第2章 章末复习课-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（北师大版2019）

一、导数的计算 1.此部分内容涉及导数的几何意义，基本初等函数求导法则、运算法则、复合函数求导，作为数形结合的桥梁，导数的几何意义成为最近几年高考的高频考点，主要考查切线方程及切点，与切线平行、垂直问题，常结合函数的切线问题转化为点到直线的距离，平行线间的距离问题，进而研究距离最值，难度中低档. 2.通过求切线方程的有关问题，培养数学运算、数学抽象等核心素养. 例1　(1)已知函数f(x)=，f'(x)为f(x)的导函数，则f'(x)等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　根据题意，知函数f(x)=， 其导函数f'(x)= ==. (2)已知曲线f(x)=aln x+x2在点(1，1)处的切线与直线x+y=0平行，则实数a的值为(　　) A.-3 B.1 C.2 D.3 答案　A 解析　由f(x)=aln x+x2，得f'(x)=+2x， 则曲线在点(1，1)处的切线斜率为k=a+2，由切线与直线x+y=0平行，可得k=-1，即a+2=-1，解得a=-3. 反思感悟　导数的运算是解决一切导数问题的基础，熟练掌握基本初等函数的求导法则，掌握函数的和、差、积、商的运算法则，复合函数求导的关键是分清层次，逐层求导，一般我们只解决有两层复合的关系，求导时不要忘了对内层函数求导即可. 跟踪训练1　(1)已知函数f(x)=ln x+2x2-4x，则函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为(　　) A.x-y+3=0 B.x+y-3=0 C.x-y-3=0 D.x+y+3=0 答案　C 解析　由f(x)=ln x+2x2-4x， 得f'(x)=+4x-4， 所以f'(1)=1，又f(1)=-2， 所以函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y+2=1×(x-1)，即x-y-3=0. (2)设f'(x)是函数f(x)的导函数，若f(x)=x·ln(2x-1)，则f'(1)=　　　　.  答案　2 解析　因为f(x)=x·ln(2x-1)， 所以f'(x)=ln(2x-1)+·(2x-1)' =ln(2x-1)+，则f'(1)=2. 二、函数的单调性、极值、最值 1.利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决有关的问题，是最近几年高考的重点内容，难度中高档. 2.通过求函数的单调性、极值、最值问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养. 例2　已知函数f(x)=ex+ax2-x. (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性； (2)当x≥0时，f(x)≥x3+1，求a的取值范围. 解　(1)当a=1时，f(x)=ex+x2-x， f'(x)=ex+2x-1，令φ(x)=ex+2x-1， 由于φ'(x)=ex+2>0， 故f'(x)单调递增，注意到f'(0)=0， 故当x∈(-∞，0)时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(0，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增. (2)由f(x)≥x3+1得， ex+ax2-x≥x3+1，其中x≥0， ①当x=0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意； ②当x>0时，分离参数a得 a≥-， 记g(x)=-， g'(x)=-， 令h(x)=ex-x2-x-1(x≥0)， 则h'(x)=ex-x-1， 令t(x)=h'(x)，x>0，则t'(x)=ex-1>0， 故h'(x)单调递增，h'(x)>h'(0)=0， 故函数h(x)单调递增，h(x)>h(0)=0， 由h(x)>0可得ex-x2-x-1>0恒成立， 故当x∈(0，2)时，g'(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈(2，+∞)时，g'(x)<0，g(x)单调递减； 因此，g(x)max=g(2)=， 综上可得，a的取值范围是. 反思感悟　(1)利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础，一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性，从而掌握函数图象的变化趋势，达到解决问题的目的. (2)①极值点是f'(x)的变号零点，除了找f'(x)=0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性. ②求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，需通过比较端点值大小才能下结论. 跟踪训练2　(1)函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为(　　) A.-， B.-， C.-，+2 D.-，+2 答案　D 解析　f(x)=cos x+(x+1)sin x+1，x∈[0，2π]，则f'(x)=-sin x+sin x+(x+1)·cos x =(x+1)cos x，x∈[0，2π]. 令f'(x)=0，解得x=或x=. 因为f=cos +sin +1 =2+， f=cos +sin +1=-， 又f(0)=cos 0+(0+1)sin 0+1=2， f(2π)=cos 2π+(2π+1)sin 2π+1=2， 所以f(x)max=f=2+， f(x)min=f=-. (2)∀x∈R，函数f(x)=x3+ax2+3ax+4没有极值的充要条件为　　　　　.  答案　0≤a≤9 解析　由题意知f'(x)=3x2+2ax+3a， 注意到f'(x)是开口向上的二次函数， 若f(x)没有极值，则f'(x)≥0恒成立， 即Δ=4a2-36a≤0，解得0≤a≤9. 三、与导数有关的综合性问题 1.以函数为背景的实际问题给高考数学提供了广阔的空间.导数是研究函数性质以及解决实际问题中的最大、最小值的强有力的工具，多以选择题和填空题的形式出现，难度中低档.从近几年高考题看，利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到，一般出现在高考题解答题中，难度中高档. 2.通过利用导数解决实际问题，培养数学建模，解决函数方程问题，提升逻辑推理，直观想象及数学运算等核心素养. 例3　已知函数f(x)=-ax2+ln x(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性； (2)若存在x∈(1，+∞)，使f(x)>-a，求a的取值范围. 解　(1)f'(x)=-2ax+=(x>0)， 当a≤0时，f'(x)>0， 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增； 当a>0时，令f'(x)=0，得x=， 令f'(x)>0，得x∈； 令f'(x)<0，得x∈， 所以f(x)在上单调递增， 在上单调递减. (2)由f(x)>-a，得a(x2-1)-ln x<0， 因为x∈(1，+∞)，所以-ln x<0，x2-1>0， 当a≤0时，a(x2-1)-ln x<0，符合题意； 设g(x)=a(x2-1)-ln x(x>1)， 则g'(x)=， 当a≥时，g'(x)>0，g(x)在(1，+∞)上单调递增， 所以g(x)>g(1)=0，不符合题意； 当0<a<时，令g'(x)>0， 得x∈， 令g'(x)<0，得x∈， 所以g(x)min=g<g(1)=0， 则存在x∈(1，+∞)，使g(x)<0， 综上，a的取值范围是. 反思感悟　综合性问题一般伴随着分类讨论、数形结合、构造函数等数学中的思想方法，关键是分类讨论时，是否做到了不重不漏；数形结合时是否掌握了函数图象的变化趋势；构造函数时是否合理等问题. 跟踪训练3　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大. 解　(1)因为蓄水池侧面的建造成本为100·2πrh=200πrh(元)，底面的建造成本为160πr2元，所以蓄水池的总建造成本为(200πrh+160πr2)元， 又200πrh+160πr2=12 000π， 所以h=(300-4r2)， 所以V(r)=πr2h=(300r-4r3). 因为r>0，又由h>0可得0<r<5， 故函数V(r)的定义域为(0，5). (2)因为V(r)=(300r-4r3)， 所以V'(r)=(300-12r2). 令V'(r)=0，解得r1=5，r2=-5(舍去). 当r∈(0，5)时，V'(r)>0，故V(r)在(0，5)上单调递增；当r∈(5，5)时，V'(r)<0，故V(r)在(5，5)上单调递减. 由此可知，V(r)在r=5处取得极大值也为最大值，此时h=8， 即当r=5，h=8时，该蓄水池的体积最大. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 章末复习课 第二章 <<< 知识网络 一、导数的计算 二、函数的单调性、极值、最值 三、与导数有关的综合性问题 内容索引 导数的计算 一 1.此部分内容涉及导数的几何意义，基本初等函数求导法则、运算法则、复合函数求导，作为数形结合的桥梁，导数的几何意义成为最近几年高考的高频考点，主要考查切线方程及切点，与切线平行、垂直问题，常结合函数的切线问题转化为点到直线的距离，平行线间的距离问题，进而研究距离最值，难度中低档. 2.通过求切线方程的有关问题，培养数学运算、数学抽象等核心素养. 5 　　　(1)已知函数f(x)=，f'(x)为f(x)的导函数，则f'(x)等于 A. B. C. D. 例 1 √ 根据题意，知函数f(x)=， 其导函数f'(x)= ==. 6 (2)已知曲线f(x)=aln x+x2在点(1，1)处的切线与直线x+y=0平行，则实数a的值为 A.-3 B.1 C.2 D.3 √ 由f(x)=aln x+x2，得f'(x)=+2x， 则曲线在点(1，1)处的切线斜率为k=a+2，由切线与直线x+y=0平行，可得k=-1，即a+2=-1，解得a=-3. 7 导数的运算是解决一切导数问题的基础，熟练掌握基本初等函数的求导法则，掌握函数的和、差、积、商的运算法则，复合函数求导的关键是分清层次，逐层求导，一般我们只解决有两层复合的关系，求导时不要忘了对内层函数求导即可. 反 思 感 悟 8 　　　　　(1)已知函数f(x)=ln x+2x2-4x，则函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为 A.x-y+3=0 B.x+y-3=0 C.x-y-3=0 D.x+y+3=0 跟踪训练 1 √ 由f(x)=ln x+2x2-4x， 得f'(x)=+4x-4， 所以f'(1)=1，又f(1)=-2， 所以函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y+2=1×(x-1)，即x-y-3=0. 9 (2)设f'(x)是函数f(x)的导函数，若f(x)=x·ln(2x-1)，则f'(1)=　　. 2 因为f(x)=x·ln(2x-1)， 所以f'(x)=ln(2x-1)+·(2x-1)' =ln(2x-1)+，则f'(1)=2. 10 二 函数的单调性、极值、最值 1.利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决有关的问题，是最近几年高考的重点内容，难度中高档. 2.通过求函数的单调性、极值、最值问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养. 　　　已知函数f(x)=ex+ax2-x. (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性； 例 2 当a=1时，f(x)=ex+x2-x， f'(x)=ex+2x-1，令φ(x)=ex+2x-1， 由于φ'(x)=ex+2>0， 故f'(x)单调递增，注意到f'(0)=0， 故当x∈(-∞，0)时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(0，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增. 13 (2)当x≥0时，f(x)≥x3+1，求a的取值范围. 14 由f(x)≥x3+1得， ex+ax2-x≥x3+1，其中x≥0， ①当x=0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意； ②当x>0时，分离参数a得 a≥-， 记g(x)=-， g'(x)=-， 15 令h(x)=ex-x2-x-1(x≥0)， 则h'(x)=ex-x-1， 令t(x)=h'(x)，x>0，则t'(x)=ex-1>0， 故h'(x)单调递增，h'(x)>h'(0)=0， 故函数h(x)单调递增，h(x)>h(0)=0， 由h(x)>0可得ex-x2-x-1>0恒成立， 故当x∈(0，2)时，g'(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈(2，+∞)时，g'(x)<0，g(x)单调递减； 16 因此，g(x)max=g(2)=， 综上可得，a的取值范围是. 17 反 思 感 悟 (1)利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础，一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性，从而掌握函数图象的变化趋势，达到解决问题的目的. (2)①极值点是f'(x)的变号零点，除了找f'(x)=0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性. ②求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，需通过比较端点值大小才能下结论. 　　　　　(1)函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为 A.-， B.-， C.-，+2 D.-，+2 跟踪训练 2 √ 19 f(x)=cos x+(x+1)sin x+1，x∈[0，2π]，则f'(x)=-sin x+sin x+(x+1)·cos x =(x+1)cos x，x∈[0，2π]. 令f'(x)=0，解得x=或x=. 因为f=cos +sin +1 =2+， f=cos +sin +1=-， 又f(0)=cos 0+(0+1)sin 0+1=2， f(2π)=cos 2π+(2π+1)sin 2π+1=2， 20 所以f(x)max=f=2+， f(x)min=f=-. 21 (2)∀x∈R，函数f(x)=x3+ax2+3ax+4没有极值的充要条件为　　　　. 0≤a≤9 由题意知f'(x)=3x2+2ax+3a， 注意到f'(x)是开口向上的二次函数， 若f(x)没有极值，则f'(x)≥0恒成立， 即Δ=4a2-36a≤0，解得0≤a≤9. 22 与导数有关的综合性问题 三 1.以函数为背景的实际问题给高考数学提供了广阔的空间.导数是研究函数性质以及解决实际问题中的最大、最小值的强有力的工具，多以选择题和填空题的形式出现，难度中低档.从近几年高考题看，利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到，一般出现在高考题解答题中，难度中高档. 2.通过利用导数解决实际问题，培养数学建模，解决函数方程问题，提升逻辑推理，直观想象及数学运算等核心素养. 24 　　　已知函数f(x)=-ax2+ln x(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性； 例 3 25 f'(x)=-2ax+=(x>0)， 当a≤0时，f'(x)>0， 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增； 当a>0时，令f'(x)=0，得x=， 令f'(x)>0，得x∈； 令f'(x)<0，得x∈， 所以f(x)在上单调递增， 在上单调递减. 26 (2)若存在x∈(1，+∞)，使f(x)>-a，求a的取值范围. 27 由f(x)>-a，得a(x2-1)-ln x<0， 因为x∈(1，+∞)，所以-ln x<0，x2-1>0， 当a≤0时，a(x2-1)-ln x<0，符合题意； 设g(x)=a(x2-1)-ln x(x>1)， 则g'(x)=， 当a≥时，g'(x)>0，g(x)在(1，+∞)上单调递增， 所以g(x)>g(1)=0，不符合题意； 当0<a<时，令g'(x)>0， 28 得x∈， 令g'(x)<0，得x∈， 所以g(x)min=g<g(1)=0， 则存在x∈(1，+∞)，使g(x)<0， 综上，a的取值范围是. 29 反 思 感 悟 综合性问题一般伴随着分类讨论、数形结合、构造函数等数学中的思想方法，关键是分类讨论时，是否做到了不重不漏；数形结合时是否掌握了函数图象的变化趋势；构造函数时是否合理等问题. 　　　　　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； 跟踪训练 3 31 因为蓄水池侧面的建造成本为100·2πrh=200πrh(元)，底面的建造成本为160πr2元，所以蓄水池的总建造成本为(200πrh+160πr2)元， 又200πrh+160πr2=12 000π， 所以h=(300-4r2)， 所以V(r)=πr2h=(300r-4r3). 因为r>0，又由h>0可得0<r<5， 故函数V(r)的定义域为(0，5). 32 (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大. 因为V(r)=(300r-4r3)， 所以V'(r)=(300-12r2). 令V'(r)=0，解得r1=5，r2=-5(舍去). 当r∈(0，5)时，V'(r)>0，故V(r)在(0，5)上单调递增；当r∈(5，5)时，V'(r)<0，故V(r)在(5，5)上单调递减. 由此可知，V(r)在r=5处取得极大值也为最大值，此时h=8， 即当r=5，h=8时，该蓄水池的体积最大. 33 第二章 <<< $$