5.1.1变化率 课件学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第二册

勤奋可以造假，但结果不会， 5.1.1变化率问题——导学案答案解析 一、目标任务： 课标要求： 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程 2.体会极限思想. 素养要求：根据具体的实例计算平均变化率和瞬时变化率，并得到二者的关系，借此发展学 生的数学抽象与数学运算素养。 二、课前准备： 1.单调性：函数的单调性（monotonicity）也可以叫做函数的增减性。当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f(x)也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。 2.平均速度公式： 3.斜率：k= 4.自主阅读教材第59页——60页，明确下面问题： （1） 为什么平均速度不能反应运动员在某一时间段的运动状态？ 我们发现，运动员在0≤t≤4/7这段时间里的平均速度为0，在这段时间内，运动员并不处于静止状态，因此用平均速度就不能准确反应运动员某一时间段的运动状态. （2） 什么是瞬时速度？ 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 三、新课探究 探究一： 1. 瞬时速度和平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗？ 设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越接近运动员在时刻的瞬时速度. 2.给出∆t更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度的值。当∆t无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势 由平均速度公式可得，=−4.9∆t−7， 当∆t无限趋近于0时，−4.9∆t也无限趋近于0， 所以，无限趋近于-7，即为运动员在t=1s时的瞬时速度 归纳： 数学中，我们把-7叫做“当∆t无限趋近于0时，的极限”， 记为： =-7 . 从物理的角度来看，当时间间隔|∆t|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t=1时的瞬时速度.因此，运动员在t=1s时的瞬时速度 -7m/s . 讲练结合： 1. 求运动员在t=0.5s时的瞬时速度 答案：-2.1m/s 2. 如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻的瞬时速度？ 答案：(-9.8+2.8）m∕s 思考：你能否快速算出跳水运动员在t=1.5s时的瞬时速度？t=2s呢？ 答案：t=1.5s时的瞬时速度：-9.8×1.5+2.8=-11.9m∕s t=2s时的瞬时速度：-9.8×2+2.8=−16.8m∕s 探究二： 阅读教材第62页——第64页回答下面问题: 1. 你认为应该如何定义抛物线f(x)=在点（1，1）处的切线？ 当点P无限趋近于点时，割线P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的 直线T称为抛物线f(x)=x^2在点（1，1）处的切线 2. 我们知道，斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线f(x)=在点（1，1）处的 切线T的斜率k呢？ 割线P_0P的斜率： 切线P_0T的斜率： 3.说一说探究一问题中的平均速度和瞬时速度在其图像上的几何意义是什么？ 平均速度：割线的斜率 瞬时速度：切线的斜率 讲练结合： 1.你认为应该如何定义抛物线f(x)=在点（，）处的切线斜率？ 2.求抛物线f(x)=在点（−1，1）处的切线的斜率？ 答案：k=2×（-1）=-2 四、小结： 1. 说一说如何求物体的瞬时速度. 2.说一说如何求曲线在某点处的斜率. 3.说一说本节课你还有哪里理解的不好. 五、当堂检测 1.火箭发射ts后，其高度（单位：m）为h(t)=-0.9求： （1）.在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度； （2）.发射后第10s时，火箭爬高的瞬时速度. 答案：（1）2.7m∕s；（2）18m∕s 2.一个小球从5m的高处自由下落，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y（t）=−4.9.求t=1s时小球的瞬时速度. 答案：-9.8m∕s 3.求抛物线f(x)=+1在点（0，1）处的切线方程. 答案：y-1=0 学科网（北京）股份有限公司最小的差距是智商，最大的差距是坚持！ 学科网（北京）股份有限公司 $$勤奋可以造假，但结果不会， 5.1.1变化率问题——导学案 一、目标任务： 课标要求： 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程 2.体会极限思想. 素养要求：根据具体的实例计算平均变化率和瞬时变化率，并得到二者的关系，借此发展学 生的数学抽象与数学运算素养。 二、课前准备： 1.单调性： 2.平均速度公式： 3.斜率： 4.自主阅读教材第59页——60页，明确下面问题： （1） 为什么平均速度不能反应运动员在某一时间段的运动状态？ （2） 什么是瞬时速度？ 三、新课探究 探究一： 1. 瞬时速度和平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗？ 2.给出∆t更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度的值。当∆t无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势 归纳： 数学中，我们把-7叫做“当∆t无限趋近于0时，的极限， 记为： . 从物理的角度来看，当时间间隔|∆t|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t=1时的瞬时速度.因此，运动员在t=1s时的瞬时速度 . 讲练结合： 1. 求运动员在t=0.5s时的瞬时速度 2. 如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻的瞬时速度？ 思考：你能否快速算出跳水运动员在t=1.5s时的瞬时速度？t=2s呢？ 探究二： 阅读教材第62页——第64页回答下面问题: 1. 你认为应该如何定义抛物线f(x)=在点（1，1）处的切线？ 2. 我们知道，斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线f(x)=在点（1，1）处的 切线T的斜率k呢？ 3.说一说探究一问题中的平均速度和瞬时速度在其图像上的几何意义是什么？ 讲练结合： 1.你认为应该如何定义抛物线f(x)=在点（，）处的切线斜率？ 2.求抛物线f(x)=在点（−1，1）处的切线的斜率？ 四、小结： 1. 说一说如何求物体的瞬时速度. 2.说一说如何求曲线在某点处的斜率. 3.说一说本节课你还有哪里理解的不好. 五、当堂检测 1.火箭发射ts后，其高度（单位：m）为h(t)=-0.9求： （1）.在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度； （2）.发射后第10s时，火箭爬高的瞬时速度. 2.一个小球从5m的高处自由下落，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y（t）=−4.9.求t=1s时小球的瞬时速度. 3.求抛物线f(x)=+1在点（0，1）处的切线方程. 学科网（北京）股份有限公司最小的差距是智商，最大的差距是坚持！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 变化率问题 第五章 一元函数的导数及其应用 5.1导数的概念及其意义 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨，1646年7月1日出生在罗马帝国莱比锡，他是德国数学家，物理学家，哲学家，被誉为十七世纪的亚里士多德。 艾萨克·牛顿（Isaac Newton，1643年1月4日－1727年3月31日），爵士，生于英格兰林肯郡伍尔索普村，英国数学家、物理学家、哲学家。 务 标 目 1 任 课标要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程 2.体会极限思想. 素养要求 根据具体的实例计算平均变化率和瞬时变化率，并得到二者的关系，借此发展学生的数学抽象与数学运算素养。 用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想 学 体 个 2 自 自 学 清 单 1.知识准备： 2.自主阅读教材第59页——60页，明确下面问题： （1）为什么平均速度不能反应运动员在某一时间段的运动状态？ （2）什么是瞬时速度？ 单调性： 平均速度公式： 斜率： 用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想 学 体 个 3 自 自 学 汇 报 1.知识准备： 单调性：函数的单调性（monotonicity）也可以叫做函数的增减性。当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f(x)也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。 平均速度公式：= 斜率：k=tan= 用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想 学 体 个 4 自 自 学 汇 报 2.自主阅读教材第59页——60页，明确下面问题： （1）为什么平均速度不能准确反应运动员在某一时间段的运动状态？ （2）什么是瞬时速度？ 用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想 我们发现，运动员在这段时间里的平均速度为0，在这段时间内，运动员并不处于静止状态，因此用平均速度就不能准确反应运动员某一时间段的运动状态. 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 流 动 互 5 交 探 究 一 1.瞬时速度和平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗？ 提示：阅读教材第60页——第61页可以找到答案。 2.给出无限趋近于0时，平均速度什么变化趋势 用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想 报 示 展 6 汇 1.瞬时速度和平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗？ 瞬时速度和平均速度的关系： 设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越接近运动员在的瞬时速度. 运动员在t=1s时的瞬时速度： ， 当也无限趋近于0， 所以，无限趋近于-7，即为运动员在t=1s时的瞬时速度 用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想 升 结 总 7 提 数学中，我们把-7叫做“当的极限”，记为： =-7 从物理的角度来看，当时间间隔无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t=1时的瞬时速度.因此，运动员在t=1s时的瞬时速度v（1）=-7 极限的定义 用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想 合 练 讲 8 结 1.求运动员在t=0.5s时的瞬时速度 用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想 =（-4.9）=-2.1 2.如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻的瞬时速度？ =-4.9 =-9.8 思考：你能否快速算出跳水运动员在t=1.5s时的瞬时速度？t=2s呢？ t=1.5s时的瞬时速度：-9.8=-11.9 t=2s时的瞬时速度：-9.8 流 动 互 9 交 用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想 探 究 二 1.你认为应该如何定义抛物线f(x)= 2.我们知道，斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线f(x)= 阅读教材第62页——第64页回答下面问题: 3.说一说探究一问题中的平均速度和瞬时速度在其图像上的几何意义是什么？ 报 示 展 10 汇 用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想 探 究 二 1.你认为应该如何定义抛物线f(x)= 2.我们知道，斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线f(x)= 当点P无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线称为抛物线f(x)= 割线的斜率： k== 切线的斜率： k==2 3.说一说探究一问题中的平均速度和瞬时速度在其图像上的几何意义是什么？ 平均速度：割线的斜率 瞬时速度：切线的斜率 合 练 讲 11 结 用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想 1.你认为应该如何定义抛物线f(x)= 2.求抛物线f(x)= k==2 k=2×（-1）=-2 升 结 小 12 提 用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想 小 结 1.说一说如何求物体的瞬时速度. 2.说一说如何求曲线在某点处的斜率. 3.说一说本节课你还有哪里理解的不好. 测 堂 当 13 检 用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想 1.火箭发射ts后，其高度（单位：m）为h(t)=-0.9求： （1）.在1这段时间里，火箭爬高的平均速度； （2）.发射后第10s时，火箭爬高的瞬时速度. 答案：（1）2.7；（2）18. 测 堂 当 14 检 用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想 2.一个小球从5m的高处自由下落，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y（t）=. 求t=1s时小球的瞬时速度. 答案：-9.8 测 堂 当 15 检 用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想 3.求抛物线f()= 答案：y-1=0 业 后 课 16 作 用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想 作 业 三维随堂精练： 第85页例题2、训练2、例题3、训练3. 路虽远，行则将至！ THANKS 制作者：张东旭 日期：2024.01.04 $$