压轴题11 复数（四类压轴必考题型+压轴能力测评）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学下册压轴题攻略（沪教版2020必修第二册）

压轴题11 复数 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 类型一、复数及其四则运算 3 类型二、复数的几何意义 12 类型三、实系数一元二次方程 23 类型四、复数的三角形式 28 压轴能力测评（14题） 34 知识点01 数系的扩充和复数的概念 （1）复数的定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集. （2）复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi（a，b∈R），其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部. （3）复数相等：在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d. （4）复数的分类 ①对于复数a＋bi（a，b∈R），当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数.这样，复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以分类如下： ， ②集合表示： 知识点02 复数的加法法则和复数的减法法则 ①运算法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，两个复数的和仍然是一个确定的复数. ②加法运算律：对任意z 1，z 2，z 3∈c，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）. ①运算法则：复数的减法是加法的逆运算；设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di是任意两个复数，则（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，两个复数的差是一个确定的复数. 知识点03 复数的乘法运算 ①复数的乘法法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z 1·z 2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i. ②复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C，有 交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1 乘法对加法的分配律 z 1（z 2＋z 3）＝z 1 z 2＋z 1 z 3 结合律 （z 1·z 2）·z 3＝z 1·（z 2·z 3） 知识点04 复数的除法运算 设z 1＝a＋bi，,z 2＝c＋di（c＋di≠0）），则 复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi. 知识点05复数的几何意义 （1）复平面（复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部） （2）复数的几何意义 ①复数z＝a＋bi（a，b∈R）复平面内的点z（a，b）. ②复数z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量. （3）复平面上的两点间的距离公式：（，）. （4）复数的模 ①定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值. ②记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. ③公式：|z|＝|a＋bi|＝（a，b∈R）. 如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数，它的模就等于|a|（a的绝对值）. （5）共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi. （6）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。 （7）解复数方程 若，在复数集内有且仅有两个共轭复数根. 知识点06 复数加减法的几何意义 ①复数加法的几何意义：如图，复数z 1＋z 2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数. ②复数加法的几何意义：两个向量与的和就是与复数（a＋c）＋（b＋d）i对应的向量，复数的加法可以按照向量的加法来进行. ③复数减法的几何意义：如图，复数z 1－z 2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数. 知识点07 几个重要的结论 ①②③若为虚数，则 4、运算律 ① ② ③ 5、关于虚数单位i的一些固定结论： ①②③④ 知识点08 复数的三角形式 （1）复数的三角形式：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式. （2）辐角主值：规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz. 知识点09 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 （1）复数三角形式的乘法：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. r 1(cosθ1＋isinθ1)·r 2(cosθ2＋isinθ2)＝r 1 r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. （2）复数三角形式的除法：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 类型一、复数及其四则运算 1．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知与是方程在复数集中的两根，则下列等式成立的是（    ） A．与共轭 B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数范围内的求根公式结合复数的运算法则依次判断即可. 【详解】由复数范围内的求根公式可得，当时，；当时，，则B错误； 当时，方程有两个不相等的实根，与不共轭，A错误； 当时，易得；当时，， ，C正确； 当时，， ，故，D错误. 故选：C. 2．（23-24高一下·上海·期末）已知是定义在复数集上的次实系数多项式（是正整数），给出下列两个命题： ①如果虚数是的根，即，那么也是的根，即； ②可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积； 则下列说法正确的是（    ） A．命题①②都是真命题 B．命题①②都是假命题 C．命题①是真命题，命题②是假命题 D．命题①是假命题，命题②是真命题 【答案】A 【分析】由已知根据复数的运算及共轭复数的概念即可证明①；结合①可知的虚数根成对出现，且互为共轭复数，即可判断②. 【详解】因为是的根，所以， 所以， 于是， 即， 所以是的根，，故①正确; 由①可知，若虚数满足，则也满足， 所以的虚数根成对出现，且互为共轭复数， 所以可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积，故②正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：由根据复数的运算及共轭复数的概念可得是解题的关键. 3．（23-24高一下·上海·期末）已知复数和复数满足：，则 ． 【答案】 【分析】设，根据题意结合共轭复数的概念可得和，进而可得，再结合复数的乘法运算求解即可. 【详解】设，则， 因为，可得； 且，可得， 由，可得， 由，可得， 则， ， 可得， ， 所以. 故答案为：. 4．（23-24高一下·上海闵行·期末）设复数，． (1)若在复平面上所对应的点在第一象限，求a的取值范围； (2)若为纯虚数，求． 【答案】(1) (2)4. 【分析】（1）根据共轭复数的定义，并计算，由在复平面上对应的点在第一象限即可求解； （2）根据为纯虚数得，即可得. 【详解】（1）由题意可知，因为， 所以， 所以， 又因为在复平面上对应的点在第一象限， 所以， 解得. 所以实数的取值范围为. （2）因为为纯虚数， 所以，即， 所以， 故. 5．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为虚数单位，复数． (1)当实数取何值时，是纯虚数； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由是纯虚数得到实部为，虚部不为，解方程组得到的值； （2）将代入方程，实部和虚部均为，解方程组得到和的值. 【详解】（1）由是纯虚数得，解得. 所以当时，是纯虚数. （2）当时，， 因为是关于的方程的一个根，所以， 即，整理得， 所以，解得. 6．（23-24高一下·上海·期末）在复数范围解方程． (1)关于的实系数一元二次方程的两根满足，求实数的值； (2)关于的实系数一元二次方程的两根，请根据实数的不同取值范围讨论的值． 【答案】(1)—1或3； (2) 【分析】（1）根据方程有实数根与复数根进行讨论，从而求出的值；（2）根据方程有实数根与复数根讨论的范围，从而得到的值. 【详解】（1）当，即时，，为实数，则，， 所以，解得：； 当，即时，，为复数，由，解得：，， 所以，解得：； 综上：或 （2）当，即时，，为实数，则，， 当时，，为一正一负，所以 所以； 当，，为两负数， 当，即时，，为复数，由，解得：，， 则，， 所以 综上： 7．（22-23高一下·上海静安·期末）设复数，，其中.现在复数系中定义一个新运算，规定：. (1)已知，求实数x的值； (2)现给出如下有关复数新运算性质的两个命题： ①； ②若，则或. 请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由. 【答案】(1)或 (2)①是真命题，②是假命题，理由见解析 【分析】（1）根据复数新定义的运算及模长运算即可得结论； （2）根据复数新定义设，，根据运算逐个求证即可. 【详解】（1）由定义，有 即，整理得，， 或. （2）①设，，则， ，所以 ①是真命题. ②设，，则， 所以，则是其一组解， 故得不到或. ②是假命题. 8．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知a，，是虚数单位，，在复平面上对应的点分别A、B. (1)若是实数，求的最小值； (2)设O为坐标原点，记，若，且点C在y轴上，求与的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由复数的几何意义求出点，然后在由是实数求出，最后由两点间距离公式结合二次函数求出结果即可； （2）设，利用向量相等和垂直的坐标表示，求出的值，进而求出，然后利用向量的夹角公式求出即可； 【详解】（1）由题意可得， 因为是实数， 又， 所以，则， 所以， 所以的最小值为. （2）依题意，设，因为， 则， 所以，则， 又，所以，可得，则， 所以， 故， 所以与的夹角为. 【点睛】结论点睛：与垂直的坐标表示为. 9．（23-24高一下·上海·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则： ①；②；③；④. (1)设，，求和. (2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：①②.试判断这两个结论是否正确，并说明理由. (3)若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立.根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）. 【答案】(1)，； (2)①不正确，②正确，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）代入公式①③即可求解； （2）根据所给定义，以及向量的代数运算法则，即可求解； （3）设满足条件的，，，根据所给条件求出，再证明对任意的，不等式恒成立，则只需计算的最小值，不妨令，表示出，即可得到，根据完全平方数的性质计算可得. 【详解】（1）由，， 得，； （2）设，，，、、、、、、， 则，，故①不成立， ，，， ， 因为，， 所以， ，故②正确； （3）设满足条件的，，， 则，， 因为为任意的复数，不妨设且， 由定义可得，即，即， 所以，则， 以下证明对任意的，不等式恒成立，只需计算的最小值， 不妨令，则， 则， ， 当，时，取得最小值，此时与之前得到的相同，结论得证； 推广结论：对于任意复向量，，若对于任意的，当且仅当时，取得最小值. 【点睛】关键点点睛：本题的关键理解新定义，结合新定义以及所学习的知识解决问题. 类型二、复数的几何意义 1．（23-24高一下·上海·期中）设复数满足，则当取最大值时，对应的复平面上点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据复数模的几何意义，可得的轨迹为以为圆心，半径长为1的圆，结合圆上的点到定点的距离最值及三角函数计算即可得. 【详解】复数对应的点到对应点的距离是1， 所以对应的点在以为圆心､半径长为1的圆上， 当直线经过原点时，到的距离最大，即取最大值， 此时， 又,故， 则，， 故的坐标是． 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海黄浦·期末）i为虚数单位，若复数和复数满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】结合复数模的公式，得到复数表示的几何图形，再结合复数的几何意义，利用数形结合求的最大值. 【详解】设，则，整理为， 所以复数表示的点的轨迹是以点为圆心的圆面， ，，表示的几何意义是圆面上的点到原点距离，如图， 的最大值为连结圆心和原点的距离再加半径，所以. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海静安·期末）若复数满足（为虚数单位），则 ． 【答案】 【分析】利用复数的除法可求，求出后可求. 【详解】，故，故， 故答案为：. 4．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据复数模的几何意义，即可求得的取值范围. 【详解】解：表示在复平面上对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 最小距离为，最大距离为， 的取值范围为. 故答案为：. 5．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知关于x的实系数一元二次方程有一对共轭虚根，． (1)当时，求共轭虚根和； (2)若，求实数a的值． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由公式法求解即可； （2）由题可知，求得的范围，由求根公式计算，进而可得 利用模长公式求解即可. 【详解】（1）当时，，则方程的根为 即 （2）有一对共轭虚根，所以，即. ∴， 整理得，即,解得：或. 故或. 6．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足为坐标原点，复数在复平面内对应的向量为. (1)求； (2)若向量绕逆时针旋转得到对应的复数为，求. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）求出对应复数，再利用模的公式求模即可. （2）利用复数的几何意义结合旋转的性质求出对应复数，再求乘积即可. 【详解】（1）由得：， . （2）又，由复数的几何意义， 得向量绕原点逆时针旋转得到的， 则对应的复数为，则. 7．（23-24高一下·上海·期末）已知为虚数，且为实数． (1)求证：； (2)若为纯虚数，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）设（且），根据复数代数形式的除法、加法运算法则化简，再根据为实数，虚部为零，即可得到，从而得解； （2）由（1）可得，再根据复数代数形式的除法运算化简复数，最后得到方程组，解出即可； 【详解】（1）解：设（且）， 则 ， 由题意可得，又可得， 所以 （2）由， 则 若为纯虚数，则，解得或， 所以或 8．（23-24高一下·上海·期末）已知关于的实系数一元二次方程的两根为. (1)若为虚数，，且，求和的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)， (2)或. 【分析】（1）由根的判别式可得，设，结合复数的几何意义和韦达定理计算即可求解； （2）法一：分别讨论当方程有两个实根、两个虚根的情况，结合韦达定理、复数的几何意义即可求解；法二：利用韦达定理和完全平方公式计算直接得出结果. 【详解】（1）由题意，关于的实系数一元二次方程的两个虚根为， 可得，即， 设，由，解得， 所以，； （2）法一：由关于的实系数一元二次方程的两根为， ①若方程有两个实根，则，可得，且， 则，解得； ②若方程有两个虚根，则，可得， 设，不妨设，可得，解得， 所以. 综上可得，实数的值为或. 法二：由关于的实系数一元二次方程的两根为， 则， ， 解得或. 9．（24-25高一下·上海·单元测试）设为关于x的方程的虚根，i为虚数单位． (1)当复数时，求m，n的值； (2)若，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数所对应的点为Q，试求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意可知：方程的两根分别为：，结合韦达定理分析求解； （2）设，利用韦达定理可得，设，，，根据两点间距离公式结合三角函数的最值分析求解. 【详解】（1）当时，则， 可得方程的两根分别为：， 则，解得，. （2）当时，方程为， 设，则，， 可得，为方程的两根， 则， 设，，， 由复数的几何意义可知：， 则， 其中，， 因为，可得， 所以的取值范围为． 10．（23-24高一下·上海·期末）当实数为何值时，复数为： (1)实数； (2)纯虚数； (3)对应点在第二象限？ 【答案】(1)或； (2)； (3)． 【分析】（1）结合实数的概念，即可求解； （2）结合纯虚数的概念，即可求解； （3）结合复数的几何意义，即可求解． 【详解】（1）复数为实数，则， 所以或. （2）复数为纯虚数，则， 所以. （3）复数对应点在第二象限，则，解得， 所以实数的取值范围是. 11．（22-23高一下·上海杨浦·期末）设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点． (1)若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标； (2)设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由； (3)设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题中的新定义求解即可； （2）由题意可得，进而由条件得出关于的方程组，求解即可； （3）满足条件的一个有序实数对为，即，，结合复数模的求法及复数的运算证明即可. 【详解】（1）由知，则，故； 设，则， 由知，则，即. （2）直线l上的任意一点“对应”到点， ，且， ，即， 由题意，点仍在直线上，则，又， 则， 展开整理得， 则，解得， 所以，所求的有序实数对为. （3）满足条件的一个有序实数对为，即，，证明如下： 设，则，， ∵，∴， ，即，满足条件①； 设，且，即，得， 由得， 则 ， 则，满足条件②， 综上，满足条件的一个有序实数对为. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 12．（22-23高一下·上海闵行·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则： ①；    ②； ③；        ④. (1)设，，求和. (2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论： ① ②    ③. 试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明. (3)若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立. 根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）. 【答案】(1)， (2)①③错误，②正确，证明见解析 (3)证明见解析，答案见解析 【分析】（1）根据所给定义计算可得； （2）根据所给定义及复数代数形式的运算法则计算可得； （3）设满足条件的，，、，根据所给条件求出，再证明对任意的，不等式恒成立，则只需计算的最小值，不妨令，表示出，即可得到，根据完全平方数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以， （2）设，，，、、、、、、， 则，，故①不成立， ，， ， 因为，， 所以 ，故②正确； ，， ，， 设，，， 则，， ， 所以，故，即③错误； （3）设满足条件的，，、， 则，， 因为为任意的复数，不妨设且， 由定义可得，即，则， 所以，则， 以下证明对任意的，不等式恒成立，只需计算的最小值， 不妨令，则， 则 ， 当，时取得最小值，此时与之前得到的相同，结论得证； 推广结论：对于任意复向量，，若对于任意的，当且仅当时，取到最小值. 【点睛】关键点睛：对于新定义问题，关键是理解所给定义，再结合所学相应知识解决问题. 类型三、实系数一元二次方程 1．（22-23高一下·上海奉贤·阶段练习）已知关于x的方程有实数根，则复数z的模的最小值为 【答案】 【分析】根据题意可得，将复数z写成的形式，即可得，利用基本不等式即可求得其最小值为. 【详解】由可得， 显然不是方程的实数根，所以，即； 若关于x的方程有实数根，则，， 即复数z的实部为，虚部为， 所以复数z的模， 利用基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，即； 所以复数z的模的最小值为. 故答案为： 2．（22-23高一下·上海杨浦·期中）已知关于x的实系数一元二次方程. (1)若复数z是该方程的一个虚根，且，求m的值； (2)记方程的两根为和，若，求m的值. 【答案】(1)－2 (2)或 【分析】（1）利用，结合韦达定理可求解. （2）分讨论方程的两根为实根还是虚数根两种情况讨论，结合韦达定理可求解. 【详解】（1）解：因为，所以，因为，所以， 所以，由韦达定理可得，所以； （2）解：若方程的两根为实数根，则， 解得， 若方程的两根为虚数根，则设，，可得， 则，，，所以，所以， 由韦达定理可得，所以， 此时，满足题意， 综上，或 3．（22-23高一下·上海普陀·期末）设、，已知（为虚数单位）是方程的一个根． (1)求、的值； (2)设方程的另一根为，复数、对应的向量分别是、．若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)、的值分别为、3 (2) 【分析】（1）根据复数的四则运算结合复数相等运算求解； （2）根据题意分析可得，结合数量积的符号以及向量共线运算求解. 【详解】（1）因为（为虚数单位）是方程的一个根， 则， 可得，解得， 所以、的值分别为、3. （2）由题意可知：，则， 可得， 若向量与的夹角为锐角， 可知且与不共线， 则，解得且， 所以实数的取值范围. 4．（22-23高一下·上海闵行·阶段练习）已知关于的实系数一元二次方程 (1)若，求方程的两个根； (2)若方程有两虚根，，求的值； (3)若方程的两根为，其在复平面上所对应的点分别为，点关于轴的对称点为（不同于点），如果，求的取值范围. 【答案】(1)、 (2) (3) 【分析】（1）利用求根公式计算可得； （2）由求出的取值范围，依题意可得、互为共轭复数，则，即可求出的值； （3）分和两种情况讨论，结合求根公式及数量积的坐标表示，即可得到不等式，解得即可. 【详解】（1）当时方程为，则， 所以方程的根为、 （2）因为方程有两虚根，所以， 解得， 此时方程有两个共轭复根、，故，又，所以， 所以，解得或（舍去）. （3）若，即或时， 此时，， 则，，， 显然， 所以， 则 ， 即，解得或， 所以或； 若，即时， 设，（）， 则，，， 所以，， 所以，即，又，， 所以，解得或，所以； 综上可得的取值范围为. 5．（23-24高一下·上海·期末）设复数满足： (1)若，求与． (2)若是实系数一元二次方程的两个根，求实数的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先设，代入运算即可； （2）由题意可设，则，代入运算即可. 【详解】（1）设，由得到， 因为， 则， 整理得， 可得，解得或， 所以或； （2）若，是实系数一元二次方程的两个虚根， 则，且，互为共轭复数， 设，则，可得，， 因为，即 解得或， 所以或. 6．（23-24高一下·上海·期末）已知复数，（，i是虚数单位） (1)若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数a的取值范围； (2)若是实系数一元二次方程的根，且是实数，记，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先利用复数减法运算化简复数，再结合复数对应的点所在象限列不等式即可求解； （2）根据韦达定理求得，然后利用复数运算法则化简得，利用该复数为实数列方程得，从而代入化简得，最后利用复数模的运算求解即可. 【详解】（1）因为复数，，所以， 其对应的点为，由题意，解得， 即实数a的取值范围为； （2）由题意知的两根为，， 所以，所以，所以， 因为为实数， 所以，即， 所以， 所以. 类型四、复数的三角形式 1．（21-22高一下·上海松江·期末）设，则下列命题中的真命题为（    ） A．若，则 B．若，则为纯虚数 C．若，则或 D．若，则 【答案】C 【分析】根据虚数不能比较大小判断A，取可判断B，根据复数模的性质判断C，取特例可判断D. 【详解】当为实数时，成立，否则不成立，故A错误； 当时，满足，但不为纯虚数，故B错误； 当时，，故或，所以或，故C正确； 当时，，，即，故D错误. 故选：C 2．（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】D 【分析】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【详解】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D 3．（21-22高一下·上海长宁·期末）若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据模长，设出，利用模长公式及三角恒等变换得到，由求出的取值范围. 【详解】因为，所以设， 故 ，其中， 因为，所以. 故答案为：. 4．（22-23高一下·上海杨浦·期末）若是纯虚数（其中是虚数单位），则正整数的最小值为 . 【答案】 【分析】求得，根据复数的概念可得出的表达式，即可求得正整数的最小值. 【详解】因为 因为为纯虚数，则，可得， 可得，又因为，当时，正整数取最小值. 故答案为：. 5．（21-22高一下·上海黄浦·期末）已知复数，，其中为虚数单位，． (1)当、是实系数一元二次方程的两个虚根时，求实数、的值． (2)求的值域． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）由题意可知，列方程即可求得，从而可求得、的值； （2）由复数模的定义，结合三角函数值域的求法即可求解. 【详解】（1）复数，， 是实系数一元二次方程的两个虚根， 所以，即， 所以，所以， ， . （2） . ，， 即. 6．（21-22高一下·上海普陀·期末）在复平面内，设复数对应向量，它的共轭复数对应向量． (1)若复数是关于的方程的一个虚根，求出实数的取值范围，并用表示； (2)若，且点满足，求的重心所对应的复数； (3)若，可知在变化时会对应到不同的复数，若取不同的，，使得其所对应的复数满足，求证：所对应的点可以构成矩形． 【答案】(1);; (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）复数是关于的方程的一个虚根，可得方程判别式小于0，即可求得答案； （2）设，则由求得，由三角形重心坐标公式求得的重心坐标，由此可得复数； （3）求得，说明所对应的点在单位圆上，再取值，说明为单位圆的两直径，即可证明结论. 【详解】（1）复数是关于的方程的一个虚根，， 则，即实数的取值范围； 解方程得， 不妨令复数，另一根为， 故. （2）由可知，故， 设，则由得，即， 解得，故，故的重心为， 故. （3）由于，则， 则所对应的点都在单位圆上， 又，则且， 不妨取，，则为单位圆的两直径， 则四边形的对角线互相平分且对角线相等， 则四边形为矩形，即所对应的点可以构成矩形． 7．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知为虚数单位，复数满足． (1)若，求复数的辐角主值； (2)若，复数满足为实数．则复数在复平面上所对应的点的集合是什么图形？说明理由． (3)已知复平面上点对应的复数分别为．记复数的辐角主值为．求的取值范围． 【答案】(1) (2)以为圆心､半径为1的圆，不含点，理由见解析 (3) 【分析】（1）求得复数，可求辐角主值； （2）法一：设，，可得为纯虚数，可求得，且； 法二：与对应的向量垂直，所以为纯虚数，，与对应的向量垂直，可得对应点在以点的连线为直径的圆上； （3）设，则，设的一个辐角为的一个辐角为，可得，令，设，利用车辅助角公式可求得范围，分类可求得的范围. 【详解】（1）的辐角主值为． （2）设，则 为纯虚数 为纯虚数 ，为纯虚数或0 即，且． 是以为圆心､半径为1的圆，不含点 解法二：与对应的向量垂直，所以为纯虚数 为纯虚数或0 与对应的向量垂直， 对应点在以点的连线为直径的圆上，且 综上，是以为圆心､半径为1的圆，不含点 （3）设，则． 设的一个辐角为的一个辐角为． ． 令． 设，即，解得范围为， 若，则的范围是若，则的范围是． 的范围是． 【点睛】方法点睛：与复数的几何意义相关问题的一般步骤：（1）先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式；（2）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数与复平面上的点一一对应，列出相应的关系求解. 一、单选题 1．（22-23高一下·上海闵行·阶段练习）设、为复数，下列命题一定成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，是正实数，那么 D．如果，那么为实数 【答案】D 【分析】利用特殊值判断A、B，根据复数的模判断C，根据共轭复数及复数相等的充要条件判断D. 【详解】设， 对于A：∵， 则 ， 可得，不能得到， 例如，满足，但显然，故A错误. 对于B：若，，则，显然且，故B错误； 对于C：∵，则， 且只有实数才能比较大小，对于虚数无法比较大小，故C错误； 对于D：令，则，因为，所以， 所以，则，所以为实数，故D正确； 故选：D 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知为虚数单位，复数满足．则取最大值时，在复平面上以对应的点，为顶点的三角形的形状是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】假设，根据模长公式构造关于的函数，从而可确定当取最大值时，的取值，从而求得；利用两点间距离公式表示出所构成三角形的三边长，从而可确定三角形形状. 【详解】因为 ，所以可设， 所以， 所以， 当时，取最大值， 即当，即时，取最大值， 此时， 所以对应的点， 所以，， ， 所以，根据各边关系易知各边对应角为锐角， 所以该图形为等腰三角形. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键在于能够根据的模长将为，从而可利用三角函数的知识确定的最大值，根据复数几何意义可确定对应的点的坐标，进而可求得三角形的各个边长. 3．（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知个两两互不相等的复数，满足，且，其中；，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设从而可得即对应平面内距离为的点，从而利用数学结合求解即可. 【详解】设 ,, 即 化为 故对应平面内距离为的点，如下图中,   , 与对应点的距离为或 构成了点共个点， 故的最大值为 故选： 【点睛】方法点睛：(1)本题是复数的综合应用，考查的主要是复数的模的几何意义的应用． (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，利用复数的模的几何意义进行求解． 二、填空题 4．（21-22高一下·上海黄浦·期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个根、，且，则满足条件的实数的值为 . 【答案】或 【分析】分、两种情况讨论，在第一种情况下，利用韦达定理可求得的值；在第二种情况下，求出、的值，结合复数的模长公式可求得实数.综合可得出实数的值. 【详解】分以下两种情况讨论： （1）当时，即当时，由韦达定理可得，， ； （2）当时，即当时， 由可得，解得，， ，解得. 综上所述，或. 故答案为：或. 5．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知复平面上有点和点，使得向量所对应的复数是，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】先求出向量的坐标，根据可得点的坐标. 【详解】因向量所对应的复数是， 所以， 因，所以. 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海松江·期末）复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的公式计算即可. 【详解】因为复数满足，所以，所以， 故答案为： 7．（21-22高一下·上海宝山·期中）已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义以及复数加减法的几何意义进行求解. 【详解】，是以复平面内点为圆心，以为半径的圆， ， ， ，即， 复数以复平面内点为圆心，半径为1和的两圆构成的圆弧， 则在复平面所对应的点组成的图形的面积为： 故答案为：. 8．（22-23高一下·上海闵行·阶段练习）设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数 . 【答案】13 【分析】设，则，结合韦达定理可得，根据题意可知，结合向量的坐标运算求解. 【详解】设，由实系数一元二次方程虚根成对定理可得， 由根与系数的关系可得， 整理得， 设、、在复平面上对应的点分别为、、， 则， 可知A，B关于x轴对称， 若复平面上、、对应点构成直角三角形，则， 即，解得， 所以. 故答案为：13. 9．（20-21高一下·上海·单元测试）若非零复数满足，则的值是 . 【答案】 【分析】由题设有、易得 ，同理，，而，，由此可知，即可求值. 【详解】由题设有：，解得，且， ∴，即，同理有，， ，，又， ∴，， ∴， 故答案为：. 三、解答题 10．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知虚数，，其中i为虚数单位，，、是实系数一元二次方程的两根． (1)求实数m、n的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)m＝－4，； (2) 【分析】（1）根据、是实系数一元二次方程的两根可得，求出的值，进而求得、，再根据根与系数的关系求出m、n的值即可； （2）根据复平面内的几何意义可得在线段上，进而求得的取值范围即可 【详解】（1）由题意，，即，故，根据韦达定理有，，即， （2）由（1），故不妨设，设，则的几何意义即为复平面内到的距离之和为.因为到的距离为，故在线段上.故当时取得最小值2，当在或时，取得最大值，故的取值范围为 11．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知是关于的方程的两个虚根，为虚数单位. (1)当时，求实数的值. (2)当，且，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据实系数一元二次方程的根互为共轭复数及根与系数的关系求解； （2）由实系数的一元二次方程的求根公式化简求解即可. 【详解】（1）因为是关于的方程的两个虚根， 所以当时，， 所以； （2）当时，，由求根公式可知，两根分别为， 所以， 所以，解得. 12．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）已知复数为虚数单位，其中是实数. (1)若是实数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复数的除法和乘法运算结合复数的意义计算即可； （2）由共轭复数的定义和复数的运算结合复数的几何意义计算即可； 【详解】（1）， 因为是实数，则. （2）， 因为复数在复平面内对应的点在第二象限，则， 故a的取值范围为. 13．（23-24高一下·上海·阶段练习）设，关于x的一元二次方程的两根为、． (1)若、为虚数，满足且，求和m的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据题意，设两虚根分别为，其中，因为，求得，得到，进而求得的值； （2）根据题意，分两个实根和两个虚根，两种情况讨论，利用韦达定理和虚根的性质，结合，列出方程，即可求解. 【详解】（1）由题意可知：关于的实系数一元二次方程的两个虚根为､，可得，解得， 因为，可设两虚根分别为，其中， 又因为，可得，解得， 即，， 所以. （2）由关于的实系数一元二次方程的两根为､， （ⅰ）若方程有两个实根､，则，可得，且， ①若，可知，则，不合题意； ②若，则异号，则，解得； （ⅱ）若方程有两个虚根，则，可得， 设为，不妨设，则，可得，解得， 即，所以； 综上可得，实数的值为或. 14．（22-23高一下·上海徐汇·期末）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． (1)设，，为虚数单位，求复向量、的模； (2)设、是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数． 【答案】(1)， (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据题目中复向量的模长公式计算即可； （2）①利用模长公式和复数的三角不等式，以及的坐标表示，即可证明结论成立； ②根据①中等号成立的条件，结合题意即可求出和的值． 【详解】（1）因为，所以， 可得的模为； 因为，所以， 所以的模为； （2）因为，所以， 由复数的三角不等式， 由，得，所以， 所以， 综上所知， ②考虑①中等号成立的条件知，对于复数的三角不等式，复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得， 若复向量与平行，则， 根据中等号成立的条件，应有， 则， 结合，得，解得； 所以，所以． 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题11 复数 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 类型一、复数及其四则运算 3 类型二、复数的几何意义 6 类型三、实系数一元二次方程 9 类型四、复数的三角形式 11 压轴能力测评（14题） 13 知识点01 数系的扩充和复数的概念 （1）复数的定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集. （2）复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi（a，b∈R），其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部. （3）复数相等：在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d. （4）复数的分类 ①对于复数a＋bi（a，b∈R），当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数.这样，复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以分类如下： ， ②集合表示： 知识点02 复数的加法法则和复数的减法法则 ①运算法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，两个复数的和仍然是一个确定的复数. ②加法运算律：对任意z 1，z 2，z 3∈c，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）. ①运算法则：复数的减法是加法的逆运算；设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di是任意两个复数，则（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，两个复数的差是一个确定的复数. 知识点03 复数的乘法运算 ①复数的乘法法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z 1·z 2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i. ②复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C，有 交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1 乘法对加法的分配律 z 1（z 2＋z 3）＝z 1 z 2＋z 1 z 3 结合律 （z 1·z 2）·z 3＝z 1·（z 2·z 3） 知识点04 复数的除法运算 设z 1＝a＋bi，,z 2＝c＋di（c＋di≠0）），则 复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi. 知识点05复数的几何意义 （1）复平面（复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部） （2）复数的几何意义 ①复数z＝a＋bi（a，b∈R）复平面内的点z（a，b）. ②复数z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量. （3）复平面上的两点间的距离公式：（，）. （4）复数的模 ①定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值. ②记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. ③公式：|z|＝|a＋bi|＝（a，b∈R）. 如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数，它的模就等于|a|（a的绝对值）. （5）共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi. （6）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。 （7）解复数方程 若，在复数集内有且仅有两个共轭复数根. 知识点06 复数加减法的几何意义 ①复数加法的几何意义：如图，复数z 1＋z 2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数. ②复数加法的几何意义：两个向量与的和就是与复数（a＋c）＋（b＋d）i对应的向量，复数的加法可以按照向量的加法来进行. ③复数减法的几何意义：如图，复数z 1－z 2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数. 知识点07 几个重要的结论 ①②③若为虚数，则 4、运算律 ① ② ③ 5、关于虚数单位i的一些固定结论： ①②③④ 知识点08 复数的三角形式 （1）复数的三角形式：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式. （2）辐角主值：规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz. 知识点09 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 （1）复数三角形式的乘法：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. r 1(cosθ1＋isinθ1)·r 2(cosθ2＋isinθ2)＝r 1 r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. （2）复数三角形式的除法：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 类型一、复数及其四则运算 1．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知与是方程在复数集中的两根，则下列等式成立的是（    ） A．与共轭 B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·期末）已知是定义在复数集上的次实系数多项式（是正整数），给出下列两个命题： ①如果虚数是的根，即，那么也是的根，即； ②可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积； 则下列说法正确的是（    ） A．命题①②都是真命题 B．命题①②都是假命题 C．命题①是真命题，命题②是假命题 D．命题①是假命题，命题②是真命题 3．（23-24高一下·上海·期末）已知复数和复数满足：，则 ． 4．（23-24高一下·上海闵行·期末）设复数，． (1)若在复平面上所对应的点在第一象限，求a的取值范围； (2)若为纯虚数，求． 5．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为虚数单位，复数． (1)当实数取何值时，是纯虚数； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值． 6．（23-24高一下·上海·期末）在复数范围解方程． (1)关于的实系数一元二次方程的两根满足，求实数的值； (2)关于的实系数一元二次方程的两根，请根据实数的不同取值范围讨论的值． 7．（22-23高一下·上海静安·期末）设复数，，其中.现在复数系中定义一个新运算，规定：. (1)已知，求实数x的值； (2)现给出如下有关复数新运算性质的两个命题： ①； ②若，则或. 请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由. 8．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知a，，是虚数单位，，在复平面上对应的点分别A、B. (1)若是实数，求的最小值； (2)设O为坐标原点，记，若，且点C在y轴上，求与的夹角. 9．（23-24高一下·上海·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则： ①；②；③；④. (1)设，，求和. (2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：①②.试判断这两个结论是否正确，并说明理由. (3)若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立.根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）. 类型二、复数的几何意义 1．（23-24高一下·上海·期中）设复数满足，则当取最大值时，对应的复平面上点的坐标是 ． 2．（23-24高一下·上海黄浦·期末）i为虚数单位，若复数和复数满足，则的最大值为 ． 3．（23-24高一下·上海静安·期末）若复数满足（为虚数单位），则 ． 4．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，则的取值范围是 . 5．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知关于x的实系数一元二次方程有一对共轭虚根，． (1)当时，求共轭虚根和； (2)若，求实数a的值． 6．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足为坐标原点，复数在复平面内对应的向量为. (1)求； (2)若向量绕逆时针旋转得到对应的复数为，求. 7．（23-24高一下·上海·期末）已知为虚数，且为实数． (1)求证：； (2)若为纯虚数，求． 8．（23-24高一下·上海·期末）已知关于的实系数一元二次方程的两根为. (1)若为虚数，，且，求和的值； (2)若，求的值. 9．（24-25高一下·上海·单元测试）设为关于x的方程的虚根，i为虚数单位． (1)当复数时，求m，n的值； (2)若，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数所对应的点为Q，试求的取值范围． 10．（23-24高一下·上海·期末）当实数为何值时，复数为： (1)实数； (2)纯虚数； (3)对应点在第二象限？ 11．（22-23高一下·上海杨浦·期末）设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点． (1)若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标； (2)设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由； (3)设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件． 12．（22-23高一下·上海闵行·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则： ①；    ②； ③；        ④. (1)设，，求和. (2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论： ① ②    ③. 试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明. (3)若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立. 根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）. 类型三、实系数一元二次方程 1．（22-23高一下·上海奉贤·阶段练习）已知关于x的方程有实数根，则复数z的模的最小值为 2．（22-23高一下·上海杨浦·期中）已知关于x的实系数一元二次方程. (1)若复数z是该方程的一个虚根，且，求m的值； (2)记方程的两根为和，若，求m的值. 3．（22-23高一下·上海普陀·期末）设、，已知（为虚数单位）是方程的一个根． (1)求、的值； (2)设方程的另一根为，复数、对应的向量分别是、．若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 4．（22-23高一下·上海闵行·阶段练习）已知关于的实系数一元二次方程 (1)若，求方程的两个根； (2)若方程有两虚根，，求的值； (3)若方程的两根为，其在复平面上所对应的点分别为，点关于轴的对称点为（不同于点），如果，求的取值范围. 5．（23-24高一下·上海·期末）设复数满足： (1)若，求与． (2)若是实系数一元二次方程的两个根，求实数的值． 6．（23-24高一下·上海·期末）已知复数，（，i是虚数单位） (1)若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数a的取值范围； (2)若是实系数一元二次方程的根，且是实数，记，求的值. 类型四、复数的三角形式 1．（21-22高一下·上海松江·期末）设，则下列命题中的真命题为（    ） A．若，则 B．若，则为纯虚数 C．若，则或 D．若，则 2．（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 3．（21-22高一下·上海长宁·期末）若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是 ． 4．（22-23高一下·上海杨浦·期末）若是纯虚数（其中是虚数单位），则正整数的最小值为 . 5．（21-22高一下·上海黄浦·期末）已知复数，，其中为虚数单位，． (1)当、是实系数一元二次方程的两个虚根时，求实数、的值． (2)求的值域． 6．（21-22高一下·上海普陀·期末）在复平面内，设复数对应向量，它的共轭复数对应向量． (1)若复数是关于的方程的一个虚根，求出实数的取值范围，并用表示； (2)若，且点满足，求的重心所对应的复数； (3)若，可知在变化时会对应到不同的复数，若取不同的，，使得其所对应的复数满足，求证：所对应的点可以构成矩形． 7．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知为虚数单位，复数满足． (1)若，求复数的辐角主值； (2)若，复数满足为实数．则复数在复平面上所对应的点的集合是什么图形？说明理由． (3)已知复平面上点对应的复数分别为．记复数的辐角主值为．求的取值范围． 一、单选题 1．（22-23高一下·上海闵行·阶段练习）设、为复数，下列命题一定成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，是正实数，那么 D．如果，那么为实数 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知为虚数单位，复数满足．则取最大值时，在复平面上以对应的点，为顶点的三角形的形状是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知个两两互不相等的复数，满足，且，其中；，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 4．（21-22高一下·上海黄浦·期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个根、，且，则满足条件的实数的值为 . 5．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知复平面上有点和点，使得向量所对应的复数是，则点的坐标为 . 6．（23-24高一下·上海松江·期末）复数满足（为虚数单位），则 . 7．（21-22高一下·上海宝山·期中）已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为 ． 8．（22-23高一下·上海闵行·阶段练习）设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数 . 9．（20-21高一下·上海·单元测试）若非零复数满足，则的值是 . 三、解答题 10．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知虚数，，其中i为虚数单位，，、是实系数一元二次方程的两根． (1)求实数m、n的值； (2)若，求的取值范围． 11．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知是关于的方程的两个虚根，为虚数单位. (1)当时，求实数的值. (2)当，且，求实数的值. 12．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）已知复数为虚数单位，其中是实数. (1)若是实数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围. 13．（23-24高一下·上海·阶段练习）设，关于x的一元二次方程的两根为、． (1)若、为虚数，满足且，求和m的值； (2)若，求m的值． 14．（22-23高一下·上海徐汇·期末）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． (1)设，，为虚数单位，求复向量、的模； (2)设、是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数． 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$