查漏补缺03 相似三角形（3考点8题型）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

查漏补缺03 相似三角形（8大题型） 考点一：比例 【题型一】比例与比例的性质 1）求两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位； 1）比例尺就是图上长度与实际长度的比（注意单位）. 2）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段按照从小到大或从大到小的顺序排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等，比值相等的四条线段成比例； 3）成比例的线段是有顺序的，要注意位置不能随意颠倒. 【中考真题】 1．（2023·四川甘孜·中考真题）若，则 ． 【答案】1 【分析】根据比例的性质解答即可． 【详解】解： ， ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是掌握比例的性质． 2．（2023·浙江·中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填： 【答案】 【分析】根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 3．（2022·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 倍． 【答案】1.2 【分析】设被称物的重量为，砝码的重量为，根据图中可图列出方程即可求解． 【详解】解：设被称物的重量为，砝码的重量为，依题意得， ， 解得， 故答案为：1.2． 【点睛】本题考查了比例的性质，掌握杠杆的原理是解题的关键． 4．（2021·四川德阳·中考真题）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为1，则该矩形的周长为 ． 【答案】或4 【分析】分两种情况：①边为矩形的长时，则矩形的宽为，求出矩形的周长即可； ②边为矩形的宽时，则矩形的长为，求出矩形的周长即可． 【详解】解：分两种情况： ①边为矩形的长时，则矩形的宽为， 矩形的周长为：； ②边为矩形的宽时，则矩形的长为：， 矩形的周长为； 综上所述，该矩形的周长为或4， 故答案为：或4． 【点睛】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的比值是解题的关键． 【模拟训练】 1．（2025·广东深圳·一模）已知，，，成比例线段．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查成比例线段，解题的关键是掌握：若四条线段，，，成比例，则（或），是有顺序的，位置不能随意颠倒．据此列式解答即可． 【详解】解：∵，，，成比例线段，且，，， ∴，即， ∴． 故选：B． 2．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一测量电路，为待测电阻，为可调电阻，R，，为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过的电阻求得的电阻，现已知，．当时电流表读数为0，那么此时将减小，则需要如何变，电流表示数才能为0？ A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 【答案】A 【分析】本题考查了比例式，读懂题意，则根据，，，，求出，因为将减小，故把代入算出调整后的，即可作答． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵将减小， ∴调整后的， ∵电流表示数才能为0， ∴， ∵，，， 则， 解得， ∴， 即增大， 故选：A． 3．（2024·湖南益阳·模拟预测）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了比例线段．根据题意，得出、两地的实际直线距离，、两地的实际直线距离，然后求根据比例线段求值即可． 【详解】解：由题意，得、两地的实际直线距离为，、两地的实际直线距离为， ， 即． 故答案为：2． 4．（2025·浙江·一模）已知线段满足，且． (1)求线段的长． (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)线段的长为12，线段的长为3 (2)线段的长为6 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵， 设，， ∵， ∴， ， ，， 线段的长为12，线段的长为3． （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为6． 5．（2025·上海徐汇·一模）已知：． (1)求代数式的值： (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． （1）设，利用比例性质得到，，，然后把它们分别代入所求的代数式值，然后进行分式的化简计算； （2）把，，代入中得到关于的方程，然后求出，从而得到、、的值． 【详解】（1）解：设，则，，， 所以原式； （2）解：把，，代入得， 解得， 所以，，． 【题型二】黄金分割 1）一天线段的黄金分割点有2个，黄金分割比为，近似值为0.618.题目中若没有要求时，一般都要用原值. 【中考真题】 1．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】或 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，熟记黄金比是解题的关键． 先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴， 故答案为：或． 2．（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，之间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．根据黄金分割的概念和黄金比值计算即可． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2022·山西·中考真题）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割 【答案】D 【分析】根据黄金分割的定义即可求解． 【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割． 故选：D 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键． 4．（2022·陕西·中考真题）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为 米． 【答案】/ 【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】∵点E是AB的黄金分割点， ∴． ∵AB=2米， ∴米． 故答案为：（）． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键． 【模拟训练】 1．（2025·山西忻州·一模）如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了黄金分割， 根据黄金分割的性质得，再代入计算即可. 【详解】解：∵点E是的黄金分割点， ∴. ∵， ∴. 故选：B. 2．（2025·安徽·一模）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，将雕像分为上下两部分，其中为的黄金分割点，即已知为2米，则的长为米，它介于整数和之间，则的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了黄金分割及估算无理数的大小的能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 3．（2024·山东济南·一模）如图，在中，，，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线分别交、于点D、E，连接．以下结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，黄金分割比，相似三角形的判定和性质等知识，掌握黄金三角形的概念是解题关键．利用等腰三角形的判定和性质以及垂直平分线的性质，即可判断A 、B选项；利用黄金分割比，即可判断C选项；利用相似三角形的判定和性质，即可判断D选项． 【详解】解：， ， 由作法可知，平分， ，， ， ，A选项结论正确； ， ， ， ，B选项结论正确； 是顶角为的等腰三角形， 是黄金三角形， ， ，C选项结论错误； ，， ， ， ，D选项结论正确， 故选：C． 4．（2024·内蒙古包头·三模）正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①，②，③，④． 请填写你认为正确的结论序号： ． 【答案】①②③ 【分析】先讨论顶角为和的等腰三角形中的黄金分割关系，再在题中的所给图形中分析出顶角为和的等腰三角形，逐个判断即可．本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形的相关性质及黄金分割的比例关系，并能准确的计算是本题的解题关键． 【详解】解：如图1，中，，，平分， ，， 和为相似的等腰三角形， 设，， ， 由相似得：， （负值舍去）， 点是线段的黄金分割点， 即：，， ， ； 如图2，中，，，， ，， 和为相似的等腰三角形， 设，，则， 由相似得：， （负值舍去）， 点是线段的黄金分割点， 即：，， ， ； 如图，连接、、、、， 五边形为正五边形，， ， ， ，故①正确； 易证：，， 和为相似的等腰三角形， 由图2得：， ，故②正确； 由题得和为相似的等腰三角形， 由图2得：， ， ， ，故③正确； 在中，，， 由图1得：， 即：，故④错误， 故答案为：①②③． 5．（2025·山东滨州·模拟预测）【背景】 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．我们可以用数学的方法定义“美感”，把“美感”量化． 【初识】 把上面的问题一般化，如图，在线段上找一点，把分为和两段，是较短的一段，则当时，雕像富有“美感”．人们把此时的比值叫做黄金比值．易知，如果较长一段与整个线段的比是黄金比，那么较短一段与较长一段的比也是黄金比．点叫线段的黄金分割点，显然，一条线段有两个黄金分割点． （1）为简单起见，不失一般性，令，，则，请求出的值． 【拓展】 在数学上，称宽与长的比等于黄金比的矩形为黄金矩形． （2）如图，矩形为黄金矩形（），点在四条边上，交于点，且四边形，都是正方形，找出图中一对面积相等的四边形，并进行证明． 【迁移】 类似的，数学上称底与腰的比等于黄金比的等腰三角形为黄金三角形． （3）如图，在中，，．求证：是黄金三角形． （4）如图，为的内接正二十边形的边，连接．求证：． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）见解析；（4）见解析 【分析】（1）由题意知：，代入数据得：，解出的值，即可求得的值； （2）证明，先由矩形是黄金矩形，得到，由四边形是正方形，得，所以，，由四边形是正方形 ，得，所以，化简得，即； （3）根据题意证明，可得，又，得，所以，即可得，即得证； （4）先根据题意证明出是黄金三角形，得到，再由，即可证明． 【详解】（1）解：由题意知：， ，，，   ， 解得：，（舍去）， ； （2）， 证明：矩形是黄金矩形，   ， 四边形是正方形， ， ， ， 四边形是正方形 ， ， ， ， 即； （3）证明：延长到点，使，连接， ，， ， ，， ，   ， ， 又，， ，   ， ，   ，   ，   ， 是黄金三角形； （4）证明：连接、，交于点， 、是的内接正二十边形的边， ， ， ， ，， ，，   是黄金三角形，   即， 在中  ， 即． 【点睛】本题主要考查了黄金分割点、解一元二次方程、正方形的性质，相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 【题型三】平行线分线段成比例 1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，对应线段成比例可用语言形象表示：等等. 2）当“A型”或“X型”在几何图形中出现时，我们可以利用平行线分线段成比例定理及推论建立有关线段的比例式，把线段的长代入比例式，通过解方程求出线段的长. 【中考真题】 1．（2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设交于点H，正方形边长为，由作图知，，垂直平分，得到，，由勾股定理得到，证明，推出，推出，得到，即得． 【详解】连接，设交于点H，正方形边长为， 由作图知，，垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形和线段垂直平分线综合．熟练掌握正方形性质，线段垂直平分线性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理，梯形中位线性质，是解决问题的关键． 2．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键． 作辅助线如图，利用函数表达式设出、两点的坐标，利用，是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果． 【详解】解：作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图， 在等腰三角形ABC中，，是中点， 设，， 由中点为，，故等腰三角形中， ∴， ∴， ∵AC的中点为M， ∴，即， 由在反比例函数上得， ∴， 解得：， 由题可知，， ∴． 故选：B． 3．（2023·江苏·中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．    这一画图过程体现的数学依据是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两条平行线之间的距离处处相等 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 【答案】D 【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，即可求解． 【详解】解：由步骤２可得：C、D为线段AE的三等分点 步骤３中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例得： M、N就是线段AB的三等分点 故选：D 【点睛】本题考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．掌握相关结论即可． 4．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（    ）      A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质可得，，设为x可得，解之即可． 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， 设为x， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 即， 得， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 5．（2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵， ∴ ∴，， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．（2023·湖南岳阳·中考真题）如图，在中，为直径，为弦，点为的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点．    （1）若，则的长是 （结果保留）； （2）若，则 ． 【答案】 【分析】（1）连接，根据点为的中点，根据已知条件得出，然后根据弧长公式即可求解； （2）连接，根据垂径定理的推论得出，是的切线，则,得出，根据平行线分线段成比例得出，设，则，勾股定理求得,J进而即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接，    ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：如图，连接，    ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴, ∴ ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的性质，弧长公式，平行线分线段成比例定理等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 7．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在▱中，，，，为边上的动点．连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作，交直线于点．连接、，分别取、的中点、，连接，交于点． (1)若点与点重合，则线段的长度为______． (2)随着点的运动，与的长度是否发生变化？若不变，求出与的长度；若改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)不变，， 【分析】（1）当点与点重合时，、、、、共线，，为的中位线，即可求出的长度． （2）构造，使为的中位线，再构造，进而证得是等边三角形，得出 ．然后由和为等边三角形，推导出，然后再由，最后得出和的长度不变． 【详解】（1）解：当点与点重合时，如图①， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ，． ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴．， ∴、、三点共线， ∵，， ∴、、、共线， ∵点、分别是，的中点， ∴． ∴． 故答案为：． （2）解：结论：不变． 如解图②，连接并延长到点，使得，连接，，延长，交于点，连接．延长至点，使得，连接，，设与交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ，． ∵点为中点， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，． ∵， ， ∴，． ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴． 在平行四边形中， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴．， 由旋转得，， ∵，， ∴，， ∴， 又，， ∴（）． ∴， ∴为等边三角形． ∵点、为、的中点， ∴为的中位线， ． ∵． ∴．即的长度不变； ∵和都为等边三角形． ∴，，，， ∴， ∴（）． ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形． 同理：为等边三角形． ∴．， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，，， ∴． ∵为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴为中点， ∴ ， ∴． 故和的长度都不变． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形和等边三角形的性质，三角形中位线的性质以及平行线分线段成比例．本题的难点是构造得出 ． 【模拟训练】 1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，菱形，点E为延长线上一点，连接交于点F，下列式子正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质，可得，，，再由相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴，，，故A、B、C选项错误，不符合题意； ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 故选：D 2．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，点，分别是和的中点，点是线段上的一点，连接，，且．若，，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．1.5 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了中位线的性质和平行线分线段成比例定理，延长交于点G，根据平行线分线段成比例定理得出是的中位线即可求解． 【详解】解：延长交于点G， ∵点，分别是和的中点， ∴， ∴，即点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，D是中上的中点，连接，是的中线，的延长线与交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．作交于，求出即可得到答案． 【详解】解：作交于， ，D是中上的中点， ， ， ， ，是的中线， ， 且， ， ， ， ， 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点A在第一象限，点．双曲线（，）把分成两部分，与边，分别交于C，D两点，若． （1）k的值为 ； （2）连接，则的面积为 ． 【答案】 【分析】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，则，由等边三角形的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，，设，则，在中，由含度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，进而可得，在中，由含度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，进而可得，将、两点坐标代入双曲线，由此即可求出的值； （2）过点作轴于点，过点作于点，由垂直于同一直线的两直线平行可得，由平行线分线段成比例定理可得，由三线合一可得，由勾股定理可得，进而可得，由（1）得，易证得四边形为矩形，于是可得，进而可得，连接，由三角形的面积公式可得，由垂直于同一直线的两直线平行可得，由平行线分线段成比例定理可得，由（1）得，则，，于是可得，由三角形的面积公式可得由此即可求出的面积． 【详解】解：（1）如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， 是等边三角形， ， ， ， 设， 则， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 又、在双曲线上， ， ，， ，， 故答案为：； （2）如图，过点作轴于点，过点作于点， ，， ， 是等边三角形，且轴， ，， ， ， 由（1）得：， 且易证得四边形为矩形， ， ， 如图，连接， ， ， 轴，轴， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例定理，三线合一，矩形的判定与性质，三角形的面积公式，垂直于同一直线的两直线平行等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 5．（2025·浙江宁波·一模）已知平行四边形中，点是对角线上的等分点．连结， 分别交线段于点，连结． (1)若，则应该满足什么条件？ (2)若，四边形的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1)应该满足 (2)6 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，难度较大，解题的关键是理清字母表示的线段． （1）由平行四边形得到，则，，那么得到比例式，继而得到，化简即可求解满足的关系； （2）当，则，而，则，那么，而，由于点是对角线上的等分点，则，即可得到，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 化简得：， ∴或（舍） ∴当，则应该满足； （2）解：当， 由（1）得： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，为中心对称图形， ∴， ∵点是对角线上的等分点， ∴， ∴， 整理得：， 解得：或（舍）． 考点二： 相似三角形 【题型一】相似三角形的性质与判定 1）如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 1）相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系. 2）利用相似三角形的性质可推得成比例线段，从而建立等式求得未知线段的长.在中考题中常常运用相似三角形的面积比等于相似比的平方解决与几何图形面积相关的问题. 3）判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： 1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； 2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； 3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； 4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例； 5）条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找底角相等，或找底和腰对应成比例. 【中考真题】 1．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解． 【详解】解：∵， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等， ∴，即， 故选：A． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（    ） A．5 B．1 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键．设，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到a，b的关系式，再利用求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论． 【详解】解：设， 由题意得：． ∵正方形与（其中边分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． 故选：C 3．（2024·山东东营·中考真题）如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理可知，，，，与互相垂直且平分，进而可求得，根据正切值定义即可判断②；由，可知，由相似三角形的性质即可判断①；由，可求得，再结合与互相垂直且平分，得，可知，进而可判断③；再证，即可判断④． 【详解】解：在正方形中，，，，，与互相垂直且平分， 则， ∵，则， ∴，故②不正确； ∵，则，， ∴， ∴，故①不正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵与互相垂直且平分， ∴， ∴，则， ∴， ∴平分，故③正确； 由上可知，， ∴， ∴，则， 又∵， ∴，故④正确； 综上，正确的有③④，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 4．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E作于点H，由勾股定理求出，根据等面积法求出，先证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出，再证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出，根据，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值． 【详解】解：过点E作于点H，如下图： ∵，，， ∴， ∵是边上的高． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时， ， 当时，． 故选：A． 5．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点，连接并延长交于点G，连接，若，则用含α的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．证明，求得，证明，证得，推出，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点E，F分别为对角线的三等分点， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．（2024·山西·中考真题）如图，在中，为对角线，于点E，点F是延长线上一点，且，线段的延长线交于点G．若，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、解直角三角形的应用、相似三角形的判定和性质等知识点，正确地添加辅助线构造相似三角形并利用相似三角形的性质进行计算是解题的难点和关键． 如图：过点F作于H，延长与的延长线交于K，由得，进而得 ，则，再由得，则，由，得，在中由勾股定理得，则，证明得，则，再证明得，由此可得BG的长． 【详解】解：如图：过点F作于H，延长与的延长线交于K， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， 在中，， ∴， 由勾股定理得：，即， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（2024·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，是矩形的顶点，点分别为边上的点，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点在边的中点处，点C的对应点在反比例函数的图象上，则 【答案】 【分析】设交与点E，过点作轴于点H．利用矩形的性质、折叠的性质和勾股定理等可求出，，，，，，证明，利用相似三角形的性质可求出，，证明，利用相似三角形的性质可求出，，则可出求的坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，设交与点E，过点作轴于点H． 四边形是矩形，，， ，，， 点是的中点， ． 在中， ，， ， 矩形沿直线折叠， ，，， ，， ，即， 解得， ， ， ， ， ． ， ． 又， ， ，即， 解得，， ， 点的坐标为， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理，反比例函数等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形求解是解题的关键． 8．（2024·山东德州·中考真题）在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由； (3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围． 【答案】(1) (2)的大小不发生变化，，理由见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质得，由等边对等角和三角形内角和定理得到，由三角形外角的性质得，进而可求出的度数； （2）连接交于点O，证明得，再证明即可求出的度数； （3）过点C作于H，求出，则；由旋转的性质得，，，设，则；如图所示，过点D作于G，则可得到，，由勾股定理得；证明，在中，由勾股定理得 ；再求出，即可得到． 【详解】（1）解：由旋转的性质得． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：的大小不发生变化，，理由如下： 连接交于点O， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点C作于H， ∵，， ∴， ∵， ∴； 由旋转的性质得，，， 设， ∵， ∴， 如图所示，过点D作于G， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴, ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ∴或（舍去）； ∵点D是上一个动点（点D不与A，B重合）， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角等，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键． 9．（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系． 【详解】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． （3）解：如图，延长，交于一点，连接， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ，直线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 10．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的表达式； (2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出，再用待定系数法求出直线的解析式为：，可得出，，从而可得，再求出自变量取值范围即可； （3）分四种情形：当时，作，交于，可得出，从而，进而得出，进一步得出结果；当，和时，可得出没有最大值． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得， 该抛物线的解析式为：； （2）解：二次函数中，令，则， ， 设直线的解析式为：．将，代入得到： ，解得， 直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t， ，， ， 点在直线下方的抛物线上， ； （3）解：如图1，    当时， 作，交于， ， ， 把代入得， ， ， ， 当时，， ， ， 如图2， 当时， 此时， ， 时，随着的增大而增大， 没有最大值， 没有最大值， 如图3， 当时， ， 当时，随着的增大而减小， 没有最大值， 没有最大值， 如图4，    当时， 由上可知， 没有最大值， 综上所述：当时，． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 【模拟训练】 1．（2025·山东济南·一模）如图，已知的顶点，，，按以下步骤作图：①以点为圆心、适当长度为半径作弧，分别交边，于点，；②分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；③作射线，交边的延长线于点．则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】过点G作于点M，过点A作于点N．证明 ，推出可得结论． 【详解】解：如图，过点G作 于点M，过点A作 于点N，则． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 由作图可知平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点G的纵坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查作图-基本作图，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，为等边三角形，分别延长，，到点，，，使，连接，，，连接并延长，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，由等边三角形的性质可得，，进而可得，即得，得到，作，交的延长线于点，可得，即得，最后由得到即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：． 3．（2025·重庆·一模）如图，在正方形中，点E是边的一点且，连接，将沿折叠至正方形内部，得到线段，延长交于点G，延长交于点H，若，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作交于，连接，先证明，得出，设，则，列方程求出，证明，求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过作交于，连接， 在正方形中，， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等；能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 4．（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，动点M从点A出发以的速度沿折线运动到点C停止．连接，作交于点N．设点M运动时，长为，则y关于t的函数图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】分点M在和上运动两种情况，分别根据矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质求出函数解析式，最后根据函数解析式判断即可． 【详解】解：①当点M在边上时，即， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 即， 此时，图象为一次函数； ②当点M在边上时，即，则，， 如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，，，， ∴， 此时，图象为二次函数，最大值为； 只有D选项中图象符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的图象等知识点，根据题意确定函|数解析式是解答本题的关键． 5．（2025·广东深圳·二模）如图，，，三角形面积始终为2，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、圆周角定理等知识，难度大，通过作辅助线，构造相似三角形，确定点的位置是解题关键．过点作的垂线，在垂线上取一点，使得，连接，取的中点，连接，先利用勾股定理可得，再求出，则，证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得点在以点为圆心、长为半径的圆上，则，然后根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点作的垂线，在垂线上取一点，使得，连接，取的中点，连接， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵三角形面积始终为2，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴如图，点在以点为圆心、长为半径的圆上（定弦定角）， ∴， 又∵（当且仅当等号成立）， ∴的最大值为， 故选：D． 6．（2025·山东淄博·一模）如图，在矩形中，，，为矩形内一点，连接、、，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】先根据题意判断出点在以为直径的圆上，要想使的取最大值，此题中其实就是要越大就可以，根据图形可知当与相切时，的最大，如图此时算出CG的长度即可解决问题； 【详解】解：在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 所以点在以为直径的圆上， 如图，作以为直径的，要使取最大值，即当与相切时，连接， ∵， ∴是的切线， ∵与相切， ∴ ∵为中点， ∴， ∴ ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ ， ∴， 过点作 于， ∴， 即 ， 解得：， 在中， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，勾股定理，相似三角形的判定和性质和解直角三角形等知识点，解决此题的关键是要找到点的位置． 7．（2025·河南焦作·二模）如图，在矩形中，，，点P是对角线上一个动点，连接，以为直角边在右侧作等腰直角三角形，，连接． （1）当点E落在上时，的长为 ； （2）的最小值是 ． 【答案】 【分析】（1）当点落在上时，先求出再由三角形的面积公式求出进而由勾股定理求出然后根据即可得出答案； （2）过点作于点，的延长线交于点， 过点作于点T， 于点， 设证明利用相似三角形的性质求出 则，证明 ≌得 证明四边形和四边形均为矩形，则 在中，由勾股定理得 ，最值解题即可． 【详解】解：（1）当点落在上时，如图所示： 是以为直角边的等腰直角三角形， ， ∵四边形是矩形，， ， ， 在中， 由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 故答案为：； （2）过点作于点， 的延长线交于点， 过点作于点， 于点， 如图所示： 设， ∵， ， ∴， ， ， ， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形和四边形均为矩形， ， ， 在中， 由勾股定理得：， ， ∴当 时，为最小，最小值为 ∴ 的最小值为：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，理解矩形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 8．（2025·北京·模拟预测）在中，，点为的中点，于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当时，若，求的长． (2)如图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，然后再根据含角的直角三角形的性质求解即可； （2）以D为端点，为边，在的右侧作，且，连接，，，延长交于N，证明，，可得出，，，根据等边对等角和三角形内角和定理可得出，则可求，根据勾股定理得出，可证，得出，进而得出，根据三线合一性质得出，证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴，， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：； 理由∶以D为端点，为边，在的右侧作，且，连接，，，延长交于N， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造等腰三角形和全等三角形是解题的关键． 9．（2025·江苏南京·二模）如图，与相交于点E，连接．经过三点的交于点F，且是的切线． (1)连接，求证； (2)求证； (3)若，则的半径为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接交于点G，证明，利用垂径定理即可得到结论； （2）连接，证明，即可利用相似三角形的对应边成比例证出结论； （3）连接，并延长交于点H，连接，由，对应边成比例求出，在中，由勾股定理求出，进一步求出OH，在中，利用勾股定理即可求出半径． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点G， 是的切线， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 即， 由垂径定理可得，垂直平分， ； （2）证明：如图，连接， 由（1）知，， 则， 又， ， 又， ， ∴，即：； （3）解：如图，连接，并延长交于点H，连接， ， 则， 由（2）可知，， ， 由（2）知， 则，即， ， 又， 垂直平分， ， 在中， ， 设半径为r，则 , 在中， 即：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查圆的知识，解答中涉及圆的基本知识，切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，能综合运用相关知识解决问题是解题的关键． 【题型二】相似三角形的应用 1）利用相似三角形的性质解决问题的关键是构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体一般是三角形的一边，至少有一组对应边的长度应易测得. 【中考真题】 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G，根据题意得到，证明，得到，由推出，即可得出结论． 【详解】解：设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G， 根据题意得到， ， ， ， ， ， 米， ， 返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米， 故选：D． 2．（2023·四川南充·中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案. 【详解】解：如图所示，    由图可知，，， . 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， . 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，. . . 故选：B. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质. 3．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 4．（2023·山东潍坊·中考真题）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．    【答案】/ 【分析】如图，过作于，交于，可得，证明，可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于，交于， 则，，，， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∴，解得：，经检验符合题意； ∴（米）； 故答案为： 【点睛】本题考查的是相似三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建相似三角形是解本题的关键． 5．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2)旗杆高度为； (3)雕塑高度为． 【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用． （1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可； （2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案； （3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； （3）解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． 【模拟训练】 1．（2025·河南洛阳·一模）“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图1），由于使用时安放的位置不同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图2所示的位置，令（单位：m），（单位：m），若，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意，四边形是矩形，可得，，，再根据，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， 故选：A ． 2．（2025·湖南·一模）魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为），称为“表距”（记为d），和都称为“表目距”（分别记为，），则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．根据，可得，从而得到，进而得到，再由比例的性质可得，从而得到，进而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，，，， ∴． 故选：A 3．（2025·福建·一模）身高均为的小明与小强在学校球场的照明灯和照明灯之间，两盏灯的高度均为，如图所示．已知小明的身影的顶部正好在灯的底部处，小强的身影的顶部正好在灯的底部处，已知两灯之间的距离为，则两人的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相关在知识．由题意可得：，，推出，，进而得到，，可求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：由题意得：，，，，， ，， ，， 即，， ， ， 即两人的距离是， 故答案为：． 4．（2025·广西崇左·一模）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分．斜坡上点处有一棵树，，小球恰好越过树的顶端，那么这棵树的高度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．过点分别作轴的垂线，垂足分别是点，证明，根据相似三角形的性质求出，求出点坐标，得到，从而得到答案． 【详解】解：过点分别作轴的垂线，垂足分别是点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，则点横坐标为， 将代入中， ， 点的坐标为， ， ． 故答案为：． 5．（2025·广东深圳·一模）为响应国家节能减排的号召，广东新农村建设把主要村道道路上安装了太阳能路灯．如图（a）所示是行人在某村村道路灯下的影子，图（b）是该村村道上安装的两盏高度不同的太阳能路灯的示意图，其中电线杆的高度为，电线杆的高度为，的长为．身高的聪聪同学（）在两盏路灯之间走动，他在 B，D 两盏路灯下形成的影长分别记作和．（A，E，C，M，N在同一直线上，电线杆和人均垂直于地面） (1)请在图（b）中画出聪聪同学在路灯D照射下形成的影长； (2)当聪聪同学站在两盏路灯的中间（即E为的中点）时，请求出影长； (3)若影长端点N处有一个竹竿，它在路灯B 的照射下其影长端点恰好与点M重合，同时影长端点M处也有一个竹竿，它在路灯D的照射下其影长端点恰好与点N重合．（竹竿，均垂直于地面）请回答下列问题： ①设的长为，则的长为 _______（请用含有x的代数式来表示）； ②请判断的值是否为定值？若是，请求出此定值 ；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①或；②是， 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用． （1）连接并延长交与点N即可． （2）先得出，，由相似三角形的性质得出，，分别求出和，最后根据代入计算即可． （3）①根据题意画出图形， 设，由（2）可知，，由全等三角形的性质得出，，再根据，进而可得出，再证明，即可由全等三角形的性质得出． ②方法一：根据，直接计算即可． 方法二：证明，，由相似三角形的性质得出，，进而可得出，然后求解即可． 【详解】（1）解：图中线段为所求． （2）解：当米时， ∵， ∴，， ，， 即，， 解得：，， ∴． （3）解：①根据题意画出图形： 设， 由（2）可知，， ，， 即，， 解得：，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 即， 整理得：或， ②方法一：同①可求得， ∵， ∴， ， ， ， ． 方法二： ∵， ∴，， ∴，， ∴， ， ， ， ∴． 【题型三】位似 1）位似与平移、轴对称、旋转一样，是图形的变换方式，但位似可以改变图形的位置和大小，平移、轴对称、旋转只能改变图的位置，即位似是图形的相似变换，而平移、轴对称、旋转是图形的全等变换. 2）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个. 【中考真题】 1．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，， ∴， ∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为， ∵三角形硬纸板的面积为， ∴， ∴的面积为． 故选：D． 3．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为 ．      【答案】或/或 【分析】根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算． 【详解】解：以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，， 当在第一象限时，点的坐标为，即； 当在第三象限时，点的坐标为，即； 综上可知，点的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查图标与图形、位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，注意分情况计算． 4．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为 ．（结果用含，的式子表示）    【答案】 【分析】过点分别作轴的垂线垂足分别为，根据题意得出，则，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线垂足分别为，    ∵与的相似比为，点是位似中心， ∴ ∵， ∴, ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了求位似图形的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 【模拟训练】 1．（2025·河北保定·一模）如图，这是物理学中的小孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点，透过小孔在光屏上成的像是倒立放大的实像，和成位似图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为，，此时，像的长为，为了使像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，可以将遮挡板（   ） A．水平向右移动 B．水平向左移动 C．水平向右移动 D．水平向左移动 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的应用，过点作于点，延长交于点，根据位似图形的性质推出，分别求出遮挡板水平移动前后的长，再进行比较即可。掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， ∵和成位似图形，位似中心为点， ∴， ∴， ∴、分别为和对应边、上的高， ∴， ∵和成位似图形，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，设，则，， 又∵，即， ∴， 此时， ∵， ∴可以将遮挡板水平向左移动． 故选：B． 2．（2025·浙江温州·一模）如图，在的方格纸中，A，B，C，D是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了找位似中心，连接、并延长，则交点即为它们的位似中心，结合图形即可得解． 【详解】解：如图：连接、并延长，则交点即为它们的位似中心， ， ∴它们的位似中心为， 故选：A． 3．（2024·河北石家庄·二模）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图1和如图2，正方形的边长为，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，已知． （1）四边形的外接圆半径为 ． （2）将正方形顺时针旋转一定角度，达到如图所示的位置，若点在线段延长线上，则长为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似图形的性质，正方形与圆的性质，旋转的性质； （1）根据正方形的边长为4和位似比求出，进而即可求解．解题关键求出正方形的边长； （2）根据题意证明，设，在中，，根据勾股定理列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接，   正方形与四边形是位似图形， 四边形是正方形， ， ∴是四边形的外接圆直径， 正方形的边长为4，， ， ， 四边形的外接圆半径为， 故答案为：． （2）∵， ∵点在线段延长线上， 又 ∴ 又 ∴ ∴ 设， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） 故答案为：． 4．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点为位似中心，在平面直角坐标系中画出的位似图形（点，，的对应点分别为，，），使与的相似比为，且点在第一象限． (2)画出以点为旋转中心，将旋转后得到的． (3)的值为______． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析； (3)． 【分析】本题考查了作图-复杂作图，位似的性质，旋转的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）分别连接并延长，取格点，使得，依次连接，则即为所求； （2）分别连接并延长，取格点，使得，依次连接，则即为所求； （3）由（1）可得，由（2）可得，即可求解． 【详解】（1）解：分别连接并延长，取格点，使得，依次连接，则即为所求，如图： （2）解：分别连接并延长，取格点，使得，依次连接，则即为所求，如图： （3）解：由（1）可得： ，即， 由（2）可得， ∴， 故答案为：． 题型三： 相似三角形综合 【题型一】相似三角形综合 【中考真题】 1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形中，点H在边上（不与点A、D重合），，交正方形外角的平分线于点F，连接交于点M，连接交于点G，交于点N，连接．则下列结论：①；②点G是的中点；③若点H是的中点，则；④；⑤若，则，其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】A 【分析】连接，可得，垂直平分，先证明点B、H、D、F四点共圆，即可判断①；根据垂直平分，结合互余可证明，即有，则可判断②正确；证明，即有，可判断④；根据相似有，根据可得，再证明，可得，即可判断⑤；根据点H是的中点，设，即求出，同理可证明，可得，即可得，进而可判断③． 【详解】连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，，，垂直平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴点B、H、D、F四点共圆， ∴，， ∴，故①正确， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点G是的中点，故②正确， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故④正确， ∴， 若，则， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故⑤错误， 如图，③若点H是的中点，设，即， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ，故③正确， 则正确的有：①②③④， 故选：A． 【点睛】本题是一道几何综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正弦，圆周角定理以及勾股定理等知识，证明点B、H、D、F四点共圆，，是解答本题的关键． 2．（2024·江苏南通·中考真题）在中，，，垂足为H，D是线段上的动点（不与点H，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边上时，点D为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，．请对两位同学的发现作出评判（    ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 【答案】C 【分析】旋转得到，当点E落在边上时，利用三角形的外角推出，进而得到，推出，判断小明的说法，连接，等边对等角，求出，进而求出，推出点在射线上运动，根据垂线段最短，得到时，的长最小，进而推出，判断小丽的说法即可． 【详解】解：∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴， 当点E落在边上时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点，故小明的说法是正确的； 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，的长最小， ∴当的长最小时，， 又∵， ∴， ∴， ∴；故小丽的说法正确； 故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，根据题意，正确的作图，确定点的轨迹，是解题的关键． 3．（2024·四川德阳·中考真题）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：）的正方形纸片，他在边和上分别取点和点，使，又在线段上任取一点（点可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到，随后连接．小王同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动； ②当达到最大值时，到直线的距离达到最大； ③的最小值为； ④达到最小值时，． 你认为小王同学得到的结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由折叠可得，可得点到点的距离恒为2，即可判断①；连接，由勾股定理得到在中，，由，即可判断③；达到最小值时，点在线段上，证得，得到，从而求得，通过即可判断④．在中，随着的增大而增大，而当最大时，有最大值，有最大值，此时点N与点D重合．过点作于点G，作于点P，可得四边形是矩形，因此，当取得最大值时，有最小值，在中，有最大值，有最大值，即可判断②． 【详解】解：∵正方形纸片的边长为， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动．故①正确． 连接， ∵在正方形中，，，， ∴在中， ∵， ∴， ∴的最小值为．故③正确； 如图， 达到最小值时，点在线段上， 由折叠可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．故④错误． 在中，，， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴当最大时，有最大值，有最大值，此时，点N与点D重合， 过点作于点G，作于点P， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 当取得最大值时，也是最大值， ∵， ∴有最小值， ∴在中，有最大值， 即有最大值， ∴点到的距离最大．故②正确． 综上所述，正确的共有3个． 故选：C 【点睛】本题考查轴对称图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，锐角三角形函数的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 4．（2024·四川达州·中考真题）如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是（    ）    A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】过点作于点，证明，根据相似三角形的性质即可判断①；得出，根据三角形内角和定理即可判断②；在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形，以为半径作，根据定弦定角得出在的上运动，进而根据当时，面积的最大，根据三角形的面积公式求解，即可判断③，当在上时，最小，过点作交的延长线于点，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，    ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴ 即 在中， 即 ∵是等腰直角三角形， ∴平分 ∴ ∴ ∴， ∴，故②正确， 如图所示，    在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形，以为半径作，且 ∴， ∵ ∴ ∴在的上运动， ∴， 连接交于点，则， ∴当时，结合垂径定理，最小， ∵是半径不变 ∴此时最大 则面积的最大， ∴ ，故③正确； 如图所示，当在上时，最小，过点作交的延长线于点，    ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，求圆外一点到圆上的距离最值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．（2024·河北·中考真题）如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点． （1）的面积为 ； （2）的面积为 ． 【答案】 【分析】（1）根据三角形中线的性质得，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）证明，得，推出、、三点共线，得，继而得出，，证明，得，推出，最后代入即可． 【详解】解：（1）连接、、、、， ∵的面积为，为边上的中线， ∴， ∵点，，，是线段的五等分点， ∴， ∵点，，是线段的四等分点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴的面积为， 故答案为：； （2）在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键． 6．（2024·安徽·中考真题）如图，现有正方形纸片，点E，F分别在边上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原． （1）若点N在边上，且，则 （用含α的式子表示）； （2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点G，H分别在边上，点D落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，，与的交点为P，则的长为 ． 【答案】 / 【分析】①连接，根据正方形的性质每个内角为直角以及折叠带来的折痕与对称点连线段垂直的性质，再结合平行线的性质即可求解； ②记与交于点K， 可证：，则，，由勾股定理可求，由折叠的性质得到：，，，，，则，，由，得，继而可证明，由等腰三角形的性质得到，故． 【详解】解：①连接，由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴， 故答案为：； ②记与交于点K，如图： ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴，， 在中，由勾股定理得， 由题意得：，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得，而， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 7．（2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则______；______； (2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； (3)①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（不限作图工具）； ②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)①见解析；②或 【分析】（1）由“垂中平行四边形”的定义可得，，，，从而可得，由勾股定理得出，证明，得出，再由勾股定理计算即可得解； （2）由“垂中平行四边形”的定义可得，，，，证明，得出，设，则，，由勾股定理可得，求出，从而可得，即可得解； （3）①根据“垂中平行四边形”的定义画出图形即可；②根据①中画出的图形，分别结合相似三角形的判定与性质以及勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形为“垂中平行四边形”， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形为“垂中平行四边形”， ∴，，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①第一种情况：如图①，作的平行线，并使得，连接，则四边形为平行四边形， 延长交于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为的中点， ∴四边形即为所求的“垂中平行四边形”； 第二种情况：如图②，作的平分线，并取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接，故点为的中点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为所求的“垂中平行四边形”； 第三种情况：如图③，作，交的延长线于点，连接，在的延长线上取点，使得，连接，则点为的中点， 同理可得证明，则，则四边形为平行四边形， 故四边形为所求的“垂中平行四边形”；     ②若按照上图①作图， 由题意可得，，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 作于，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 若按照上图②作图， 延长、交于点， 同理可得，是等腰三角形， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 若按照上图③作图，则没有交点，不存在，故不符合题意， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 8．（2024·海南·中考真题）正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，，交于点H，交延长线于点G．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，于点P，交于点M． ①求证：点P在的平分线上； ②当时，猜想与的数量关系，并证明； ③作于点N，连接，当时，若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②；③． 【分析】（1）利用即可证明； （2）①证明是等腰直角三角形，再推出四点共圆，求得，据此即可证明结论成立； ②由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，证明，根据相似三角形的性质即可求解； ③证明四边形是平行四边形，推出和都是等腰直角三角形，设，则，，由，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）①证明：连接，    由（1）得， ∴， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴四点共圆， ∴， ∵，， ∴点P在的平分线上； ②，理由如下： 由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，    ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴； ③由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，    ∴， 同理四点共圆，则， ∵， ∴， ∴，∵， ∴四边形是平行四边形， 设平行四边形的对角线的交点为，且， ∵是等腰直角三角形， ∴和都是等腰直角三角形， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，四点共圆，熟练掌握三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 9．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的表达式； (2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出，再用待定系数法求出直线的解析式为：，可得出，，从而可得，再求出自变量取值范围即可； （3）分四种情形：当时，作，交于，可得出，从而，进而得出，进一步得出结果；当，和时，可得出没有最大值． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得， 该抛物线的解析式为：； （2）解：二次函数中，令，则， ， 设直线的解析式为：．将，代入得到： ，解得， 直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t， ，， ， 点在直线下方的抛物线上， ； （3）解：如图1，    当时， 作，交于， ， ， 把代入得， ， ， ， 当时，， ， ， 如图2， 当时， 此时， ， 时，随着的增大而增大， 没有最大值， 没有最大值， 如图3， 当时， ， 当时，随着的增大而减小， 没有最大值， 没有最大值， 如图4，    当时， 由上可知， 没有最大值， 综上所述：当时，． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 10．（2024·江苏宿迁·中考真题）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H． 根据以上操作，得________． 【探究证明】 （1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明； （2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：． 【深入研究】 若，请求出的值（用含k的代数式表示）． 【答案】[操作判断]45； [探究证明]（1）等腰直角三角形，理由见详解；（2）见详解； [深入研究] 【分析】[操作判断] 根据正方形的性质以及折叠的性质即可求解； [探究证明]（1）先证明，再证明，则，继而得到，因此，，即是等腰直角三角形；（2）由翻折得，，由，得到，故，因此，而由，得到，则，因此； [深入研究] 连接，先证明，则，由，设，则，而，  则，可得，，，那么，故． 【详解】[操作判断] 解：如图， 由题意得，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：45； [探究证明] 解：（1）如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）如图， 由翻折得，， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； [深入研究] 解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴, ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形背景下的折叠问题，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 【模拟训练】 1．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在正方形中，是延长线上一点，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，连接.下列四个结论： ①；②；③若是中点，，则；④ ；⑤若，则.其中正确的结论是（   ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】A 【分析】如图1，作于，则四边形是矩形，证明，则，可判断①的正误；如图2，作交于，连接，证明，则，，由，，可得，，，证明，则，由勾股定理得，，由，可得，可判断②的正误；如图3，连接，由勾股定理得，，，可求，设，则，，由勾股定理得，，由，可得，整理得，，可求满足要求的解为，则，，由，可得，可求，可判断③的正误；由题意知，，不相似，，可判断④的正误；由设，，，则，，，，证明，则，证明，则，即，可求，同理，，则，即，同理，，则，即，可得，将代入得，，整理得，，可得，，则，可判断⑤的正误． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 如图1，作于，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，①正确，故符合要求； 如图2，作交于，连接， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴，②正确，故符合要求； ∵P是中点，， ∴， 如图3，连接， 由勾股定理得，，， 解得，， 设，则，， 由勾股定理得，， ∵， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）， ∴，， ∵， ∴， 解得，，③正确，故符合要求； 由题意知，， ∴不相似，，④错误，故不符合要求； ∵， ∴，， 设，，，则，，，， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， 同理，， ∴，即， 同理，， ∴，即， ∴， 将代入得，，整理得，， 解得，， ∴，⑤正确，故符合要求； 故答案为：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（2025·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为3，则的值为（   ） A．8 B．9 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定与性质．过点作轴于点，连接，设点的坐标为，点的坐标为，则，，再证出，根据相似三角形的性质可得，，从而可得，，然后求出，最后根据建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接， 由题意，设点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵点为线段的中点， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴与的边上的高相等， ∴， 又∵， ∴， 解得， 故选：A． 3．（2025·重庆·一模）如图，在正方形中，点E是边的一点且，连接，将沿折叠至正方形内部，得到线段，延长交于点G，延长交于点H，若，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作交于，连接，先证明，得出，设，则，列方程求出，证明，求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过作交于，连接， 在正方形中，， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等；能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 4．（2025·安徽合肥·一模）如图，矩形中，，，点E是边上一点，且，点F是边上任一点，把沿翻折，点B的对应点为，连接、，则以下结论正确的是（   ） ①当与相似时，；②的最小值是；③点到距离的最小值是；④取的中点P，连接，则的最大值是． A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、勾股定理、圆的基本性质，熟练掌握隐形圆上的点到定点和定直线的距离问题是解答的关键．利用相似三角形的性质可判断①；②由折叠性质得，则点在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，如图，连接，当C、、E共线时，有最小值，最小值为，利用勾股定理求解即可判断②；过E作于G，当、、共线时，最小，即点到距离的最小，最小值为的长度，利用三角形的面积公式求得，进而求得可判断③；取的中点，连接、，利用三角形的中位线求得，则点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，当点P在的延长线上时，最大，最大值为，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理求得即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∵， ∴， ①当时，则，即， 解得； 当时，则，即， 解得， 综上，当与相似时，或，故①错误； ②由折叠性质得，则点在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，如图，连接，当C、、E共线时，有最小值，最小值为， 在中，， ∴的最小值为，故②正确； ③过E作于G，当、、共线时，最小，即点到距离的最小，最小值为的长度， 由得， ∴， ∴点到距离的最小值为，故③正确； ④取的中点，连接、， ∵点P是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，当点P在的延长线上时，最大，最大值为， 过O作于H，则，又， ∴， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴的最大值是，故④正确， 综上，结论正确的是②③④， 故选：B． 5．（2025·山东济南·一模）如图1，四边形为菱形，动点，同时从点出发，点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动；点沿线段向终点运动，当点运动至终点时，另一点也恰好到达终点．设运动时间为秒， 的面积为个平方单位，图2为关于的函数关系图象．下面四个结论中：①菱形的边长为6；②点的运动速度为每秒3个单位长度；③当时，；④曲线段的函数解析式为，结论正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 【答案】A 【分析】根据当点运动至终点时，另一点也恰好到达终点可知点Q的速度是点P速度的3倍，进而可判断②正确；由图象可知，2秒后点Q到达点B，进而求出菱形的边长，可判断①正确；当点Q到达点C时，的面积最大，求出此时的面积可判断③正确；当点Q运动到的中点时，作交的延长线于E，此时，，．证明，求出，的面积为，设曲线段的函数解析式为，把代入求出函数解析式可判断④正确． 【详解】解：∵动点，同时从点出发，同时到达点D， ∴点Q的速度是点P速度的3倍， ∵点以每秒1个单位长度的速度运动， ∴点的运动速度为每秒3个单位长度，故②正确； 由图象可知，2秒后点Q到达点B， ∴，即菱形的边长为6，故①正确； 作于点H，由图象可知，点Q到达点B时，即时，的面积为5，此时， ∴， ∴， ∴， 当点Q到达点C时，的面积最大，此时，，的面积为，即当时，，故③正确； 当点Q运动到点D时，， 当点Q运动到的中点时，作交的延长线于E，此时，，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 设曲线段的函数解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴，故④正确． 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，从函数图象获取信息，相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，数形结合是解答本题的关键． 6．（2025·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形，，，的顶点，，，在x轴上．顶点，，，在直线上，若，，则（   ） ①点坐标为； ②直线的表达式为； ③； ④点的横坐标为，其中说法正确的为（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，利用正方形的性质求出点和的坐标即可判断①；利用待定系数法得出直线的函数解析式即可判断②；利用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可判断③；再依次求出点，…，的纵坐标，发现规律即可判断④． 【详解】解：分别过点作x轴的垂线，垂足分别为M和N， ∵四边形和四边形是正方形，且， ∴点的坐标为，点的坐标为，故①正确； 将和的坐标代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为，故②正确； 由题意可知， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； 过点作x轴的垂线，垂足为P， 设 ∴点坐标可表示为， 将点坐标代入直线函数解析式得， ， 解得， ∴点的纵坐标为． 同理可得，点的纵坐标为， …， ∴点的纵坐标为， 代入，即可求得， ∴点的横坐标为，故④正确． 故选：C． 7．（2025·山西·一模）如图，在中，，点为中点，连接，点为延长线上一点，连接．若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，取中点，连接，设（），求得 ，证明，得到，即，解出，再利用勾股定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：取中点，连接，如图： ∵，点是中点， ∴， 设（）， ∵，， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∵点是中点， ∴， 在中，点分别是中点， ∴是的中位线， ，， ∴， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 8．（2025·陕西咸阳·二模）【问题提出】 （1）如图①，点A是外一点，点是上一动点．若的半径为3，长度为5，根据，得到点到点A的最短距离为_____________； （2）如图②，已知正方形的边长为4，点分别从点同时出发，以相同的速度沿边方向向终点和运动，连接和交于点．求点到点的最短距离． 【问题解决】 （3）如图③，某老小区有一个矩形活动广场，由于广场年久失修，居民使用率很低，物业为改善居民生活品质，计划将这个广场进行更新改造．按照改造设计要求，在上取一点，在上留一条小路与小路交于点，并将绕点逆时针旋转得到线段，与交于点，连接与交于点，在处建一个人工湖，已知，，．为满足活动广场各功能场所的需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的？若存在，求面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2；（2）；（3）存在，面积的最小值为19200 【分析】本题考查了正方形、勾股定理、圆、旋转、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握圆、全等三角形、相似三角形的性质； （1）结合题意，当三点共线时，最小值，从而得到答案； （2）根据题意得，在根据全等三角形的性质，通过证明，推导得，在结合圆的性质，得点在以为直径的圆上，当三点共线时，有最小值；再结合正方形和勾股定理计算，即可得到答案； （3）根据圆的性质，得为定值，再根据相似三角形的性质，通过证明，得，设的半径为，从而计算得，结合一元一次不等式，当共线时，即可得到答案． 【详解】（1）当三点共线时，有最小值为， 故答案为：2； （2）根据题意，得， 又∵， 和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴点在以为直径的圆上． 如图，取的中点，连接． ∴． 当三点共线时，有最小值为， ∵已知正方形的边长为4， ∴， ∴． ∴的最短距离为． （3）存在． 如图，作的外接圆，连接，过点A作，垂足为，过点作，垂足为S． ∵， ∴四边形四点共圆． ∴为定值． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴， 设的半径为， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． 由图可知，即，解得． ∴． 当共线，即时取等号，即面积的最小值为19200． 9．（2025·山东青岛·一模）如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以每秒3个单位长的速度运动，动点从点出发沿边向点以每秒4个单位长的速度运动．，分别从点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，关于直线对称的图形是．设运动时间为（秒）． (1)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (2)当______秒，四边形是梯形？ (3)是否存在时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (4)当______秒时，． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，轴对称图形的性质，矩形的性质与判定等等，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由题意知，，则可求出，再由轴对称图形的性质即可得到答案； （2）可证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）证明，求出，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可； （4）延长交于，过作于．证明，得到，同理可得，证明四边形是矩形，得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解；由题意知，， ， 与关于直线对称， ； （2）解：当四边形是梯形时，， ， ∴，即， 解得：， 故为2秒时，四边形是梯形， 故答案为：2； （3）解：设某一时刻，，延长交于点，如图， 若，则， 又， ∴， ， ，，， ， ， ，， ， ， 即，解得． （4）解：延长交于，过作于． ∵， ∴， ∴，即， ， 同理可得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ． ， 解得． 故答案为：． 10．（2025·山东淄博·一模）如图1，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式： (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上一点，连接交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)作抛物线关于直线上一点对称的函数图象，且与只有一个公共点（在轴右侧），为直线上一点，为抛物线对称轴上一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的坐标． 【答案】(1)； (2)最大值，此时点的坐标为； (3)或或． 【分析】根据二次函数的解析式可得抛物线与轴的交点坐标为，再根据求出点、的坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可； 连接，过作，交于点，根据轴可证，根据相似三角形的性质可证，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，从而可得，所以有，根据二次函数的性质可得当时，取得最大值，此时点的坐标为； 把代入，求出点的坐标，再根据两抛物线关于点中心对称，求出抛物线的顶点坐标，根据点为直线上一点，为抛物线对称轴上一点，设，，然后再分三种情况：当点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，当点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，当为平行四边形的对角线时求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 可得：， 点的坐标为， ， 点、的坐标分别为，， 把点，的坐标代入， 可得：， 解得： 抛物线的解析式为； （2）解：如下图所示，连接，过作，交于点， 轴， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， ， ， 当时，取得最大值，此时点的坐标为； （3）解：当时， 可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 与关于中心对称， 整理， 可得：， 的顶点为， 设的顶点坐标为， 则有， 解得：， 的顶点为， 为直线上一点，为抛物线对称轴上一点， 设，， 点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 当为平行四边形的边时： 当点，，，为顶点的四边形是平行四边形时， 可得：，， 解得：，， 点的坐标为； 当点，，，为顶点的四边形是平行四边形时， 可得：，， 解得：，， 点的坐标为， 当为平行四边形的对角线时： 中点为，中点为， ，， 解得：，， 点的坐标为； 综上所述，的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合运用、平行四边形的判定与性质、用待定系数法求二次函数的解析式、用待定系数法求一次函数的解析式、分类讨论的思想，解决本题的关键是利用分类讨论的思想，讨论以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时点的坐标． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 查漏补缺03 相似三角形（8大题型） 考点一：比例 【题型一】比例与比例的性质 1）求两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位； 1）比例尺就是图上长度与实际长度的比（注意单位）. 2）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段按照从小到大或从大到小的顺序排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等，比值相等的四条线段成比例； 3）成比例的线段是有顺序的，要注意位置不能随意颠倒. 【中考真题】 1．（2023·四川甘孜·中考真题）若，则 ． 2．（2023·浙江·中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填： 3．（2022·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 倍． 4．（2021·四川德阳·中考真题）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为1，则该矩形的周长为 ． 【模拟训练】 1．（2025·广东深圳·一模）已知，，，成比例线段．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一测量电路，为待测电阻，为可调电阻，R，，为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过的电阻求得的电阻，现已知，．当时电流表读数为0，那么此时将减小，则需要如何变，电流表示数才能为0？ A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 3．（2024·湖南益阳·模拟预测）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为 ． 4．（2025·浙江·一模）已知线段满足，且． (1)求线段的长． (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长． 5．（2025·上海徐汇·一模）已知：． (1)求代数式的值： (2)当时，求的值． 【题型二】黄金分割 1）一天线段的黄金分割点有2个，黄金分割比为，近似值为0.618.题目中若没有要求时，一般都要用原值. 【中考真题】 1．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 2．（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，之间的距离为 ． 3．（2022·山西·中考真题）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割 4．（2022·陕西·中考真题）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为 米． 【模拟训练】 1．（2025·山西忻州·一模）如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 2．（2025·安徽·一模）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，将雕像分为上下两部分，其中为的黄金分割点，即已知为2米，则的长为米，它介于整数和之间，则的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2024·山东济南·一模）如图，在中，，，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线分别交、于点D、E，连接．以下结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（2024·内蒙古包头·三模）正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①，②，③，④．请填写你认为正确的结论序号： ． 5．（2025·山东滨州·模拟预测）【背景】 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．我们可以用数学的方法定义“美感”，把“美感”量化． 【初识】 把上面的问题一般化，如图，在线段上找一点，把分为和两段，是较短的一段，则当时，雕像富有“美感”．人们把此时的比值叫做黄金比值．易知，如果较长一段与整个线段的比是黄金比，那么较短一段与较长一段的比也是黄金比．点叫线段的黄金分割点，显然，一条线段有两个黄金分割点． （1）为简单起见，不失一般性，令，，则，请求出的值． 【拓展】 在数学上，称宽与长的比等于黄金比的矩形为黄金矩形． （2）如图，矩形为黄金矩形（），点在四条边上，交于点，且四边形，都是正方形，找出图中一对面积相等的四边形，并进行证明． 【迁移】 类似的，数学上称底与腰的比等于黄金比的等腰三角形为黄金三角形． （3）如图，在中，，．求证：是黄金三角形． （4）如图，为的内接正二十边形的边，连接．求证：． 【题型三】平行线分线段成比例 1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，对应线段成比例可用语言形象表示：等等. 2）当“A型”或“X型”在几何图形中出现时，我们可以利用平行线分线段成比例定理及推论建立有关线段的比例式，把线段的长代入比例式，通过解方程求出线段的长. 【中考真题】 1．（2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·江苏·中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．    这一画图过程体现的数学依据是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两条平行线之间的距离处处相等 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 4．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（    ）      A．4 B．6 C．8 D．10 5．（2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 6．（2023·湖南岳阳·中考真题）如图，在中，为直径，为弦，点为的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点．    （1）若，则的长是 （结果保留）； （2）若，则 ． 7．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在▱中，，，，为边上的动点．连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作，交直线于点．连接、，分别取、的中点、，连接，交于点． (1)若点与点重合，则线段的长度为______． (2)随着点的运动，与的长度是否发生变化？若不变，求出与的长度；若改变，请说明理由． 【模拟训练】 1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，菱形，点E为延长线上一点，连接交于点F，下列式子正确的是（   ）． A． B． C． D． 2．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，点，分别是和的中点，点是线段上的一点，连接，，且．若，，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．1.5 D．2 3．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，D是中上的中点，连接，是的中线，的延长线与交于点，则 ． 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点A在第一象限，点．双曲线（，）把分成两部分，与边，分别交于C，D两点，若． （1）k的值为 ； （2）连接，则的面积为 ． 5．（2025·浙江宁波·一模）已知平行四边形中，点是对角线上的等分点．连结， 分别交线段于点，连结． (1)若，则应该满足什么条件？ (2)若，四边形的面积为，的面积为，求的值． 考点二： 相似三角形 【题型一】相似三角形的性质与判定 1）如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 1）相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系. 2）利用相似三角形的性质可推得成比例线段，从而建立等式求得未知线段的长.在中考题中常常运用相似三角形的面积比等于相似比的平方解决与几何图形面积相关的问题. 3）判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： 1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； 2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； 3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； 4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例； 5）条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找底角相等，或找底和腰对应成比例. 【中考真题】 1．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（    ） A．5 B．1 C．3 D．2 3．（2024·山东东营·中考真题）如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A．B．C． D． 5．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点，连接并延长交于点G，连接，若，则用含α的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山西·中考真题）如图，在中，为对角线，于点E，点F是延长线上一点，且，线段的延长线交于点G．若，，，则的长为 ． 7．（2024·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，是矩形的顶点，点分别为边上的点，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点在边的中点处，点C的对应点在反比例函数的图象上，则 8．（2024·山东德州·中考真题）在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由； (3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围． 9．（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 10．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的表达式； (2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，交于点，求的最大值． 【模拟训练】 1．（2025·山东济南·一模）如图，已知的顶点，，，按以下步骤作图：①以点为圆心、适当长度为半径作弧，分别交边，于点，；②分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；③作射线，交边的延长线于点．则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D．5 2．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，为等边三角形，分别延长，，到点，，，使，连接，，，连接并延长，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·重庆·一模）如图，在正方形中，点E是边的一点且，连接，将沿折叠至正方形内部，得到线段，延长交于点G，延长交于点H，若，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，动点M从点A出发以的速度沿折线运动到点C停止．连接，作交于点N．设点M运动时，长为，则y关于t的函数图象大致为（    ） A．B．C．D． 5．（2025·广东深圳·二模）如图，，，三角形面积始终为2，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 6．（2025·山东淄博·一模）如图，在矩形中，，，为矩形内一点，连接、、，，则的最大值为 ． 7．（2025·河南焦作·二模）如图，在矩形中，，，点P是对角线上一个动点，连接，以为直角边在右侧作等腰直角三角形，，连接． （1）当点E落在上时，的长为 ； （2）的最小值是 ． 8．（2025·北京·模拟预测）在中，，点为的中点，于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当时，若，求的长． (2)如图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 9．（2025·江苏南京·二模）如图，与相交于点E，连接．经过三点的交于点F，且是的切线． (1)连接，求证； (2)求证； (3)若，则的半径为 ． 【题型二】相似三角形的应用 1）利用相似三角形的性质解决问题的关键是构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体一般是三角形的一边，至少有一组对应边的长度应易测得. 【中考真题】 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 2．（2023·四川南充·中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 4．（2023·山东潍坊·中考真题）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．    5．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【模拟训练】 1．（2025·河南洛阳·一模）“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图1），由于使用时安放的位置不同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图2所示的位置，令（单位：m），（单位：m），若，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南·一模）魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为），称为“表距”（记为d），和都称为“表目距”（分别记为，），则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·福建·一模）身高均为的小明与小强在学校球场的照明灯和照明灯之间，两盏灯的高度均为，如图所示．已知小明的身影的顶部正好在灯的底部处，小强的身影的顶部正好在灯的底部处，已知两灯之间的距离为，则两人的距离是 ． 4．（2025·广西崇左·一模）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分．斜坡上点处有一棵树，，小球恰好越过树的顶端，那么这棵树的高度为 ． 5．（2025·广东深圳·一模）为响应国家节能减排的号召，广东新农村建设把主要村道道路上安装了太阳能路灯．如图（a）所示是行人在某村村道路灯下的影子，图（b）是该村村道上安装的两盏高度不同的太阳能路灯的示意图，其中电线杆的高度为，电线杆的高度为，的长为．身高的聪聪同学（）在两盏路灯之间走动，他在 B，D 两盏路灯下形成的影长分别记作和．（A，E，C，M，N在同一直线上，电线杆和人均垂直于地面） (1)请在图（b）中画出聪聪同学在路灯D照射下形成的影长； (2)当聪聪同学站在两盏路灯的中间（即E为的中点）时，请求出影长； (3)若影长端点N处有一个竹竿，它在路灯B 的照射下其影长端点恰好与点M重合，同时影长端点M处也有一个竹竿，它在路灯D的照射下其影长端点恰好与点N重合．（竹竿，均垂直于地面）请回答下列问题： ①设的长为，则的长为 _______（请用含有x的代数式来表示）； ②请判断的值是否为定值？若是，请求出此定值 ；若不是，请说明理由． 【题型三】位似 1）位似与平移、轴对称、旋转一样，是图形的变换方式，但位似可以改变图形的位置和大小，平移、轴对称、旋转只能改变图的位置，即位似是图形的相似变换，而平移、轴对称、旋转是图形的全等变换. 2）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个. 【中考真题】 1．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为 ．      4．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为 ．（结果用含，的式子表示）    【模拟训练】 1．（2025·河北保定·一模）如图，这是物理学中的小孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点，透过小孔在光屏上成的像是倒立放大的实像，和成位似图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为，，此时，像的长为，为了使像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，可以将遮挡板（   ） A．水平向右移动 B．水平向左移动 C．水平向右移动 D．水平向左移动 2．（2025·浙江温州·一模）如图，在的方格纸中，A，B，C，D是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（2024·河北石家庄·二模）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图1和如图2，正方形的边长为，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，已知． （1）四边形的外接圆半径为 ． （2）将正方形顺时针旋转一定角度，达到如图所示的位置，若点在线段延长线上，则长为 ．    4．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点为位似中心，在平面直角坐标系中画出的位似图形（点，，的对应点分别为，，），使与的相似比为，且点在第一象限． (2)画出以点为旋转中心，将旋转后得到的． (3)的值为______． 题型三： 相似三角形综合 【题型一】相似三角形综合 【中考真题】 1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形中，点H在边上（不与点A、D重合），，交正方形外角的平分线于点F，连接交于点M，连接交于点G，交于点N，连接．则下列结论：①；②点G是的中点；③若点H是的中点，则；④；⑤若，则，其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 2．（2024·江苏南通·中考真题）在中，，，垂足为H，D是线段上的动点（不与点H，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边上时，点D为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，．请对两位同学的发现作出评判（    ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 3．（2024·四川德阳·中考真题）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：）的正方形纸片，他在边和上分别取点和点，使，又在线段上任取一点（点可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到，随后连接．小王同学通过多次实践得到以下结论：①当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动；②当达到最大值时，到直线的距离达到最大；③的最小值为；④达到最小值时，． 你认为小王同学得到的结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·四川达州·中考真题）如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是（    ）    A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 5．（2024·河北·中考真题）如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点． （1）的面积为 ； （2）的面积为 ． 6．（2024·安徽·中考真题）如图，现有正方形纸片，点E，F分别在边上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原． （1）若点N在边上，且，则 （用含α的式子表示）； （2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点G，H分别在边上，点D落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，，与的交点为P，则的长为 ． 7．（2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则______；______； (2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； (3)①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（不限作图工具）； ②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值． 8．（2024·海南·中考真题）正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，，交于点H，交延长线于点G．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，于点P，交于点M． ①求证：点P在的平分线上； ②当时，猜想与的数量关系，并证明； ③作于点N，连接，当时，若，求的值． 9．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的表达式； (2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，交于点，求的最大值． 10．（2024·江苏宿迁·中考真题）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H． 根据以上操作，得________． 【探究证明】 （1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明； （2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：． 【深入研究】 若，请求出的值（用含k的代数式表示）． 【模拟训练】 1．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在正方形中，是延长线上一点，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，连接.下列四个结论： ①；②；③若是中点，，则；④ ；⑤若，则.其中正确的结论是（   ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 2．（2025·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为3，则的值为（   ） A．8 B．9 C． D．4 3．（2025·重庆·一模）如图，在正方形中，点E是边的一点且，连接，将沿折叠至正方形内部，得到线段，延长交于点G，延长交于点H，若，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽合肥·一模）如图，矩形中，，，点E是边上一点，且，点F是边上任一点，把沿翻折，点B的对应点为，连接、，则以下结论正确的是（   ） ①当与相似时，；②的最小值是；③点到距离的最小值是；④取的中点P，连接，则的最大值是． A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 5．（2025·山东济南·一模）如图1，四边形为菱形，动点，同时从点出发，点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动；点沿线段向终点运动，当点运动至终点时，另一点也恰好到达终点．设运动时间为秒， 的面积为个平方单位，图2为关于的函数关系图象．下面四个结论中：①菱形的边长为6；②点的运动速度为每秒3个单位长度；③当时，；④曲线段的函数解析式为，结论正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 6．（2025·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形，，，的顶点，，，在x轴上．顶点，，，在直线上，若，，则（   ） ①点坐标为； ②直线的表达式为； ③； ④点的横坐标为，其中说法正确的为（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③ 7．（2025·山西·一模）如图，在中，，点为中点，连接，点为延长线上一点，连接．若，则的长为 ． 8．（2025·陕西咸阳·二模）【问题提出】 （1）如图①，点A是外一点，点是上一动点．若的半径为3，长度为5，根据，得到点到点A的最短距离为_____________； （2）如图②，已知正方形的边长为4，点分别从点同时出发，以相同的速度沿边方向向终点和运动，连接和交于点．求点到点的最短距离． 【问题解决】 （3）如图③，某老小区有一个矩形活动广场，由于广场年久失修，居民使用率很低，物业为改善居民生活品质，计划将这个广场进行更新改造．按照改造设计要求，在上取一点，在上留一条小路与小路交于点，并将绕点逆时针旋转得到线段，与交于点，连接与交于点，在处建一个人工湖，已知，，．为满足活动广场各功能场所的需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的？若存在，求面积的最小值；若不存在，请说明理由． 9．（2025·山东青岛·一模）如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以每秒3个单位长的速度运动，动点从点出发沿边向点以每秒4个单位长的速度运动．，分别从点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，关于直线对称的图形是．设运动时间为（秒）． (1)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (2)当______秒，四边形是梯形？ (3)是否存在时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (4)当______秒时，． 10．（2025·山东淄博·一模）如图1，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式： (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上一点，连接交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)作抛物线关于直线上一点对称的函数图象，且与只有一个公共点（在轴右侧），为直线上一点，为抛物线对称轴上一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的坐标． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$