第4章 4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（人教A版2019）

4.3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念及通项公式 ［学习目标］　1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并理解其与函数的关系.4.正确判断并证明一个数列是等比数列. 导语 国际象棋起源于古印度，相传国王要奖励国际象棋的发明者，问他要什么.发明者说：“请在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒麦子，第三个格子上放4粒麦子，第四个格子上放8粒麦子……即从第二个格子起，每一个格子中放的麦粒数目都必须是前一个格子中麦粒数目的两倍，直到最后一个格子第64格放完为止，这样我就十分满足了.”“好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了这个请求.显然64个格子放的麦粒数可以组成一个数列：1，2，22，23，24，…，263，这就是我们今天要探讨的等比数列. 一、等比数列的有关概念 问题1　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. （1）我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？” 构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98； （2）《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数： ，，，，，…； （3）-的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…，依次排成一列数：-，，-，，…， 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？ 提示　我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.对于（1），我们发现=9，=9，=9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于（2），=，…；对于（3），=-，…，也有相同的取值规律. 知识梳理 等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然q≠0）. 注意点： （1）定义的符号表示：=q（n∈N*且n≥2）或=q（n∈N*）. （2）定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项. （3）比必须是同一个常数. （4）等比数列中任意一项都不能为0. （5）公比可以为正数、负数，但不能为0. 例1　判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比. （1）1，，，，，…； （2），，，，…； （3）1，0，1，0，1，0，…； （4）1，-4，16，-64，256，…. 解　（1）不是等比数列；（2）是等比数列，公比为；（3）不是等比数列；（4）是等比数列，公比为-4. 反思感悟　判断一个数列是否为等比数列的方法：验证，，，…是否等于同一常数. 跟踪训练1　（多选）以下条件中，不能判定数列是等比数列的有（　　） A.数列1，2，6，18，… B.数列｛an｝满足=2，=2 C.常数列a，a，…，a，… D.数列｛an｝中，=q（q≠0），其中n∈N* 答案　ABC 解析　A中，≠，不符合等比数列的定义，故不是等比数列； B中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列； C中，当a=0时，不是等比数列； D中，符合等比数列的定义，是等比数列. 二、等比中项 问题2　任意给出两个数a，b，是否一定存在一个数G，使a，G，b成等比数列？ 提示　不是，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设-1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有=，即x2=-1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数也无等比中项.若1，x，4这三个数成等比数列，由定义可知，x2=4，即x=±2；或-1，x，-4这三个数成等比数列，由定义可知，x2=4，即x=±2，我们发现，如果两个实数有等比中项，则会有两个，且互为相反数. 知识梳理 等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2=ab. 注意点： （1）若G2=ab，则a，G，b不一定成等比数列. （2）只有同号的两个实数才有等比中项. （3）若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数. 例2　-2和+2的等差中项与等比中项分别为（　　） A.，±2 B.2，± C.，±1 D.1，± 答案　C 解析　-2和+2的等差中项为=， -2和+2的等比中项为±=±1. 反思感悟　在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项. 跟踪训练2　在等差数列｛an｝中，a3=0.如果ak是a6与ak+6的等比中项，那么k=　　　　.  答案　9 解析　设等差数列｛an｝的公差为d，由题意得a3=a1+2d=0，∴a1=-2d.又∵ak是a6与ak+6的等比中项，∴=a6ak+6，即［a1+（k-1）d］2=（a1+5d）·［a1+（k+5）d］，即［（k-3）d］2=3d·（k+3）d，解得k=9或k=0（舍去）. 三、等比数列的通项公式 问题3　类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示　设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知=q（n∈N*且n≥2）. 方法一　an=××…×××a1=q×q×…×q×q×a1=a1qn-1， 当n=1时，上式也成立. 方法二　a2=a1q， a3=a2q=（a1q）q=a1q2， a4=a3q=（a1q2）q=a1q3， … 由此可得an=a1qn-1（n≥2）， 当n=1时，上式也成立. 问题4　观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 提示　由an=a1qn-1=·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列｛an｝的第n项an是函数f（x）=·qx（x∈R）当x=n时的函数值，即an=f（n）. 知识梳理　 1.首项为a1，公比为q的等比数列｛an｝的通项公式为an=a1qn-1. 2.等比数列的通项公式与指数型函数的关系 （1）当q>0且q≠1时，等比数列｛an｝的第n项an是函数f（x）=·qx（x∈R）当x=n时的函数值，即an=f（n）. （2）任给函数f（x）=kax（k，a为常数，k≠0，a>0，且a≠1），则f（1）=ka，f（2）=ka2，…，f（n）=kan，…构成一个等比数列｛kan｝，其首项为ka，公比为a. 注意点： （1）当a1>0，q>1时，数列｛an｝为正项的递增等比数列. （2）当a1>0，0<q<1时，数列｛an｝为正项的递减等比数列. （3）当a1<0，q>1时，数列｛an｝为负项的递减等比数列. （4）当a1<0，0<q<1时，数列｛an｝为负项的递增等比数列. （5）当q=1时，数列｛an｝为常数列. （6）当q<0时，数列｛an｝为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同. 例3　在等比数列｛an｝中： （1）a1=1，a4=8，求an； （2）a4=625，q=5，求a1； （3）a2+a5=18，a3+a6=9，an=1，求n. 解　（1）设｛an｝的公比为q，因为a4=a1q3， 所以8=q3，所以q=2， 所以an=a1qn-1=2n-1. （2）a1===5，故a1=5. （3）设｛an｝的公比为q， 因为 由，得q=，从而a1=32. 又an=1， 所以32×=1， 即26-n=20，故n=6. 反思感悟　等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解. 跟踪训练3　若一数列为a-6，1，a6，a12，a18，…，其中a≠0，则a2 022是这个数列的（　　） A.不在此数列中 B.第337项 C.第338项 D.第339项 答案　D 解析　数列为a-6，1，a6，a12，a18，…，记此数列为｛bn｝，则它是首项为a-6，公比为a6的等比数列，于是得数列｛bn｝的通项为bn=a-6·（a6）n-1=a6n-12，由6n-12=2 022得n=339，所以a2 022是这个数列的第339项. 四、等比数列的判定与证明 问题5　若数列｛an｝的前三项成等比数列，能说明这个数列是等比数列吗？ 提示　不能，要证明一个数列是等比数列，一定要体现出任意性. 知识梳理　 判定与证明等比数列的方法 （1）定义法：=q（n∈N*且n≥2，q为不为0的常数）. （2）等比中项法：=an-1an+1（n∈N*且n≥2，an≠0）. （3）通项公式法：an=a1qn-1=·qn=A·qn（A≠0）. 例4　已知数列｛an｝的前n项和为Sn，Sn=（an-1）（n∈N*）. （1）求a1，a2； （2）求证：数列｛an｝是等比数列. （1）解　由S1=（a1-1），得a1=（a1-1）， 所以a1=-. 又S2=（a2-1）， 即a1+a2=（a2-1），得a2=. （2）证明　当n≥2时， an=Sn-Sn-1=（an-1）-（an-1-1）， 得=-.又a1=-， 所以｛an｝是首项为-，公比为-的等比数列. 反思感悟　判断一个数列是等比数列需注意 （1）证明｛an｝为等比数列常用定义法. （2）用定义法证明时，和中的n的范围不同. 跟踪训练4　数列｛an｝的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=Sn（n=1，2，3，…）.证明：数列是等比数列. 证明　由a1=1，an+1=Sn， 得an>0，Sn>0. 由an+1=Sn，an+1=Sn+1-Sn， 得（n+2）Sn=n（Sn+1-Sn）， 整理，得nSn+1=2（n+1）Sn， 所以=2·，则=2. 因为==1，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列. 1.知识清单： （1）等比数列的概念. （2）等比中项的概念. （3）等比数列的通项公式及其与函数的关系. （4）等比数列的判定与证明. 2.方法归纳：方程（组）思想、构造法. 3.常见误区：x，G，y成等比数列⇒G2=xy，但G2=xyx，G，y成等比数列. 1.已知数列｛an｝对任意的n≥2且n∈N*，满足=an-1an+1，且a1=1，a2=2，则数列｛an｝的通项公式为（　　） A.an=2n B.an=2n-1 C.an=n D.an=2n-n 答案　B 解析　由题意可知数列｛an｝是等比数列，首项a1=1，公比q=2，所以an=2n-1. 2.（多选）已知a是1，2的等差中项，b是-1，-16的等比中项，则ab等于（　　） A.6 B.-6 C.-12 D.12 答案　AB 解析　∵a==，b2=（-1）×（-16）=16， ∴b=±4，ab=±6. 3.在递减等比数列｛an｝中，若a3=1，a2+a4=，则a1等于（　　） A.9 B.3 C. D. 答案　A 解析　设等比数列｛an｝的公比为q，0<q<1， 则由a3=1，a2+a4=， 得q+=，解得q=或q=3（舍去）， 故a1==9. 4.写出一个公比为3，且第三项小于1的等比数列的通项公式an=　　　　.  答案　×3n-1（答案不唯一） 解析　设数列｛an｝的公比为q，则q=3， 由已知可得a3<1，∴9a1<1， ∴a1<，故a1可取， 故满足条件的等比数列的通项公式可能为an=×3n-1. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.数列1，-，，-，，…的一个通项公式为（　　） A. B. C. D. 答案　D 解析　根据数列可知，该数列是一个以1为首项，-为公比的等比数列， 所以该数列的通项公式为1×=××=×. 2.在等比数列｛an｝中，a1=，公比q=2，则a3与a5的等比中项是（　　） A.2 B.4 C.±2 D.±4 答案　D 解析　因为a3a5==（a1q3）2==16， 所以a3与a5的等比中项是±4. 3.若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a+3b+c=10，则a的值是（　　） A.1 B.-1 C.-3 D.-4 答案　D 解析　由题意，得 解得a=-4，b=2，c=8. 4.已知a，b，c∈R，如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么（　　） A.b=3，ac=9 B.b=-3，ac=9 C.b=3，ac=-9 D.b=-3，ac=-9 答案　B 解析　∵b2=（-1）×（-9）=9且b与首项-1同号，∴b=-3，且a，c必同号，∴ac=b2=9. 5.设｛an｝是等比数列，则“a1<a2”是“数列｛an｝是递增数列”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　设等比数列｛an｝的公比为q， 由a1<a2，可得a1（q-1）>0， 解得或 此时数列｛an｝不一定是递增数列； 若数列｛an｝为递增数列， 可得或 此时a1<a2一定成立. 所以“a1<a2”是“数列｛an｝是递增数列”的必要不充分条件. 6.（多选）下面关于公比为q的等比数列｛an｝的叙述不正确的是（　　） A.q>1⇒｛an｝为递增数列 B.｛an｝为递增数列⇒q>1 C.0<q<1⇔｛an｝为递减数列 D.q>1｛an｝为递增数列且｛an｝为递增数列q>1 答案　ABC 解析　若a1=-2，q=2>1，则｛an｝的各项为-2，-4，-8，…，是递减数列，A不正确；若等比数列｛an｝的各项为-16，-8，-4，-2，…，是递增数列，则q=<1，B不正确，D正确；若a1=-16，q=，则｛an｝的各项为-16，-8，-4，…，显然是递增数列，C不正确. 7.（5分）在等比数列a，2a+2，3a+3，…中，a=　　　.  答案　-4 解析　由题意，得=a， 解得a=-4或a=-1， 当a=-1时，2a+2=0，3a+3=0，不满足条件. 当a=-4时，等比数列为-4，-6，-9，…，满足条件. 8.（5分）已知正项等比数列｛an｝，若3a1，a3，2a2成等差数列，则｛an｝的公比q=　　　　.  答案　3 解析　因为已知正项等比数列｛an｝，3a1，a3，2a2成等差数列， 所以 解得q=3. 所以｛an｝的公比q=3. 9.（10分）（1）若等比数列｛an｝中，a10=a4，求公比q；（3分） （2）已知｛an｝为等比数列，且a5=8，a7=2，该数列的各项都为正数，求an；（3分） （3）若等比数列｛an｝的首项a1=，末项an=，公比q=，求项数n.（4分） 解　（1）∵a10=a1q9，a4=a1q3， 又a10=a4，∴q6=1， ∴q=±1. （2）设等比数列｛an｝的公比为q，由题意知q>0. 由已知得 解得 ∵q>0，∴q=， ∴an=128×=. （3）由an=a1·qn-1， 得=×， 即=，解得n=4. 10.（12分）已知数列｛an｝满足a1=，且an+1=an+，n∈N*. （1）求证：是等比数列；（6分） （2）求数列｛an｝的通项公式.（6分） （1）证明　由已知得an+1-=an- =， 即=， 因为a1=，所以a1-=， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）解　由（1）知，是以为首项，为公比的等比数列， 所以an-=×， 所以an=×+. 11.在等比数列｛an｝中，|a1|=1，a5=-8a2，a5>a2，则an等于（　　） A.（-2）n-1 B.-（-2）n-1 C.（-2）n D.-（-2）n 答案　A 解析　设公比为q，则a1q4=-8a1q， 又a1≠0，q≠0， 所以q3=-8，q=-2， 又a5>a2， 所以a2<0，a5>0， 从而a1>0，即a1=1， 故an=（-2）n-1. 12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C 解析　因为a，b，c是△ABC的三边，所以a，b，c均不为0， 则由b2=ac，可得=，所以a，b，c成等比数列， 反之，由a，b，c成等比数列，可得b2=ac， 所以“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件. 13.已知不等式x2-5x-6<0的解集中有三个整数解构成等比数列｛an｝的前三项，则数列｛an｝的第四项是（　　） A.8 B. C.8或2 D.8或 答案　D 解析　不等式x2-5x-6<0的解集为｛x|-1<x<6｝，其中成等比数列的三个整数为1，2，4或4，2，1， 若数列前3项为1，2，4，则第4项为8；若数列前3项为4，2，1，则第4项为. 14.（5分）若等差数列｛an｝满足a1+a2=10，a4-a3=2，则an=　　　　；若｛bn｝是等比数列，且b2=a3，b3=a7，b6=ak，则k=　　　　.  答案　2n+2　63 解析　由a4-a3=2知等差数列｛an｝的公差d=2，又a1+a2=2a1+d=10，故a1=4，则an=2n+2，所以b2=8，b3=16，得等比数列｛bn｝的公比q=2，b1=4.又b6=ak，故2k+2=4×26-1，解得k=63. 15.在数列｛an｝中，a1=，∀m，n∈N*，am+n=aman，则a6等于（　　） A. B. C. D. 答案　C 解析　由于∀m，n∈N*，有am+n=aman，且a1=，令m=1，则an+1=a1an=an，即数列｛an｝是首项为，公比为的等比数列， 所以an=a1qn-1=×=， 故a6==. 16.（12分）已知数列｛an｝和｛bn｝满足a1=λ，an+1=an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21），其中λ为实数，n为正整数. （1）求证：对任意实数λ，数列｛an｝不是等比数列；（6分） （2）试判断｛bn｝是否为等比数列.（6分） （1）证明　∵an+1=an+n-4且a1=λ， ∴a2=λ-3，a3=λ-4. 假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列， 则=a1·a3， 即=λ， 即λ2-4λ+9=λ2-4λ，该方程无解， ∴对任意实数λ，数列｛an｝不是等比数列. （2）解　∵bn=（-1）n（an-3n+21）， ∴bn+1=（-1）n+1［an+1-3（n+1）+21］ =（-1）n+1 =-（-1）n（an-3n+21） =-bn， ∵b1=-（λ+18）， ∴当λ=-18时，b1=0， 此时数列｛bn｝不是等比数列； 当λ≠-18时，b1≠0， 此时=-（n∈N*），数列｛bn｝是等比数列. 综上，当λ=-18时，｛bn｝不是等比数列； 当λ≠-18时，｛bn｝是等比数列. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1课时 第四章 <<< 等比数列的概念及通项公式 1.通过实例，理解等比数列的概念. 2.掌握等比中项的概念并会应用. 3.掌握等比数列的通项公式并理解其与函数的关系. 4.正确判断并证明一个数列是等比数列. 学习目标 国际象棋起源于古印度，相传国王要奖励国际象棋的发明者，问他要什么.发明者说：“请在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒麦子，第三个格子上放4粒麦子，第四个格子上放8粒麦子……即从第二个格子起，每一个格子中放的麦粒数目都必须是前一个格子中麦粒数目的两倍，直到最后一个格子第64格放完为止，这样我就十分满足了.”“好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了这个请求.显然64个格子放的麦粒数可以组成一个数列：1，2，22，23，24，…，263，这就是我们今天要探讨的等比数列. 导 语 一、等比数列的有关概念 二、等比中项 课时对点练 三、等比数列的通项公式 随堂演练 内容索引 四、等比数列的判定与证明 一 等比数列的有关概念 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. (1)我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？” 构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98； 问题1 (2)《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数： ，，，，，…； (3)-的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…，依次排成一列数： -，，-，，…， 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？ 问题1 提示　我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律. 对于(1)，我们发现=9，=9，=9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9； 对于(2)，=，…； 对于(3)，=-，…，也有相同的取值规律. 等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的 一项的 都等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母q表示(显然q≠0). 2 前 比 同一个 公比 知识梳理 (1)定义的符号表示：=q(n∈N*且n≥2)或=q(n∈N*). (2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项. (3)比必须是同一个常数. (4)等比数列中任意一项都不能为0. (5)公比可以为正数、负数，但不能为0. 注 意 点 <<< 10 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比. (1)1，，，，，…； 例 1 不是等比数列； (2)，，，，…； 是等比数列，公比为； 11 (3)1，0，1，0，1，0，…； 不是等比数列； (4)1，-4，16，-64，256，…. 是等比数列，公比为-4. 12 判断一个数列是否为等比数列的方法：验证，，，…是否等于同一常数. 反 思 感 悟 13 (多选)以下条件中，不能判定数列是等比数列的有 A.数列1，2，6，18，… B.数列{an}满足=2，=2 C.常数列a，a，…，a，… D.数列{an}中，=q(q≠0)，其中n∈N* 跟踪训练 1 √ √ √ 14 A中，≠，不符合等比数列的定义，故不是等比数列； B中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列； C中，当a=0时，不是等比数列； D中，符合等比数列的定义，是等比数列. 15 二 等比中项 任意给出两个数a，b，是否一定存在一个数G，使a，G，b成等比数列？ 问题2 提示　不是，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设-1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有=，即x2=-1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数也无等比中项.若1，x，4这三个数成等比数列，由定义可知，x2=4，即x=±2；或-1，x，-4这三个数成等比数列，由定义可知，x2=4，即x=±2，我们发现，如果两个实数有等比中项，则会有两个，且互为相反数. 等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的 ，此时， . 等比中项 G2=ab 知识梳理 18 (1)若G2=ab，则a，G，b不一定成等比数列. (2)只有同号的两个实数才有等比中项. (3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数. 注 意 点 <<< 19 -2和+2的等差中项与等比中项分别为 A.，±2 B.2，± C.，±1 D.1，± 例 2 √ -2和+2的等差中项为=， -2和+2的等比中项为±=±1. 20 反 思 感 悟 在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项. 在等差数列{an}中，a3=0.如果ak是a6与ak+6的等比中项，那么k=　　　.  跟踪训练 2 设等差数列{an}的公差为d，由题意得a3=a1+2d=0，∴a1=-2d. 又∵ak是a6与ak+6的等比中项，∴=a6ak+6， 即[a1+(k-1)d]2=(a1+5d)·[a1+(k+5)d]， 即[(k-3)d]2=3d·(k+3)d，解得k=9或k=0(舍去). 9 22 三 等比数列的通项公式 类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 问题3 提示　设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知=q(n∈N*且n≥2). 方法一　an=××…×××a1=q×q×…×q×q×a1=a1qn-1， 当n=1时，上式也成立. 方法二　a2=a1q， a3=a2q=(a1q)q=a1q2， a4=a3q=(a1q2)q=a1q3， … 由此可得an=a1qn-1(n≥2)， 当n=1时，上式也成立. 观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 问题4 提示　由an=a1qn-1=·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f(x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值，即an=f(n). 1.首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an= . 2.等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f(x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值，即 . (2)任给函数f(x)=kax(k，a为常数，k≠0，a>0，且a≠1)，则f(1)=ka，f(2)=ka2，…，f(n)=kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为 ，公比为 . a1qn-1 an=f(n) ka a 知识梳理 26 (1)当a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列. (2)当a1>0，0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列. (3)当a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列. (4)当a1<0，0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列. (5)当q=1时，数列{an}为常数列. (6)当q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同. 注 意 点 <<< 27 在等比数列{an}中： (1)a1=1，a4=8，求an； 例 3 设{an}的公比为q，因为a4=a1q3， 所以8=q3，所以q=2， 所以an=a1qn-1=2n-1. (2)a4=625，q=5，求a1； a1===5，故a1=5. (3)a2+a5=18，a3+a6=9，an=1，求n. 设{an}的公比为q， 因为 由，得q=，从而a1=32. 又an=1， 所以32×=1， 即26-n=20，故n=6. 反 思 感 悟 等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解. 若一数列为a-6，1，a6，a12，a18，…，其中a≠0，则a2 022是这个数列的 A.不在此数列中 B.第337项 C.第338项 D.第339项 跟踪训练 3 数列为a-6，1，a6，a12，a18，…，记此数列为{bn}，则它是首项为a-6，公比为a6的等比数列，于是得数列{bn}的通项为bn=a-6·(a6)n-1=a6n-12，由6n-12=2 022得n=339，所以a2 022是这个数列的第339项. √ 四 等比数列的判定与证明 若数列{an}的前三项成等比数列，能说明这个数列是等比数列吗？ 问题5 提示　不能，要证明一个数列是等比数列，一定要体现出任意性. 判定与证明等比数列的方法 (1)定义法：= (n∈N*且n≥2，q为不为0的常数). (2)等比中项法：= (n∈N*且n≥2，an≠0). (3)通项公式法：an= =·qn=A·qn(A≠0). q an-1an+1 a1qn-1 知识梳理 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(an-1)(n∈N*). (1)求a1，a2； 例 4 由S1=(a1-1)，得a1=(a1-1)， 所以a1=-. 又S2=(a2-1)， 即a1+a2=(a2-1)，得a2=. (2)求证：数列{an}是等比数列. 当n≥2时， an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1)， 得=-. 又a1=-， 所以{an}是首项为-，公比为-的等比数列. 反 思 感 悟 判断一个数列是等比数列需注意 (1)证明{an}为等比数列常用定义法. (2)用定义法证明时，和中的n的范围不同. 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=Sn(n=1，2，3，…).证明：数列是等比数列. 跟踪训练 4 由a1=1，an+1=Sn，得an>0，Sn>0. 由an+1=Sn，an+1=Sn+1-Sn， 得(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn)， 整理，得nSn+1=2(n+1)Sn， 所以=2·=2. 因为==1，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列. 1.知识清单： (1)等比数列的概念. (2)等比中项的概念. (3)等比数列的通项公式及其与函数的关系. (4)等比数列的判定与证明. 2.方法归纳：方程(组)思想、构造法. 3.常见误区：x，G，y成等比数列⇒G2=xy，但G2=xy x，G，y成等比数列. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.已知数列{an}对任意的n≥2且n∈N*，满足=an-1an+1，且a1=1，a2=2，则数列{an}的通项公式为 A.an=2n B.an=2n-1 C.an=n D.an=2n-n √ 由题意可知数列{an}是等比数列，首项a1=1，公比q=2，所以an=2n-1. 2.(多选)已知a是1，2的等差中项，b是-1，-16的等比中项，则ab等于 A.6 B.-6 C.-12 D.12 1 2 3 4 √ √ ∵a==，b2=(-1)×(-16)=16， ∴b=±4，ab=±6. 3.在递减等比数列{an}中，若a3=1，a2+a4=，则a1等于 A.9　　　B.3　　　C.　　　D. √ 设等比数列{an}的公比为q，0<q<1， 则由a3=1，a2+a4=， 得q+=，解得q=或q=3(舍去)， 故a1==9. 1 2 3 4 1 2 3 4 4.写出一个公比为3，且第三项小于1的等比数列的通项公式an=________　　　 _____________.  设数列{an}的公比为q，则q=3， 由已知可得a3<1，∴9a1<1， ∴a1<，故a1可取， 故满足条件的等比数列的通项公式可能为an=×3n-1. ×3n-1 (答案不唯一) 课时对点练 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.数列1，-，，-，，…的一个通项公式为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据数列可知，该数列是一个以1为首项，-为公比的等比数列， 所以该数列的通项公式为1×=×× =×. 2.在等比数列{an}中，a1=，公比q=2，则a3与a5的等比中项是 A.2 B.4 C.±2 D.±4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为a3a5==(a1q3)2==16， 所以a3与a5的等比中项是±4. 3.若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a+3b+c=10，则a的值是 A.1 B.-1 C.-3 D.-4 √ 由题意，得 解得a=-4，b=2，c=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知a，b，c∈R，如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么 A.b=3，ac=9 B.b=-3，ac=9 C.b=3，ac=-9 D.b=-3，ac=-9 √ ∵b2=(-1)×(-9)=9且b与首项-1同号，∴b=-3，且a，c必同号， ∴ac=b2=9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.设{an}是等比数列，则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 设等比数列{an}的公比为q， 由a1<a2，可得a1(q-1)>0， 解得 此时数列{an}不一定是递增数列； 若数列{an}为递增数列，可得 此时a1<a2一定成立. 所以“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述不正确的是 A.q>1⇒{an}为递增数列 B.{an}为递增数列⇒q>1 C.0<q<1⇔{an}为递减数列 D.q>1 {an}为递增数列且{an}为递增数列 q>1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 若a1=-2，q=2>1，则{an}的各项为-2，-4，-8，…，是递减数列，A不正确； 若等比数列{an}的各项为-16，-8，-4，-2，…，是递增数列，则q=<1，B不正确，D正确； 若a1=-16，q=，则{an}的各项为-16，-8，-4，…，显然是递增数列，C不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.在等比数列a，2a+2，3a+3，…中，a=　　　.  由题意，得=a， 解得a=-4或a=-1， 当a=-1时，2a+2=0，3a+3=0，不满足条件. 当a=-4时，等比数列为-4，-6，-9，…，满足条件. -4 8.已知正项等比数列{an}，若3a1，a3，2a2成等差数列，则{an}的公比q=　　　.  3 因为已知正项等比数列{an}，3a1，a3，2a2成等差数列， 所以 解得q=3. 所以{an}的公比q=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(1)若等比数列{an}中，a10=a4，求公比q； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a10=a1q9，a4=a1q3， 又a10=a4，∴q6=1， ∴q=±1. (2)已知{an}为等比数列，且a5=8，a7=2，该数列的各项都为正数，求an； 设等比数列{an}的公比为q，由题意知q>0. 由已知得解得 ∵q>0，∴q=， ∴an=128×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)若等比数列{an}的首项a1=，末项an=，公比q=，求项数n. 由an=a1·qn-1， 得=×， 即=，解得n=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知数列{an}满足a1=，且an+1=an+，n∈N*. (1)求证：是等比数列； 由已知得an+1-=an-=，即=， 因为a1=，所以a1-=， 所以为公比的等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求数列{an}的通项公式. 由(1)知，为公比的等比数列， 所以an-=×， 所以an=×+. 11.在等比数列{an}中，|a1|=1，a5=-8a2，a5>a2，则an等于 A.(-2)n-1 B.-(-2)n-1 C.(-2)n D.-(-2)n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设公比为q，则a1q4=-8a1q， 又a1≠0，q≠0， 所以q3=-8，q=-2， 又a5>a2， 所以a2<0，a5>0， 从而a1>0，即a1=1， 故an=(-2)n-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a，b，c是△ABC的三边，所以a，b，c均不为0， 则由b2=ac，可得=，所以a，b，c成等比数列， 反之，由a，b，c成等比数列，可得b2=ac， 所以“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件. 13.已知不等式x2-5x-6<0的解集中有三个整数解构成等比数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项是 A.8　　　B.　　　C.8或2　　　D.8或 √ 不等式x2-5x-6<0的解集为{x|-1<x<6}，其中成等比数列的三个整数为1，2，4或4，2，1， 若数列前3项为1，2，4，则第4项为8； 若数列前3项为4，2，1，则第4项为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.若等差数列{an}满足a1+a2=10，a4-a3=2，则an=　　　；若{bn}是等比数列，且b2=a3，b3=a7，b6=ak，则k=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2n+2 63 由a4-a3=2知等差数列{an}的公差d=2，又a1+a2=2a1+d=10，故a1=4，则an=2n+2，所以b2=8，b3=16，得等比数列{bn}的公比q=2，b1=4. 又b6=ak，故2k+2=4×26-1，解得k=63. 15.在数列{an}中，a1=，∀m，n∈N*，am+n=aman，则a6等于 A. B. C. D. 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于∀m，n∈N*，有am+n=aman，且a1=，令m=1，则an+1=a1an=an，即数列{an}是首项为的等比数列， 所以an=a1qn-1=×=， 故a6==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知数列{an}和{bn}满足a1=λ，an+1=an+n-4，bn=(-1)n(an-3n+21)，其中λ为实数，n为正整数. (1)求证：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an+1=an+n-4且a1=λ， ∴a2=λ-3，a3=λ-4. 假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则=a1·a3， 即=λ， 即λ2-4λ+9=λ2-4λ，该方程无解， ∴对任意实数λ，数列{an}不是等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)试判断{bn}是否为等比数列. ∵bn=(-1)n(an-3n+21)， ∴bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21] =(-1)n+1 =-(-1)n(an-3n+21)=-bn， ∵b1=-(λ+18)， ∴当λ=-18时，b1=0， 此时数列{bn}不是等比数列； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当λ≠-18时，b1≠0， 此时=-(n∈N*)，数列{bn}是等比数列. 综上，当λ=-18时，{bn}不是等比数列； 当λ≠-18时，{bn}是等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第四章 <<< $$