第1章 3.1 第2课时 等比数列的性质-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（北师大版2019）

第2课时　等比数列的性质 [学习目标]　1.掌握等比中项的概念并会应用.2.熟悉等比数列的有关性质.3.掌握等比数列的实际应用问题. 导语 在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引伸到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，有人曾说“类比使人聪颖，数学使人严谨，数学使人智慧”，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质. 一、等比中项 问题1　我们知道，如果三个数a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项，且A=，如果三个数a，G，b成等比数列，那么三个数有何数量关系？ 提示　因为a，G，b成等比数列，所以==q，即G=±. 知识梳理 等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，=，G2=ab，G=±，我们称G为a，b的等比中项. 注意点： (1)若G2=ab，则a，G，b不一定成等比数列. (2)只有同号的两个实数才有等比中项. (3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数. 例1　在等差数列{an}中，a3=0.如果ak是a6与ak+6的等比中项，那么k=　　　　.  答案　9 解析　设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，由题意得a3=a1+2d=0，∴a1=-2d.又∵ak是a6与ak+6的等比中项，∴=a6ak+6，即[a1+(k-1)d]2=(a1+5d)·[a1+(k+5)d]，即[(k-3)d]2=3d·(k+3)d，解得k=9或k=0(舍去). 反思感悟　等比中项应用的关注点 (1)只有同号的两个实数才有等比中项，且一定有2个. (2)已知等比数列中的相邻三项an-1，an，an+1，则an是an-1与an+1的等比中项，即=an-1·an+1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程. (3)要证三个数a，G，b成等比数列，只需证明G2=ab，其中a，b，G均不为零. 跟踪训练1　已知a，b，c∈R，如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么(　　) A.b=3，ac=9 B.b=-3，ac=9 C.b=3，ac=-9 D.b=-3，ac=-9 答案　B 解析　∵b2=(-1)×(-9)=9且b与首项-1同号， ∴b=-3，且a，c必同号， ∴ac=b2=9. 二、等比数列的性质 问题2　在等差数列{an}中有这样的性质：若m+n=p+q，那么am+an=ap+aq，用上述情境中的数列验证，在等比数列中是否有类似的性质？ 提示　在等比数列{an}中，若m+n=p+q，那么am·an=ap·aq. 知识梳理 1.等比数列的函数性质 对于等比数列{an}，an=a1qn-1，当q<0时，数列{an}是摆动数列，当q>0时，情况如下： a1 a1>0 a1<0 q的范围 0<q<1 q=1 q>1 0<q<1 q=1 q>1 {an}的单调性 递减 常数列 递增 递增 常数列 递减 2.等比数列的常用性质 等比数列{an}中， (1)若k+l=m+n(k，l，m，n∈N+)，则ak·al=am·an. (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列. 例2　(1)已知数列{an}是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　D 解析　当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立； 当“数列{an}是递增数列”时，可能是a1<0，0<q<1，即必要性不成立；故“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件. (2)等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…+log3a10等于(　　) A.12 B.10 C.8 D.2+log35 答案　B 解析　由等比数列的性质，可得a5a6+a4a7=2a5a6=18，所以a5a6=9. a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9， 则log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a5a6)5=5log39=10. 反思感悟　利用等比数列的性质解题的关注点 (1)判断等比数列的增减性时要结合等比数列的函数性质. (2)充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题. 跟踪训练2　(1)若{an}为等比数列，则“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　若等比数列{an}是递增数列，可得a1<a3<a5一定成立； 反之：例如数列{(-1)n+12n}，此时满足a1<a3<a5，但数列{an}不是递增数列， 所以“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件. (2)在等比数列{an}中，a3=16，a1a2a3…a10=265，则a7=　　　　.  答案　256 解析　因为a1a2a3…a10=(a3a8)5=265， 所以a3a8=213，又因为a3=16=24，所以a8=29. 因为a8=a3·q5，所以q=2. 所以a7==256. 三、等比数列的实际应用 例3　某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值. (1)用一个式子表示第n(n∈N+)年这辆车的价值； (2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解　(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1=10，a2=10×(1-10%)， a3=10(1-10%)2，…. 由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列，首项a1=10，公比q=1-10%=0.9， 所以an=a1·qn-1=10×0.9n-1， 所以第n年车的价值为an=10×0.9n-1(万元). (2)当他用满3年时，车的价值为 a4=10×0.94-1=7.29(万元). 所以用满3年卖掉时，他大概能得到7.29万元. 反思感悟　等比数列应用题的关注点 (1)常见类型：增长率问题、银行利率问题、数值增减问题等. (2)关键：建立数学模型，即将实际问题转化成等比数列的问题. (3)步骤 　构造数列→判断数列→寻找条件→建立方程→求解方程→正确解答 跟踪训练3　窗花(俗称剪纸)蕴含着辞旧迎新、接福纳祥的美好寓意.一位艺术家把一张厚度为0.012 5 cm的纸对折了三次，开始进行剪纸创作，若不计纸与纸之间的间隙，则对折后的半成品厚度是　　　　mm.  答案　1 解析　由题设，对折了三次后半成品厚度为0.012 5×23=0.1(cm)，即1 mm. 1.知识清单： (1)等比中项. (2)等比数列的函数性质与常用性质. (3)等比数列的实际应用. 2.方法归纳：方程和函数思想. 3.常见误区：不注重运用性质，使解题过程烦琐或者性质运用不正确而出错. 1.等比数列{an}的公比q=-，a1=，则数列{an}是(　　) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 答案　D 解析　由于公比q=-<0，所以数列{an}是摆动数列. 2.2+和2-的等比中项是(　　) A.1 B.-1 C.±1 D.2 答案　C 解析　设2+和2-的等比中项为G， 则G2=(2+)(2-)=1，所以G=±1. 3.已知等比数列{an}，若a5=2，a9=32，则a4a10等于(　　) A.±16 B.16 C.±64 D.64 答案　D 解析　因为{an}为等比数列，且a5=2，a9=32，由等比数列的性质得，a4a10=a5a9=2×32=64. 4.画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于　　　　平方厘米.  答案　2 048 解析　依题意知，这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N+)，则第10个正方形的面积S==[2×()9]2=4×29=2 048(平方厘米). 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.已知{an}是等比数列，a2=2，a4=，则公比q等于(　　) A.- B.-2 C.2 D.± 答案　D 解析　由题意可得=q2=，解得q=±. 2.已知等比数列{an}满足a1=，a3a5=4(a4-1)，则a2等于(　　) A.2 B.1 C. D. 答案　C 解析　由题意可得a3a5==4(a4-1)，解得a4=2，所以q3==8，解得q=2，故a2=a1q=. 3.(多选)下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述不正确的是(　　) A.q>1⇒{an}为递增数列 B.{an}为递增数列⇒q>1 C.0<q<1⇔{an}为递减数列 D.q>1{an}为递增数列且{an}为递增数列q>1 答案　ABC 解析　若a1=-2，q=2>1，则{an}的各项为-2，-4，-8，…，是递减数列，A不正确；若等比数列{an}的各项为-16，-8，-4，-2，…，是递增数列，则q=<1，B不正确，D正确；若a1=-16，q=，则{an}的各项为-16，-8，-4，…，显然是递增数列，C不正确. 4.(多选)已知1既是a2与b2的等比中项，又是与的等差中项，则的值可能是(　　) A.1 B.- C. D.- 答案　AD 解析　由题意得，a2b2=(ab)2=1， +==2， 所以或 因此==1或-. 5.一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了5个小伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程持续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂(　　) A.65只 B.66只 C.216只 D.36只 答案　B 解析　设第n天蜜蜂归巢后，蜂巢中共有an只蜜蜂，则a1=6，a2=5a1+a1=6a1，a3=5a2+a2=6a2，…， ∴{an}是首项为6，公比为6的等比数列. ∴a6=a1·q6-1=66. 6.(多选)设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0.则下列结论正确的是(　　) A.0<q<1 B.a7>1 C.a8>1 D.Tn的最大项为T7 答案　ABD 解析　∵a1>1，a7a8>1，<0， ∴a7>1，0<a8<1， 故A正确；B正确；C错误；T7是数列{Tn}中的最大项，故D正确. 7.(5分)一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后　　　　分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB=210 KB).  答案　45 解析　由题意可得，每3分钟病毒占据的内存容量构成一个等比数列，设病毒占据64 MB时自身复制了n次，即2×2n=64×210=216，解得n=15，从而复制的时间为15×3=45(分钟). 8.(5分)在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2-18x+7=0的两个根，则a7=　　　　.  答案　1 解析　∵a5，a9是方程7x2-18x+7=0的两个根. ∴∴∴a7>0. 又a7是a5与a9的等比中项， ∴=a5·a9=1，∴a7=1. 9.(10分)已知数列{an}为等比数列. (1)若an>0，且a2a4+2a3a5+a4a6=36，求a3+a5的值；(4分) (2)若数列{an}的前三项和为168，a2-a5=42，求a5，a7的等比中项.(6分) 解　(1)∵a2a4+2a3a5+a4a6=36， ∴+2a3a5+=36，即(a3+a5)2=36， 又∵an>0，∴a3+a5=6. (2)设等比数列{an}的公比为q， ∵a2-a5=42，∴q≠1. 由已知，得 ∴ 解得 设G是a5，a7的等比中项， 则G2=a5·a7=a1q4·a1q6=q10 =962×=9， ∴a5，a7的等比中项为±3. 10.(10分)(1)设{an}为公比q>1的等比数列，若a2 023和a2 024是方程4x2-8x+3=0的两根，求a2 033+a2 034的值；(5分) (2)在等比数列{an}中，已知a4a7=-512，a3+a8=124，且公比q为整数，求通项公式an.(5分) 解　(1)解方程4x2-8x+3=0， 得x1=，x2=， 由q>1，得a2 023=，a2 024=，q=3， 所以a2 033+a2 034=(a2 023+a2 024)q10=2×310. (2)在等比数列{an}中，由a4a7=-512， 得a3a8=-512，又a3+a8=124， 解得a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4， 因为公比q为整数， 所以q==-=-2， 故an=-4×(-2)n-3=-(-2)n-1. 11.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6等于(　　) A.5 B.7 C.6 D.4 答案　A 解析　∵a1a2a3==5，∴a2=. ∵a7a8a9==10，∴a8=. ∴=a2a8==5， 又∵数列{an}各项均为正数，∴a5=5. ∴a4a5a6==5=5. 12.在等比数列{an}中，首项a1<0，则{an}是递增数列的充要条件是公比q满足(　　) A.q>1 B.q<1 C.0<q<1 D.q<0 答案　C 解析　先证必要性： ∵a1<0，且{an}是递增数列， ∴an<0，即q>0，且==q<1， 则此时公比q满足0<q<1； 再证充分性： ∵a1<0，0<q<1，∴an<0， ∴==q<1，即an+1>an， 则{an}是递增数列， 综上，{an}是递增数列的充要条件是公比q满足0<q<1. 13.已知等比数列{an}满足an>0，且a5·a2n-5=22n(n≥3)，则当n≥3时，log2a1+log2a3+…+log2a2n-1等于(　　) A.2n B.2n2 C.2n2-n D.n2 答案　D 解析　log2a1+log2a3+…+log2a2n-1 =log2(a1·a3·…·a2n-1)=log2(a1a2n-1 =log2(a5a2n-5=log2=log2=n2. 14.(多选)已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，{an}的前n项和为Sn，若a1+a6+a11=3π，b1b5b9=8，则(　　) A.S11=11π B.sin = C.a3+a7+a8=3π D.b3+b7≥4 答案　ACD 解析　因为数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1+a6+a11=3π，b1b5b9=8，所以a1+a6+a11=3a6=3π，即a6=π，b1b5b9==8，即b5=2.对于A，S11==11a6=11π，故A正确；对于B，a2+a10=2a6=2π，b4b6==4，所以sin =sin =1，故B错误；对于C，设等差数列{an}的公差为d，则a3+a7+a8=a6-3d+a6+d+a6+2d=3a6=3π，故C正确；对于D，由b5=2，得b3，b7>0，故b3+b7≥2=2=4，当且仅当b3=b7=2时等号成立，故D正确. 15.(5分)已知在等差数列{an}中，a2+a4=16，a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，把各项按如图所示排列.则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为　　　.  答案　275或8 解析　设公差为d， 由a2+a4=16，得a1+2d=8， 由a1+1，a2+1，a4+1成等比数列， 得(a2+1)2=(a1+1)(a4+1)， 解得d=3或d=0， 当d=3时，a1=2，an=3n-1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项， a92=3×92-1=275.当d=0时，an=8，a92=8. 16.(11分)已知等比数列{an}的首项a1=16，公比q=，在{an}中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式；(5分) (2)记数列{bn}前n项的乘积为Tn，试问：Tn是否有最大值？如果有，请求出此时n的值以及最大值；如果没有，请说明理由.(6分) 解　(1)由已知得，数列{bn}的首项b1=16，b5=a2=16×=1， 设数列{bn}的公比为q1(q1>0)， 即===， ∴q1=， 即bn=b1=16×=25-n. (2)Tn=b1·b2·b3·…·bn=24·23·…·25-n =24+3+2+…+(5-n) == =， 即当n=4或5时， Tn有最大值=210=1 024. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 等比数列的性质 第2课时 第一章 <<< 1.掌握等比中项的概念并会应用. 2.熟悉等比数列的有关性质. 3.掌握等比数列的实际应用问题. 学习目标 在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引伸到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，有人曾说“类比使人聪颖，数学使人严谨，数学使人智慧”，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质. 导 语 一、等比中项 二、等比数列的性质 课时对点练 三、等比数列的实际应用 随堂演练 内容索引 等比中项 一 我们知道，如果三个数a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项，且A=，如果三个数a，G，b成等比数列，那么三个数有何数量关系？ 问题1 提示　因为a，G，b成等比数列，所以==q，即G=±. 等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，=，G2=ab，G=_______，我们称G为a，b的等比中项. ± 知识梳理 (1)若G2=ab，则a，G，b不一定成等比数列. (2)只有同号的两个实数才有等比中项. (3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数. 注 意 点 <<< 8 　　　在等差数列{an}中，a3=0.如果ak是a6与ak+6的等比中项，那么k=__. 例 1 9 设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，由题意得a3=a1+2d=0，∴a1=-2d. 又∵ak是a6与ak+6的等比中项，∴=a6ak+6， 即[a1+(k-1)d]2=(a1+5d)·[a1+(k+5)d]，即[(k-3)d]2=3d·(k+3)d，解得k=9或k=0(舍去). 9 (1)只有同号的两个实数才有等比中项，且一定有2个. (2)已知等比数列中的相邻三项an-1，an，an+1，则an是an-1与an+1的等比中项，即=an-1·an+1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程. (3)要证三个数a，G，b成等比数列，只需证明G2=ab，其中a，b，G均不为零. 反 思 感 悟 等比中项应用的关注点 10 　　　　　已知a，b，c∈R，如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么 A.b=3，ac=9 B.b=-3，ac=9 C.b=3，ac=-9 D.b=-3，ac=-9 跟踪训练 1 ∵b2=(-1)×(-9)=9且b与首项-1同号， ∴b=-3，且a，c必同号， ∴ac=b2=9. √ 11 二 等比数列的性质 在等差数列{an}中有这样的性质：若m+n=p+q，那么am+an=ap+ aq，用上述情境中的数列验证，在等比数列中是否有类似的性质？ 问题2 提示　在等比数列{an}中，若m+n=p+q，那么am·an=ap·aq. a1 a1>0 a1<0 q的范围 0<q<1 q=1 q>1 0<q<1 q=1 q>1 {an}的单调性 _____ 常数列 _____ _____ 常数列 _____ 1.等比数列的函数性质 对于等比数列{an}，an=a1qn-1，当q<0时，数列{an}是摆动数列，当q>0时，情况如下： 递减 递增 递增 递减 知识梳理 2.等比数列的常用性质 等比数列{an}中， (1)若k+l=m+n(k，l，m，n∈N+)，则ak·al=am·an. (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列. 　　　(1)已知数列{an}是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的 A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 例 2 当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立； 当“数列{an}是递增数列”时，可能是a1<0，0<q<1，即必要性不成立；故“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件. √ 16 (2)等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…+log3a10等于 A.12 B.10 C.8 D.2+log35 由等比数列的性质，可得a5a6+a4a7=2a5a6=18，所以a5a6=9. a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9， 则log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a5a6)5=5log39=10. √ 17 反 思 感 悟 (1)判断等比数列的增减性时要结合等比数列的函数性质. (2)充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题. 利用等比数列的性质解题的关注点 　　　　　(1)若{an}为等比数列，则“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 跟踪训练 2 √ 若等比数列{an}是递增数列，可得a1<a3<a5一定成立； 反之：例如数列{(-1)n+12n}，此时满足a1<a3<a5，但数列{an}不是递增数列， 所以“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件. 19 (2)在等比数列{an}中，a3=16，a1a2a3…a10=265，则a7=　　　.  因为a1a2a3…a10=(a3a8)5=265， 所以a3a8=213，又因为a3=16=24，所以a8=29. 因为a8=a3·q5，所以q=2. 所以a7==256. 256 20 三 等比数列的实际应用 　　　某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值. (1)用一个式子表示第n(n∈N+)年这辆车的价值； 例 3 22 从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1=10，a2=10×(1-10%)， a3=10(1-10%)2，…. 由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列，首项a1=10，公比q=1-10%=0.9， 所以an=a1·qn-1=10×0.9n-1， 所以第n年车的价值为an=10×0.9n-1(万元). 23 (2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 当他用满3年时，车的价值为 a4=10×0.94-1=7.29(万元). 所以用满3年卖掉时，他大概能得到7.29万元. 24 反 思 感 悟 (1)常见类型：增长率问题、银行利率问题、数值增减问题等. (2)关键：建立数学模型，即将实际问题转化成等比数列的问题. (3)步骤 等比数列应用题的关注点 构造数列 → 判断数列 → 寻找条件 → 建立方程 → 求解方程 → 正确解答 　　　　　窗花(俗称剪纸)蕴含着辞旧迎新、接福纳祥的美好寓意.一位艺术家把一张厚度为0.012 5 cm的纸对折了三次，开始进行剪纸创作，若不计纸与纸之间的间隙，则对折后的半成品厚度是　　mm.  跟踪训练 3 由题设，对折了三次后半成品厚度为0.012 5×23=0.1(cm)，即1 mm. 1 26 1.知识清单： (1)等比中项. (2)等比数列的函数性质与常用性质. (3)等比数列的实际应用. 2.方法归纳：方程和函数思想. 3.常见误区：不注重运用性质，使解题过程烦琐或者性质运用不正确而出错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.等比数列{an}的公比q=-，a1=，则数列{an}是 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 √ 由于公比q=-<0，所以数列{an}是摆动数列. 2.2+和2-的等比中项是 A.1 B.-1 C.±1 D.2 1 2 3 4 √ 设2+和2-的等比中项为G， 则G2=(2+)(2-)=1，所以G=±1. 3.已知等比数列{an}，若a5=2，a9=32，则a4a10等于 A.±16 B.16 C.±64 D.64 1 2 3 4 因为{an}为等比数列，且a5=2，a9=32，由等比数列的性质得，a4a10=a5a9=2×32=64. √ 4.画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于　　　平方厘米.  1 2 3 4 2 048 依题意知，这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N+)，则第10个正方形的面积S==[2×()9]2= 4×29=2 048(平方厘米). 课时对点练 五 1.已知{an}是等比数列，a2=2，a4=，则公比q等于 A.- B.-2 C.2 D.± 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 由题意可得=q2=，解得q=±. 2.已知等比数列{an}满足a1=，a3a5=4(a4-1)，则a2等于 A.2 B.1 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意可得a3a5==4(a4-1)，解得a4=2，所以q3==8，解得q=2，故a2=a1q=. 3.(多选)下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述不正确的是 A.q>1⇒{an}为递增数列 B.{an}为递增数列⇒q>1 C.0<q<1⇔{an}为递减数列 D.q>1 {an}为递增数列且{an}为递增数列 q>1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若a1=-2，q=2>1，则{an}的各项为-2，-4，-8，…，是递减数列，A不正确； 若等比数列{an}的各项为-16，-8，-4，-2，…，是递增数列，则q= <1，B不正确，D正确； 若a1=-16，q=，则{an}的各项为-16，-8，-4，…，显然是递增数列，C不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)已知1既是a2与b2的等比中项，又是与的等差中项，则的值可能是 A.1 B.- C. D.- √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，a2b2=(ab)2=1， +==2， 所以 因此==1或-. 5.一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了5个小伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程持续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂 A.65只 B.66只 C.216只 D.36只 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设第n天蜜蜂归巢后，蜂巢中共有an只蜜蜂，则a1=6，a2=5a1+a1=6a1，a3=5a2+a2=6a2，…， ∴{an}是首项为6，公比为6的等比数列. ∴a6=a1·q6-1=66. 6.(多选)设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0.则下列结论正确的是 A.0<q<1 B.a7>1 C.a8>1 D.Tn的最大项为T7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a1>1，a7a8>1，<0， ∴a7>1，0<a8<1， 故A正确； B正确； C错误； T7是数列{Tn}中的最大项，故D正确. 7.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后　　分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB=210 KB).  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 由题意可得，每3分钟病毒占据的内存容量构成一个等比数列，设病毒占据64 MB时自身复制了n次，即2×2n=64×210=216，解得n=15，从而复制的时间为15×3=45(分钟). 8.在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2-18x+7=0的两个根，则a7=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a5，a9是方程7x2-18x+7=0的两个根. ∴∴∴a7>0. 又a7是a5与a9的等比中项， ∴=a5·a9=1，∴a7=1. 1 9.已知数列{an}为等比数列. (1)若an>0，且a2a4+2a3a5+a4a6=36，求a3+a5的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a2a4+2a3a5+a4a6=36， ∴+2a3a5+=36，即(a3+a5)2=36， 又∵an>0，∴a3+a5=6. (2)若数列{an}的前三项和为168，a2-a5=42，求a5，a7的等比中项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等比数列{an}的公比为q， ∵a2-a5=42，∴q≠1. 由已知，得 ∴ 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设G是a5，a7的等比中项， 则G2=a5·a7=a1q4·a1q6=q10 =962×=9， ∴a5，a7的等比中项为±3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(1)设{an}为公比q>1的等比数列，若a2 023和a2 024是方程4x2-8x+3=0的两根，求a2 033+a2 034的值； 解方程4x2-8x+3=0， 得x1=，x2=， 由q>1，得a2 023=，a2 024=，q=3， 所以a2 033+a2 034=(a2 023+a2 024)q10=2×310. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)在等比数列{an}中，已知a4a7=-512，a3+a8=124，且公比q为整数，求通项公式an. 在等比数列{an}中，由a4a7=-512， 得a3a8=-512，又a3+a8=124， 解得a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4， 因为公比q为整数， 所以q==-=-2， 故an=-4×(-2)n-3=-(-2)n-1. 11.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6等于 A.5 B.7 C.6 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a1a2a3==5，∴a2=. ∵a7a8a9==10，∴a8=. ∴=a2a8==5， 又∵数列{an}各项均为正数，∴a5=5. ∴a4a5a6==5=5. 12.在等比数列{an}中，首项a1<0，则{an}是递增数列的充要条件是公比q满足 A.q>1 B.q<1 C.0<q<1 D.q<0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 先证必要性： ∵a1<0，且{an}是递增数列， ∴an<0，即q>0，且==q<1， 则此时公比q满足0<q<1； 再证充分性： ∵a1<0，0<q<1，∴an<0， ∴==q<1，即an+1>an， 则{an}是递增数列， 综上，{an}是递增数列的充要条件是公比q满足0<q<1. 13.已知等比数列{an}满足an>0，且a5·a2n-5=22n(n≥3)，则当n≥3时，log2a1+log2a3+…+log2a2n-1等于 A.2n B.2n2 C.2n2-n D.n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 log2a1+log2a3+…+log2a2n-1 =log2(a1·a3·…·a2n-1)=log2(a1a2n-1 =log2(a5a2n-5=log2=log2=n2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(多选)已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，{an}的前n项和为Sn，若a1+a6+a11=3π，b1b5b9=8，则 A.S11=11π B.sin = C.a3+a7+a8=3π D.b3+b7≥4 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1+a6+a11=3π，b1b5b9=8，所以a1+a6+a11=3a6=3π，即a6=π，b1b5b9==8，即b5=2.对于A，S11==11a6=11π，故A正确； 对于B，a2+a10=2a6=2π，b4b6==4，所以sin =sin =1，故B错误； 对于C，设等差数列{an}的公差为d，则a3+a7+a8=a6-3d+a6+d+a6+2d= 3a6=3π，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，由b5=2，得b3，b7>0，故b3+b7≥2=2=4，当且仅当b3=b7=2时等号成立，故D正确. 15.已知在等差数列{an}中，a2+a4=16，a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，把各项按如图所示排列.则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为____ _____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 275 或8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设公差为d， 由a2+a4=16，得a1+2d=8， 由a1+1，a2+1，a4+1成等比数列， 得(a2+1)2=(a1+1)(a4+1)， 解得d=3或d=0， 当d=3时，a1=2，an=3n-1. 由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项， a92=3×92-1=275.当d=0时，an=8，a92=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知等比数列{an}的首项a1=16，公比q=，在{an}中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得，数列{bn}的首项b1=16，b5=a2=16×=1， 设数列{bn}的公比为q1(q1>0)， 即===， ∴q1=， 即bn=b1=16×=25-n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)记数列{bn}前n项的乘积为Tn，试问：Tn是否有最大值？如果有，请求出此时n的值以及最大值；如果没有，请说明理由. Tn=b1·b2·b3·…·bn=24·23·…·25-n =24+3+2+…+(5-n) == =， 即当n=4或5时， Tn有最大值=210=1 024. 第一章 <<< $$