第1章 §1 1.1 数列的概念-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（北师大版2019）

1.1　数列的概念 [学习目标]　1.了解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式. 导语 有人说，大自然是懂数学的，不知道你注意过没有，树木的分叉、花瓣的数量、植物种子的排列等等，都遵循着某种数学规律，大家能想到它们涉及了哪些数学规律吗？通过本节课的学习，这些问题都会得到解决. 一、数列的概念与分类 问题1　数学中，有着许许多多神奇的数字，例如：1，3，6，10，15，…这样的数字被称为三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图1).同样，1，4，9，16，25，…这样的数字被称为正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形(如图2). 图1 图2 两组图形的点数可以各自构成一列数，这些数能否调换顺序？ 提示　每列数的每个数字的位置都是有顺序的，是不能调换顺序的，若调换顺序，就会得到一列新的数. 知识梳理 1.数列的概念 (1)按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项. (2)数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，或简记为数列{an}，其中a1是数列的第1项，也叫数列的首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项. 2.数列的分类 根据数列的项数可以将数列分为两类： (1)有穷数列——项数有限的数列. (2)无穷数列——项数无限的数列. 注意点： (1)数列概念中“按一定次序排列”是关键，数字相同，排列顺序不同的两列数不是同一数列. (2)有穷数列与无穷数列的分类标准是数列项数的有限还是无限. 例1　下列说法正确的是(　　) A.数列1，2，3，4，5，6与数列1，2，5，6，3，4是同一个数列 B.数列1，2，3，4，5，6可以表示为{1，2，3，4，5，6} C.0，2，4，6，8，…，2n是无穷数列 D.1，1，1，1，1，…是一个数列 答案　D 解析　两个数列只有元素相同，排列顺序也相同时，才是同一个数列，故A不正确；数列与集合不同，数列不能表示成集合的形式，故B不正确；当n确定后，数列0，2，4，6，8，…，2n的项数就确定了，所以该数列是有穷数列，故C错误；根据数列定义知D正确. 反思感悟　数列概念的三个注意点 (1)数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别. (2)如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列. (3)同一个数在数列中可以重复出现. 跟踪训练1　(多选)下列说法正确的是(　　) A.-4，5，2，，不是数列 B.数列4，7，3，4的首项是4 C.-1，1，3，5，…是数列 D.数列0，2，4，6，8，…是有穷数列 答案　BC 解析　A中，-4，5，2，，是数列；D中，数列应为无穷数列；B，C正确. 二、求数列的通项公式 问题2　若数列{an}为1，3，5，7，9，…，能否用一个式子表示数列中的每一项？这个式子是什么？ 提示　能，an=2n-1，n∈N+. 知识梳理 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an=f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式. 注意点： (1)数列的通项公式是一个函数关系式，它的定义域是N+(或它的有限子集). (2)数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②判断某数是不是该数列中的一项. 例2　写出下列各数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)-1，，-，； (2)，，，； (3)，2，，8； (4)0，1，0，1； (5)9，99，999，9 999. 解　(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正， 所以它的一个通项公式为an=，n∈N+. (2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1， 所以它的一个通项公式为an=，n∈N+. (3)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，， 所以它的一个通项公式为an=，n∈N+. (4)这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成an=由第(1)题也可以写成an=(n∈N+)或an=(n∈N+). (5)各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an=10n-1，n∈N+. 延伸探究　 根据本例中的第(5)题，试解决以下3个问题： 1.试写出前4项为1，11，111，1 111的一个通项公式. 解　由本例的第(5)题可知，每一项除以9即可，即an=(10n-1)，n∈N+. 2.试写出前4项为7，77，777，7 777的一个通项公式. 解　由本例的第(5)题可知，每一项乘即可， 即an=(10n-1)，n∈N+. 3.试写出前4项为0.8，0.88，0.888，0.888 8的一个通项公式. 解　原数列前4项可变形为，，，，故所给数列的一个通项公式为an=，n∈N+. 反思感悟　根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等. (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式. (3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(-1)n或(-1)n+1处理符号. (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等. 三、数列通项公式的简单应用 例3　已知数列{an}的通项公式为an=，n∈N+. (1)写出数列的前3项； (2)是不是这个数列中的项？ (3)该数列中是否有等于项数的项？若有，求出该项；若没有，说明理由. 解　(1)在通项公式中依次取n=1，2，3，可得{an}的前3项分别为7，4，3. (2)令=，得n=100，故是这个数列中的项. (3)令=n，得n2-n-6=0， 解得n=3或n=-2(舍). 故该数列中有等于项数的项，该项为a3=3. 反思感悟　通项公式应用的常见题型及其解法 (1)由通项公式写出数列的某项.就是把n的值代入通项公式进行计算，相当于函数中，已知函数解析式和自变量求函数值. (2)判断一个数是否为该数列中的项.由an等于这个数解出n，根据n是否为正整数便可确定这个数是否为数列中的项. 跟踪训练2　在数列{an}中，a1=2，a17=66，通项公式an是n的一次函数. (1)求{an}的通项公式； (2)判断88是不是数列{an}中的项. 解　(1)设an=kn+b(k≠0)，则 解得 ∴an=4n-2，n∈N+. (2)令an=88，即4n-2=88，解得n=22.5∉N+， ∴88不是数列{an}中的项. 1.知识清单： (1)数列及其有关的概念. (2)数列的分类. (3)数列的通项公式及应用. 2.方法归纳：观察、归纳、猜想. 3.常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(-1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系. 1.下列说法中，正确的是(　　) A.数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} B.1，-1，1，-1，1，-1，…是有穷数列 C.数列中的项可以相等 D.数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列 答案　C 解析　{1，3，5，7}不表示数列，故A错误；数列1，-1，1，-1，1，-1，…是无穷数列，故B错误；D中，当a=c时，数列a，b，c和数列c，b，a表示同一数列，故D错误；数列中的项可以相等，故C正确. 2.已知数列{n(n-2)}，那么下列各数中是该数列的项的是(　　) A.1 B.36 C.-48 D.-1 答案　D 解析　分别令n(n-2)=1，36，-48，-1进行验证. 当n(n-2)=-1时，n=1.其他均不合适. 3.在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于(　　) A.11 B.12 C.13 D.14 答案　C 解析　由前6项，可知从第3项起，每一项都是它前面两项的和，所以x=13. 4.数列，，，1，，，…的一个通项公式为an=　　　.  答案　 解析　将原数列变形为，，，，，，…， 所以an=. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共12分 1.(多选)下列叙述不正确的是(　　) A.同一个数在数列中可能重复出现 B.数列的通项公式是定义域为正整数集N+的函数 C.任何数列的通项公式都存在 D.数列的通项公式是唯一的 答案　BCD 解析　数列的通项公式的定义域是正整数集N+或它的有限子集，选项B错误；并不是所有数列都有通项公式，选项C错误；数列-1，1，-1，1，…的通项公式可以写成an=(-1)n，也可以写成an=(-1)n+2，选项D错误. 2.已知数列1，，，，…，，…，则3是它的(　　) A.第22项 B.第23项 C.第24项 D.第28项 答案　B 解析　令=3=，即2n-1=45，解得n=23. 3.数列，，，，…的第10项是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意知数列的通项公式是 an=(n∈N+)， 所以a10==. 4.已知数列的通项公式是an=则a2·a3等于(　　) A.70 B.28 C.20 D.8 答案　C 解析　因为an= 所以a2=2×2-2=2，a3=3×3+1=10， 所以a2·a3=20. 5.数列0，1，0，-1，0，1，0，-1，…的一个通项公式是an等于(　　) A. B.cos C.cos π D.cos π 答案　D 解析　A项，展开可得数列为0，1，0，1，…，不符合题意；B项，展开可得数列为0，-1，0，1，…，不符合题意；C项，展开可得数列为-1，0，1，0，…，不符合题意；D项，展开可得数列为0，1，0，-1，…，符合题意. 6.数列{an}的通项公式an=log(n+1)(n+2)，则它的前30项之积是(　　) A. B.5 C.6 D. 答案　B 解析　a1a2…a30=log23×log34×…×log3132 =××…×=log232=log225=5. 7.(5分)若数列{an}的通项公式是an=3-2n，则a2n=　　　　，=　　　　.  答案　3-4n　 解析　因为an=3-2n，所以a2n=3-22n=3-4n， ==. 8.(5分)若数列{an}的通项公式为an=，则-3是此数列的第　　　　项.  答案　9 解析　令=-3， 即-=-3=-，∴n=9. 9.(10分)写出下列数列的一个通项公式： (1)，-，，-，…；(3分) (2)1，2，3，4，…；(3分) (3)0.8，0.98，0.998，0.999 8，….(4分) 解　(1)由已知数列，-，，-，…可得数列各项的分母的绝对值为2n，又数列所有的奇数项为正，偶数项为负，故可用(-1)n-1来控制各项的符号，故所求数列的一个通项公式为an=，n∈N+. (2)此数列的整数部分1，2，3，4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为， 故所求数列的一个通项公式为an=n+=，n∈N+. (3)原数列各项可变为1-0.2=1-，1-0.02=1-，1-0.002=1-，1-0.000 2=1-，归纳可得，an=1-，n∈N+. 10.(11分)已知数列{an}中，a1=3，a10=21，an是关于项数n的一次函数. (1)求{an}的通项公式，并求a2 024；(5分) (2)若{bn}是由a2，a4，a6，a8，…组成的，试归纳{bn}的一个通项公式.(6分) 解　(1)设an=kn+b(k≠0)， 则解得 ∴an=2n+1(n∈N+)，∴a2 024=4 049. (2)∵a2，a4，a6，a8，…为5，9，13，17，…， ∴bn=4n+1. 11.已知an=，则数列{an}中相等的连续两项是(　　) A.第9项，第10项 B.第10项，第11项 C.第11项，第12项 D.第12项，第13项 答案　B 解析　假设an=an+1，则有=，解得n=10，所以相等的连续两项是第10项和第11项. 12.设an=++++…+(n∈N+)，则a2等于(　　) A. B.+ C.++ D.+++ 答案　C 解析　∵an=++++…+(n∈N+)，∴a2=++. 13.图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案，会徽的主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为(　　) A.an=n，n∈N+ B.an=，n∈N+ C.an=，n∈N+ D.an=n2，n∈N+ 答案　C 解析　∵OA1=1，OA2=，OA3=，…，OAn=，…， ∴a1=1，a2=，a3=，…，an=. 14.已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，则该数列的第22项为(　　) A.6 B.7 C.64 D.65 答案　B 解析　由按规律排列的数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，可知1有1个，2有2个，3有3个，4有4个，5有5个，6有6个，7有7个， 因为1+2+3+4+5+6=21，1+2+3+4+5+6+7=28，所以该数列的第22项为7. 15.(多选)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则(　　) A.此数列的第20项是200 B.此数列的第19项是182 C.此数列的通项公式为an= D.84不是此数列中的项 答案　AC 解析　观察此数列，当n为偶数时，an=；当n为奇数时，an=，所以此数列的通项公式为an=C正确； a20==200，A正确； a19==180，B错误； a13==84，故84是此数列的第13项，D错误. 16.(12分)已知数列{an}的通项公式an=，n∈N+. (1)写出它的第10项；(3分) (2)判断是不是该数列中的项；(4分) (3)求an+1及a2n.(5分) 解　(1)a10===. (2)令an==， 当n为偶数时，=，整理得8n2-33n-35=0， 解得n=-或n=5，因为n∈N+且n为偶数，∴原方程无解； 当n为奇数时，∵n∈N+，∴an<0， ∴不是该数列中的项. 综上所述，不是该数列中的项. (3)an+1= =； a2n==. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 <<< 1.1　数列的概念 1.了解数列及其有关概念. 2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项. 3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式. 学习目标 有人说，大自然是懂数学的，不知道你注意过没有，树木的分叉、花瓣的数量、植物种子的排列等等，都遵循着某种数学规律，大家能想到它们涉及了哪些数学规律吗？通过本节课的学习，这些问题都会得到解决. 导 语 一、数列的概念与分类 二、求数列的通项公式 课时对点练 三、数列通项公式的简单应用 随堂演练 内容索引 数列的概念与分类 一 数学中，有着许许多多神奇的数字，例如：1，3，6，10，15， …这样的数字被称为三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图1).同样，1，4，9，16，25，…这样的数字被称为正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形(如图2). 问题1 图1 图2 两组图形的点数可以各自构成一列数，这些数能否调换顺序？ 提示　每列数的每个数字的位置都是有顺序的，是不能调换顺序的，若调换顺序，就会得到一列新的数. 1.数列的概念 (1)按一定次序排列的一列数叫作_____，数列中的每一个数叫作这个数列的____. (2)数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，或简记为数列____，其中a1是数列的第1项，也叫数列的_____；an是数列的第n项，也叫数列的_____. 数列 项 {an} 首项 通项 知识梳理 2.数列的分类 根据数列的项数可以将数列分为两类： (1)有穷数列——项数_____的数列. (2)无穷数列——项数_____的数列. 有限 无限 (1)数列概念中“按一定次序排列”是关键，数字相同，排列顺序不同的两列数不是同一数列. (2)有穷数列与无穷数列的分类标准是数列项数的有限还是无限. 注 意 点 <<< 10 　　　下列说法正确的是 A.数列1，2，3，4，5，6与数列1，2，5，6，3，4是同一个数列 B.数列1，2，3，4，5，6可以表示为{1，2，3，4，5，6} C.0，2，4，6，8，…，2n是无穷数列 D.1，1，1，1，1，…是一个数列 例 1 √ 11 两个数列只有元素相同，排列顺序也相同时，才是同一个数列，故A不正确； 数列与集合不同，数列不能表示成集合的形式，故B不正确； 当n确定后，数列0，2，4，6，8，…，2n的项数就确定了，所以该数列是有穷数列，故C错误； 根据数列定义知D正确. 12 (1)数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别. (2)如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列. (3)同一个数在数列中可以重复出现. 反 思 感 悟 数列概念的三个注意点 13 　　　　　(多选)下列说法正确的是 A.-4，5，2，，不是数列 B.数列4，7，3，4的首项是4 C.-1，1，3，5，…是数列 D.数列0，2，4，6，8，…是有穷数列 跟踪训练 1 √ √ A中，-4，5，2，是数列； D中，数列应为无穷数列； B，C正确. 14 二 求数列的通项公式 若数列{an}为1，3，5，7，9，…，能否用一个式子表示数列中的每一项？这个式子是什么？ 问题2 提示　能，an=2n-1，n∈N+. 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项____与___之间的_________可以用一个式子表示成_______，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的_______. an n 函数关系 an=f(n) 解析式 知识梳理 (1)数列的通项公式是一个函数关系式，它的定义域是N+(或它的有限子集). (2)数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②判断某数是不是该数列中的一项. 注 意 点 <<< 18 　　　写出下列各数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)-1，，-，； 例 2 这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正， 所以它的一个通项公式为an=，n∈N+. 19 (2)，，，； 这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1， 所以它的一个通项公式为an=，n∈N+. 20 (3)，2，，8； 数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：， 所以它的一个通项公式为an=，n∈N+. 21 (4)0，1，0，1； 这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成an=由第(1)题也可以写成an=(n∈N+)或an=(n∈N+). 22 (5)9，99，999，9 999. 各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an=10n-1，n∈N+. 23 　　　　　根据本例中的第(5)题，试解决以下3个问题： 1.试写出前4项为1，11，111，1 111的一个通项公式. 由本例的第(5)题可知，每一项除以9即可，即an=(10n-1)，n∈N+. 延伸探究 24 2.试写出前4项为7，77，777，7 777的一个通项公式. 由本例的第(5)题可知，每一项乘即可， 即an=(10n-1)，n∈N+. 3.试写出前4项为0.8，0.88，0.888，0.888 8的一个通项公式. 原数列前4项可变形为，故所给数列的一个通项公式为an=，n∈N+. 25 反 思 感 悟 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等. (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式. (3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(-1)n或(-1)n+1处理符号. (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等. 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 数列通项公式的简单应用 三 　　　已知数列{an}的通项公式为an=，n∈N+. (1)写出数列的前3项； 例 3 在通项公式中依次取n=1，2，3，可得{an}的前3项分别为7，4，3. (2)是不是这个数列中的项？ 令=，得n=100，故是这个数列中的项. 28 (3)该数列中是否有等于项数的项？若有，求出该项；若没有，说明理由. 令=n，得n2-n-6=0， 解得n=3或n=-2(舍). 故该数列中有等于项数的项，该项为a3=3. 29 反 思 感 悟 (1)由通项公式写出数列的某项.就是把n的值代入通项公式进行计算，相当于函数中，已知函数解析式和自变量求函数值. (2)判断一个数是否为该数列中的项.由an等于这个数解出n，根据n是否为正整数便可确定这个数是否为数列中的项. 通项公式应用的常见题型及其解法 　　　　　在数列{an}中，a1=2，a17=66，通项公式an是n的一次函数. (1)求{an}的通项公式； 跟踪训练 3 设an=kn+b(k≠0)，则 ∴an=4n-2，n∈N+. 31 (2)判断88是不是数列{an}中的项. 令an=88，即4n-2=88，解得n=22.5∉N+， ∴88不是数列{an}中的项. 32 1.知识清单： (1)数列及其有关的概念. (2)数列的分类. (3)数列的通项公式及应用. 2.方法归纳：观察、归纳、猜想. 3.常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(-1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.下列说法中，正确的是 A.数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} B.1，-1，1，-1，1，-1，…是有穷数列 C.数列中的项可以相等 D.数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列 √ {1，3，5，7}不表示数列，故A错误； 数列1，-1，1，-1，1，-1，…是无穷数列，故B错误； D中，当a=c时，数列a，b，c和数列c，b，a表示同一数列，故D错误； 数列中的项可以相等，故C正确. 2.已知数列{n(n-2)}，那么下列各数中是该数列的项的是 A.1 B.36 C.-48 D.-1 1 2 3 4 √ 分别令n(n-2)=1，36，-48，-1进行验证. 当n(n-2)=-1时，n=1.其他均不合适. 3.在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于 A.11 B.12 C.13 D.14 1 2 3 4 √ 由前6项，可知从第3项起，每一项都是它前面两项的和，所以x=13. 4.数列，，，1，，，…的一个通项公式为an=　　.  1 2 3 4 将原数列变形为，…， 所以an=. 课时对点练 五 1.(多选)下列叙述不正确的是 A.同一个数在数列中可能重复出现 B.数列的通项公式是定义域为正整数集N+的函数 C.任何数列的通项公式都存在 D.数列的通项公式是唯一的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数列的通项公式的定义域是正整数集N+或它的有限子集，选项B错误； 并不是所有数列都有通项公式，选项C错误； 数列-1，1，-1，1，…的通项公式可以写成an=(-1)n，也可以写成an= (-1)n+2，选项D错误. 2.已知数列1，，，，…，，…，则3是它的 A.第22项 B.第23项 C.第24项 D.第28项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 令=3=，即2n-1=45，解得n=23. 3.数列，，，，…的第10项是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知数列的通项公式是 an=(n∈N+)， 所以a10==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为an= 所以a2=2×2-2=2，a3=3×3+1=10， 所以a2·a3=20. 4.已知数列的通项公式是an=则a2·a3等于 A.70 B.28 C.20 D.8 √ 5.数列0，1，0，-1，0，1，0，-1，…的一个通项公式是an等于 A. B.cos C.cos π D.cos π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A项，展开可得数列为0，1，0，1，…，不符合题意； B项，展开可得数列为0，-1，0，1，…，不符合题意； C项，展开可得数列为-1，0，1，0，…，不符合题意； D项，展开可得数列为0，1，0，-1，…，符合题意. 6.数列{an}的通项公式an=log(n+1)(n+2)，则它的前30项之积是 A. B.5 C.6 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ a1a2…a30=log23×log34×…×log3132 =××…×=log232=log225=5. 7.若数列{an}的通项公式是an=3-2n，则a2n=　　　，=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3-4n 因为an=3-2n，所以a2n=3-22n=3-4n， ==. 8.若数列{an}的通项公式为an=，则-3是此数列的第　　项.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令=-3， 即-=-3=-，∴n=9. 9 9.写出下列数列的一个通项公式： (1)，-，，-，…； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知数列，-，-，…可得数列各项的分母的绝对值为2n，又数列所有的奇数项为正，偶数项为负，故可用(-1)n-1来控制各项的符号， 故所求数列的一个通项公式为an=，n∈N+. (2)1，2，3，4，…； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 此数列的整数部分1，2，3，4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为， 故所求数列的一个通项公式为an=n+=，n∈N+. (3)0.8，0.98，0.998，0.999 8，…. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原数列各项可变为1-0.2=1-，1-0.02=1-，1-0.002=1-，1-0.000 2 =1-，归纳可得，an=1-，n∈N+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知数列{an}中，a1=3，a10=21，an是关于项数n的一次函数. (1)求{an}的通项公式，并求a2 024； 设an=kn+b(k≠0)， 则 ∴an=2n+1(n∈N+)，∴a2 024=4 049. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若{bn}是由a2，a4，a6，a8，…组成的，试归纳{bn}的一个通项公式. ∵a2，a4，a6，a8，…为5，9，13，17，…， ∴bn=4n+1. 11.已知an=，则数列{an}中相等的连续两项是 A.第9项，第10项 B.第10项，第11项 C.第11项，第12项 D.第12项，第13项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 假设an=an+1，则有=，解得n=10，所以相等的连续两项是第10项和第11项. 12.设an=++++…+(n∈N+)，则a2等于 A. B.+ C.++ D.+++ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵an=++++…+(n∈N+)，∴a2=++. 13.图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案，会徽的主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3= …=A7A8=1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为 A.an=n，n∈N+ B.an=，n∈N+ C.an=，n∈N+ D.an=n2，n∈N+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵OA1=1，OA2=，OA3=，…，OAn=，…， ∴a1=1，a2=，a3=，…，an=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，则该数列的第22项为 A.6 B.7 C.64 D.65 由按规律排列的数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，可知1有1个，2有2个，3有3个，4有4个，5有5个，6有6个，7有7个， 因为1+2+3+4+5+6=21，1+2+3+4+5+6+7=28，所以该数列的第22项为7. √ C.此数列的通项公式为an= 15.(多选)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则 A.此数列的第20项是200 B.此数列的第19项是182 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ D.84不是此数列中的项 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 观察此数列，当n为偶数时，an=；当n为奇数时，an=，所以此 数列的通项公式为an=C正确； a20==200，A正确； a19==180，B错误； a13==84，故84是此数列的第13项，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知数列{an}的通项公式an=，n∈N+. (1)写出它的第10项； a10===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)判断是不是该数列中的项； 令an==， 当n为偶数时，=，整理得8n2-33n-35=0， 解得n=-或n=5，因为n∈N+且n为偶数，∴原方程无解； 当n为奇数时，∵n∈N+，∴an<0， ∴不是该数列中的项. 综上所述，不是该数列中的项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)求an+1及a2n. an+1= =； a2n==. 第一章 <<< $$