9.2 正弦定理与余弦定理的应用（10大题型提分练）（题型专练）高一数学人教B版必修第四册

9.2 正弦定理与余弦定理的应用 题型一 距离的测量计算问题 1.（24-25高一下·新疆昌吉·阶段练习）三国（220年一280年）是上承东汉下启西晋的一段历史时期，分为曹魏、蜀汉、东吴三个政权，元末明初的小说家罗贯中依据这段历史编写《三国演义》全名为《三国志通俗演义》，小说中记载孙刘联盟共同打击曹魏，蜀吴两国为了达成合作经常派使臣来往，古代出行以骑马为主，假如一匹马每个时辰（2小时）能走30公里，一天走10个小时，十天能到达.吴国都城位于蜀国都城正东，魏国的都城在蜀国都城的北偏东30°，相距约1000公里，若吴国一叛徒要向魏国告密大约需要几天能到达魏国都城（    ）（） A．七 B．八 C．九 D．十 2．（24-25高一下·湖北·期中）一船以每小时15km的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在南偏东，行驶小时后，船到达处看到灯塔在南偏西，此时测得船与灯塔的距离为km，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25高一下·广东·阶段练习）如图，从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸的俯角分别为，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（   ） A．60 B． C．30 D． 4．（2025·安徽黄山·二模）如图1，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知，，，，，则（   ） A． B． C． D．10 5．（上海市松江区2025届高三下学期二模数学试卷）在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东的方向，甲乙两人间的距离为2km，丙在乙北偏西的方向，甲丙两人间的距离为，则乙丙两人间的距离为 km. 6．（24-25高一下·河南南阳·期中）南水北调中线工程源头位于丹江口水库，重点解决河南，河北，北京，天津的水资源短缺问题．如图所示，B，E，F为山的两侧处于同一水平线上的三点，在山顶A处测得点B，E，F的俯角分别为60°，75°，45°，计划沿直线BF开通引水隧洞，现已测得，则隧洞BE的长度为 ． 参考数据：． 题型二 高度的测量计算问题 7．（24-25高一下·重庆·阶段练习）2025年蛇年春晚，电视剧《新白娘子传奇》两位主演的出场，瞬间唤醒了无数人的记忆．剧中的雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A，B的仰角分别为，，测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（   ） A．68m B．70m C．72m D．74m 8．（24-25高一下·重庆·阶段练习）如图所示，为合川文峰塔又名振兴塔，始建于清嘉庆十五年（1810年），塔为八角形密檐式砌砖结构文峰塔是随着风水学说的发展而出现的一种建筑，其建造目的主要为祈祷当地文运昌盛，因文峰塔建于水口处，也起到闭锁水口的作用.某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 9．（24-25高一下·河北·阶段练习）某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（    ）（参考数据：）       A． B． C． D． 10．（2025高一·全国·专题练习）天津广播电视塔是津门十景之一，被人们称为“天塔”，建成于1991年：它曾是亚洲第一高塔，现为集广播电视、观光旅游、娱乐餐饮于一体的4A级景区.某校一项目学习小组开展数学建模活动，欲测量天塔AB的高度．在天塔湖岸边上，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点，.测得，在，两观测点处测得天塔顶部的仰角分别为，则天塔的高约为 m. 题型三 角度的测量计算问题 11．（2025高一·全国·专题练习）如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 12．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.求出山高 .（结果保留整数）；如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离m，且记在C处观测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为β.试问当 时，观测基站的视角最大？参考数据：，，，. 13．（24-25高一下·安徽安庆·阶段练习）为丰富学生课余活动，体育组陈老师和学生们一起做游戏：陈老师站在处，让甲同学站在处北偏东方向，距离处km的处，并让站在处北偏西75°的方向，距离处 2 km的处的乙同学以km/h的速度去追甲同学．此时，甲同学正以10 km/h的速度从处向北偏东30°方向奔跑，问乙同学沿什么方向能最快追上甲同学？ 14．（22-23高一下·云南昭通·阶段练习）如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时． (1)求B、C两点间的距离； (2)该救援船前往营救渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏东多少度（精确到0.01°）？救援船到达C处需要多长时间？ （参考数据：，） 题型四 几何图形中的计算问题 1．（多选）（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，已知的内接四边形ABCD中，，，，则（   ） A．四边形ABCD的面积为 B．该外接圆的半径为 C．过D作交BC于F点，则 D． 2．（24-25高一下·海南海口·阶段练习）如图，在中，，，，为内一点，且． (1)若，求的长； (2)若，求． 3．（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）在中，角的对边分别为，已知，，为边上一点． (1)若为的中点，且，求； (2)若的面积为，且平分，求的长． 4．（24-25高三上·辽宁大连·期中）在平面四边形中，，且. (1)中，设角、、的对边分别为、、，若. ①当时，求的值； ②当时，求ac的最大值. (2)若，当变化时，求长度的最大值. 题型五 三角形中的证明问题 5.（2024·安徽·模拟预测）在中，A，B，C所对的边是a，b，c． (1)请用正弦定理证明：若，则； (2)请用余弦定理证明：若，则． 6．（20-21高一下·辽宁沈阳·期末）（1）如图，在矩形ABCD中，，E为AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE于点G.求的余弦值； （2）利用本学期所学知识（向量或解三角形）证明：平行四边形的两条对角线长的平方之和等于四条边长的平方之和. 7．（20-21高一·全国·课后作业）用余弦定理证明：平行四边形两条对角线平方的和等于四条边平方的和. 8．（2021·全国·模拟预测）在中，，且，，均为整数． (1) 求的大小； (2) 设的中点为，求证：． 题型六 边（的代数式）的范围问题 9．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，. (1)求角； (2)若，求的取值范围. 10．（23-24高二下·湖南郴州·期末）在锐角中，内角所对的边分别为，，且满足. (1)证明：； (2)求的取值范围. 11．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在锐角中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)求的取值范围； (3)当时，角的平分线交于，求长度的最大值． 12．（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）在中，角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，为边上的一点，，且______，求的面积. （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）. ①是的平分线； ②为线段的中点. (3)若为锐角三角形，求边上的高取值范围. 13．（23-24高一下·云南玉溪·期中）如图，在中，，为边上一点且，. (1)若，求的面积； (2)求的取值范围. 14．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）已知在锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，. (1)求角； (2)若，D为中点，，求b； (3)若，求的取值范围. 15．（23-24高三下·青海西宁·开学考试）如图，在中，点在边上，． (1)若，，，求； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围． 题型七 三角形面积的范围问题 16．（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记. (1)若，求的长； (2)用表示的长度； (3)求的面积的取值范围. 17．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，. (1)若，的面积为，求； (2)若， ①求的值： ②求面积的最大值； ③求周长的取值范围. 18．（24-25高一下·河南·阶段练习）某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处A点处固定一旗帜，然后从A点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到B点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从B点逆时针走至C点处，此时测得∠ABC=120°，且测得BC=20米，AB=10米． (1)求该人工圆形湖泊的直径； (2)若D为人工圆形湖泊优弧上一动点（异于A，C两点），求四边形ABCD面积的取值范围． 19．（2025高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角； (2)如图，点是所在平面上一点，若，且，，求面积的最大值. 题型八 三角形周长的范围问题 20.（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 21．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 22．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）在锐角中，角的对边分别为，. (1)求角的大小； (2)若的外接圆面积为，求周长的取值范围. 23．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 24．（2025·河北沧州·模拟预测）在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小； (2)若，求周长的取值范围． 题型九 角（函数值）的范围问题 25．（2025·湖北黄冈·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为 ． 27．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ，的取值范围为 ． 28.（2020·浙江·统考高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 题型十 解三角形的其它综合问题 29.（福建廈门外国语学校2023期中）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题，“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．已知点为的费马点，且，若，则实数的最小值为__________． 30.（2023·全国·模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题． 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______． (1)求角C的值； (2)若的面积，试判断的形状． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 31．（2024高一·全国·专题练习）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 32.（2024上·湖南娄底·高三统考期末）如图所示，在平面四边形中，角为钝角，且.    (1)求钝角的大小； (2)若，求的大小. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 题型一 距离的测量计算问题 1.（24-25高一下·新疆昌吉·阶段练习）三国（220年一280年）是上承东汉下启西晋的一段历史时期，分为曹魏、蜀汉、东吴三个政权，元末明初的小说家罗贯中依据这段历史编写《三国演义》全名为《三国志通俗演义》，小说中记载孙刘联盟共同打击曹魏，蜀吴两国为了达成合作经常派使臣来往，古代出行以骑马为主，假如一匹马每个时辰（2小时）能走30公里，一天走10个小时，十天能到达.吴国都城位于蜀国都城正东，魏国的都城在蜀国都城的北偏东30°，相距约1000公里，若吴国一叛徒要向魏国告密大约需要几天能到达魏国都城（    ）（） A．七 B．八 C．九 D．十 【答案】C 【知识点】距离测量问题 【分析】将魏、蜀、吴三国的都城分别记为、、，可得出公里，公里，，利用余弦定理求出，再除以可得结果. 【详解】将魏、蜀、吴三国的都城分别记为、、， 由题意可知，公里，公里，， 由余弦定理可得 公里， （天），故谋臣大约需要天才能到达目的地. 故选：C. 2．（24-25高一下·湖北·期中）一船以每小时15km的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在南偏东，行驶小时后，船到达处看到灯塔在南偏西，此时测得船与灯塔的距离为km，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】距离测量问题 【分析】作出示意图，在中，得，可由三角函数求的长，进而得到答案. 【详解】由题意知，在中，，， ， 所以为直角三角形，又， ，故（小时）， 故选：C. 3．（24-25高一下·广东·阶段练习）如图，从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸的俯角分别为，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（   ） A．60 B． C．30 D． 【答案】A 【知识点】求15°等特殊角的正切、距离测量问题 【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系，结合差角的正切求解. 【详解】依题意，， 则， ， 所以峡谷的宽度；. 故选：A 4．（2025·安徽黄山·二模）如图1，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知，，，，，则（   ） A． B． C． D．10 【答案】C 【知识点】二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】由二倍角余弦公式得，应用正弦定理求出，再应用余弦定理求距离. 【详解】由题设，，则，而， 所以，则， 由，，则，而， 又， 所以，则， 由 . 故选：C 5．（上海市松江区2025届高三下学期二模数学试卷）在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东的方向，甲乙两人间的距离为2km，丙在乙北偏西的方向，甲丙两人间的距离为，则乙丙两人间的距离为 km. 【答案】1 【知识点】余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】根据题意画出示意图，利用余弦定理求解. 【详解】如图，在中，，. 由余弦定理，可得 ， 即， 解得，即乙丙两人间的距离为1km. 故答案为：1. 6．（24-25高一下·河南南阳·期中）南水北调中线工程源头位于丹江口水库，重点解决河南，河北，北京，天津的水资源短缺问题．如图所示，B，E，F为山的两侧处于同一水平线上的三点，在山顶A处测得点B，E，F的俯角分别为60°，75°，45°，计划沿直线BF开通引水隧洞，现已测得，则隧洞BE的长度为 ． 参考数据：． 【答案】 【知识点】距离测量问题 【分析】利用正弦定理解，求出，再解求出即可. 【详解】在中，由图可知，， 由正弦定理可得：，又因为，解得， 在中，由图有，， 则由正弦定理可得：， 解得. 故答案为： 题型二 高度的测量计算问题 7．（24-25高一下·重庆·阶段练习）2025年蛇年春晚，电视剧《新白娘子传奇》两位主演的出场，瞬间唤醒了无数人的记忆．剧中的雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A，B的仰角分别为，，测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（   ） A．68m B．70m C．72m D．74m 【答案】C 【知识点】求15°等特殊角的正切、高度测量问题 【分析】根据给定条件，利用直角三角形的边角关系列式，结合差角的正切公式求解. 【详解】令直线的延长线交于点，则. 依题意，，， 而, 所以，解得， 又， 所有， 而， 所以. 故选：C. 8．（24-25高一下·重庆·阶段练习）如图所示，为合川文峰塔又名振兴塔，始建于清嘉庆十五年（1810年），塔为八角形密檐式砌砖结构文峰塔是随着风水学说的发展而出现的一种建筑，其建造目的主要为祈祷当地文运昌盛，因文峰塔建于水口处，也起到闭锁水口的作用.某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【知识点】高度测量问题 【分析】设，用表示，再利用余弦定理，列式计算即得. 【详解】设，依题意，，，， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 由， 可得： 解得： 故选：A 9．（24-25高一下·河北·阶段练习）某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（    ）（参考数据：）       A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】高度测量问题 【分析】由题可得，则，在中，列式运算得解. 【详解】，， ，则， 在中，， ，即. 所以该雕像的高度约为4m. 故选：A. 10．（2025高一·全国·专题练习）天津广播电视塔是津门十景之一，被人们称为“天塔”，建成于1991年：它曾是亚洲第一高塔，现为集广播电视、观光旅游、娱乐餐饮于一体的4A级景区.某校一项目学习小组开展数学建模活动，欲测量天塔AB的高度．在天塔湖岸边上，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点，.测得，在，两观测点处测得天塔顶部的仰角分别为，则天塔的高约为 m. 【答案】414 【知识点】余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】设，在和中，用表示出和，在中借助余弦定理求出的值，即的值. 【详解】设， 在中，由题意知，则， 在中，由题意知，则， 在中，，， 由余弦定理可得：， 即，解得，即. 故答案为：414. 题型三 角度的测量计算问题 11．（2025高一·全国·专题练习）如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【知识点】角度测量问题 【分析】先过点A作于点，由勾股定理求出和，再由余弦定理求出，由，即可求出答案． 【详解】如图，过点A作于点， 由题可知，，，， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 因为， 所以． 故选：B 12．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.求出山高 .（结果保留整数）；如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离m，且记在C处观测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为β.试问当 时，观测基站的视角最大？参考数据：，，，. 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、正弦定理解三角形、高度测量问题、基本不等式求和的最小值 【分析】利用正弦定理及直角三角形边角关系求解；利用直角三角形边角关系及差角垢正切公式，结合基本不等式求出取得最大值，借助正切函数单调性求解. 【详解】依题意，， 在中，，则， 在中，， 所以山高； 依题意，且，， 在中，，在中，， 则 ， 当且仅当，即时取等号，正切函数在上单调递增， 而，则当且仅当取得最大值时，最大， 所以当时，观测基站的视角最大. 故答案为：；. 13．（24-25高一下·安徽安庆·阶段练习）为丰富学生课余活动，体育组陈老师和学生们一起做游戏：陈老师站在处，让甲同学站在处北偏东方向，距离处km的处，并让站在处北偏西75°的方向，距离处 2 km的处的乙同学以km/h的速度去追甲同学．此时，甲同学正以10 km/h的速度从处向北偏东30°方向奔跑，问乙同学沿什么方向能最快追上甲同学？ 【答案】沿北偏东60°方向能最快追上. 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、角度测量问题 【分析】根据题意作出示意图，利用正弦定理和余弦定理解三角形即可. 【详解】如图，设乙同学需要用时在处追上甲同学，则，， 在△ABC中，，，， 由余弦定理，得， ，由正弦定理可得， ，则与正北方向成90°角． 在中，,由正弦定理， 得， ,即乙同学沿北偏东60°方向能最快追上甲同学． 14．（22-23高一下·云南昭通·阶段练习）如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时． (1)求B、C两点间的距离； (2)该救援船前往营救渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏东多少度（精确到0.01°）？救援船到达C处需要多长时间？ （参考数据：，） 【答案】(1)30（海里） (2)救援船前往营救渔船时的目标方向线方向是南偏东68.21°，1.75小时． 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、距离测量问题、角度测量问题 【分析】（1）由题意可得三角形的角与边，根据正弦定理，可得答案； （2）由余弦定理，建立方程，可得答案. 【详解】（1）在中，，，则， ， 由正弦定理得 （海里）． （2）在中，，由余弦定理 ， ，（小时）， ，D为锐角， 所以，， 救援船前往营救渔船时的目标方向线方向是南偏东68.21°． 题型四 几何图形中的计算问题 1．（多选）（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，已知的内接四边形ABCD中，，，，则（   ） A．四边形ABCD的面积为 B．该外接圆的半径为 C．过D作交BC于F点，则 D． 【答案】BCD 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、几何图形中的计算、用定义求向量的数量积 【分析】对于A：在中，利用余弦定理结合圆的性质可得，进而可求得，，再利用面积公式运算求解；对于B：可知四边形的外接圆为即为的外接圆，利用正弦定理求外接圆半径；对于C：根据几何性质分析可得在方向上的投影向量为，进而可得结果.对于D：根据几何性质分析可得在方向上的投影向量为，进而可得结果； 【详解】 对于A：连接，由题意可知，则， 在中，由余弦定理可得， 即，解得， 所以， 且，则，即， 所以四边形的面积 ， 故A错误； 对B：该四边形的外接圆为即为的外接圆，设外接圆的半径为， 在中，由正弦定理可得， 即，故B正确； 对于C：由题意可得：， 过作，垂足，则为的中点，可得， 在方向上的投影向量即为， 所以，故C正确； 对于D：过作，垂足，则为的中点，可得， 过作，垂足，可得， 故，即在方向上的投影向量为， 所以，故D正确； 故选：BCD. 2．（24-25高一下·海南海口·阶段练习）如图，在中，，，，为内一点，且． (1)若，求的长； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】（1）在中，先求出，再在中，利用余弦定理求解即可； （2）设，则，在中，利用正弦定理求出，再在中，求出，进而可得出答案. 【详解】（1）在中，， 则， 所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以； （2）设，则， 在中，因为， 所以, 在中，, 所以，即， 所以，即. 3．（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）在中，角的对边分别为，已知，，为边上一点． (1)若为的中点，且，求； (2)若的面积为，且平分，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、几何图形中的计算、已知数量积求模 【分析】（1）根据向量的模长公式即可求解， （2）利用等面积法即可结合面积公式求解. 【详解】（1）在中，，因为为的中点， 所以， 两边平方得， 则，解得 （2）因为平分， 所以， 又， 即 所以， 解得， 4．（24-25高三上·辽宁大连·期中）在平面四边形中，，且. (1)中，设角、、的对边分别为、、，若. ①当时，求的值； ②当时，求ac的最大值. (2)若，当变化时，求长度的最大值. 【答案】(1)①16；② (2) 【知识点】基本不等式求积的最大值、几何图形中的计算、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）①根据正弦定理结合三角恒等变换与化简即可； ②作于，根据几何关系可得，再根据基本不等式求解即可； （2）设，由余弦定理可得，由正弦定理可得，再根据余弦定理可得，进而可得长度的最大值. 【详解】（1）①当时，由正弦定理可得，故 . ②当时，因为，故均为锐角，作于. 由图可得，，由可得 ，故，则 . . 故 ，当且仅当， 即时取等号，故的最大值为 （2）设，由余弦定理，即. 由正弦定理可得. 则， . 故当时，取最大值，即的最大值为. 题型五 三角形中的证明问题 5.（2024·安徽·模拟预测）在中，A，B，C所对的边是a，b，c． (1)请用正弦定理证明：若，则； (2)请用余弦定理证明：若，则． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明三角形中的恒等式或不等式、余弦定理边角互化的应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据正弦定理结合已知条件得出，对角的范围进行分类讨论，再利用正弦函数的单调性即可得出结果； （2）根据余弦函数在上单调递减，得，利用余弦定理转化为边的关系即可得出结果. 【详解】（1）由正弦定理知，，若，则，即． （ⅰ）若A，，则由在单调递增，得． （ⅱ）若，，则，此时， 由在单调递增，得，显然不成立，舍去． （ⅲ）若，，必有成立. 综上，在中，若，则. （2）由在上单调递减，若，则， 由余弦定理得，，则， 所以， 即， 即， 而，，所以． 所以在中，若，则. 6．（20-21高一下·辽宁沈阳·期末）（1）如图，在矩形ABCD中，，E为AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE于点G.求的余弦值； （2）利用本学期所学知识（向量或解三角形）证明：平行四边形的两条对角线长的平方之和等于四条边长的平方之和. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【知识点】向量夹角的坐标表示、证明三角形中的恒等式或不等式 【分析】（1）根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法进行求解即可； （2）先画出平行四边形，设、，，利用余弦定理求出和，再由平行四边形的性质和诱导公式进行化简后，再化简即可． 【详解】解：（1）建立坐标系如图： ，为的中点，是边上靠近点的三等分点， ，，， 则，，，，，． 则，， 由得，即，， 则，，，， 则，，， ，， 则，， 则即． （2）如图：平行四边形，设、，， 因为四边形是平行四边形， 所以，，， 在中，由余弦定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 所以 ， 即， 故平行四边形两条对角线平方的和等于四条边平方的和． 7．（20-21高一·全国·课后作业）用余弦定理证明：平行四边形两条对角线平方的和等于四条边平方的和. 【答案】见解析 【知识点】证明三角形中的恒等式或不等式 【分析】在三角形ABC和三角形ABD中分别利用余弦定理表示两对角线的平方，结合互补角的余弦值的关系，相加即可得到结论. 【详解】已知：四边形ABCD为平行四边形，如图所示. 求证：. 证明：在三角形ABC中，由余弦定理得, 在三角形ABD中，由余弦定理得, ∵,∴， ∴. 8．（2021·全国·模拟预测）在中，，且，，均为整数． (1) 求的大小； (2) 设的中点为，求证：． 【答案】(1) ；(2) 证明见解析． 【知识点】三角函数与解三角形综合、证明三角形中的恒等式或不等式、用和、差角的正切公式化简、求值、比较正切值的大小 【分析】(1) 从角入手，根据条件确定，结合为整数，通过假设法，得到的值，也就确定了角大小. (2) 首先利用角和角和的正切展开式，确定角和角满足的等式，再结合，均为整数，确定，的值，最后利用解三角形知识证明即可. 【详解】(1) 因为，所以为锐角，则， 若，且在内单调递增， ． 又都大于，与矛盾， ，即． (2) 证明：． 又， 即． 由均为整数，且， 得， 可得， 则. 设角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 由正弦定理， 可得 又的中点为． 在中，由余弦定理，得 ， ，即证． 题型六 边（的代数式）的范围问题 9．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，. (1)求角； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式得，再由三角形内角的性质及辅助角公式得，即可得角的大小； （2）由正弦定理得，应用三角恒等变换化为，且即可求范围. 【详解】（1）由正弦定理知，而， ∴， 即，又， ∴，即，又， ∴，则. （2）由正弦定理知， 所以， 因为，从而，所以， 从而的取值范围为. 10．（23-24高二下·湖南郴州·期末）在锐角中，内角所对的边分别为，，且满足. (1)证明：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】正余弦定理与三角函数性质的结合应用、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）由正弦定理边角互化结合两角差的正弦公式可证明结论； （2）由（1）结合为锐角三角形可得，又注意到，由函数在上的取值范围可得答案. 【详解】（1）由， 结合正弦定理得： 可得， 所以，所以或（舍去）， 所以； （2）在锐角中，， 即，所以. 由正弦定理结合（1），. 令， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以. 11．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在锐角中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)求的取值范围； (3)当时，角的平分线交于，求长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，再利用余弦定理，求得，进而求得的大小； （2）由正弦定理，可得，根据为锐角三角形，求得，利用三角函数的性质，即可求解； （3）设长度为，由，求得，得到，再由余弦定理，化简得到， 设，进而求得长度的最大值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，可得，整理得， 又由余弦定理，可得， 又因为，所以. （2）由正弦定理，可得 ， 因为为锐角三角形，且，可得， 则，可得，则， 所以，即， 所以的取值范围. （3）设长度为， 由，可得， 因为，可得， 所以，可得， 又由余弦定理得，所以， 则， 设 ， 由，可得， 所以长度的最大值为． 12．（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）在中，角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，为边上的一点，，且______，求的面积. （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）. ①是的平分线； ②为线段的中点. (3)若为锐角三角形，求边上的高取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】（1）根据边角互化，结合三角恒等变换可得， （2）选择①，利用等面积法以及余弦定理即可求解的值，即可根据面积公式求解，选择②，利用向量的模长公式以及余弦定理可得的值，即可根据面积公式求解， （3）根据正弦定理可得外接圆半径，即可根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，即可结合三角函数的性质求解的范围，即可利用三角形面积公式求解. 【详解】（1） 在中，： 结合正弦定理可得： 由得， ， ， ，又，所以． （2）若选①：由平分得：， ，即． 在中，由余弦定理得，则， 联立，得，解得， ； 若选②：由题设，则， 所以， 在中，由余弦定理得，则， 联立，得， ． （3）由正弦定理得， 故 , 由于为锐角三角形，故,故，因此， 故当，即时，此时取到最大值， 当或，即或时，此时， 因此 ， 故三角形的面积为， 故边上的高为， 13．（23-24高一下·云南玉溪·期中）如图，在中，，为边上一点且，. (1)若，求的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、几何图形中的计算 【分析】（1）在中，利用正弦定理可求出的值，进而求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积； （2）利用正弦定理得出，，由三角形的内角和定理得出，且，利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1），，，且为锐角， 在中，由正弦定理得， 解得，， ， . （2）在中，由正弦定理得，可得， 在中，由正弦定理得，可得， ， ，，且， ， ，，， 故的取值范围为. 14．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）已知在锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，. (1)求角； (2)若，D为中点，，求b； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、几何图形中的计算 【分析】（1）由正弦定理可得，根据三角形内角和定理和两角和的三角函数即可求解； （2）由已知可得，两边完全平方即可求解； （3）由正弦定理可得，，借助三角恒等变换及三角函数的图象与性质即可求解. 【详解】（1）因为， 根据正弦定理，得， 所以， 所以， 即， 因为，所以， 又，所以； （2）因为D为中点，所以， 所以， 所以， 所以，解得或（舍去）， 故； （3）由正弦定理：， 所以，， 因为，所以，所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以， 所以，， 所以，所以， 所以的取值范围为. 15．（23-24高三下·青海西宁·开学考试）如图，在中，点在边上，． (1)若，，，求； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、求三角形中的边长或周长的最值或范围、几何图形中的计算 【分析】（1）根据给定条件，在与中，利用余弦定理求解即得. （2）由给定条件，求出角的范围，再利用正弦定理边化角，借助差角的正弦及正切函数的性质求解即得. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 即，即， 而，解得，则， 在中，， 由余弦定理得. （2）在锐角中，，，且，则， 由正弦定理得， 显然，即有，因此，即， 所以的取值范围是. 题型七 三角形面积的范围问题 16．（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记. (1)若，求的长； (2)用表示的长度； (3)求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求三角形面积的最值或范围、几何图形中的计算、余弦定理解三角形 【分析】（1）由余弦定理直接计算即可； （2）在中，直接利用正弦定理可得出关于的表达式； （3）利用三角形面积公式，结合辅助角公式及三角函数值域求出面积范围. 【详解】（1）由，且是边长为的正三角形， 则，且， 所以在中，由余弦定理得， 所以. （2）由，则，则， 在中，由正弦定理有， 得， （3）由三角形的面积公式得 ， 又，且，则，所以， 所以，则， 故的取值范围为. 17．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，. (1)若，的面积为，求； (2)若， ①求的值： ②求面积的最大值； ③求周长的取值范围. 【答案】(1)； (2)①；②；③. 【知识点】求三角形面积的最值或范围、基本（均值）不等式的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理求外接圆半径 【分析】（1）应用余弦边角关系可得，应用余弦定理有，进而有，再由面积公式得，结合已知即可求边长； （2）①应用正弦定理有，结合合比性质即可得；②③应用基本不等式求的范围，即可得面积最值和周长范围. 【详解】（1）由题设及余弦边角关系有， 所以，则，且， 在三角形中有，又，可得， 结合，则； （2）①由（1）有，则，所以； ②由，当且仅当时取等号， 所以，即面积最大值为； ③由，则， 当且仅当时取等号，所以周长. 18．（24-25高一下·河南·阶段练习）某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处A点处固定一旗帜，然后从A点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到B点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从B点逆时针走至C点处，此时测得∠ABC=120°，且测得BC=20米，AB=10米． (1)求该人工圆形湖泊的直径； (2)若D为人工圆形湖泊优弧上一动点（异于A，C两点），求四边形ABCD面积的取值范围． 【答案】(1)该人工圆形湖泊的直径为米 (2)四边形ABCD面积的取值范围为（平方米） 【知识点】正弦定理求外接圆半径、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）在中，由余弦定理求得，利用正弦定理求得直径； （2）利用三角形面积公式求得，利用四点共圆性质及余弦定理，结合基本不等式求得的最大值(，)，进而得到的最大值，从而得到四边形ABCD面积的取值范围. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得， 即， 故米． 设该人工圆形湖泊的半径为R， 故， 所以该人工圆形湖泊的直径为米． （2）易得， 因为A，B，C，D四点共圆，所以， 设，，由余弦定理可得， 所以， 当且仅当时取等号， 故四边形ABCD面积的取值范围为（平方米）． 19．（2025高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角； (2)如图，点是所在平面上一点，若，且，，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据两角和差的余弦公式化简，结合三角形内角和定理即可得解. （2）解法一：由知四点共圆，结合圆的性质及正弦定理用角表示出，结合三角形面积公式用角表示出三角形的面积，并求得其最值及对应条件. 解法二：借助余弦定理及基本不等式求得的最值，然后结合三角形面积公式确定面积的最值. 解法三：利用三角形的外接圆确定取最值时的条件，然后在中，利用中位线定理求得中边上高的最大值，从而求得面积的最大值. 【详解】（1）由题可得，， 根据正弦定理可知，， 在中，，所以，则， 所以， 所以，则， 因为，所以，所以， 因为，所以； （2）解法一：由，可知四点共圆，如图所示， 在中，由（1）可知，，又，所以， 设，则， 所以，，， 在中，，根据正弦定理可知， ， 所以，， 故 ， 根据二倍角公式，得， 因为，所以， 当，即时，面积的最大值为. 解法二：在中，已知，， 所以， 即，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 即面积的最大值为. 解法三：由，可知四点共圆，设这个圆的圆心为，如图， 因为，，所以， 则的外接圆直径为，且， 是圆上动点，所以面积取最大值时边上的高最大， 即点到的距离最大， 此时最大距离为圆心到的距离加半径2. 在中，圆心到的距离为， 所以中边上高的最大值， 所以面积的最大值为. 题型八 三角形周长的范围问题 20.（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和的正弦公式求解即可； （2）利用正弦定理得，所以，将的周长的取值范围转化为正弦型函数的值域问题求解即可. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得：， 即，所以， 由于，所以，又， 所以. （2）由正弦定理得：， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以， 故，所以. 故的周长的取值范围为：. 21．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合，即可求解； （2）由正弦定理结合辅助角公式得到，进而可求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 故， 在中，，，所以，，则， 可得，所以，所以． （2）由正弦定理可得（为外接圆的半径）， 所以， 因为，则，， 所以， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，， 故周长范围为． 22．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）在锐角中，角的对边分别为，. (1)求角的大小； (2)若的外接圆面积为，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据两角和的正弦公式结合三角形内角和定理即可得解； （2）利用正弦定理求出，再利用三角恒等变换化简结合三角函数的性质求出的范围即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 又，所以， 又，所以； （2）设的外接圆的半径为， 则，所以， 因为， 所以， 则， 因为，所以， 所以，所以， 所以周长的取值范围为. 23．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解; （2）利用正弦定理将转化为关于A的三角函数，结合三角形为锐角三角形求出A的范围，即可求出的范围得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， ， ，则，，又，； （2）在中，由正弦定理， ， ， 又为锐角三角形，， ，， ，，， 故周长的取值范围为． 24．（2025·河北沧州·模拟预测）在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，整理成余弦定理的推论，求出的值即可求解； （2）利用正弦定理表示出，再利用辅助角公式结合正弦型三角函数的性质求范围即可． 【详解】（1）在锐角三角形中，因为， 所以由正弦定理得， 故，即，即，即， 所以，即， 由余弦定理得，因为，所以． （2）因为，由正弦定理， 所以，， 设的周长为， 则 ， 因为在锐角三角形中，所以，， 所以，解得， 所以，所以， 故，则，即， 故周长的取值范围为． 题型九 角（函数值）的范围问题 25．（2025·湖北黄冈·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求含tanx的二次式的最值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】利用正弦定理角化边，结合余弦定理可得；利用正弦定理边化角整理可求得，利用二倍角正切公式化简所求，可得关于的函数的形式，结合的范围可求得结果. 【详解】，由正弦定理得：，即， 由余弦定理知：，， ，即， 由正弦定理得：， ， 整理可得：， 为锐角三角形，，，， ，即， ， ， ，，，， ，，， 即的取值范围为. 故选：C. 26．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】由余弦定理，代入数据化简得，所以关于的一元二次方程有两个不相等的正根，所以，解得，进而可求出角的取值范围. 【详解】由余弦定理，得， 整理得，关于的一元二次方程有两个不相等的正根， 所以，解得， 又，所以， 综上所述，角的取值范围是. 故答案为：. 27．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ，的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】正余弦定理与三角函数性质的结合应用、正弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】由正弦定理得到，由三角恒等变换得到，结合角的范围，得到，并利用三角恒等变换化简得到，根据为锐角三角形，求出，从而得到的取值范围. 【详解】， 由正弦定理得， 又， 故， 即， 为锐角三角形，，故，所以， 故，， 又，故，故， 解得， ， 因为为锐角三角形，且， 解得，故， ，， 故. 故答案为：， 28.（2020·浙江·统考高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 【答案】（I）；（II） 【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小； （II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围. 【详解】（I） [方法一]：余弦定理 由，得，即. 结合余弦定， ∴， 即， 即， 即， 即， ∵为锐角三角形，∴， ∴， 所以， 又B为的一个内角，故. [方法二]【最优解】：正弦定理边化角 由，结合正弦定理可得： 为锐角三角形，故. （II） [方法一]：余弦定理基本不等式 因为，并利用余弦定理整理得， 即. 结合，得. 由临界状态（不妨取）可知. 而为锐角三角形，所以. 由余弦定理得， ，代入化简得 故的取值范围是. [方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质 结合(1)的结论有： . 由可得：，， 则，. 即的取值范围是. 题型十 解三角形的其它综合问题 29.（福建廈门外国语学校2023期中）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题，“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．已知点为的费马点，且，若，则实数的最小值为__________． 【答案】 【解析】根据题意，点为的费马点，的三个内角均小于， 且． 设，则在和中， ，， ，且均为锐角，所以． 所以由正弦定理得，， 所以，． 因为，所以 ． 因为，所以，，所以， 所以．故实数的最小值为． 30.（2023·全国·模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题． 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______． (1)求角C的值； (2)若的面积，试判断的形状． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)钝角三角形 【分析】(1) 方案一：选条选①，根据正弦定理和两角和的正弦公式得到，再利用诱导公式和三角形内角和定理即可求解； 方案二：选条选②，先利用正弦定理、诱导公式和三角形内角和定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求解； 方案三：选条件③，利用正弦定理、诱导公式和两角和的正弦公式得出，然后利用同角三角函数的基本关系即可求解； (2)结合（1）的结论利用余弦定理和三角形面积可得，然后代入即可求解. 【详解】（1）方案一：选条选①． 由，得， 得，即． ∵，∴，∴， 又，∴． 方案二：选条件②． 由，得， 即， 于是， 因此，∵，∴，∴， 即， ∵，∴，∴，故． 方案三：选条件③． 由正弦定理，得， 即，∴， 又，∴，∴，即，∴． （2）在中，，由余弦定理得， 又，∴， 整理得，得，此时， ∴，∴B为钝角，故是钝角三角形． 31．（2024高一·全国·专题练习）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 【答案】(1)159米 (2)米 【知识点】角度测量问题、高度测量问题 【分析】（1）分别在和中，利用正切函数表示出，结合图形列方程可求出结果. （2）由图，将表示为，设米，对取正切并化简，结合均值不等式可求得最大值. 【详解】（1）在中，，得， 在中，，得， 因为， 所以， 解得米. （2）由图可知，设米， 则，， ， 当且仅当，即时等号成立. 根据题意，对于锐角越大，则越大，反之亦然， 显然，可得最大时最大. 答：当为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 32.（2024上·湖南娄底·高三统考期末）如图所示，在平面四边形中，角为钝角，且.    (1)求钝角的大小； (2)若，求的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角和的余弦公式，二倍角余弦公式，诱导公式将条件式化简，求得的值得解； （2）设，由正弦定理求得，结合条件，求得，结合角的范围求得结果. 【详解】（1）因为， 所以，所以， 又，所以，即， 解得或者，又为钝角，所以. （2）设，四边形内角和为， 由（1）的结论知：， 在中，由正弦定理得：，即， 在中，，即， 又， 则，即，即， ，即， ，即，即的大小为. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$