专题10 函数对称问题-2025年新高考数学函数与导数压轴小题专题突破

专题10 函数对称问题 【题型归纳】 题型一：关于x轴对称 题型二：关于y轴对称 题型三：关于原点对称 题型四：关于y=x对称 【方法技巧总结】 函数对称问题转化为两图像交点问题. 【典型例题】 题型一：关于x轴对称 【例1】（2025·高三·山东潍坊·阶段练习）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可知，方程在上有解， 即在上有解， 令，，则， 时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为， 又，， 则的最大值为， 所以的值域为， 即可得的取值范围是. 故选：C 【变式1-1】（2025·河南洛阳·一模）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数与函数的图象关于x轴对称， 根据已知得函数的图象与函数的图象有交点， 即方程在上有解， 即在上有解． 令，， 则， 可知在上单调递增，在上单调递减， 故当时，， 由于，，且， 所以． 故选：A． 【变式1-2】（2025·安徽宣城·二模）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数y＝的图象与函数y＝x2+2的图象关于x轴对称， 若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称， 则函数的图象与函数y＝x2+2的图象有交点， 即方程＝x2+2（x∈[，e]）有解， 即a＝x2+2﹣8lnx（x∈[，e]）有解， 令f（x）＝x2+2﹣，则f′（x）， 当x∈[，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，e]时，f′（x）＞0， 故当x＝2时，f（x）取最小值， 由f（），f（e）＝， 故当x＝时，f（x）取最大值， 故a∈， 故选D． 题型二：关于y轴对称 【例2】（2025·全国·模拟预测）若函数（e为自然对数的底数）的图象上存在四个关于y轴对称的点，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知方程在上有两个不同的实数根， 故， 即在上有两个不同的实数根. 令，则的图象与直线在上有两个不同的交点. ， 当时，，，所以，所以单调递减； 当时，，，所以， 所以单调递增. 所以当时，， 又，当时，， 所以实数m的取值范围为. 故选：B 【变式2-1】（2025·高三·天津津南·阶段练习）已知函数若的图象上存在关于y轴对称的点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，存在实数，使得成立， 即存在实数，使得成立． 设，则． 所以当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，， 所以函数的值域为． 于是当时，存在实数，使得成立，即函数的图象上存在关于y轴对称的点． 故选：C． 【变式2-2】（2025·高三·安徽宿州·期末）若函数的图象上存在两对关于轴对称的点，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在函数的图象上取点， 则点关于轴的对称点为，且，其中， 由，可得，则， 所以，直线与函数在上的图象有两个交点， 因为，令可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数在上为减函数，在上为增函数， 所以，，且，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 题型三：关于原点对称 【例3】（2025·山西·一模）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于原点对称，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的图象与函数的图象关于原点对称， 若函数的图象上存在点， 函数的图象上存在点，且关于原点对称， 则函数的图象与函数的图象有交点， 即方程有解，即有解， 令，则，当时，， 当时，，故当时，取最小值3， 由，，故当时，取最大值，故， 故选：A． 【变式3-1】（2025·高三·江苏苏州·阶段练习）若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对是函数的“友好点对”，若定义域为R的函数存在“友好点对”，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意得在R上有解，令，则在上有解，再令，在上有解，按和分类讨论求在上的最小值，计算即可.根据题意得，在R上有解，即， 令，则在上有解， 即在上有解. 再令，当且仅当取等号，在上有解. 函数的对称轴为， 当时，函数在上递减，在上递增，，解得； 当时，函数在上递增，，解得. 综上：. 故选：B 【变式3-2】（2025·河北邯郸·一模）若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)看作同一个“伙伴点组”).已知函数f(x)＝有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，“伙伴点组”满足两点都在函数图象上，且两点关于坐标原点对称. 作出函数y＝－ln(－x)(x<0)关于原点对称的函数y＝ln x(x>0)的图象， 使它与函数y＝kx－1(x>0)交点个数为2个即可. 设切点为(m，lnm)，y＝lnx的导数为y′＝， 得km－1＝lnm，k＝，解得m＝1，k＝1， 即函数y＝ln x(x>0)过(0，－1)点的切线斜率为1， 结合图象可知k∈(0，1)时有两个交点，符合题意. 故选：B. 题型四：关于y=x对称 【例4】（2025·四川宜宾·模拟预测）已知函数，函数与的图象关于直线对称，若无零点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知，，设，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以，的图象如下，由图可知，当时，与无交点，即无零点. 故选：D. 【过关测试】 1．（2025·浙江·模拟预测）已知函数与的图象在上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得函数与的图象在上存在公共点， 即方程在上有解， 即方程在上有解． 令， 则， 所以当时，，随的变化情况如下表： 1 3 0 极大值 由上表可知，，又， 所以当时，， 故的取值范围是. 故选：A． 2．（2025·高三·贵州贵阳·阶段练习）若函数，（，为自然对数的底数）与的图象上存在两组关于轴对称的点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意得到=-+3lnx,这个方程由两个不同的根，变量分离得到，是导函数的根，函数在，故函数先减后增，且 ； 则使得两个函数y=a和g(x)有两个交点只需， 即. 故答案为A． 3．（2025·广东广州·二模）已知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若函数与的图象上存在关于轴对称的点， 则方程在上有解， 即在上有解， 令， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最大值， 所以的值域为， 所以的取值范围是， 故选C. 4．（2025·湖北·模拟预测）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数关于轴对称的解析式为， 函数，两个函数的图象如图所示： 若过点时，得，但此时两函数图象的交点在轴上， 所以要保证在轴的正半轴，两函数图象有交点，则的图象向右平移均存在交点， 所以， 故选：B. 5．（2025·云南曲靖·二模）已知在函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得在有解，即在有解， 所以在有解， 令，则， 令，则， 所以在单调递减，且， 所以当时，，则，单调递增， 当时，，则，单调递减， 所以，故. 故选：D. 6．（2025·高三·江西南昌·阶段练习）已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】关于轴对称的函数为：， 函数与图像上存在关于轴对称的点， 即有解，即有解， 整理得：， 转化为和的图像存在交点，如图： 临界值在处取到（虚取），此时， 故当时和的图像存在交点， 故选：C. 7．（2025·浙江·模拟预测）已知，函数，则下列说法正确的是 A．若，则的图象上存在唯一一对关于原点对称的点 B．存在实数使得的图象上存在两对关于原点对称的点 C．不存在实数使得的图象上存在两对关于轴对称的点 D．若的图象上存在关于轴对称的点，则 【答案】A 【解析】先求出关于原点对称的解析式， 设，则，， 令，则，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此是单调递增的， 且，故当，有唯一零点， 故A正确B错误. 再求关于轴对称的解析式， 设，则，， 令，，恒成立， 故单调递增，，， 故存在使，即， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故， 当时，函数有零点，C错误； 取， 则，函数有零点，故D错误. 故选：A. 8．（2025·全国·一模）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先求得关于轴对称的函数,则,整理可得在上有解,设,可转化问题为与的图象在上有交点,再利用导函数求得的范围,进而求解.由关于轴对称的函数为, 令,得, 则方程在上有解, 即方程在上有解, 设, 即可转化为与的图象在上有交点, , 令，则在上恒成立，所以在上为增函数，∴， 即在上恒成立， 在上为增函数, 当时,则, 所以, 故选:D 9．（2025·高三·广西南宁·阶段练习）已知函数与函数的图象上存在两对关于轴对称的点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，得方程在上有两个不同的解，即在上有两个不同的解，设，则，由，得，此时函数单调递增；由，得，此时函数单调递减，即当时，函数取得极大值，所以， 故选：D． 10．（2025·高三·福建厦门·阶段练习）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】与的图象上存在关于轴对称的点， 等价为在时，有解即可， 则， 即，在上有解即可， 设，， 作出两个函数的图象如图： 当时，， 当，将的图象向右平移，此时一定与有交点，满足条件， 当时，则，得， 综上， 即实数的取值范围是 故选：． 11．（多选题）（2025·湖南·二模）已知函数的定义域是，且满足，作的图象关于轴的对称图象，并右移一个单位，再将横坐标变为原来的得到函数的图象，下列说法正确的有（    ） A． B．与有相同的值域 C．的最小正周期是6 D． 【答案】ABD 【解析】由图象的变换知A项正确； 因为图象变换中没有上下平移，所以值域不变，可知B项正确； 由得①， 在中用代替得②， 由①②得，所以3是的周期，C项错误， 由知的周期， 则， 在中令得，所以，D项正确. 故选：ABD 12．（多选题）（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由题意等价于当时，与的图象有交点， 又，则，即， 即方程在时有解， 令，显然在上单调递增， 当时，趋于时，，则只需，即； 当时，趋于时，趋于时，，即在上有解， 综上，实数的取值范围为.根据选项可得答案为A､B､C. 故选：ABC. 13．（2025·江西·一模）若平面直角坐标系内两点满足: （1）点都在的图象上; （2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”，且点对与记为一个“姊妹点对”. 已知函数，则的“姊妹点对”有 个. 【答案】2 【解析】设是关于原点对称函数图象上的点， 则点P关于原点的对称点为在上， ，设，“姊妹点对”的个数即为与在交点的个数， 于是，即，令， 由，得，即，于是只考虑即可， 求导得，显然函数在区间上单调递增， 而，，则存在使得， 当单调递减，单调递增， 而，，， 因此函数在区间，分别各有一个零点， 所以函数的“姊妹点对”有2个. 故答案为：2 14．（2025·上海崇明·二模）若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】若有两组点关于原点对称，则在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点． 由时，；得其关于原点对称后的解析式为． 问题转化为与在上有两个交点，即方程有两根， 化简得，即与在上有两个交点． 对于，求导，令，解得：， 即：当时，单调递增； 令，解得：． 即：当时，单调递减， ∴为其极大值点，，时，；画出其大致图像： 欲使与在时有两个交点，则，即． 15．（2025·江西宜春·模拟预测）已知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】的定义域为，则关于轴对称的函数为 ， 则条件等价为在上有解， 得， 令，则 ， 当时，， 当时，， 当时，， 所以在上递减，在上递增， ， 因为当时，， 所以当时，直线与的图象有交点，即在上有解， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 16．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数与函数的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】原问题等价于在有零点， 而， 知在单调递减，在单调递增， 又，，， 所以可判断， 因而的值域为，又有零点， 由得. 故答案为： 17．（2025·河南焦作·模拟预测）已知函数，，若函数的导函数与，的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以．由题意知方程在，上有解， 等价于在，上有解， 令，则， 当时，，当时，． 所以函数在，上单调递减，在，上单调递增， 所以（1）（4）， 因为，， 所以的最大值为， 所以的最大值为． 故答案为：． 18．（2025·四川成都·二模）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】根据题意，若函数与的图象上存在关于轴对称的点， 则方程在区间上有解， 即方程在区间上有解， 设函数，其导数， 又由，可得：当时， 为减函数， 当时， 为增函数， 故函数有最小值， 又由；比较可得： ， 故函数有最大值， 故函数在区间上的值域为； 若方程在区间上有解， 必有，则有， 即的取值范围是； 故答案为：； 19．（2025·云南·模拟预测）已知函数，，若函数与的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数与的图象上至少存在一对关于x轴对称的点， 等价于在上有零点， 令 则， 所以在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 则，又， ， ， 因， 又， 则， 所以① ② 解得． 故答案为: 20．（2025·全国·模拟预测）已知函数与的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数与图象上存在关于轴有对称的点， 就是有解， 也就是函数与函数有交点， 在同一坐标系内画函数与函数的图象： 函数的图象是把函数的图象向左平移且平移到过点后开始，两函数的图象有交点， 把点代入得，，， ， 故答案为：． 21．（2025·高三·上海浦东新·期中）若直角坐标平面内的两点满足条件:①都在函数的图象上:②关于原点对称.则称点对是函数的一对“友好点对”，（点对与看作同一对“友好点对”）.已知函数（且），若此函数的“友好点对”有且只有一对，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，函数关于原点对称的函数为， 即，， 若此函数的“友好点对”有且只有一对， 则等价为函数与，只有一个交点， 作出两个函数的图象如图: 若，则与，只有一个交点，满足条件， 当时，， 若，要使两个函数只有一个交点，则满足， 即，得， 综上:或，即实数的取值范围是， 故答案为： 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 函数对称问题 【题型归纳】 题型一：关于x轴对称 题型二：关于y轴对称 题型三：关于原点对称 题型四：关于y=x对称 【方法技巧总结】 函数对称问题转化为两图像交点问题. 【典型例题】 题型一：关于x轴对称 【例1】（2025·高三·山东潍坊·阶段练习）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·河南洛阳·一模）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·安徽宣城·二模）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是 A． B． C． D． 题型二：关于y轴对称 【例2】（2025·全国·模拟预测）若函数（e为自然对数的底数）的图象上存在四个关于y轴对称的点，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·高三·天津津南·阶段练习）已知函数若的图象上存在关于y轴对称的点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高三·安徽宿州·期末）若函数的图象上存在两对关于轴对称的点，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三：关于原点对称 【例3】（2025·山西·一模）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于原点对称，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·高三·江苏苏州·阶段练习）若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对是函数的“友好点对”，若定义域为R的函数存在“友好点对”，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·河北邯郸·一模）若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)看作同一个“伙伴点组”).已知函数f(x)＝有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是(　　) A． B． C． D． 题型四：关于y=x对称 【例4】（2025·四川宜宾·模拟预测）已知函数，函数与的图象关于直线对称，若无零点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【过关测试】 1．（2025·浙江·模拟预测）已知函数与的图象在上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高三·贵州贵阳·阶段练习）若函数，（，为自然对数的底数）与的图象上存在两组关于轴对称的点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·二模）已知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 4．（2025·湖北·模拟预测）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·云南曲靖·二模）已知在函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·高三·江西南昌·阶段练习）已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·浙江·模拟预测）已知，函数，则下列说法正确的是 A．若，则的图象上存在唯一一对关于原点对称的点 B．存在实数使得的图象上存在两对关于原点对称的点 C．不存在实数使得的图象上存在两对关于轴对称的点 D．若的图象上存在关于轴对称的点，则 8．（2025·全国·一模）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·高三·广西南宁·阶段练习）已知函数与函数的图象上存在两对关于轴对称的点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·高三·福建厦门·阶段练习）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2025·湖南·二模）已知函数的定义域是，且满足，作的图象关于轴的对称图象，并右移一个单位，再将横坐标变为原来的得到函数的图象，下列说法正确的有（    ） A． B．与有相同的值域 C．的最小正周期是6 D． 12．（多选题）（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值可能为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·江西·一模）若平面直角坐标系内两点满足: （1）点都在的图象上; （2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”，且点对与记为一个“姊妹点对”. 已知函数，则的“姊妹点对”有 个. 14．（2025·上海崇明·二模）若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数的取值范围是 ． 15．（2025·江西宜春·模拟预测）已知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为 16．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数与函数的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是 . 17．（2025·河南焦作·模拟预测）已知函数，，若函数的导函数与，的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的最大值为 ． 18．（2025·四川成都·二模）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围为 ． 19．（2025·云南·模拟预测）已知函数，，若函数与的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是 ． 20．（2025·全国·模拟预测）已知函数与的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是 . 21．（2025·高三·上海浦东新·期中）若直角坐标平面内的两点满足条件:①都在函数的图象上:②关于原点对称.则称点对是函数的一对“友好点对”，（点对与看作同一对“友好点对”）.已知函数（且），若此函数的“友好点对”有且只有一对，则的取值范围是 . 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$