第四章 培优课 数列中的构造问题-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案课件PPT（人教A版）

第四章　数列 4.3　等比数列 培优课　数列中的构造问题 目录 课后课时精练 类型一　　形如an＋1＝pan＋q(p，q≠0，p≠1) 在数列{an}中，an＋1＝2an＋1，且a1＝1，求数列{an}的通项公式． 核心素养形成 3 【感悟提升】　 核心素养形成 4 【跟踪训练】 1．已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝4an－6，则an＝(　　) A．22n＋1＋2 B．22n＋1－2 C．22n－1＋2 D．22n－1－2 解析：∵an＋1＝4an－6，∴an＋1－2＝4(an－2)，又a1－2＝2≠0，∴数列{an－2}是以2为首项，4为公比的等比数列，∴an－2＝2×4n－1，∴an＝22n－1＋2.故选C. 核心素养形成 5 核心素养形成 6 【感悟提升】　 核心素养形成 7 核心素养形成 8 核心素养形成 9 核心素养形成 10 【感悟提升】　 核心素养形成 11 【跟踪训练】 3．已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2n＋1，且a1＝1，求数列{an}的通项公式． 解:　令an＋1＋A·2n＋1＝3(an＋A·2n)， 即an＋1＝3an＋A·2n，故A＝2， 所以an＋1＋2n＋2＝3(an＋2n＋1)， 又a1＋22＝5≠0， 所以{an＋2n＋1}是以5为首项，3为公比的等比数列， 所以an＋2n＋1＝5×3n－1， 所以an＝5×3n－1－2n＋1. 核心素养形成 12 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比20%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 形如an＋1＝pan＋q的递推关系求参数 an＋1＝pan＋q的变形关系求数列中的项的比值 形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求数列的通项公式 an＋1＝pan＋q的变形关系求数列中的项 an＋1＝pan＋q的变形关系求参数 形如an＋1＝pan＋q的递推关系的综合应用 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★★ ★ ★★ ★★★ ★★★ ★★★ 对点 形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系的综合应用 an＋1＝pan＋q的变形关系的综合应用 形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求数列的通项公式 形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求数列的通项公式 an＋1＝pan＋qn＋1的变形关系求数列的通项公式 an＋1＝pan＋q的变形关系的综合应用 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 6．已知数列{an}满足an＋1＝4an－12n＋4，且a1＝4，若ak＝2028，则k＝(　　) A．253 B．507 C．1014 D．2028 解析：因为an＋1＝4an－12n＋4，所以an＋1－4(n＋1)＝4(an－4n)，因为a1＝4，所以a1－4×1＝0，故{an－4n}为常数列，且an－4n＝0，所以an＝4n.由ak＝4k＝2028，解得k＝507.故选B. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 22 8．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝4an＋3n，则(　　) A．{an}是正项数列 B．{an}是递增数列 C.是等差数列 D．a10＝220－310 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 24 解析：因为an＋1＝3an＋4，设an＋1＋t＝3(an＋t)，即an＋1＝3an＋2t，则2t＝4，解得t＝2，故an＋1＋2＝3(an＋2)，又a1＋2＝3≠0，所以{an＋2}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＋2＝3×3n－1＝3n，即an＝3n－2. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 n·2n 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 四、解答题 13．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＋an＝3×2n，求{an}的通项公式． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 28 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 29 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 30 　　　　　　　　　　　　　 R 解　由an＋1＝2an＋1， 设an＋1＋t＝2(an＋t)，∴an＋1＝2an＋t， ∴t＝1，即an＋1＋1＝2(an＋1)， 又a1＋1＝2≠0， ∴{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴an＋1＝2×2n－1，∴an＝2n－1. 形如an＋1＝pan＋q(p，q≠0，p≠1)的递推关系求通项公式的一般步骤 (1)将递推关系改写为an＋1＋t＝p(an＋t)； (2)由待定系数法，解得t＝eq \f(q,p－1)； (3)写出数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(q,p－1)))的通项公式； (4)写出数列{an}的通项公式． 类型二　形如an＋1＝eq \f(ran,pan＋q)(p，q，r≠0) 　已知数列{an}中，a1＝eq \f(3,5)，an＋1＝eq \f(an,2an＋1)，求数列{an}的通项公式． 解　由题意，可得eq \f(1,an＋1)＝eq \f(2an＋1,an)＝eq \f(1,an)＋2， 又eq \f(1,a1)＝eq \f(5,3)，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项为eq \f(5,3)，公差为2的等差数列，所以eq \f(1,an)＝eq \f(5,3)＋2(n－1)＝eq \f(6n－1,3)， 所以数列{an}的通项公式为an＝eq \f(3,6n－1). 一般地，形如an＋1＝eq \f(ran,pan＋q)(p，q，r≠0)的递推关系，先将等式两边同时取倒数变形得eq \f(1,an＋1)＝eq \f(q,r)·eq \f(1,an)＋eq \f(p,r)，再利用类型一中的待定系数法解决． 【跟踪训练】 2．已知各项均不为零的数列{an}，首项a1＝eq \f(3,5)，an＋1＝eq \f(3an,4an＋1)，n∈N*.求证：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－2))为等比数列． 证明：因为an＋1＝eq \f(3an,4an＋1)，所以eq \f(1,an＋1)＝eq \f(4,3)＋eq \f(1,3an)， 所以eq \f(1,an＋1)－2＝eq \f(1,3an)－eq \f(2,3)＝eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－2))， 又因为eq \f(1,a1)－2＝－eq \f(1,3)≠0， 所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－2))是首项为－eq \f(1,3)，公比为eq \f(1,3)的等比数列． 类型三　形如an＋1＝pan＋qn+1(p，q≠0，1) 　在数列{an}中，a1＝eq \f(1,2)，且an＋1＝－2an＋3n+1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式． 解　将递推式的两边同时除以3n＋1，得 eq \f(an＋1,3n＋1)＝－eq \f(2,3)·eq \f(an,3n)＋1， 令bn＝eq \f(an,3n)，则bn＋1＝－eq \f(2,3)bn＋1. 显然有bn＋1－eq \f(3,5)＝－eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(bn－\f(3,5)))， 又b1－eq \f(3,5)＝－eq \f(13,30)≠0， 所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn－\f(3,5)))是以－eq \f(13,30)为首项，－eq \f(2,3)为公比的等比数列， 所以bn－eq \f(3,5)＝－eq \f(13,30)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq \s\up12(n－1)， 所以an＝－eq \f(13,10)×(－2)n－1＋eq \f(1,5)×3n＋1. 形如an＋1＝pan＋qn+1(p，q≠0，1)的递推公式求通项公式的方法 (1)方法一：先在原递推公式两边同时除以qn＋1，得eq \f(an＋1,qn＋1)＝eq \f(p,q)·eq \f(an,qn)＋1，再利用类型一中的待定系数法解决． (2)方法二：直接构造．设an＋1＋Aqn＋1＝p(an＋Aqn)，由待定系数法求得A. 形如an＋1＝eq \f(ran,pan＋q)的递推关系求数列中的项 形如an＋1＝eq \f(ran,pan＋q)的递推关系求数列的通项公式 一、单项选择题 1．已知数列{an}满足an＋1＝λan＋2，若{an＋3}是等比数列，则公比λ＝(　　) A．－eq \f(1,3) B.eq \f(5,3) C．1 D．2 解析：因为{an＋3}是等比数列，且an＋1＝λan＋2，所以an＋1＋3＝λ(an＋3)，即an＋1＝λan＋3λ－3，所以3λ－3＝2，所以λ＝eq \f(5,3).故选B. 2．已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝eq \f(4an,an＋4)(n∈N*)，则a9＝(　　) A.eq \f(1,5) B.eq \f(1,6) C．3 D.eq \f(1,3) 解析：由an＋1＝eq \f(4an,an＋4)(n∈N*)，得eq \f(1,an＋1)＝eq \f(1,an)＋eq \f(1,4)，即eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,4)，所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq \f(1,a1)＝1为首项，eq \f(1,4)为公差的等差数列，所以eq \f(1,a9)＝1＋eq \f(1,4)×8＝3，所以a9＝eq \f(1,3).故选D. 3．已知正项数列{an}满足an＋1＝eq \f(n＋1,2n)an，则eq \f(a8,a4)＝(　　) A.eq \f(1,16) B.eq \f(1,8) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,2) 解析：依题意，eq \f(an＋1,n＋1)＝eq \f(1,2)·eq \f(an,n)，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是以eq \f(1,2)为公比的等比数列，所以eq \f(a8,8)＝eq \f(a4,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(4)，所以eq \f(a8,a4)＝eq \f(1,8).故选B. 4．已知在数列{an}中，a1＝eq \f(5,6)，an＋1＝eq \f(1,3)an＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n+1)，则an＝(　　) A.eq \f(3,2n)－eq \f(2,3n) B.eq \f(2,3n)－eq \f(3,2n) C.eq \f(1,2n)－eq \f(2,3n) D.eq \f(2,3n)－eq \f(1,2n) 解析：因为a1＝eq \f(5,6)，an＋1＝eq \f(1,3)an＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n＋1)，所以2n＋1×an＋1＝eq \f(2,3)×2nan＋1，整理，得2n＋1×an＋1－3＝eq \f(2,3)×(2nan－3)，又2a1－3＝－eq \f(4,3)≠0，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2nan－3))是以－eq \f(4,3)为首项，eq \f(2,3)为公比的等比数列，所以2nan－3＝－eq \f(4,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(n－1)，解得an＝eq \f(3,2n)－eq \f(2,3n).故选A. 5．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝aeq \o\al(4,n)，则a6的值为(　　) A．220 B．224 C．21024 D．24096 解析：由an＋1＝aeq \o\al(4,n)，a1＝2，易知an>0，故ln an＋1＝4ln an，又ln a1＝ln 2≠0，所以{ln an}是首项为ln 2，公比为4的等比数列，所以ln an＝4n－1×ln 2，ln a6＝45×ln 2＝ln 21024，故a6＝21024.故选C. 二、多项选择题 7．已知数列{an}满足a1＝3，2an＋1＝3an－2，则(　　) A．{an－2}是等比数列 B．an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq \s\up12(n-1)＋2 C．{an}是递增数列 D．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(n)))的最小项为4 解析：由2an＋1＝3an－2，得2(an＋1－2)＝3(an－2)，即an＋1－2＝eq \f(3,2)(an－2)，又a1－2＝1≠0，所以{an－2}是首项为1，公比为eq \f(3,2)的等比数列，所以an－2＝1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq \s\up12(n－1)，即an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq \s\up12(n－1)＋2，易知{an}是递增数列，故A，B，C正确；当n＝1时，a2＋eq \f(2,3)＝eq \f(3,2)＋2＋eq \f(2,3)＝eq \f(25,6)>4，当n≥2时，an＋1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(n)>a3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋2>4，故D错误．故选ABC. 解析：因为an＋1＝4an＋3n，则an＋1＋3n＋1＝4(an＋3n)，且a1＋3＝4≠0，所以数列{an＋3n}是首项为4，公比为4的等比数列，则an＋3n＝4×4n－1＝4n，即an＝4n－3n.对于A，易知an>0，故A正确；对于B，因为an＋1－an＝(4n＋1－3n＋1)－(4n－3n)＝3×4n－2×3n>0，所以{an}是递增数列，故B正确；对于C，{an＋3n}是首项为4，公比为4的等比数列，故C错误；对于D，a10＝410－310＝220－310，故D正确．故选ABD. 9．已知数列{an}满足a1＝2，当n≥2时，an＋2＝(eq \r(an－1＋2)＋1)2，则下列关于数列{an}的说法正确的是(　　) A．a2＝7 B．{an}是递增数列 C．an＝n2＋2n－1 D．{an}为周期数列 解析：∵数列{an}满足a1＝2，当n≥2时，an＋2＝(eq \r(an－1＋2)＋1)2，∴eq \r(an＋2)＝eq \r(an－1＋2)＋1，∴数列{eq \r(an＋2)}是首项为eq \r(a1＋2)＝2，公差为1的等差数列，∴eq \r(an＋2)＝2＋(n－1)×1＝n＋1，∴an＝n2＋2n－1，故C正确；a2＝22＋2×2－1＝7，故A正确；∵函数y＝x2＋2x－1在x＞－1时单调递增，故{an}是递增数列，故B正确，D错误．故选ABC. 三、填空题 10．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋4，则数列{an}的通项公式为________． an＝3n－2 11．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq \f(an,an＋2)，则数列{an}的通项公式为________． 解析：因为an＋1＝eq \f(an,an＋2)，两边取倒数，得eq \f(1,an＋1)＝eq \f(2,an)＋1，所以eq \f(1,an＋1)＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋1))，因为eq \f(1,a1)＋1＝2≠0，所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋1))是首项为2，公比为2的等比数列，所以eq \f(1,an)＋1＝2×2n－1＝2n，则eq \f(1,an)＝2n－1，即an＝eq \f(1,2n－1). an＝eq \f(1,2n－1) 12．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an＋(\r(2))n+1，n为奇数，,2an，n为偶数，))则a2n＝________． 解析：由题意可得a2n＝a2n－1＋(eq \r(2))2n＝2a2(n－1)＋2n，则eq \f(a2n,2n)＝eq \f(a2(n－1),2n－1)＋1，即eq \f(a2n,2n)－eq \f(a2(n－1),2n－1)＝1，易知eq \f(a2,2)＝eq \f(a1＋(\r(2))2,2)＝1，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a2n,2n)))是以1为首项，1为公差的等差数列，则eq \f(a2n,2n)＝1＋(n－1)×1＝n，故a2n＝n·2n. 解：由an＋1＋an＝3×2n，得 an＋1－2n＋1＋an＝3×2n－2n＋1＝2n， 整理，得an＋1－2n＋1＝－(an－2n)， 又a1－21＝－1≠0， 所以{an－2n}是首项为－1，公比为－1的等比数列， 所以an－2n＝(－1)×(－1)n－1＝(－1)n， 则an＝2n＋(－1)n. 14．已知{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝3n2＋3n. (1)求a2，a3； (2)证明数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差数列，并求{an}的通项公式． 解：(1)依题意，得a1＝1，nan＋1－(n＋1)an＝3n(n＋1)， 所以an＋1＝eq \f(n＋1,n)an＋3(n＋1)， 所以a2＝eq \f(2,1)a1＋3×2＝8，a3＝eq \f(3,2)a2＋3×3＝21. (2)依题意，得a1＝1，nan＋1－(n＋1)an＝3n(n＋1)， 所以eq \f(an＋1,n＋1)－eq \f(an,n)＝3， 所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是首项为eq \f(a1,1)＝1，公差为3的等差数列， 所以eq \f(an,n)＝3n－2，所以an＝n(3n－2)＝3n2－2n. $