精品解析：重庆大学城第三中学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025 学年度（上）期中调研测试 九年级数学试卷 （全卷共三个大题，满分 150 分，时间 120 分钟） 注意事项∶ 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2024 D. 2. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在反比例函数 的图象上，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知抛物线的解析式为，则这条抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 两个相似三角形的周长比为，那么这两个三角形的面积比为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中， ， ， ，下列三角函数表示正确的是( ) A. B. C. D. 7. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 8. 如图，某景区计划在一个长为，宽为40m的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少m？设行车通道的宽度是，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. “链状烷烃 ”是一种无环的饱和烃类化合物，它们的分子结构是一个直线状的碳原子链，每个碳原子与两个氢原子和两个相邻碳原子相连．“链状烷烃 ”的分子式如可分别按如图对应展开，则中的值为（ ） A. B. C. D. 10. 有两个依次排列的代数式：，用第二个代数式减去第一个代数式得到，将加8得到，将第2个代数式与相加得到第3个代数式，将加8得到，将第3个代数式与相加得到第四个代数式，……依此类推.则以下结论： ①； ②当第个代数式的值为时，或； ③ (n为正整数) ．其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题： (本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分) 11. _______． 12. 如果，那么 ______________． 13. 抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是______． 14. 已知抛物线，且经过点，试比较和的大小： ____________________ ． 15. 已知函数是二次函数，则______． 16. 如图，在四边形 中，， ，连接，，过 A 作 交 于 D．若，则 ______________ ． 17. 如果关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有负整数解，那么符合条件的所有整数的和是___________． 18. 表示一个三位正整数，其中，，分别为百位、十位、个位上的数字，且，当时，称为递减数，如630，765，642等均为递减数，如果一个递减数三个数字的和是6的倍数，这样的递减数有______个． 三、解答题：本题共 8 小题，共 78 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2） ． 20. 在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过平行四边形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形中， 于点E．用尺规过点A作的垂线，垂足为点F（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：平行四边形中， 于点，于点F．求证：四边形 是矩形． 证明：∵四边形是平行四边形， ，，①_________． ． 在和中，， ． ，②_________． ，即③_________． ∴四边形 是平行四边形． 又 ， ∴四边形 是矩形． 进一步思考，如果四边形是菱形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是④_________． 21. 为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于分（成绩得分用表示，共分成四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩为： 66，67，68，68，75，83，84，86，86，86， 86，87，87，89，95，95，96，98，98，100. 八年级名学生的竞赛成绩在组的数据是：81，82，84，87，88，89． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有名学生，八年级有名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是多少？ 22. 某经销商准备进货 两种饰品，饰品每件进价元，饰品每件进价元，共进货件饰品，且进货两种饰品所需的成本之和为元． （1）求 两种饰品分别进货多少件? （2）后来商家发现：若在一个新渠道进货 两种饰品， 两种饰品的进价均会便宜相同的金额元，经过计算发现，在新的进货渠道中若仍用元投入进货，且分别用于 两种饰品的进货额均不变，则进货 两种饰品的数量相同，求的值． 23. 如图，A，B，C，D，E分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便游客游玩，沿湖修建了健身步道，在B，D之间修了一座桥．B，D在A的正东方向，C在B的正南方向，且在D的南偏西 方向，E在A的北偏东方向，且在D的北偏西方向，米，米．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留小数点后一位）； （2）甲、乙两人从拍照点A出发去拍照点D，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 24. 如图，在等腰中，，线段绕点A在平面上旋转． （1）如图1，若，线段旋转到延长线上，过点作，交 于，，求的度数(用含α 的式子表示)； （2）如图2，若，线段绕点旋转过程中，点恰好落在边上，过点作，连接，使得 且，求证：； （3）如图3，若，，连接，过点作，交延长线于点．当取最大值时，请直接写出的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y 轴交于点C，点P为直线上方抛物线上一动点． （1）求直线的解析式； （2）过点作y轴的平行线交于点M，求线段时点的坐标； （3）过作轴，交于M，当的值最大时，求的坐标和的最大值． 26. 四边形中， ， ，， ，．动点P从A点出发，沿方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发，沿折线方向以每秒2个单位的速度运动，当Q点到达C点时，P 、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒， ． （1）请直接写出关于x 的函数关系式并注明自变量x 的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025 学年度（上）期中调研测试 九年级数学试卷 （全卷共三个大题，满分 150 分，时间 120 分钟） 注意事项∶ 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2024 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了绝对值的定义，根据负数的绝对值是其相反数解答即可． 【详解】解：的绝对值是2024． 故选：C． 2. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：选项A、B、D中的图形都不是中心对称图形， 选项C中的图形是中心对称图形， 故选：C． 3. 已知点在反比例函数 的图象上，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可，根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数 的图象上， ∴， 故选：B． 4. 已知抛物线的解析式为，则这条抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线解析式即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线顶点坐标为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x−h）2＋k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h． 5. 两个相似三角形的周长比为，那么这两个三角形的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为， ∴两个三角形的面积比为； 故选C． 6. 如图，在中， ， ， ，下列三角函数表示正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可． 【详解】解：在中， ， ， ， ∴ ∴ 故选：D． 7. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 通过比较17与相邻完全平方数16和25的大小关系，确定的取值范围即可． 【详解】解：由于 即 所以在4和5之间． 故选：D． 8. 如图，某景区计划在一个长为，宽为40m的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少m？设行车通道的宽度是，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设行车通道的宽度为 ，再根据停车区域面积之和为列出一元二次方程，然后求解即可． 【详解】解：设行车通道的宽度为． 根据题意，得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解答本题的关键． 9. “链状烷烃 ”是一种无环的饱和烃类化合物，它们的分子结构是一个直线状的碳原子链，每个碳原子与两个氢原子和两个相邻碳原子相连．“链状烷烃 ”的分子式如可分别按如图对应展开，则中的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律变化问题，由已知图形可得第个图形所对应的分子式为，据此解答即可求解，找到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：第个图形所对应的分子式为， 第个图形所对应的分子式为， 第个图形所对应的分子式为， ， ∴第个图形所对应的分子式为， 当时，， 故选：． 10. 有两个依次排列的代数式：，用第二个代数式减去第一个代数式得到，将加8得到，将第2个代数式与相加得到第3个代数式，将加8得到，将第3个代数式与相加得到第四个代数式，……依此类推.则以下结论： ①； ②当第个代数式的值为时，或； ③ (n为正整数) ．其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可推导一般性规律为，；第个代数式为；则，可判断①的正误；当第个代数式的值为时，，可求或，可判断②的正误；，可判断③的正误． 【详解】解：由题意知，， ， 第3个代数式为， ， 第四个代数式为， ， 第5个代数式为， …… ∴可推导一般性规律为，； 第个代数式为； ∴，正确，故①符合要求； 当第个代数式的值为时， ，整理得，， ∴， 解得，或，错误，故②不符合要求； ，正确，故③符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减混合运算，整式的规律探究，完全平方公式，直接开平方法解一元二次方程等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 二、填空题： (本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分) 11. _______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，直接利用可得答案． 【详解】解：， 故答案为：1 12. 如果，那么 ______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴． 故答案为：． 13. 抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的平移．熟练掌握平移规律是解题的关键．根据平移规律：左加右减，上加下减进行计算即可． 【详解】解：抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是：； 故答案为：． 14. 已知抛物线，且经过点，试比较和的大小： ____________________ ． 【答案】＜ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数的性质是解题关键．根据，抛物线的开口向上，对称轴的左侧随的增大而减小，对称轴的右侧随的增大而增大． 【详解】解：抛物线，， 抛物线开口向上，对称轴为轴， 当 时，随的增而减小， ， ， 故答案为：． 15. 已知函数是二次函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义得：形如是常数，且的函数是二次函数，列方程可求得答案． 【详解】解：依题意得：且， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义．注意：二次函数中，是常数，本题关键点为 ． 16. 如图，在四边形 中，， ，连接，，过 A 作 交 于 D．若，则 ______________ ． 【答案】 ## 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，过点D分别作的垂线，垂足分别为H、M，过点E作于N，可证明，得到；再证明，，得到，导角得到 ，得到，，证明 是等腰直角三角形，得到 ，则，可得． 【详解】解：如图所示，过点D分别作的垂线，垂足分别为H、M，过点E作于N， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在 中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为； ． 17. 如果关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有负整数解，那么符合条件的所有整数的和是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组，分式方程的综合，根据一元一次不等组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”可得，再根据解分式方程可得 ，且，是整数，分式方程的解是负整数，由此可确定整数的值为或 ，由此即可求解． 【详解】解：， 由①得，， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， 解得，， 分式方程， 移项得，，整理得， 两边同时乘以得，， 解得，， ∵关于的分式方程有负整数解， ∴ ，即 ，且， ∵， ∴，即， 解得，， ∴，且，是整数， ∴当时，的值不是负整数，不符合题意，舍去； 当 时，；当时，；符合题意； ∴符合条件的所有整数的值为或 ， ∴， 故答案为： ． 18. 表示一个三位正整数，其中，，分别为百位、十位、个位上的数字，且，当时，称为递减数，如630，765，642等均为递减数，如果一个递减数三个数字的和是6的倍数，这样的递减数有______个． 【答案】 【解析】 【分析】设此三位数为，根据题意，列不等式，分别求解即可． 【详解】解：设此三位数为， 由题意可得：，其中，，，为正整数， 由可得， 则，即 则的取值为， 当时，的取值为 ， 当时，可得，三位数为，符合题意； 当时，可得，三位数为，符合题意； 当时，的取值为 ， 当时，可得，三位数为 ，符合题意； 当时，可得 ，三位数为，符合题意； 当时，可得 ，三位数为，符合题意； 当时，可得 ，三位数为，符合题意； 当时，的取值为 ， 当时，可得 ，不符合题意； 当时，可得，不符合题意； 当时，可得 ，不符合题意； 当时，可得，三位数为，符合题意； 当时，可得，三位数为，符合题意； 当时，可得 ，三位数为，符合题意； 当 时，，则 ，三位数为，符合题意； 综上，这样的递减数有个 故答案为：10 【点睛】此题考查不等式的求解，解题的关键是理解题意，正确得到，并利用分类讨论的思想求解问题． 三、解答题：本题共 8 小题，共 78 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2） ． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法进行求解即可． 【小问1详解】 解： ， ∴，； 【小问2详解】 ， ， ∴， ∴，． 20. 在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过平行四边形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形中， 于点E．用尺规过点A作的垂线，垂足为点F（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：平行四边形中， 于点，于点F．求证：四边形 是矩形． 证明：∵四边形是平行四边形， ，，①_________． ． 在和中，， ． ，②_________． ，即③_________． ∴四边形 是平行四边形． 又 ， ∴四边形 是矩形． 进一步思考，如果四边形是菱形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是④_________． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ，，①． ． 在和中， ， ． ，② ． ，即③ ． ∴四边形 是平行四边形． 又 ， ∴四边形 是矩形． 过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是④矩形． 【解析】 【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质填空即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图—基本作图，平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 21. 为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于分（成绩得分用表示，共分成四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩为： 66，67，68，68，75，83，84，86，86，86， 86，87，87，89，95，95，96，98，98，100. 八年级名学生的竞赛成绩在组的数据是：81，82，84，87，88，89． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有名学生，八年级有名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是多少？ 【答案】（1），，； （2） 八年级学生竞赛成绩较好，理由： 七、八年级的平均分均为分，八年级的中位数高于七年级的中位数，整体上看八年级学生竞赛成绩较好； （3）该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是 人． 【解析】 【分析】（）根据表格及题意可直接进行求解； （）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果； （）由题意可得出参加此次竞赛活动成绩优秀的百分比，然后可进行求解； 本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． 【小问1详解】 根据七年级学生竞赛成绩可知：出现次数最多，则众数为， 八年级竞赛成绩中组： （人）， 组：（人）， 组：人，所占百分比为 组：（人）所占百分比为，则， ∴八年级的中位数为第 个同学竞赛成绩的平均数， 即组第个同学竞赛成绩的平均数 ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人）， 答：该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是 人． 22. 某经销商准备进货 两种饰品，饰品每件进价元，饰品每件进价元，共进货件饰品，且进货两种饰品所需的成本之和为元． （1）求 两种饰品分别进货多少件? （2）后来商家发现：若在一个新渠道进货 两种饰品， 两种饰品的进价均会便宜相同的金额元，经过计算发现，在新的进货渠道中若仍用元投入进货，且分别用于 两种饰品的进货额均不变，则进货 两种饰品的数量相同，求的值． 【答案】（1） 两种饰品分别进货件、 件 （2）为 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，分式方程的运用， （1）设 两种饰品分别进货x件、y件，根据数量关系列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意，分别算出 的进货金额，由此列分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设 两种饰品分别进货x件、y件， 由题意得：， 解得：， 答： 两种饰品分别进货件、 件． 【小问2详解】 解：饰品进货额，B饰品进货额， 由题意得：， 解得：， 经检验：为原分式方程的解且符合题意， 答：为． 23. 如图，A，B，C，D，E分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便游客游玩，沿湖修建了健身步道，在B，D之间修了一座桥．B，D在A的正东方向，C在B的正南方向，且在D的南偏西 方向，E在A的北偏东方向，且在D的北偏西方向，米，米．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留小数点后一位）； （2）甲、乙两人从拍照点A出发去拍照点D，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 【答案】（1）的长度为米 （2）甲选择的路线较近 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）作于，则，解直角三角形求出、的长，再结合计算即可得解； （2）解直角三角形，分别求出两条路线的长度，比较即可得解． 【小问1详解】 解：如图：作于，则， ， 由题意得：米，米， ， ， ∴在中， ， ，米， ∴米，米， 在 中，， ， ∴米， ∴米， ∴的长度为米； 【小问2详解】 解：在 中，， ，米， ∴米， ∴米， 在中， ，，米， ∴米，米， ∴米， ∵， ∴甲选择的路线较近． 24. 如图，在等腰中，，线段绕点A在平面上旋转． （1）如图1，若，线段旋转到延长线上，过点作，交 于，，求的度数(用含α 的式子表示)； （2）如图2，若，线段绕点旋转过程中，点恰好落在边上，过点作，连接，使得 且，求证：； （3）如图3，若，，连接，过点作，交延长线于点．当取最大值时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（）由，，得，再根据直角三角形的性质得，最后三角形的内角和定理即可求解； （）过作于点，过点作交延长线于点 ，由旋转性质得 ，，证明，通过性质证明是等腰直角三角形，，，然后由勾股定理和线段和差即可求解； （）当 时，取最大值，过作交于点，先证明点 四点共圆，然后证明，则，设 ，，则， ，，再由勾股定理得出，，最后解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，过作于点，过作交延长线于点 ， 由旋转性质可知： ，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴，， ∴由勾股定理得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，在中，， ∵不变， ∴最小时，最大，即有最大， 则根据垂线段最短可知：当 时，取最大值，过作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴点 四点共圆， ∴ ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设 ，，则， ，， 由勾股定理得：，， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，圆周角定理，解一元二次方程，垂线段最短，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y 轴交于点C，点P为直线上方抛物线上一动点． （1）求直线的解析式； （2）过点作y轴的平行线交于点M，求线段时点的坐标； （3）过作轴，交于M，当的值最大时，求的坐标和的最大值． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为和的最大值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据抛物线的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，则，再根据建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，先求出，再利用二次函数的性质求出最小值，由此即可得． 【小问1详解】 解：当时，， 解得或， ∵抛物线 与轴交于点和点，在的左侧， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为 ． 【小问2详解】 解：设点的坐标为， 由（1）可知，， ∵点为直线上方抛物线上一动点， ∴ ， ∵过点作轴的平行线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得 ， ∴， ∴点的坐标为． 【小问3详解】 解：由题意，设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，当时，的值最大值，最大值为， 此时， 综上，点的坐标为和的最大值为． 26. 四边形中， ， ，， ，．动点P从A点出发，沿方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发，沿折线方向以每秒2个单位的速度运动，当Q点到达C点时，P 、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒， ． （1）请直接写出关于x 的函数关系式并注明自变量x 的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1） （2）函数图象见解析；当时，函数值随的增大而减小（答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，勾股定理，矩形的判定和性质，一次函数与不等式，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． （1）作于点，证明四边形 是矩形，从而求出，分两种情况讨论：当 时，点在上；当时，点在上，分别表示出和，即可得到答案； （2）根据（1）所得关系式画出函数图象，再写出性质即可； （3）根据函数图象写出不等式取值范围即可． 【小问1详解】 解：如图，作于点， ， ， 四边形 是矩形， 是直角三角形，，， ， 当 时，点在上，，， ； 当时，点在上，，， ； 综上所述：； 【小问2详解】 解：函数图象如图所示， 该函数的性质：当时，函数值随的增大而减小；当时，函数值随的增大而增大（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：由函数图象得，时x的取值范围为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $