ∴an=25+(-3)×(n-1)=28-3n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求a1+a3+a5+…+a19的值. 由题意可知a1=25，an=28-3n， ∴a1，a3，a5，…，a19是以25为首项，以-6为公差的等差数列， ∴a1+a3+a5+…+a19=10×25+×(-6)=-20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a4=-3，再从条件①和条件②中选择一个作为已知，求： (1)数列{an}的通项公式； 条件①S4=-24；条件②a1=2a3. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若选择条件①： 设等差数列{an}的公差为d，由a4=-3可得a1+3d=-3； 又S4=-24，得4a1+d=-24，即2a1+3d=-12， 解得a1=-9，d=2， 所以an=a1+(n-1)d=-9+2(n-1)=2n-11； 即数列{an}的通项公式为an=2n-11，n∈N*. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若选择条件②： 设等差数列{an}的公差为d，由a4=-3可得a1+3d=-3； 又a1=2a3，即a1=2(a1+2d)，得a1+4d=0； 解得a1=-12，d=3， 所以an=a1+(n-1)d=-12+3(n-1)=3n-15， 即数列{an}的通项公式为an=3n-15，n∈N*. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)Sn的最小值，并求当Sn取得最小值时n的值. 条件①S4=-24；条件②a1=2a3. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 若选择条件①： 由an=2n-11，n∈N*可得，Sn=-9n+×2=n2-10n=(n-5)2-25； 根据二次函数的性质可得当n=5时，Sn=-25为最小值； 即当n=5时，Sn取最小值，且最小值为S5=-25. 若选择条件②： 由an=3n-15，n∈N*可得，Sn=-12n+×3=(n2-9n)=-； 根据二次函数的性质可得当n=4或n=5时，Sn=-30为最小值； 即当n=4或n=5时，Sn取最小值，且最小值为S4=S5=-30. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-7n. (1)求{an}的通项公式； 因为Sn=n2-7n， 所以当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2-7n)-=2n-8， 又因为当n=1时，a1=S1=-6适合上式，所以an=2n-8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求数列{}的前n项和Tn. 因为== ①当1≤n≤4时，an≤0， 所以Tn=++…+=-a1-a2-…-an=-Sn=-n2+7n； ②当n≥5时，an>0， 所以Tn=+++…+=-a1-a2-a3-a4+a5+…+an =Sn-2S4=n2-7n+24. 所以Tn= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第四章 <<< $$