第1章 3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（北师大版2019）

3.2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和公式 [学习目标]　1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题. 导语 一天，小林和小明做“贷款”游戏，他们签订了一份合同.从签订合同之日起，在整整一个月(30天)中，小明第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元……以后每天比前一天多贷给小林1万元.而小林按这样的方式还贷：小林第一天只需还1分钱，第二天还2分钱，第三天还4分钱……以后每天还的钱数是前一天的两倍. 合同开始生效了，第一天小林支出1分钱，收入1万元；第二天，他支出2分钱，收入2万元；第三天，他支出4分钱，收入3万元……到了第10天，他共得55万元，付出的总数只有10元2角3分.到了第20天，小林共得210万元，而小明才得到1 048 575分，共1万元多一点.小林想，要是合同订两个月、三个月该多好！果真是这样吗？我们一起来帮他算一算. 一、等比数列前n项和公式的基本运算 问题1　若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？ 提示　因为Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an， 所以Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1， 上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn-qSn=a1-a1qn， 即(1-q)Sn=a1(1-qn)，当q≠1时，有Sn=，而当q=1时，Sn=na1. 知识梳理 　等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1，项数n与公比q 首项a1，末项an与公比q 公式 Sn= Sn= 注意点： (1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q=1和q≠1进行分类讨论. (2)公式一中的n表示的是所求数列的项数. (3)公式二中的an在求和时，表示数列的最后一项. 例1　求下列等比数列前8项的和： (1)，，，…； (2)a1=27，a9=，q<0. 解　(1)因为a1=，q=， 所以S8==. (2)由a1=27，a9=，可得=27q8. 又因为q<0，解得q=-， 所以S8====. 反思感悟　求等比数列的前n项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注意公比q=1是否成立. 跟踪训练1　若等比数列{an}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=　　　　，前n项和Sn=　　　　.  答案　2　2n+1-2 解析　设等比数列的公比为q， ∵a2+a4=20，a3+a5=40， ∴20q=40，且a1q+a1q3=20， 解得q=2，且a1=2. ∴Sn===2n+1-2. 二、等比数列前n项和公式的综合应用 问题2　等比数列的前n项和公式中涉及哪几个相关量？在这几个相关量中，已知其中几个相关量可以求出其他量？ 提示　共有5个量，a1，an，n，q，Sn，知三求二. 例2　已知一个等比数列{an}，a1+a3=10，a4+a6=，求a4和前5项和S5. 解　设等比数列{an}的公比为q， 则 即 ∵a1≠0，1+q2≠0，②÷①得q3=， ∴q=，∴a1=8，∴a4=8×=1， ∴S5==. 反思感悟　等比数列前n项和公式的运算 当q=1时，等比数列是常数列，所以Sn=na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式.当已知a1，q与n时，用Sn=比较方便；当已知a1，q与an时，用Sn=比较方便. 跟踪训练2　在等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记Sn为数列{an}的前n项和，若Sm=63，求m. 解　(1)设{an}的公比为q，由题设得an=qn-1. 由已知得q4=4q2， 解得q=0(舍去)或q=-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1. (2)若an=(-2)n-1，则Sn=. 由Sm=63，得(-2)m=-188，此方程没有正整数解. 若an=2n-1，则Sn=2n-1. 由Sm=63，得2m=64，解得m=6. 综上，m=6. 三、等比数列前n项和公式的实际应用 例3　一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？ 解　用an表示热气球在第n分钟上升的高度， 由题意得an+1=an， 因此，数列{an}是以25为首项，为公比的等比数列. 热气球在前n分钟内上升的总高度 Sn=a1+a2+…an= = =125×<125， 即这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 反思感悟　解答等比数列前n项和公式的实际应用问题的注意事项 (1)认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型. (2)合理设元，建立等比数列模型，依据其性质及方程思想求出未知元素，并依据结论作出合理解释. (3)实际问题解答完成后一定要有结论. 跟踪训练3　《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么此人第一天所走路程里数为(　　) A.96 B.126 C.192 D.252 答案　C 解析　由题意得，此人每天走的路程形成以a1为首项，以为公比的等比数列， 因为此人6天后到达目的地，则有 S6==378， 解得a1=192， 所以此人第一天所走路程里数为192. 1.知识清单： (1)等比数列前n项和公式. (2)等比数列的前n项和公式的应用. 2.方法归纳：错位相减法、方程(组)思想、分类讨论法. 3.常见误区： (1)忽略q=1的情况而致错. (2)忽略对参数的讨论. 1.等比数列{an}的首项a1=1，公比q=2，则S6等于(　　) A.-63 B.31 C.-31 D.63 答案　D 解析　S6==26-1=64-1=63. 2.古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然领先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米……所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2米时，乌龟爬行的总距离(单位：米)为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意知，乌龟每次爬行的距离(单位：米)构成等比数列{an}，且首项a1=100，公比q=，易知a5=10-2，则乌龟爬行的总距离(单位：米)为 S5===. 3.在等比数列{an}中，a1=2，S3=26，则公比q=　　　　.  答案　3或-4 解析　因为q≠1，所以S3===26，所以q2+q-12=0，解得q=3或q=-4. 4.在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn=126，则n=　　　　.  答案　6 解析　因为a1=2，an+1=2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，又因为Sn=126，所以=126，解得n=6. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.在等比数列{an}中，a1=2，a2=1，则S100等于(　　) A.4-2100 B.4+2100 C.4-2-98 D.4-2-100 答案　C 解析　q==. S100== =4×(1-2-100)=4-2-98. 2.等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列.若a1=1，则S4等于(　　) A.7 B.8 C.15 D.16 答案　C 解析　设{an}的公比为q，因为4a1，2a2，a3成等差数列，所以4a2=4a1+a3，即4a1q=4a1+a1q2，即q2-4q+4=0，解得q=2.又a1=1，所以S4==15. 3.在等比数列{an}中，已知a1=3，an=48，Sn=93，则n的值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　B 解析　显然q≠1，由Sn=， 得93=，解得q=2.由an=a1qn-1， 得48=3×2n-1，解得n=5. 4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　) A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 答案　B 解析　设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7=381，q=2， ∴S7===381， 解得a1=3. 5.已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，且9S3=S6，则数列的前5项和为(　　) A.或5 B.或5 C. D. 答案　C 解析　由9S3=S6，得q≠1，且=， 即1+q3=9，解得q=2， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列， 则数列的前5项和为=. 6.(多选)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3=1，++=，则(　　) A.{an}必是递减数列 B.S5= C.公比q=4或 D.a1=4或 答案　BD 解析　设等比数列{an}的公比为q，则q>0， 因为a1a5==1，a3=a1q2=1 ， 所以++=1++=1+=1+a1+a5=a1+1+=， 解得或 当a1=4，q=时，S5==， 数列{an}是递减数列； 当a1=，q=2时， S5==，数列{an}是递增数列； 综上，S5=. 7.(5分)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=　　　　.  答案　-2 解析　S3+3S2=a1+a2+a3+3a1+3a2=4a1+4a2+a3=a1(4+4q+q2)=a1(2+q)2=0， 故q=-2. 8.(5分)已知数列{an}是公比为q的等比数列，若a1=，q=，则++…+=　　　　.  答案　 解析　由题意an=×()n-1， 则==×2n-1， 故{}是首项为，公比为2的等比数列， 故++…+==. 9.(10分)已知数列{an}是等比数列. (1)若a1=3，q=2，求S6；(2分) (2)若a1=-，q=-，an=，求Sn；(2分) (3)若a1=-1，a4=64，求q与S4；(3分) (4)若a3=，S3=，求a1与q.(3分) 解　(1)S6===189. (2)Sn===-. (3)由q3===-64， 得q=-4. ∴S4===51. (4)方法一　∵S3=a1+a2+a3 =a3(q-2+q-1+1)， a3=，S3=， ∴q-2+q-1+1=3， 即2q2-q-1=0，解得q=1或q=-. 当q=1时，a1=； 当q=-时，a1=6. 方法二　当q=1时，a1=a3=， 又S3=，∴S3=3a1，符合题意. 当q≠1时，S3==， ① a3=a1q2=， ② 由①得a1(1+q+q2)=， ③ ③÷②得=3， 即2q2-q-1=0， ∴(2q+1)(q-1)=0， ∵q≠1，∴q=-，∴a1===6， 综上，当q=1时，a1=， 当q=-时，a1=6. 10.(11分)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn. (1)求{an}的通项公式；(5分) (2)求{bn}的前n项和.(6分) 解　(1)由已知，a1b2+b2=b1，b1=1，b2=，得a1=2.所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an=3n-1，n∈N+. (2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得=， 因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列. 设{bn}的前n项和为Sn， 则Sn==-. 11.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　5斗=50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3， 由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3=50，则=50，解得a1=，所以牛主人应偿还粟的量为a3=22a1=. 12.在数列{an}中，a1=2，am+n=aman，若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25，则k等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　C 解析　a1=2，am+n=aman， 令m=1，则an+1=a1an=2an， ∴{an}是以2为首项，公比为2的等比数列， ∴an=2×2n-1=2n. 又∵ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25， ∴=215-25，即2k+1(210-1)=25(210-1)， ∴2k+1=25，∴k+1=5，∴k=4. 13.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N+，满足=9，=，则数列{an}的公比为(　　) A.-2 B.2 C.-3 D.3 答案　B 解析　设数列{an}的公比为q，若q=1，则=2，与题中条件矛盾，故q≠1. ∵==qm+1=9，∴qm=8. ∵==qm=8=， ∴m=3，∴q3=8，∴q=2. 14.(多选)在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1·a4=32，a2+a3=12，则下列说法正确的是(　　) A.q=2 B.数列{Sn+2}是等比数列 C.S8=510 D.数列{lg an}是公差为2的等差数列 答案　ABC 解析　因为数列{an}为等比数列， 又a1·a4=32，所以a2·a3=32， 又a2+a3=12， 所以或 又公比q为整数，则 故an=2n，Sn==2n+1-2， 由上可得q=2，即A正确； Sn+2=2n+1，==2，则数列{Sn+2}是等比数列，即B正确； S8=29-2=510，即C正确； lg an+1-lg an=lg =lg 2，即数列{lg an}是公差为lg 2的等差数列，即D错误. 15.(5分)设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N+)均在直线y=x+上.若bn=，则数列{bn}的前n项和Tn=　　　　.  答案　 解析　依题意得=n+， 即Sn=n2+n. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =-=2n-； 当n=1时，a1=S1=，符合an=2n-， 所以an=2n-(n∈N+)， 则bn==32n， 由==32=9， 可知{bn}为公比为9的等比数列，b1=32=9， 故Tn==. 16.(12分)已知数列{an}中，a1=1，an·an+1=，记T2n为{an}的前2n项和，bn=a2n+a2n-1，n∈N+. (1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；(6分) (2)求T2n.(6分) 解　(1)因为an·an+1=， 所以an+1·an+2=， 所以=，即an+2=an， 因为bn=a2n+a2n-1， 所以===， 所以{bn}是公比为的等比数列. 因为a1=1，a1·a2=， 所以a2=，则b1=a2+a1=， 所以bn=×=. (2)由(1)可知=， 所以a1，a3，a5，…是以a1=1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2=为首项，以为公比的等比数列， 所以T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=+=3-. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 等比数列的前n项和公式 第1课时 第一章 <<< 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题. 学习目标 一天，小林和小明做“贷款”游戏，他们签订了一份合同.从签订合同之日起，在整整一个月(30天)中，小明第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元……以后每天比前一天多贷给小林1万元.而小林按这样的方式还贷：小林第一天只需还1分钱，第二天还2分钱，第三天还4分钱……以后每天还的钱数是前一天的两倍. 合同开始生效了，第一天小林支出1分钱，收入1万元；第二天，他支出2分钱，收入2万元；第三天，他支出4分钱，收入3万元……到了第10天，他共得55万元，付出的总数只有10元2角3分.到了第20天，小林共得210万元，而小明才得到1 048 575分，共1万元多一点.小林想，要是合同订两个月、三个月该多好！果真是这样吗？我们一起来帮他算一算. 导 语 一、等比数列前n项和公式的基本运算 二、等比数列前n项和公式的综合应用 课时对点练 三、等比数列前n项和公式的实际应用 随堂演练 内容索引 等比数列前n项和公式的基本运算 一 若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？ 问题1 提示　因为Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an， 所以Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1， 上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn-qSn=a1-a1qn， 即(1-q)Sn=a1(1-qn)，当q≠1时，有Sn=，而当q=1时，Sn=na1. 等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1，项数n与公比q 首项a1，末项an与公比q 公式 Sn= Sn= 知识梳理 (1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q=1和q≠1进行分类讨论. (2)公式一中的n表示的是所求数列的项数. (3)公式二中的an在求和时，表示数列的最后一项. 注 意 点 <<< 8 　　　求下列等比数列前8项的和： (1)，，，…； 例 1 因为a1=，q=， 所以S8==. 9 (2)a1=27，a9=，q<0. 由a1=27，a9==27q8. 又因为q<0，解得q=-， 所以S8====. 10 求等比数列的前n项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注意公比q=1是否成立. 反 思 感 悟 11 　　　　　若等比数列{an}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=　　，前n项和Sn=　　　.  跟踪训练 1 设等比数列的公比为q， ∵a2+a4=20，a3+a5=40， ∴20q=40，且a1q+a1q3=20， 解得q=2，且a1=2. ∴Sn===2n+1-2. 2 2n+1-2 12 二 等比数列前n项和公式的综合应用 等比数列的前n项和公式中涉及哪几个相关量？在这几个相关量中，已知其中几个相关量可以求出其他量？ 问题2 提示　共有5个量，a1，an，n，q，Sn，知三求二. 　　　已知一个等比数列{an}，a1+a3=10，a4+a6=，求a4和前5项和S5. 例 2 15 设等比数列{an}的公比为q， 则 即 ∵a1≠0，1+q2≠0，②÷①得q3=， ∴q=，∴a1=8，∴a4=8×=1， ∴S5==. ① ② 16 反 思 感 悟 当q=1时，等比数列是常数列，所以Sn=na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式.当已知a1，q与n时，用Sn= 比较方便；当已知a1，q与an时，用Sn=比较方便. 等比数列前n项和公式的运算 　　　　　在等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3. (1)求数列{an}的通项公式； 跟踪训练 2 设{an}的公比为q，由题设得an=qn-1. 由已知得q4=4q2， 解得q=0(舍去)或q=-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1. 18 (2)记Sn为数列{an}的前n项和，若Sm=63，求m. 若an=(-2)n-1，则Sn=. 由Sm=63，得(-2)m=-188，此方程没有正整数解. 若an=2n-1，则Sn=2n-1. 由Sm=63，得2m=64，解得m=6. 综上，m=6. 19 三 等比数列前n项和公式的实际应用 　　　一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？ 例 3 21 用an表示热气球在第n分钟上升的高度， 由题意得an+1=an， 因此，数列{an}是以25为首项，为公比的等比数列. 热气球在前n分钟内上升的总高度 Sn=a1+a2+…an== =125×<125， 即这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 22 反 思 感 悟 (1)认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型. (2)合理设元，建立等比数列模型，依据其性质及方程思想求出未知元素，并依据结论作出合理解释. (3)实际问题解答完成后一定要有结论. 解答等比数列前n项和公式的实际应用问题的注意事项 　　　　　《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么此人第一天所走路程里数为 A.96 B.126 C.192 D.252 跟踪训练 3 √ 24 由题意得，此人每天走的路程形成以a1为首项，以为公比的等比数列， 因为此人6天后到达目的地，则有 S6==378， 解得a1=192， 所以此人第一天所走路程里数为192. 25 1.知识清单： (1)等比数列前n项和公式. (2)等比数列的前n项和公式的应用. 2.方法归纳：错位相减法、方程(组)思想、分类讨论法. 3.常见误区： (1)忽略q=1的情况而致错. (2)忽略对参数的讨论. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.等比数列{an}的首项a1=1，公比q=2，则S6等于 A.-63 B.31 C.-31 D.63 √ S6==26-1=64-1=63. 2.古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然领先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米……所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2米时，乌龟爬行的总距离(单位：米)为 A. B. C. D. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 由题意知，乌龟每次爬行的距离(单位：米)构成等比数列{an}，且首项a1=100，公比q=，易知a5=10-2，则乌龟爬行的总距离(单位：米)为 S5===. 3.在等比数列{an}中，a1=2，S3=26，则公比q=　　　.  1 2 3 4 因为q≠1，所以S3===26，所以q2+q-12=0，解得q=3或q=-4. 3或-4 4.在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn=126，则n=__. 1 2 3 4 6 因为a1=2，an+1=2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，又因为Sn=126，所以=126，解得n=6. 课时对点练 五 1.在等比数列{an}中，a1=2，a2=1，则S100等于 A.4-2100 B.4+2100 C.4-2-98 D.4-2-100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ q==. S100== =4×(1-2-100)=4-2-98. 2.等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列.若a1=1，则S4等于 A.7 B.8 C.15 D.16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设{an}的公比为q，因为4a1，2a2，a3成等差数列，所以4a2=4a1+a3，即4a1q=4a1+a1q2，即q2-4q+4=0，解得q=2.又a1=1，所以S4==15. 3.在等比数列{an}中，已知a1=3，an=48，Sn=93，则n的值为 A.4 B.5 C.6 D.7 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 显然q≠1，由Sn=， 得93=，解得q=2.由an=a1qn-1， 得48=3×2n-1，解得n=5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7=381，q=2， ∴S7===381， 解得a1=3. 5.已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，且9S3=S6，则数列的前5项和为 A.或5 B.或5 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由9S3=S6，得q≠1，且=， 即1+q3=9，解得q=2， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列， 则数列的前5项和为=. 6.(多选)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3=1，++=，则 A.{an}必是递减数列 B.S5= C.公比q=4或 D.a1=4或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等比数列{an}的公比为q，则q>0， 因为a1a5==1，a3=a1q2=1 ， 所以++=1++=1+=1+a1+a5=a1+1+=， 解得 当a1=4，q=时，S5==， 数列{an}是递减数列； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a1=，q=2时， S5==，数列{an}是递增数列； 综上，S5=. 7.等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -2 S3+3S2=a1+a2+a3+3a1+3a2=4a1+4a2+a3=a1(4+4q+q2)=a1(2+q)2=0， 故q=-2. 8.已知数列{an}是公比为q的等比数列，若a1=，q=，则++…+ =　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意an=×()n-1， 则==×2n-1， 故{，公比为2的等比数列， 故++…+==. 9.已知数列{an}是等比数列. (1)若a1=3，q=2，求S6； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 S6===189. (2)若a1=-，q=-，an=，求Sn； Sn===-. (3)若a1=-1，a4=64，求q与S4； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由q3===-64， 得q=-4. ∴S4===51. (4)若a3=，S3=，求a1与q. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　∵S3=a1+a2+a3 =a3(q-2+q-1+1)， a3=，S3=， ∴q-2+q-1+1=3， 即2q2-q-1=0，解得q=1或q=-. 当q=1时，a1=； 当q=-时，a1=6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　当q=1时，a1=a3=， 又S3=，∴S3=3a1，符合题意. 当q≠1时，S3==， ① a3=a1q2=， ② 由①得a1(1+q+q2)=， ③ ③÷②得=3， 即2q2-q-1=0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴(2q+1)(q-1)=0， ∵q≠1，∴q=-，∴a1===6， 综上，当q=1时，a1=， 当q=-时，a1=6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1 =nbn. (1)求{an}的通项公式； 由已知，a1b2+b2=b1，b1=1，b2=，得a1=2.所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an=3n-1，n∈N+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求{bn}的前n项和. 由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得=， 因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列. 设{bn}的前n项和为Sn， 则Sn==-. 11.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？ A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5斗=50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3， 由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3=50，则 =50，解得a1=，所以牛主人应偿还粟的量为a3=22a1=. 12.在数列{an}中，a1=2，am+n=aman，若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25，则k等于 A.2 B.3 C.4 D.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a1=2，am+n=aman， 令m=1，则an+1=a1an=2an， ∴{an}是以2为首项，公比为2的等比数列， ∴an=2×2n-1=2n. 又∵ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25， ∴=215-25，即2k+1(210-1)=25(210-1)， ∴2k+1=25，∴k+1=5，∴k=4. 13.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N+，满足=9，= ，则数列{an}的公比为 A.-2 B.2 C.-3 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设数列{an}的公比为q，若q=1，则=2，与题中条件矛盾，故q≠1. ∵==qm+1=9，∴qm=8. ∵==qm=8=， ∴m=3，∴q3=8，∴q=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(多选)在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1·a4=32，a2+a3=12，则下列说法正确的是 A.q=2 B.数列{Sn+2}是等比数列 C.S8=510 D.数列{lg an}是公差为2的等差数列 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为数列{an}为等比数列， 又a1·a4=32，所以a2·a3=32， 又a2+a3=12， 所以 又公比q为整数，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故an=2n，Sn==2n+1-2， 由上可得q=2，即A正确； Sn+2=2n+1，==2，则数列{Sn+2}是等比数列，即B正确； S8=29-2=510，即C正确； lg an+1-lg an=lg =lg 2，即数列{lg an}是公差为lg 2的等差数列，即D错误. 15.设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N+)均在直线y=x+上.若bn= ，则数列{bn}的前n项和Tn=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意得=n+， 即Sn=n2+n. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =-=2n-； 当n=1时，a1=S1=，符合an=2n-， 所以an=2n-(n∈N+)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则bn==32n， 由==32=9， 可知{bn}为公比为9的等比数列，b1=32=9， 故Tn==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知数列{an}中，a1=1，an·an+1=，记T2n为{an}的前2n项和，bn= a2n+a2n-1，n∈N+. (1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为an·an+1=， 所以an+1·an+2=， 所以=，即an+2=an， 因为bn=a2n+a2n-1， 所以===， 所以{bn}是公比为的等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a1=1，a1·a2=， 所以a2=，则b1=a2+a1=， 所以bn=×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求T2n. 由(1)可知=， 所以a1，a3，a5，…是以a1=1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2=为公比的等比数列， 所以T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=+=3-. 第一章 <<< $$