专题10 二次根式压轴汇编（五大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

专题10 二次根式压轴汇编 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、二次根式的双重非负性的应用 2 类型二、二次根式的规律探究 3 类型三、复合二次根式的化简 6 类型四、二次根式运算与求值技巧 10 类型五、分母有理化 12 压轴能力测评（10题） 17 知识点1：二次根式的性质 （1） 双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （2） 转化性： 2.化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 类型一、二次根式的双重非负性的应用 【典例1】实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简，熟练掌握以上知识点是关键． 根据数轴确定，，再化简二次根式即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ， 故选：C． 【变式1-1】把的根号外的适当变形后移入根号内，得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件得到， 再根据二次函数的性质化简即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， ∴； 故选：D． 【变式1-2】已知，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式和绝对值的非负性，熟练掌握二次根式和绝对值的非负性是解题的关键． 根据二次根式和绝对值的非负性得出，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：2． 【变式1-3】实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质、绝对值、整式的加减，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，从而可得，，，再化简绝对值和二次根式，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 类型二、二次根式的规律探究 【典例2】细心观察下图，认真分析下列各式，然后解答问题： ，； ，； ，； … (1)请用含n（n为正整数）的等式表示上述规律； (2)推算出的长； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的数字规律探索及二次根式的运算．解题的关键是观察，观察题中给出的结论，由此结论找出规律进行计算． （1）利用的值和变化规律直接得出答案即可； （2）根据勾股定理，结合（1）中规律即可求出； （3）根据总结的规律计算，得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：在中，， 在中，， 在中，， …… ∴； （3）解： ． 【变式2-1】如图是一个按某种规律排列的数阵．若用有序实数对表示第行，从左到右第个数，如表示实数，则表示的实数是（   ） 第1行 第2行 第3行 第4行 …… …… A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字类的规律探索，用有序数对表示位置，二次根式．理解题意找出规律是解题关键．根据表格可知规律为每行数的个数与行数相同，被开方数为正整数按顺序排列，由此可求出第八行第1个数，从而即可求出第八行第5个数． 【详解】解：由表格可知每行数的个数与行数相同，被开方数为正整数按顺序排列， ∴第八行第1个数为， ∴第八行第5个数为， ∴表示的实数是． 故选B． 【变式2-2】下面是按一定规律排列的一列数： ，，， 第10个数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了数字的变化规律，从被开方数考虑求解是解题的关键，难点在于二次根式的变形． 【详解】解：根据题意可知所给数列为， 则第 n 项为 ，因此第 10 项为． 故答案为： 【变式2-3】观察下列各式： ， ， ．．． 请你将发现的规律用含自然数的等式表示出来 【答案】 【分析】本题考查的是规律探索，解决此类找规律的题目一般从特殊的数据入手，根据前后式子之间的异同推断出规律，再利用发现的规律解决相关问题． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 类型三、复合二次根式的化简 【典例3】阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且， ． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． （1）将写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． 【详解】（1）解： ，， ， 故答案为：，，； （2） ， ． 【变式3-1】阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式： （1）先把变形为，进而得到，据此化简即可；同理可把变形为据此化简即可； （2）①根据进行化简即可；②根据进行化简即可； （3）先把原式变形为，进一步变形得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：；； （2）解：① ； ② ； （3）解： ． 【变式3-2】“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-3】阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． （1）仿照例题，根据，即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． （2）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ； ， ； （2）解： ． 类型四、二次根式运算与求值技巧 【典例4】已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是求解代数式的值，二次根式的混合运算； （1）将，直接代入计算即可； （2）把原式化为，再代入计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴， ， ． 【变式4-1】已知，，求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了完全平方公式的变形计算，平方差公式，二次根式的混合运算． （1）将字母的值代入，即可求解． （2）先计算，进而根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴ 【变式4-2】已知，，．求： (1)和的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)9 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式．熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先将已知和的值进行分母有理化，得到，，再分别根据二次根式的加法法则和乘法法则即可求出答案； （2）根据完全平方公式将原式变为，再代入（1）的值即可求出答案． 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解：由（1）可知，，， ． 【变式4-3】已知 ，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式以及分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，再把代入计算，即可作答． （2）先通分得出，再把代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ． 类型五、分母有理化 【典例5】阅读材料：像、、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；解答下列问题： (1)与 互为有理化因式，将分母有理化得 ， (2)观察下面的变形规律并解决问题： ①，，，……若为正整数，请你猜想： ， ②计算： 【答案】(1)， (2)① ；② 2025 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式规律探究，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据题目所给互为有理化因式的定义，以及平方差公式，即可求解； （2）①根据题目所给等式观察得出规律，即可进行解答； ②根据①中总结的一般规律，先将第一个括号化简，再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：根据互为有理化因式的定义可知，与互为有理化因式； ， 故答案为：；． （2）解：① ； ② ． 【变式5-1】阅读材料：像，，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．其中一个是另一个的有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．如，． 像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． (1)解决问题：的有理化因式是 ，分母有理化，得 ； (2)已知，求的值； (3)利用上述知识比较代数式与的大小． (4)计算：． 【答案】(1)，； (2) (3) (4)2023 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值，熟知分母有理化的方法是解题的关键． （1）仿照题意找出各式的分母有理化因式即可； （2）先对分母有理化，再根据计算求解即可； （3）分别把和分母有理化，然后比较出二者分母有理化的结果即可得到答案； （4）先证明，再把所求式子裂项求解即可． 【详解】（1）解： ，， 的有理化因式是，分母有理化，得； 故答案为：，； （2）解： ， ∴ ； （3）解： ， ， ∵，且， ∴； （4）解： ， ∴ ． 【变式5-2】我们知道，因此想要化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式，分母就变成了有理数，这就是分母有理化．例如： 请仿照以上方法，解决如下问题 (1)化简； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． （1）利用互为有理化因式的定义求解； （2）根据题目所给方法分母有理化后合并即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式5-3】阅读下面的问题： ； ； ； …… (1)试着求______，______； (2)比较与的大小，并说明理由； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2)，理由见详解 (3)121 【分析】本题考查了二次根式的加减运算、分母有理化、实数的大小比较，找出规律并能灵活运用是解答的关键． （1）根据所给等式的变化规律即可求解； （2）先化成分数形式，通过比较分母大小即可解答； （3）根据规律先化简，再解方程即可解答． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵， ， ， ∴， 则； （3）解：由 得：， ∴，即， 解得：． 1．（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“>”“<”或“=”，并完成后面的问题． ， ， ……； （2）用，，表示上述规律为： ； （3）利用（2）中的结论，求的值； （4）设，，试用含，的式子表示； 【答案】（1）=，=，=；（2）（，）；（3）2；（4） 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算， 对于（1），根据二次根式乘法得出结果判断即可； 对于（2），根据（1）中计算的结果得出结论； 对于（3），根据二次根式的乘法计算； 对于（4），根据规律得，即可得出答案. 【详解】解：（1） ，， ； ； ； 故答案为：； （2）（，）， 故答案为：（，）； （3）； （4） ，， 2．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … (1)请你利用上述规律计算（仿照上式写出过程）； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出一个用n（n为正整数）表示的等式__________； (3)请你利用发现的规律，计算： 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】考查了二次根式的性质与化简，此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来． （1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．由此可求解即可； （2）根据（1）找的规律进行计算即可； （3）根据规律把所求式子先化简二次根式，最后计算期间即可； 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得， （3）解： ． 3．已知：，求： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简，二次根式的混合运算； （1）先计算的值，然后根据整式的乘法化简，代入代数式，即可求解； （2）将分式化简，再代入即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴ （2）解：∵ ∴，， ∴ 4．像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴k的值为：或． 5．【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （材料一）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是的有理化因式是． （材料二）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：． 【知识运用】 (1)填空：的有理化因式是___________（写出一个即可）；的有理化因式是___________． (2)把下列式子分母有理化：． 【答案】(1)（答案不唯一）；（答案不唯一） (2) 【分析】本题考查了有理化因式，以及分母有理化，理解有理化因式的定义是解答本题的关键． （1）根据有理化因式的定义求解即可； （2）把分子、分母都乘以计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是． 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）； （2）解：． 6．阅读下列解题过程： ，请解答下列问题： (1)观察上面解题过程，计算 (2)请直接写出的结果． (3)利用上面的解法，请化简： 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】本题考查分母有理化，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）利用分母有理化进行求解即可； （2）利用分母有理化进行求解即可； （3）先进行分母有理化，再进行求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）； （3）原式． 7．阅读理解：已知，将其分母有理化，小明同学是这样解答的： ． 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)化简：； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键； （1）根据题意可直接进行分母有理化； （2）根据分母有理化先化简，然后根据二次根式的加减运算可进行求解即可； （3）先分母有理化，可得，可得，然后再进行代值求解． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 8．先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于即，； ． 由上述例题的方法化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，读懂阅读材料中的方法是解题的关键．先将原式变形，再由，，仿照阅读材料中的方法计算即可． 【详解】解：，这里， 由于，， ∴， ∴ ． 9．阅读下列解题过程： 像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． (1)计算：_______ (2)比较大小：_______（用“>”“<”或“=”填空）． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，平方差公式， （1）根据题意利用平方差公式对其进行有理化，即可得到本题答案； （2）先将两个分数有理数再进行比较大小即可； （3）先将每个分数有理化，再进行合并计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解： ． 10．【阅读材料】 利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，解决下列问题： 【问题解决】 (1)已知，为整数，求的值； (2)已知，和均为整数，求的值； 【拓展延伸】 (3)化简：． 【答案】(1)1 (2) (3)1 【分析】本题考查了完全平方公式的运用及二次根式的混合运算，能根据完全平方公式展开是解此题的关键． （1）将右边根据完全平方公式展开合并后与左边进行比较，可得的值； （2）将右边根据完全平方公式展开合并后与左边进行比较，进行比较可得、的值，最后进行计算即可； （3）将化为完全平方式，然后再开方，最后进行二次根式的加减运算即可． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解：， ，， ； （3）解：． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 二次根式压轴汇编 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、二次根式的双重非负性的应用 2 类型二、二次根式的规律探究 3 类型三、复合二次根式的化简 6 类型四、二次根式运算与求值技巧 10 类型五、分母有理化 12 压轴能力测评（10题） 17 知识点1：二次根式的性质 （1） 双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （2） 转化性： 2.化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 类型一、二次根式的双重非负性的应用 【典例1】实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是(    ) A． B． C． D． 【变式1-1】把的根号外的适当变形后移入根号内，得（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，则 ． 【变式1-3】实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 类型二、二次根式的规律探究 【典例2】细心观察下图，认真分析下列各式，然后解答问题： ，； ，； ，； … (1)请用含n（n为正整数）的等式表示上述规律； (2)推算出的长； (3)求的值． 【变式2-1】如图是一个按某种规律排列的数阵．若用有序实数对表示第行，从左到右第个数，如表示实数，则表示的实数是（   ） 第1行 第2行 第3行 第4行 …… …… A． B． C． D． 【变式2-2】下面是按一定规律排列的一列数： ，，， 第10个数是 ． 【变式2-3】观察下列各式： ， ， ．．． 请你将发现的规律用含自然数的等式表示出来 类型三、复合二次根式的化简 【典例3】阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且， ． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 【变式3-1】阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 【变式3-2】“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【变式3-3】阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 类型四、二次根式运算与求值技巧 【典例4】已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【变式4-1】已知，，求： (1)的值． (2)的值． 【变式4-2】已知，，．求： (1)和的值； (2)求的值． 【变式4-3】已知 ，求下列各式的值： (1) (2) 类型五、分母有理化 【典例5】阅读材料：像、、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；解答下列问题： (1)与 互为有理化因式，将分母有理化得 ， (2)观察下面的变形规律并解决问题： ①，，，……若为正整数，请你猜想： ， ②计算： 【变式5-1】阅读材料：像，，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．其中一个是另一个的有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．如，． 像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． (1)解决问题：的有理化因式是 ，分母有理化，得 ； (2)已知，求的值； (3)利用上述知识比较代数式与的大小． (4)计算：． 【变式5-2】我们知道，因此想要化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式，分母就变成了有理数，这就是分母有理化．例如： 请仿照以上方法，解决如下问题 (1)化简； (2)计算． 【变式5-3】阅读下面的问题： ； ； ； …… (1)试着求______，______； (2)比较与的大小，并说明理由； (3)若，求的值． 1．（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“>”“<”或“=”，并完成后面的问题． ， ， ……； （2）用，，表示上述规律为： ； （3）利用（2）中的结论，求的值； （4）设，，试用含，的式子表示； 2．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … (1)请你利用上述规律计算（仿照上式写出过程）； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出一个用n（n为正整数）表示的等式__________； (3)请你利用发现的规律，计算： 3．已知：，求： (1) (2) 4．像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 5．【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （材料一）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是的有理化因式是． （材料二）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：． 【知识运用】 (1)填空：的有理化因式是___________（写出一个即可）；的有理化因式是___________． (2)把下列式子分母有理化：． 6．阅读下列解题过程： ，请解答下列问题： (1)观察上面解题过程，计算 (2)请直接写出的结果． (3)利用上面的解法，请化简： 7．阅读理解：已知，将其分母有理化，小明同学是这样解答的： ． 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)化简：； (2)计算：； (3)若，求的值． 8．先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于即，； ． 由上述例题的方法化简：． 9．阅读下列解题过程： 像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． (1)计算：_______ (2)比较大小：_______（用“>”“<”或“=”填空）． (3)计算：． 10．【阅读材料】 利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，解决下列问题： 【问题解决】 (1)已知，为整数，求的值； (2)已知，和均为整数，求的值； 【拓展延伸】 (3)化简：． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$