第4章 培优课 数列中的构造问题-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（人教A版2019）

培优课　数列中的构造问题 ［学习目标］　1.掌握利用构造法求数列通项公式的方法.2.会用构造法公式解决一些简单的问题. 一、形如an+1=pan+q的递推关系求通项公式 例1　已知数列｛an｝满足a1=1，an+1=2an+1，求｛an｝的通项公式. 解　∵an+1=2an+1，令an+1+t=2（an+t）， 即an+1=2an+t，∴t=1， 即an+1+1=2（an+1），∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列. ∴an+1=2×2n-1=2n，∴an=2n-1. 反思感悟　形如an+1=pan+q（其中p，q为常数，且pq（p-1）≠0）可用待定系数法求得通项公式，步骤如下 （1）假设递推公式可改写为an+1+t=p（an+t）. （2）由待定系数法，解得t=. （3）写出数列的通项公式. （4）写出数列｛an｝的通项公式. 跟踪训练1　已知数列｛an｝满足an+1=2an+2且a1=1，则（　　） A.｛an｝是等差数列 B.｛an｝是等比数列 C.｛an+1｝是等比数列 D.｛an+2｝是等比数列 答案　D 解析　由an+1=2an+2， 可得an+1+2=2（an+2）， 所以=2， 又由a1=1，得a1+2=3， 所以｛an+2｝是首项为3，公比为2的等比数列， 所以an+2=3×2n-1，an=3×2n-1-2， an+1=3×2n-2， an+1-an=3×2n-2-（3×2n-1-2）=3×2n-1， 所以｛an｝不是等差数列； =不等于常数， 所以｛an｝不是等比数列； =不等于常数， 所以｛an+1｝不是等比数列. 二、形如an=pan-1+pn的递推关系求通项公式 例2　已知数列｛an｝满足an=2an-1+2n（n≥2），且a1=1，求数列｛an｝的通项公式. 解　因为an=2an-1+2n，等式两边同时除以2n，得=+1，即-=1，又=，所以是以为首项，以1为公差的等差数列，即=+（n-1）×1=n-，所以an=×2n. 延伸探究　 1.将本例中“an=2an-1+2n”变为“an=2an-1+2n+1”，其余不变，求数列｛an｝的通项公式. 　　　　　　　　　　　　　　　　 解　等式两边同时除以2n，得=+2，即-=2，又=，所以是以为首项，以2为公差的等差数列，所以=+（n-1）×2=2n-，即an=×2n. 2.将本例中“an=2an-1+2n”变为“an=2an-1+2n-1”，其余不变，求数列｛an｝的通项公式. 解　等式两边同时除以2n，得=+，即-=，又=，所以是以为首项，以为公差的等差数列，所以=+（n-1）×=，即an=n×2n-1. 反思感悟　形如an=pan-1+pn（p≠1）的递推关系求通项公式的一般步骤 （1）等式两边同除以pn，不管这一项是pn-1或pn+1，都同除以pn，为的是数列的下标和p的指数对应起来. （2）写出数列的通项公式. （3）写出数列｛an｝的通项公式. 跟踪训练2　已知数列｛an｝满足=+，且a1=1，求数列｛an｝的通项公式. 解　由题意，等式两边同乘2n， 得=+1，即-=1， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以=2+（n-1）×1=n+1，即an=. 三、形如an+1=pan+qn+1的递推关系求通项公式 例3　已知数列｛an｝中，a1=6，an+1=2an+3n+1，求an. 解　令an+1-A·3n+1=2（an-A·3n）， 则an+1=2an+·3n+1， 由已知，=1，得A=3， 所以an+1-3×3n+1=2（an-3×3n）， 即an+1-3n+2=2（an-3n+1）， 又a1-32=6-9=-3≠0， 所以｛an-3n+1｝是首项为-3，公比为2的等比数列， 于是an-3n+1=-3×2n-1， 故an=3n+1-3×2n-1. 反思感悟　形如an+1=pan+qn+1的递推关系求通项公式的一般步骤类似于形如an+1=pan+q求通项公式的步骤，要注意数列的下标与q的指数的对应关系. 跟踪训练3　已知数列｛an｝满足an+1=3an+2n+1且a1=1，求数列｛an｝的通项公式. 解　令an+1+A·2n+1=3（an+A·2n）， 即an+1=3an+A·2n，故A=2， 所以an+1+2n+2=3（an+2n+1），又a1+22=5≠0， 所以是以5为首项，3为公比的等比数列， 所以an+2n+1=5×3n-1，即an=5×3n-1-2n+1. 1.知识清单： （1）形如an+1=pan+q的递推关系求通项公式. （2）形如an=pan-1+pn的递推关系求通项公式. （3）形如an+1=pan+qn+1的递推关系求通项公式. 2.方法归纳：构造法、转化法. 3.常见误区：构造的新的数列的首项易误认为还是a1. 1.在数列｛an｝中，a1=2，an+1=2an-1，若an>513，则n的最小值是（　　） A.9 B.10 C.11 D.12 答案　C 解析　因为an+1=2an-1， 所以an+1-1=2，即=2， 又a1-1=2-1=1，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列. 则an-1=2n-1，即an=2n-1+1. 因为an>513，所以2n-1+1>513，所以2n-1>512，所以n>10，故n的最小值为11. 2.在数列｛an｝中，a1=1，an+1=2an-2n，则a17等于（　　） A.-15×216 B.15×217 C.-16×216 D.16×217 答案　A 解析　由题意可得=-， 即-=-， 据此可得，数列是首项为=， 公差为-的等差数列， 故=+（17-1）×=-， 所以a17=-15×216. 3.已知数列｛an｝中，a1=1，an+1=，则这个数列的第n项为（　　） A.2n-1 B.2n+1 C. D. 答案　C 解析　∵an+1=，a1=1，∴-=2. ∴为等差数列，公差为2，首项为=1. ∴=1+（n-1）×2=2n-1， ∴an=. 4.若数列｛an｝满足a1=1，且an+1=4an+2n，则a6等于（　　） A.2 016 B.2 018 C.2 020 D.2 022 答案　A 解析　因为an+1=4an+2n， 所以an+1+2n=4， 所以数列是等比数列，首项为2，公比为4， 则an+2n-1=2×4n-1=22n-1， 可得an=22n-1-2n-1， 则a6=22×6-1-26-1=211-25=2 016. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.已知数列｛an｝满足关系：a1=1，当n≥2时，2an-an-1+1=0，则a5等于（　　） A.31 B.15 C.- D.- 答案　C 解析　因为当n≥2时，2an-an-1+1=0，则an=an-1-，所以an+1=，且a1+1=2，所以是以2为首项，为公比的等比数列，所以an+1=2×，即an=-1，所以a5=-1=-. 2.数列｛an｝满足an+1=λan-1（n∈N*，λ∈R且λ≠0），若数列｛an-1｝是等比数列，则λ的值为（　　） A.1 B.-1 C. D.2 答案　D 解析　由an+1=λan-1，得an+1-1=λan-2=λ. ∵数列｛an-1｝是等比数列， ∴=1，λ=2. 3.已知数列｛an｝的首项为a1=1，且满足an+1=an+，则此数列的通项公式an等于（　　） A.2n B.n（n+1） C. D. 答案　C 解析　∵an+1=an+， ∴2n+1an+1=2nan+2， 即2n+1an+1-2nan=2. 又21a1=2， ∴数列｛2nan｝是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴2nan=2+（n-1）×2=2n， ∴an=. 4.已知数列｛an｝满足a1=1，an+1=.若bn=log2，则数列的通项公式bn等于（　　） A.n B.n-1 C.n D.2n 答案　C 解析　由an+1=，得=1+， 所以+1=2， 又+1=2，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以+1=2×2n-1=2n， 所以bn=log2=log22n=n. 5.已知数列｛an｝满足an+1=2an+3，n∈N*，若a2 024≥a1，则a1的取值范围为（　　） A.（-∞，-3］ B.（-∞，-3） C.（-3，+∞） D.［-3，+∞） 答案　D 解析　由an+1=2an+3可得an+1+3=2， 当a1=-3时，an=-3，满足题意； 当a1≠-3时，=2， 所以数列｛an+3｝是首项为a1+3，公比为2的等比数列， 所以an+3=×2n-1， 所以an=×2n-1-3， 所以a2 024=×22 023-3≥a1， 所以×22 023≥a1+3， 所以a1+3≥0，所以a1≥-3. 6.已知数列｛an｝（n∈N*）的首项为1，又=-，其中点O在直线l外，其余三点A，B，C均在l上，那么数列｛an｝的通项公式是（　　） A.an=2n+1 B.an=2n-1 C.an=2n-1 D.an=2n+1 答案　C 解析　因为=-，所以=+， 又因为点O在直线l外，A，B，C三点均在l上， 故2an-an+1+1+1=1，即an+1=2an+1， 所以an+1+1=2（an+1），即数列｛an+1｝是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列， 故an+1=2n，则an=2n-1. 7.（5分）已知数列｛an｝的前n项和为Sn，若2Sn=3an-2n（n∈N*），则数列｛an｝的通项公式为　　. 答案　an=3n-1 解析　令n=1，得2a1=3a1-2，解得a1=2； 当n≥2时，由2Sn=3an-2n（n∈N*），得2Sn-1=3an-1-2（n-1）， 两式相减得2an=3an-3an-1-2， 即an=3an-1+2， 整理得=3， 所以数列｛an+1｝是首项为a1+1=3，公比为3的等比数列， 所以an+1=3n，所以an=3n-1. 8.（5分）已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=an+1-3，若Sk≥125，则k的最小值为　　　　.  答案　6 解析　由Sn=an+1-3=Sn+1-Sn-3， 得Sn+1+3=2（Sn+3）， 又S1=a1=1，所以S1+3=4， 所以｛Sn+3｝是首项为4，公比为2的等比数列， 所以Sn+3=4×2n-1=2n+1，Sn=2n+1-3， 所以Sk=2k+1-3≥125，解得k≥6. 所以k的最小值为6. 9.（10分）已知数列｛an｝满足a1=，an+1=3an-4n+2（n∈N*）. （1）求a2，a3的值；（4分） （2）证明数列｛an-2n｝是等比数列，并求出数列｛an｝的通项公式.（6分） 解　（1）由已知得a2=3a1-4+2=3×-4+2=5， a3=3a2-4×2+2=3×5-8+2=9. （2）∵an+1=3an-4n+2， ∴an+1-2n-2=3an-6n， 即an+1-2（n+1）=3（an-2n）. 由（1）知a1-2=-2=， ∴an-2n≠0，n∈N*. ∴=3， ∴数列｛an-2n｝是首项为，公比为3的等比数列. ∴an-2n=×3n-1=3n-2， ∴an=3n-2+2n. 10.（12分）某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出200万元进行科研技术发行与广告投资方能保持原有的利润率，并将其余资金全部作为该项目次年的项目资金.问经过多少年后，该项目的项目资金可以达到或超过翻两番（4倍）的目标？（取lg 2≈0.301） 解　设经过n年后，该项目逐年的项目资金数为an，n∈N*. 则由已知得an+1=an-200， 即an+1=an-200. 令an+1-x=，即an+1=an-， 由=200，得x=800. ∴an+1-800=. ∵a1=1 000×-200=1 050， ∴a1-800=250， 故数列是以250为首项，为公比的等比数列. ∴an-800=250×， ∴an=800+250×（n∈N*）. 由题意知an≥4 000， ∴800+250×≥4 000，即≥16. 两边取常用对数得nlg≥lg 16， 即n≥4lg 2. ∵lg 2≈0.301， ∴n≥12.4. 故经过13年后，该项目的项目资金可以达到或超过翻两番的目标. 11.已知在数列｛an｝中，a1=，an+1=an+，则an等于（　　） A.- B.- C.- D.- 答案　A 解析　因为a1=，an+1=an+，所以2n+1an+1=×2nan+1，整理得2n+1an+1-3=（2nan-3），所以数列｛2nan-3｝是以2a1-3=-为首项，为公比的等比数列，所以2nan-3=-，解得an=-. 12.已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且a1=2，Sn+1=4an+2，则a12等于（　　） A.20 480 B.49 152 C.60 152 D.89 150 答案　B 解析　由题意得S2=4a1+2，所以a1+a2=4a1+2，解得a2=8，故a2-2a1=4，又an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1-4an，于是an+2-2an+1=2（an+1-2an），因此数列｛an+1-2an｝是以a2-2a1=4为首项，2为公比的等比数列，即an+1-2an=4×2n-1=2n+1，于是-=1，因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列，得=1+（n-1）×1=n，即an=n·2n.所以a12=12×212=49 152. 13.定义：若=q（n∈N*，q为非零常数），则称｛an｝为“差等比数列”，已知在“差等比数列”｛an｝中，a1=1，a2=2，a3=4，则a2 024-a2 023的值是（　　） A.22 024 B.22 023 C.22 022 D.22 021 答案　C 解析　在“差等比数列”｛an｝中，a1=1，a2=2，a3=4， 可得=2，a2-a1=1， 即数列｛an+1-an｝是首项为1，公比为2的等比数列， 可得an+1-an=2n-1，则a2 024-a2 023=22 022. 14.（5分）已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足2Sn+an=3，则=　　　　.  答案　364 解析　∵2Sn+an=2Sn+=3， ∴Sn-=（n≥2），而当n=1时，2a1+a1=3，即a1=1，则S1-=-， ∴数列是以-为首项，为公比的等比数列， ∴Sn=-·，即有S6=-，而a6=3-2S6=， ∴==×=364. 15.（多选）设首项为1的数列｛an｝的前n项和为Sn，已知Sn+1=2Sn+n-1，则下列结论正确的是（　　） A.数列｛Sn+n｝为等比数列 B.数列｛an｝的通项公式为an=2n-1-1 C.数列｛an+1｝为等比数列 D.数列｛Sn+1-Sn+1｝为等比数列 答案　AD 解析　因为Sn+1=2Sn+n-1， 所以==2. 又S1+1=2，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确； 所以Sn+n=2n，则Sn=2n-n. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1-1，但a1≠21-1-1，故B错误； 由a1=1，a2=1，a3=3可得a1+1=2，a2+1=2，a3+1=4，即≠，故C错误； 由Sn=2n-n，所以Sn+1-Sn+1=2n+1-n-1-2n+n+1=2n，故D正确. 16.（12分）已知数列｛an｝和｛bn｝满足a1=2，an+bn-1=3. （1）若an=bn，求｛an｝的通项公式；（6分） （2）若b1=0，an-1+bn=1，证明｛an｝为等差数列，并求｛an｝和｛bn｝的通项公式.（6分） 解　（1）当an=bn，n≥2时，an-1=bn-1， 所以an+bn-1=3，即an=-an-1+3， 整理得an-=-， 所以是以a1-=为首项，-1为公比的等比数列. 故an-=×（-1）n-1， 即an=+×（-1）n-1. （2）当n≥2时，由an+bn-1=3，得an+1+bn=3， 又an-1+bn=1， 所以an+1-an-1=2. 因为b1=0，所以a2=3， 则是以a1=2为首项，2为公差的等差数列，a2k-1=2+×2=2k，k∈N*； 是以a2=3为首项，2为公差的等差数列，a2k=3+×2=2k+1，k∈N*. 综上所述，an=n+1. 所以an-an-1=-n=1，n≥2， 故｛an｝是以2为首项，1为公差的等差数列. 当n≥2时，bn=1-an-1=1-n，且b1=0满足bn=1-n， 所以bn=1-n. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优课 第四章 <<< 数列中的构造问题 1.掌握利用构造法求数列通项公式的方法. 2.会用构造法公式解决一些简单的问题. 学习目标 一、形如an+1=pan+q的递推关系求通项公式 二、形如an=pan-1+pn的递推关系求通项公式 课时对点练 三、形如an+1=pan+qn+1的递推关系求通项公式 随堂演练 内容索引 一 形如an+1=pan+q的递推关系求通项公式 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求{an}的通项公式. 例 1 ∵an+1=2an+1，令an+1+t=2(an+t)， 即an+1=2an+t，∴t=1， 即an+1+1=2(an+1)，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列. ∴an+1=2×2n-1=2n，∴an=2n-1. 5 反 思 感 悟 形如an+1=pan+q(其中p，q为常数，且pq(p-1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下 (1)假设递推公式可改写为an+1+t=p(an+t). (2)由待定系数法，解得t=. (3)写出数列的通项公式. (4)写出数列{an}的通项公式. 已知数列{an}满足an+1=2an+2且a1=1，则 A.{an}是等差数列 B.{an}是等比数列 C.{an+1}是等比数列 D.{an+2}是等比数列 跟踪训练 1 √ 7 由an+1=2an+2， 可得an+1+2=2(an+2)， 所以=2， 又由a1=1，得a1+2=3， 所以{an+2}是首项为3，公比为2的等比数列， 所以an+2=3×2n-1，an=3×2n-1-2，an+1=3×2n-2， an+1-an=3×2n-2-(3×2n-1-2)=3×2n-1， 所以{an}不是等差数列； 8 =不等于常数， 所以{an}不是等比数列； =不等于常数， 所以{an+1}不是等比数列. 9 二 形如an=pan-1+pn的递推关系求通项公式 已知数列{an}满足an=2an-1+2n(n≥2)，且a1=1，求数列{an}的通项公式. 例 2 因为an=2an-1+2n，等式两边同时除以2n，得=+1，即-=1， 又=为首项，以1为公差的等差数列， 即=+(n-1)×1=n-，所以an=×2n. 11 1.将本例中“an=2an-1+2n”变为“an=2an-1+2n+1”，其余不变，求数列{an}的通项公式. 延伸探究 等式两边同时除以2n，得=+2，即-=2， 又=为首项，以2为公差的等差数列， 所以=+(n-1)×2=2n-，即an=×2n. 12 2.将本例中“an=2an-1+2n”变为“an=2an-1+2n-1”，其余不变，求数列{an}的通项公式. 等式两边同时除以2n，得=+-= = =+(n-1)×=，即an=n×2n-1. 13 反 思 感 悟 形如an=pan-1+pn(p≠1)的递推关系求通项公式的一般步骤 (1)等式两边同除以pn，不管这一项是pn-1或pn+1，都同除以pn，为的是数列的下标和p的指数对应起来. (2)写出数列的通项公式. (3)写出数列{an}的通项公式. 已知数列{an}满足=+，且a1=1，求数列{an}的通项公式. 跟踪训练 2 由题意，等式两边同乘2n， 得=+1，即-=1， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以=2+(n-1)×1=n+1，即an=. 15 三 形如an+1=pan+qn+1的递推关系求通项公式 已知数列{an}中，a1=6，an+1=2an+3n+1，求an. 例 3 令an+1-A·3n+1=2(an-A·3n)，则an+1=2an+·3n+1， 由已知，=1，得A=3，所以an+1-3×3n+1=2(an-3×3n)， 即an+1-3n+2=2(an-3n+1)，又a1-32=6-9=-3≠0， 所以{an-3n+1}是首项为-3，公比为2的等比数列， 于是an-3n+1=-3×2n-1， 故an=3n+1-3×2n-1. 反 思 感 悟 形如an+1=pan+qn+1的递推关系求通项公式的一般步骤类似于形如an+1=pan+q求通项公式的步骤，要注意数列的下标与q的指数的对应关系. 已知数列{an}满足an+1=3an+2n+1且a1=1，求数列{an}的通项公式. 跟踪训练 3 令an+1+A·2n+1=3(an+A·2n)， 即an+1=3an+A·2n，故A=2， 所以an+1+2n+2=3(an+2n+1)，又a1+22=5≠0， 所以是以5为首项，3为公比的等比数列， 所以an+2n+1=5×3n-1，即an=5×3n-1-2n+1. 1.知识清单： (1)形如an+1=pan+q的递推关系求通项公式. (2)形如an=pan-1+pn的递推关系求通项公式. (3)形如an+1=pan+qn+1的递推关系求通项公式. 2.方法归纳：构造法、转化法. 3.常见误区：构造的新的数列的首项易误认为还是a1. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在数列{an}中，a1=2，an+1=2an-1，若an>513，则n的最小值是 A.9 B.10 C.11 D.12 √ 1 2 3 4 因为an+1=2an-1， 所以an+1-1=2=2， 又a1-1=2-1=1，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列. 则an-1=2n-1，即an=2n-1+1. 因为an>513，所以2n-1+1>513，所以2n-1>512，所以n>10，故n的最小值为11. 2.在数列{an}中，a1=1，an+1=2an-2n，则a17等于 A.-15×216 B.15×217 C.-16×216 D.16×217 1 2 3 4 √ 由题意可得=-， 即-=-， 据此可得，数列=， 公差为-的等差数列， 故=+(17-1)×=-， 所以a17=-15×216. 1 2 3 4 3.已知数列{an}中，a1=1，an+1=，则这个数列的第n项为 A.2n-1 B.2n+1 C. D. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 ∵an+1=，a1=1，∴-=2. ∴为等差数列，公差为2，首项为=1. ∴=1+(n-1)×2=2n-1， ∴an=. 4.若数列{an}满足a1=1，且an+1=4an+2n，则a6等于 A.2 016　　　B.2 018　　　C.2 020　　　D.2 022 因为an+1=4an+2n，所以an+1+2n=4， 所以数列是等比数列，首项为2，公比为4， 则an+2n-1=2×4n-1=22n-1， 可得an=22n-1-2n-1， 则a6=22×6-1-26-1=211-25=2 016. 1 2 3 4 √ 课时对点练 五 基础巩固 1.已知数列{an}满足关系：a1=1，当n≥2时，2an-an-1+1=0，则a5等于 A.31　　　B.15　　　C.-　　　D.- √ 因为当n≥2时，2an-an-1+1=0，则an=an-1-，所以an+1=，且a1+1=2，所以是以2为首项，为公比的等比数列， 所以an+1=2×，即an=-1，所以a5=-1=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.数列{an}满足an+1=λan-1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{an-1}是等比数列，则λ的值为 A.1　　　B.-1　　　C.　　　D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由an+1=λan-1，得an+1-1=λan-2=λ. ∵数列{an-1}是等比数列， ∴=1，λ=2. 3.已知数列{an}的首项为a1=1，且满足an+1=an+，则此数列的通项公式an等于 A.2n B.n(n+1) C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an+1=an+， ∴2n+1an+1=2nan+2， 即2n+1an+1-2nan=2. 又21a1=2， ∴数列{2nan}是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴2nan=2+(n-1)×2=2n， ∴an=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知数列{an}满足a1=1，an+1=.若bn=log2，则数列的通项公式bn等于 A.n B.n-1 C.n D.2n √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由an+1==1+， 所以+1=2， 又+1=2，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以+1=2×2n-1=2n， 所以bn=log2=log22n=n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知数列{an}满足an+1=2an+3，n∈N*，若a2 024≥a1，则a1的取值范围为 A.(-∞，-3] B.(-∞，-3) C.(-3，+∞) D.[-3，+∞) √ 由an+1=2an+3可得an+1+3=2，当a1=-3时，an=-3，满足题意； 当a1≠-3时，=2， 所以数列{an+3}是首项为a1+3，公比为2的等比数列， 所以an+3=×2n-1，所以an=×2n-1-3， 所以a2 024=×22 023-3≥a1， 所以×22 023≥a1+3， 所以a1+3≥0，所以a1≥-3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知数列{an}(n∈N*)的首项为1，又=-，其中点O在直线l外，其余三点A，B，C均在l上，那么数列{an}的通项公式是 A.an=2n+1 B.an=2n-1 C.an=2n-1 D.an=2n+1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为=-=+， 又因为点O在直线l外，A，B，C三点均在l上， 故2an-an+1+1+1=1，即an+1=2an+1， 所以an+1+1=2(an+1)，即数列{an+1}是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列， 故an+1=2n，则an=2n-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn=3an-2n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为　　　　. an=3n-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令n=1，得2a1=3a1-2，解得a1=2； 当n≥2时，由2Sn=3an-2n(n∈N*)，得2Sn-1=3an-1-2(n-1)， 两式相减得2an=3an-3an-1-2， 即an=3an-1+2， 整理得=3， 所以数列{an+1}是首项为a1+1=3，公比为3的等比数列， 所以an+1=3n，所以an=3n-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=an+1-3，若Sk≥125，则k的最小值为　　　.  6 由Sn=an+1-3=Sn+1-Sn-3，得Sn+1+3=2(Sn+3)， 又S1=a1=1，所以S1+3=4， 所以{Sn+3}是首项为4，公比为2的等比数列， 所以Sn+3=4×2n-1=2n+1，Sn=2n+1-3， 所以Sk=2k+1-3≥125，解得k≥6. 所以k的最小值为6. 9.已知数列{an}满足a1=，an+1=3an-4n+2(n∈N*). (1)求a2，a3的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得a2=3a1-4+2=3×-4+2=5， a3=3a2-4×2+2=3×5-8+2=9. (2)证明数列{an-2n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an+1=3an-4n+2，∴an+1-2n-2=3an-6n， 即an+1-2(n+1)=3(an-2n). 由(1)知a1-2=-2=，∴an-2n≠0，n∈N*. ∴=3，∴数列{an-2n}是首项为，公比为3的等比数列. ∴an-2n=×3n-1=3n-2，∴an=3n-2+2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出200万元进行科研技术发行与广告投资方能保持原有的利润率，并将其余资金全部作为该项目次年的项目资金.问经过多少年后，该项目的项目资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg 2≈0.301) 设经过n年后，该项目逐年的项目资金数为an，n∈N*. 则由已知得an+1=an-200， 即an+1=an-200. 令an+1-x=，即an+1=an-， 由=200，得x=800. ∴an+1-800=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a1=1 000×-200=1 050，∴a1-800=250， 故数列是以250为首项，为公比的等比数列. ∴an-800=250×， ∴an=800+250×(n∈N*). 由题意知an≥4 000， ∴800+250×≥4 000，即≥16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 两边取常用对数得nlg ≥lg 16， 即n≥4lg 2. ∵lg 2≈0.301， ∴n≥12.4. 故经过13年后，该项目的项目资金可以达到或超过翻两番的目标. 11.已知在数列{an}中，a1=，an+1=an+，则an等于 A.- B.- C.- D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a1=，an+1=an+，所以2n+1an+1=×2nan+1，整理得2n+1an+1-3=(2nan-3)，所以数列{2nan-3}是以2a1-3=-为公比的等比数列，所以2nan-3=-，解得an=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，Sn+1=4an+2，则a12等于 A.20 480 B.49 152 C.60 152 D.89 150 √ 由题意得S2=4a1+2，所以a1+a2=4a1+2，解得a2=8，故a2-2a1=4， 又an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1-4an，于是an+2-2an+1=2(an+1-2an)， 因此数列{an+1-2an}是以a2-2a1=4为首项，2为公比的等比数列， 即an+1-2an=4×2n-1=2n+1，于是-=1， 因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 得=1+(n-1)×1=n，即an=n·2n. 所以a12=12×212=49 152. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.定义：若=q(n∈N*，q为非零常数)，则称{an}为“差等比数列”，已知在“差等比数列”{an}中，a1=1，a2=2，a3=4，则a2 024-a2 023的值是 A.22 024 B.22 023 C.22 022 D.22 021 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在“差等比数列”{an}中，a1=1，a2=2，a3=4， 可得=2，a2-a1=1， 即数列{an+1-an}是首项为1，公比为2的等比数列， 可得an+1-an=2n-1，则a2 024-a2 023=22 022. 14.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn+an=3，则=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 364 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵2Sn+an=2Sn+=3， ∴Sn-=(n≥2)，而当n=1时，2a1+a1=3，即a1=1，则S1-=-， ∴数列是以-为公比的等比数列， ∴Sn=-·，即有S6=-，而a6=3-2S6=， ∴==×=364. 15.(多选)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+1=2Sn+n-1，则下列结论正确的是 A.数列{Sn+n}为等比数列 B.数列{an}的通项公式为an=2n-1-1 C.数列{an+1}为等比数列 D.数列{Sn+1-Sn+1}为等比数列 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 因为Sn+1=2Sn+n-1，所以==2. 又S1+1=2，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确； 所以Sn+n=2n，则Sn=2n-n. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1-1，但a1≠21-1-1，故B错误； 由a1=1，a2=1，a3=3可得a1+1=2，a2+1=2，a3+1=4，即≠，故C错误； 由Sn=2n-n，所以Sn+1-Sn+1=2n+1-n-1-2n+n+1=2n，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知数列{an}和{bn}满足a1=2，an+bn-1=3. (1)若an=bn，求{an}的通项公式； 当an=bn，n≥2时，an-1=bn-1，所以an+bn-1=3，即an=-an-1+3， 整理得an-=-， 所以是以a1-=为首项，-1为公比的等比数列. 故an-=×(-1)n-1，即an=+×(-1)n-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若b1=0，an-1+bn=1，证明{an}为等差数列，并求{an}和{bn}的通项公式. 当n≥2时，由an+bn-1=3，得an+1+bn=3， 又an-1+bn=1，所以an+1-an-1=2. 因为b1=0，所以a2=3， 则是以a1=2为首项，2为公差的等差数列，a2k-1=2+×2= 2k，k∈N*； 是以a2=3为首项，2为公差的等差数列，a2k=3+×2=2k+1，k∈N*. 综上所述，an=n+1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以an-an-1=-n=1，n≥2， 故{an}是以2为首项，1为公差的等差数列. 当n≥2时，bn=1-an-1=1-n，且b1=0满足bn=1-n， 所以bn=1-n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第四章 <<< $$