专题08 反比例函数图像性质及综合应用压轴汇编（五大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

专题08 反比例函数图像性质及综合应用压轴汇编 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、反比例函数性质 2 类型二、一次函数与反比例函数图像综合判断 4 类型三、反比例函数值大小比较 5 类型四、反比例函数与一次函数大小比较 7 类型五、反比例函数与一次函数综合 10 压轴能力测评（9题） 15 知识点一：反比例函数的性质和图像 关键点拨与对应举例 1.反比例函数的图象和性质 k的符号 图象 经过象限 y随x变化的情况 （1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k. 失分点警示 （2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断. k>0 图象经过第一、三象限 （x、y同号） 每个象限内，函数y的值随x的增大而减小. k<0 图象经过第二、四象限 （x、y异号） 每个象限内，函数y的值随x的增大而增大. 2.反比例函数的图象特征 （1）由两条曲线组成，叫做双曲线； （2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交； （3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线． 例：若(a，b)在反比例函数的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在") 知识点二 ：反比例函数与一次函数的综合 3.与一次函数的综合 （1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义. 例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD. 类型一、反比例函数性质 【典例1】如果反比例函数的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．结合题意，根据反比例函数的性质可得，即可求出m的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象在每个象限内y都是随着x的增大而减小， ， 解得：． 故选：B． 【变式1-1】若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，求不等式的解集，掌握反比例函数图象经过的象限确定反比例系数的符号是解题的关键． 根据反比例函数的图象分布在第二、四象限，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， 解得，． 故选：D ． 【变式1-2】下列关于反比例函数的说法中，正确的是（   ） A．图象在第一、三象限 B．比例系数为 C．当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 D．如果点和点在该函数的图象上，那么 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据的符号，结合反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，比例系数为，故选项B错误，不符合题意； ∴图象在第二、四象限，故选项A错误，不符合题意； 在每一个象限内，随着的增大而增大，故选项C错误，不符合题意； 如果点和点在该函数的图象上，那么；故选项D正确，符合题意； 故选D． 【变式1-3】请根据学习函数的经验，自主尝试探究表达式为的函数图象与性质，下列说法正确的是（    ） A．图象与y轴的交点是   B．图象与x轴有一个交点 C．当时， D．y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与平移，熟练掌握反比例函数图象性质是解题的关键．利用当时，求得与轴交点纵坐标确定A选项；当,求得与轴交点横坐标确定B选项；画出函数大致图形确定C、D选项即可． 【详解】解：A、当时，， ∴图象与y轴的交点是， 选项A错误，故不符合题意； B、∵， ∴图象与x轴没有交点， 选项B错误，故不符合题意； C、函数的图象是向右平移个单位长度，如图， 由图可知当时，成立， 选项C正确，故符合题意； D、由图可知当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， 选项D错误，故不符合题意； 故选：C． 类型二、一次函数与反比例函数图像综合判断 【典例2】一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质．解决本题的关键是根据图象所在的象限与比例系数之间的关系逐一分析即可得到正确选项． 【详解】解：A选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次项系数，常数项，则一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴，故A选项不符合； B选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次项系数，常数项，则一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴，故B选项不符合； C选项：一次函数的图象经过第二、三、四象限，则一次项系数，常数项，则一次函数的图象与轴的交点在轴的负半轴，一次函数的图象符合，反比例函数的图象在第二、四象限，也符合的情况，故C选项符合； D选项：一次函数的图象经过第一、三、四象限，则一次项系数，常数项，则一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴，故D选项不符合； 故选：C． 【变式2-1】在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的综合判断，利用一次函数和反比例函数的性质，分，两种情况进行判断即可． 【详解】解：由题意，当时，，经过一，二，四象限，经过一、三象限； 当时，，经过一，三，四象限，经过二、四象限； 故满足题意的是选项B． 故选：B． 【变式2-2】函数与在同一坐标系内的图象可以是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】此题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，解题关键在于掌握它们的性质才能灵活解题．先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案． 【详解】解：A．由函数的图象可知，由函数y的图象可知，相矛盾，故A错误； B．由函数的图象可知，由函数y的图象可知，故B正确； C．由函数的图象可知，由函数y的图象可知，相矛盾，故C错误； D．由函数的图象可知，由函数y的图象可知，相矛盾，故D错误． 故选：B． 【变式2-3】函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的图象、一次函数的图象等知识点，利用分类讨论的数学思想解答是解题的关键． 利用一次函数和反比例函数图象的特点逐项判断即可． 【详解】解：在函数和， 当时，函数的图象在第一、三象限，函数的图象过第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确， 当时，函数的图象在第二、四象限，函数的图象过第一、二、三象限，故选项C错误． 故选：D． 类型三、反比例函数值大小比较 【典例3】在平面直角坐标系xOy中，若点，在反比例函数（，m为常数）的图像上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． ∵， ∴． 故选C． 【变式3-1】若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系用“”连接的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图形的性质，根据反比例函数解析式可得，函数图象经过第一、三象限，每个象限随的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：已知反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，每个象限随的增大而减小， 在第一象限中，，，在第三象限中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C ． 【变式3-2】若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图像与性质，由，可知反比函数在每个象限内，y随x的增大而减小，点A、B在第三象限的图象上，点C在第一象限的图象上，分别判断即可． 【详解】解：∵， ∴图象位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴点A、B在第三象限的图象上，点C在第一象限的图象上， ∴， 即． 故答案为：D． 【变式3-3】若三个点，，都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质来解答． 先根据反比例函数中判断出函数图象所在象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：， 函数图象位于二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大， ，， 点，位于第二象限， ，， ， ， ， 点位于第四象限， ， ， 故答案为：． 类型四、反比例函数与一次函数大小比较 【典例4】如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，由题意可得A，B两点关于原点对称，从而可得点的横坐标为，再结合函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的横坐标为2， ∴点的横坐标为， ∴由图象可得，当时，x的取值范围是或， 故选：B． 【变式4-1】如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为1和3，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键， 先将所求的不等式变形为，再利用函数图象法找到对应的自变量的取值范围，据此作答即可． 【详解】解： ， ， ∵一次函数与反比例函数的两个交点的横坐标分别为1和3， 由图象知，当或时，一次函数在反比例函数的图象上方， ∴的解集为：或， 故选：C． 【变式4-2】如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（a、b是常数，且）与反比例函数（c是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．一次函数落在与反比例函数图象下方的部分对应的自变量的取值范围即为所求． 【详解】解：∵一次函数(k，b是常数，且) 与反比例函数 (c是常数，且) 的图象相交于，两点， ∴不等式的解集是或． 故选：C． 【变式4-3】如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，当 时，的取值范围是(　　)    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据反比例函数图象的对称点求出点的坐标，然后根据的解集即为反比例函数在一次函数上方的部分可得答案． 【详解】解析：正比例函数与反比例函数的图像交于、B两点， ， 由图象可知，当时，x的取值范围是或， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据反比例函数的对称性得出点的坐标是解本题的关键． 类型五、反比例函数与一次函数综合 【典例5】如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点． (1)求的值及点的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)已知//轴，以、为边作菱形，求菱形的面积． 【答案】(1)k=-6，B（2，-3） (2)x<-2或0<x<2 (3) 【分析】（1）将点A的坐标代入，求出a得到点A的坐标，再代入求出k，解两个函数解析式的方程组得点B的坐标； （2）不等式即为函数的图象在函数图象的下方，根据图象直接得到不等式的解集； （3）过点B作y轴的平行线，交DA的延长线于E，根据勾股定理求出AB，利用菱形的性质得到AD=AB=，再根据公式求出菱形的面积． 【详解】（1）将点A的坐标代入，得， 解得a=-2， ∴点A的坐标（-2,3）， 再将点A的坐标代入，得k=-6， 解方程组， 解得或， ∴点B的坐标为（2，-3）； （2）由图象得，不等式的解集为x<-2或0<x<2； （3）过点B作y轴的平行线，交DA的延长线于E， ∵A（-2,3），B（2，-3）， ∴AE=4，BE=6， ∴AB=， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB=， ∴菱形的面积=AD×BE=×6=． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，根据图象求不等式的解集，菱形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【变式5-1】如图， 已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与x轴的交点C的坐标及的面积； (3)直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数解析式为： ，一次函数的解析式为：； (2)点C的坐标为：，的面积为6； (3)或． 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键． （1）先通过点得到反比例函数解析式，再求出点坐标，再通过两点坐标得到一次函数解析式； （2）令一次函数的函数值等于0，求出的值即可知道与轴的交点坐标，再把的面积拆成的面积与的面积之和即可求解； （3）直接通过函数图象即可得到． 【详解】（1）解： 在反比例函数 的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为： 把代入 得， 解得， 则A点坐标为． 把，分别代入， 得 解得 ∴一次函数的解析式为； （2）∵， ∴当时，， ∴点C的坐标为：， ∴的面积=的面积+的面积． （3）由图象可知，当或时，一次函数的值小于反比例函数的值． 【变式5-2】如图，双曲线 经过的顶点和的中点．轴，点的坐标为，连接交轴于点，连接． (1)确定的值； (2)求直线的解析式； (3)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)直线的解析式为 (3)平行四边形，理由见解析 【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例、一次函数解析式，坐标与图形性质，平行四边形的判定，以及线段中点坐标，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）把的坐标代入反比例解析式求出的值即可； （2）由与轴平行，且纵坐标为6，得到纵坐标为6，再由为中点，确定出纵坐标为3，代入反比例解析式确定出坐标，利用待定系数法确定出直线解析式即可； （3）四边形为平行四边形，理由为：由的坐标确定出的坐标，进而确定出的长，由直线与轴的交点为，确定出坐标，得出的长，由与平行且相等，得到四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：将代入表达式，得． （2）解： 轴，点的纵坐标是6，点为的中点， ∴点的纵坐标为3， 把代入反比例函数表达式得， 即点的坐标为． 设直线的表达式为 ， 将与代入得， 解得， 直线的解析式为． （3）解：四边形为平行四边形． 理由： 点的坐标为， 点的坐标为，即． 把代入中得，即， ， ． ， 四边形为平行四边形． 【变式5-3】如图直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，一次函数与反比例函数综合面积问题： （1）将点代入两个函数求解即可得到答案； （2）求出一次函数与x轴的交点坐标及B点坐标，根据求解即可得到答案 【详解】（1）解：∵直线与双曲线交于点， ∴，， 解得：，， ∴解析式为：，； （2）联立两个函数得， ，解得：，， 当时，， ∴， 当时，，解得：， 当时，， ∴，， ∴． 一、单选题 1．已知点在反比例函数的图象上，则k的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可，根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故选：B． 2．函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，根据反比例函数的图象与性质分析判断即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，选项中没有符合条件的图象； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，A选项的图象符合要求． 故选：A． 3．反比例函数的图像经过点，则下列说法错误的是（    ） A． B．函数图像分布在第一、三象限 C．y随x的增大而减小 D．必过点 【答案】C 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，反比例函数的增减性和反比例函数 图象经过的象限，先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据解析式判断出增减性和经过的象限，最后求出当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， 在中，当时，， ∴反比例函数必过点， ∴四个选项中只有C选项说法错误，符合题意； 故选：C． 4．一次函数与反比例函数的图象有一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数交点问题，解题的关键是理解两个交点关于原点对称即可较快求解． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象有一个交点坐标为， ，解得：， ， 另一个交点坐标与关于原点对称， 另一个交点坐标为， 故选：B． 5．已知反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象在第一、三象限内 C．y随x的增大而增大 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．反比例函数，，图象位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，进而求解即可． 【详解】解：反比例函数，， A、当时，，图象必经过点，故此选项不符合题意； B、图象位于第二、四象限，故此选项不合题意； C、在每个象限内，随的增大而增大，故此选项不符合题意； D、当时，，故此选项符合题意． 故选：D ． 6．如图，一次函数图象与反比例函数图象的两个交点的横坐标分别为和1．当时，的取值范围是（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握函数图象法是解题关键．结合函数图象，找出一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方时，的取值范围，由此即可得． 【详解】解：由函数图象可知，当时，或， 故选：C． 二、填空题 7．已知点都在反比例函数（a为常数）的图象上，且，则的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，先判断，可知反比例函数的图象在一、三象限，再利用图象法可得答案，理解“在每个象限内，随的增大而减小”以及图象法是解决问题的关键． 【详解】解：， 反比例函数是常数）的图象在一、三象限， 如图所示，当时，， 即 故答案为：． 三、解答题 8．如图，中，，，．动点以每秒2个单位长度的速度从点出发向点运动，到达点后，又以每秒1个单位长度的速度返回点，点回到点时停止运动．连接，设点运动时间为秒，的面积为，的长度与的比为． (1)请直接写出，关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时，的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1)； (2)画图见解析，性质见解析 (3) 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的应用，画函数图象，利用函数图象解决问题； （1）分，，结合三角形的面积公式可得的解析式，由的长度与的比为，可得的图象． （2）根据反比例函数图象与一次函数的性质画图即可，再根据图象可得函数的性质； （3）直接利用函数图象得到的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，， 当时，，， ∵的面积为， ∴， 当时，则，， ∴， 综上：； ∵的长度与的比为． ∴； （2）解：如图，，的图象如下： ； 当，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而减小． （3）解：由图象可得：当时，图象在之间； ∴； 9．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴交于、两点，反比例函数的图像经过直线上的点． (1)求直线的表达式； (2)已知点在反比例函数的图像上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入反比例函数解析式，求出点P坐标，再把点P坐标代入一次函数解析式，求出k值即可； （2）根据得出，利用两直线平行，比例系数相同，得求出直线的表达式为：，再联立函数解析式，求出直线与反比例函数的交点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴直线的表达式为：． （2）解：如图， ∵， ∴， 又∵直线的表达式为：， ∴直线的表达式为：， 联立，得， 解得：，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象交点问题，函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，平行线的判定，熟练掌握两直线平行，解析式的比例系数相等是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 反比例函数图像性质及综合应用压轴汇编 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、反比例函数性质 2 类型二、一次函数与反比例函数图像综合判断 4 类型三、反比例函数值大小比较 5 类型四、反比例函数与一次函数大小比较 7 类型五、反比例函数与一次函数综合 10 压轴能力测评（9题） 15 知识点一：反比例函数的性质和图像 关键点拨与对应举例 1.反比例函数的图象和性质 k的符号 图象 经过象限 y随x变化的情况 （1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k. 失分点警示 （2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断. k>0 图象经过第一、三象限 （x、y同号） 每个象限内，函数y的值随x的增大而减小. k<0 图象经过第二、四象限 （x、y异号） 每个象限内，函数y的值随x的增大而增大. 2.反比例函数的图象特征 （1）由两条曲线组成，叫做双曲线； （2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交； （3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线． 例：若(a，b)在反比例函数的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在") 知识点二 ：反比例函数与一次函数的综合 3.与一次函数的综合 （1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义. 例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD. 类型一、反比例函数性质 【典例1】如果反比例函数的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列关于反比例函数的说法中，正确的是（   ） A．图象在第一、三象限 B．比例系数为 C．当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 D．如果点和点在该函数的图象上，那么 【变式1-3】请根据学习函数的经验，自主尝试探究表达式为的函数图象与性质，下列说法正确的是（    ） A．图象与y轴的交点是   B．图象与x轴有一个交点 C．当时， D．y随x的增大而减小 类型二、一次函数与反比例函数图像综合判断 【典例2】一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致是（   ） A．B．C．D． 【变式2-1】在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【变式2-2】函数与在同一坐标系内的图象可以是（   ） A．B．C．D． 【变式2-3】函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．  B．  C．  D．   类型三、反比例函数值大小比较 【典例3】在平面直角坐标系xOy中，若点，在反比例函数（，m为常数）的图像上，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系用“”连接的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】若三个点，，都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是 ． 类型四、反比例函数与一次函数大小比较 【典例4】如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式4-1】如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为1和3，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【变式4-2】如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（a、b是常数，且）与反比例函数（c是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式4-3】如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，当 时，的取值范围是(　　)    A．或 B．或 C．或 D．或 类型五、反比例函数与一次函数综合 【典例5】如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点． (1)求的值及点的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)已知//轴，以、为边作菱形，求菱形的面积． 【变式5-1】如图， 已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与x轴的交点C的坐标及的面积； (3)直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围． 【变式5-2】如图，双曲线 经过的顶点和的中点．轴，点的坐标为，连接交轴于点，连接． (1)确定的值； (2)求直线的解析式； (3)判断四边形的形状，并说明理由． 【变式5-3】如图直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 一、单选题 1．已知点在反比例函数的图象上，则k的值是（   ） A． B． C． D． 2．函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C． D． 3．反比例函数的图像经过点，则下列说法错误的是（    ） A． B．函数图像分布在第一、三象限 C．y随x的增大而减小 D．必过点 4．一次函数与反比例函数的图象有一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为（   ） A． B． C． D． 5．已知反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象在第一、三象限内 C．y随x的增大而增大 D．若，则 6．如图，一次函数图象与反比例函数图象的两个交点的横坐标分别为和1．当时，的取值范围是（　　） A． B．或 C．或 D． 二、填空题 7．已知点都在反比例函数（a为常数）的图象上，且，则的大小关系为 ．（用“”连接） 三、解答题 8．如图，中，，，．动点以每秒2个单位长度的速度从点出发向点运动，到达点后，又以每秒1个单位长度的速度返回点，点回到点时停止运动．连接，设点运动时间为秒，的面积为，的长度与的比为． (1)请直接写出，关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时，的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 9．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴交于、两点，反比例函数的图像经过直线上的点． (1)求直线的表达式； (2)已知点在反比例函数的图像上，且，求点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$