19.2.2一次函数 【十二大题型】-2024-2025学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

19.2.2一次函数 【考点梳理】 · 考点一：一次函数的定义 · 考点二：根据一次函数的定义求参数 · 考点三：求一次函数的自变量或函数值 · 考点四：一次函数图像中象限问题 · 考点五：已知一次函数图像象限求参数问题 · 考点六：一次函数的性质问题 · 考点七：一次函数图像与坐标交点问题 · 考点八：一次函数图像平移问题 · 考点九：一次函数解析式（待定系数法） · 考点十：一次函数比较大小问题 · 考点十一：一次函数规律探索问题 · 考点十二：一次函数的压轴类型 【知识梳理】 知识点1：一次函数的定义： 一般地,形如y=kx+b(k,b是常数k≠0)的函数,叫做一次函数。 注意：当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 知识点2：一次函数的图像及性质 一次函数y=kx+b(k≠0)的图像也是一条直线，我们称它为直线y=x+b，其图像与性质如下表： 图象特征 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 二、一次函数图象 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. 知识点3：待定系数法 (1)待定系数法的定义 先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而得出函数解析式的方法,叫做待定系数法。 如正比例函数y=kx中的k,一次函数y=kx+b中的k和b都是待定系数。 (2)用待定系数法求函数解析式的步骤 ①设含有待定系数的解析式(看是正比例函数,还是一次函数); ②根据条件列出以待定系数为未知数的方程或方程组; ③解方程(组),求出待定系数的值; ④将求出的待定系数代入所设的解析式,得所求的解析式。 【题型探究】 题型一：一次函数的定义 1．（24-25八年级下·上海黄浦·期中）下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C．（k、b是常数） D． 2．（24-25八年级下·上海宝山）在函数①；②；③；④中一次函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025八年级下·全国·专题练习）函数，其中是一次函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：根据一次函数的定义求参数 4．（2025八年级下·全国·专题练习）函数是一次函数，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．k为一切实数 5．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）若函数是一次函数，则应满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 6．（23-24八年级下·河北邢台·期末）已知函数是关于的一次函数，则的值为（    ） A． B．3 C． D．9 题型三：求一次函数的自变量或函数值 7．（24-25八年级上·浙江金华·期末）下列各点中，在直线上的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·全国）点，，中，在函数的图象上的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（23-24八年级下·福建泉州·期末）下列各点中，不在直线上的是（    ） A． B． C． D． 题型四：一次函数图像中象限问题 10．（2025八年级下·全国·专题练习）已知一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 11．（2025八年级下·全国·专题练习）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型五：已知一次函数图像象限求参数问题 13．（24-25八年级下·上海·阶段练习）要使函数的图象经过x、y轴的正半轴，则m与n的取值范围应为（    ） A．， B．， C．， D．， 14．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）直线不经过第三象限，则k、b应满足（ ） A．， B．， C．， D．， 15．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）已知一次函数的图象如图所示，那么、的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型六：一次函数的性质问题 16．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知一次函数，则下列判断错误的是（　　） A．直线在轴上的截距为 B．直线不经过第二象限 C．直线在轴上方的点的横坐标的取值范围是 D．该一次函数的函数值随自变量的值增大而增大 17．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）下列关于直线的结论中，正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象经过第一、二、三象限 C．当时， D．y随x的增大而增大 18．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知一次函数，那么下列结论正确的是（    ） A．图像经过第一、二、四象限 B．随的增大而增大 C．当时， D．点在函数图像上 题型七：一次函数图像与坐标交点问题 19．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）一次函数的图象向上平移1个单位长度后，与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·重庆·期末）直线与坐标轴围成的三角形的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 21．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线交坐标轴于点A，B，将向x轴负半轴平移4个单位长度得，则图中阴影部分面积为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 题型八：一次函数图像平移问题 22．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知直线l经过和，把直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线，则直线的解析式为 ． 23．（2025八年级下·全国·专题练习）关于x的一次函数的图象是由直线左移2个单位再向上移3个单位得到的，则的值是 ． 24．（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移3个单位长度后得到一个正比例函数的图象．若点在一次函数的图象上，则a的值为 ． 题型九：一次函数解析式（待定系数法） 25．（24-25八年级下·北京顺义）已知一次函数的图象过点，和. (1)求此函数的解析式； (2)求此函数与轴，轴的交点坐标； (3)求此一次函数与坐标轴所围成的面积. 26．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知一次函数的图象过，两点． (1)求一次函数表达式； (2)求该函数图象与坐标轴交点的坐标． 27．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，一条直线经过，，三点． (1)求直线的解析式； (2)求的值． 题型十：一次函数比较大小问题 28．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 29．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）若点，，在一次函数（为常数，且）的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 题型十一：一次函数规律探索问题 31．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图．在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，已知直线：，直线：和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 33．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，已知直线a：y＝x，直线b：和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2024的坐标为（　　） A． B． C． D． 题型十二：一次函数的压轴类型 34．（2025八年级下·全国）直线分别与x，y轴交于A，B两点、过点B的直线交x 轴正半轴于点C，且．    (1)直接写出点A、B、C 的坐标； (2)在线段上存在点P， 使点P到B，C的距离相等，求出点P的坐标． 35．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，点，分别是一次函数与轴，轴的交点，为线段的中点，点是直线：上一点，连接，，且轴． (1)求，两点的坐标； (2)若，求的值； (3)连接，是否存在值，使得，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 36．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象与轴、轴分别交于，两点，直线的图象与轴交于，直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且的面积为，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得：，直接写出点坐标． 【双基达标】 一、单选题 1．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）将直线向上平移4个单位长度，得到的新直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）已知正比例函数（为常数，），若的值随着值的增大而减小，则一次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山西朔州·一模）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，如下为记录几次数据之后所列表格： 1 2 3 8 19 则y与x之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·陕西榆林·开学考试）已知一次函数，则下列说法中正确的是（　　） A．y的值随x的值的增大而增大 B．该函数的图象不经过第四象限 C．该函数的图象经过点 D．将一次函数的图象向左平移4个单位长度得到函数的图象 5．（2025八年级下·全国·专题练习）已知一次函数，其中，当时，函数有最大值为2，则m的值为(   ) A．4 B． C．或4 D．4或2 二、填空题 6．（24-25八年级下·上海·阶段练习）要使一次函数的图象经平移后过点，需向上平移 个单位． 7．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知是直线上的两点，则 （填：、或） 8．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知一次函数，它的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为，则的值为 ． 9（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）某快递公司每天上午9：00～10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件．该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：00开始，经过 分钟时，两仓库快递件数相同． 10．（24-25八年级下·山东枣庄）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…都在轴上，点，，，…都在同一条直线上，，，，，，…都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 12．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且与x轴交于点A． (1)求的函数表达式； (2)将向下平移个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点A关于y轴的对称点，求n的值． 13．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点，点在直线l上． (1)求m，n的值； (2)已知M是x轴上的动点，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，求点M的坐标． 14．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，直线与坐标轴分别交于、两点，．点在直线上．动点从点出发，沿路线以每秒1个单位长度的速度运动，到达点时运动停止．设点的运动时间为秒． (1)求点的坐标； (2)用含的代数式表示的长度； (3)当时，求的面积； (4)当的面积为6时，直接写出的值． 15．（2025八年级下·全国）直线分别与轴交于两点，点A的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)在轴上方存在点，便以点为顶点的三角形与全等，画出并求出点的坐标； (3)若在线段上存在点，使点到点的距离相等，求出点的坐标． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.2.2一次函数 【考点梳理】 · 考点一：一次函数的定义 · 考点二：根据一次函数的定义求参数 · 考点三：求一次函数的自变量或函数值 · 考点四：一次函数图像中象限问题 · 考点五：已知一次函数图像象限求参数问题 · 考点六：一次函数的性质问题 · 考点七：一次函数图像与坐标交点问题 · 考点八：一次函数图像平移问题 · 考点九：一次函数解析式（待定系数法） · 考点十：一次函数比较大小问题 · 考点十一：一次函数规律探索问题 · 考点十二：一次函数的压轴类型 【知识梳理】 知识点1：一次函数的定义： 一般地,形如y=kx+b(k,b是常数k≠0)的函数,叫做一次函数。 注意：当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 知识点2：一次函数的图像及性质 一次函数y=kx+b(k≠0)的图像也是一条直线，我们称它为直线y=x+b，其图像与性质如下表： 图象特征 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 二、一次函数图象 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. 知识点3：待定系数法 (1)待定系数法的定义 先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而得出函数解析式的方法,叫做待定系数法。 如正比例函数y=kx中的k,一次函数y=kx+b中的k和b都是待定系数。 (2)用待定系数法求函数解析式的步骤 ①设含有待定系数的解析式(看是正比例函数,还是一次函数); ②根据条件列出以待定系数为未知数的方程或方程组; ③解方程(组),求出待定系数的值; ④将求出的待定系数代入所设的解析式,得所求的解析式。 【题型探究】 题型一：一次函数的定义 1．（24-25八年级下·上海黄浦·期中）下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C．（k、b是常数） D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一般地，形如（k、b常数，）的函数叫做一次函数，据此求解即可． 【详解】解：根据一次函数的定义可知，只有D选项中的函数是一次函数， 故选：D． 2．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）在函数①；②；③；④中一次函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次例函数的定义：形如（k为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：①是一次函数； ②是一次函数； ③是一次函数； ④不是一次函数； 其中属于一次函数的有3个， 故选：C． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）函数，其中是一次函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要是一次函数的定义；一般地，形如是常数）的函数，叫做一次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：，是一次函数，共2个， 故选：B． 题型二：根据一次函数的定义求参数 4．（2025八年级下·全国·专题练习）函数是一次函数，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．k为一切实数 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1．根据一次函数定义可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选C． 5．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）若函数是一次函数，则应满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义列出计算解答即可． 【详解】解：由题意得，， ∴且， 故选：C． 6．（23-24八年级下·河北邢台·期末）已知函数是关于的一次函数，则的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，利用平方根解方程等知识．熟练掌握一次函数的定义，利用平方根解方程是解题的关键． 由题意可得，，，计算求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴，， 解得，，， ∴， 故选：A． 题型三：求一次函数的自变量或函数值 7．（24-25八年级上·浙江金华·期末）下列各点中，在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，会判断一个点是否在一条直线上的方法． 根据直线，即可判断各个选项中的点是否在直线上． 【详解】∵直线， ∴当时，，即点在直线上，故选项A正确，符合题意，选项错误，不符合题意； 当时，，即点不在直线上，故选项B错误，不符合题意； 当时，，即点不在直线上，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 8．（24-25八年级上·全国·课后作业）点，，中，在函数的图象上的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了点与一次函数图象的关系，点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式；据此把各点的坐标代入解析式两边即可判断． 【详解】解：当时，，则点P在函数图象上； 当时，，则点Q不在函数图象上； 当时，，则点R不在函数图象上； 当时，，则点S在函数图象上； 综上，在函数的图象上的点有2个； 故选：B． 9．（23-24八年级下·福建泉州·期末）下列各点中，不在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将各个选项的坐标代入函数解析式，计算即可得出答案． 【详解】解：A、当时，，故在直线上，不符合题意； B、当时，，故在直线上，不符合题意； C、当时，，故不在直线上，符合题意； D、当时，，故在直线上，不符合题意； 故选：C． 题型四：一次函数图像中象限问题 10．（2025八年级下·全国·专题练习）已知一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与系数，明确一次函数图象与系数之间的关系是解题关键．根据一次函数的图象和性质求解． 【详解】解：由图象得一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：D． 11．（2025八年级下·全国·专题练习）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据一次函数图象在坐标平面内的位置关系先确定m，k的取值范围，再根据k，m的取值范围确定一次函数图象在坐标平面内的位置关系，从而求解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∴一次函数图象经过一、二、三象限． 故选：A． 12．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是解题常用的方法．根据正比例函数图象所在的象限判定的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 【详解】解： 当时，正比例函数的图象经过一三象限，一次函数的图象应该经过第一、二、四象限，故选项B不符合题意； 当时，正比例函数的图象经过二四象限，一次函数的图象应该经过第一、三、四象限，故选项A不符合题意，选项C符合题意； 正比例函数与一次函数的自变量系数互为相反数，则两直线不平行，故D不符合题意； 故选：C． 题型五：已知一次函数图像象限求参数问题 13．（24-25八年级下·上海·阶段练习）要使函数的图象经过x、y轴的正半轴，则m与n的取值范围应为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、解一元一次不等式，函数的图象经过x、y轴的正半轴，则应有，求解不等式即可． 【详解】解：∵函数的图象经过x、y轴的正半轴， ∴一次函数过一、二、四象限， ∴， 解得：，． 故选：D． 14．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）直线不经过第三象限，则k、b应满足（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当时，函数图象经过一、二、四象限；当时，函数图象经过第二，四象限是解答此题的关键．直接根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：直线不经过第三象限， 的图象经过第一、二、四象限或第二，四象限， 直线必经过二、四象限， ， 当图象过一、二四象限，直线与y轴正半轴相交时：， 当图象过原点时：， ， 故选：D． 15．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）已知一次函数的图象如图所示，那么、的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法．根据一次函数的图象所经过的象限来判断，的符号，从而求得，的取值范围． 【详解】根据图示知：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即，且； 故选：A． 题型六：一次函数的性质问题 16．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知一次函数，则下列判断错误的是（　　） A．直线在轴上的截距为 B．直线不经过第二象限 C．直线在轴上方的点的横坐标的取值范围是 D．该一次函数的函数值随自变量的值增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象经过的象限、一次函数的性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数解析式中k、b的值可判断选项A、B、D；令，求得，则可判断选项C． 【详解】解：A、当时，，直线在轴上的截距为，故原说法正确， B、直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故原说法正确， C、直线在轴上方的点，即，则横坐标的取值范围是，故原说法错误， D、，该一次函数的函数值随自变量的值增大而增大，故原说法正确， 故选：C． 17．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）下列关于直线的结论中，正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象经过第一、二、三象限 C．当时， D．y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，掌握函数图象上的点的坐标特征，一次函数的增减性，一次函数中比例系数和常数项的几何意义，是解题的关键． 根据一次函数的图象和性质，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】解：， ∴ 的图象不经过点 ，故 A 错误， ∵一次函数 的图象过一，二，四象限， ∴故B错误， ， ∴ 随 的增大而减小，故 D 错误， 当时，， ∴当时， ，故C正确， 故选：C． 18．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知一次函数，那么下列结论正确的是（    ） A．图像经过第一、二、四象限 B．随的增大而增大 C．当时， D．点在函数图像上 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握这些知识是解题的关键；根据一次函数的图象与性质可判断四个选项． 【详解】解：∵一次函数中，, ∴图像经过第一、二、四象限，随的增大而减小； 故选项A正确，选项B错误； 当时，，故选项D错误； 当时，，则当时，，故选项C错误； 故选：A． 题型七：一次函数图像与坐标交点问题 19．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）一次函数的图象向上平移1个单位长度后，与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查函数的平移以及与坐标轴的交点，熟练掌握“上加下减”是解题的关键．根据“上加下减”得到平移后的函数值为：，即可求出与轴的交点坐标． 【详解】解：一次函数的图象向上平移1个单位长度后得到， 当时，， 故与轴的交点坐标为． 故选A． 20．（24-25八年级上·重庆·期末）直线与坐标轴围成的三角形的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积，熟练掌握求一次函数图象与坐标交点坐标是解题的关键．先求出直线与坐标轴的交点坐标，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：在一次函数中，令，则， 直线与轴交点坐标为， 令，则，解得， 直线与坐标轴围成的三角形的面积． 故选：A 21．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线交坐标轴于点A，B，将向x轴负半轴平移4个单位长度得，则图中阴影部分面积为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数与几何变换的综合．根据一次函数图象分别求出，，的长，根据平移可算出的长，根据点在一次函数图象上可算出点F的坐标，即求出的长，再根据，可得，求出梯形的面积即可． 【详解】解：直线交坐标轴于点A，B， 令，；令，； ，，即，， 向x轴负半轴平移4个单位长度得， ，，， 设、交于点F， 点F在直线的图象上，且点F的横坐标与点D的横坐标相同， 当时，， ，即， ， ， ，即图中阴影部分面积为18， 故选：C． 题型八：一次函数图像平移问题 22．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知直线l经过和，把直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的平移，先求出直线l的解析式，再根据一次函数平移规律即可解答． 【详解】解：设直线l的解析式为， ∵直线l经过和，则， 解得：， ∴直线l的解析式为， 把直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线， 则直线的解析式为， 故答案为：． 23．（2025八年级下·全国·专题练习）关于x的一次函数的图象是由直线左移2个单位再向上移3个单位得到的，则的值是 ． 【答案】10 【分析】 本题考查的是一次函数的图象与几何变换．根据一次函数图象平移的规律“上加下减”即可得出平移后的解析式，从而求得k、b的值． 【详解】 解：∵一次函数的左移2个单位，再向上移3个单位后所得图象的解析式是：，即， ∴，， ∴． 故答案为：10． 24．（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移3个单位长度后得到一个正比例函数的图象．若点在一次函数的图象上，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的图象及正比例函数的图象，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据“上加下减”的平移法则求出b的值，再将点代入计算即可． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移3个单位长度后得到， ∵是一个正比例函数， ∴, ∴， ∴一次函数的解析式为 又∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得 故答案为： 题型九：一次函数解析式（待定系数法） 25．（24-25八年级下·北京顺义）已知一次函数的图象过点，和. (1)求此函数的解析式； (2)求此函数与轴，轴的交点坐标； (3)求此一次函数与坐标轴所围成的面积. 【答案】(1) (2)此函数与轴，轴的交点坐标分别为，； (3)4 【分析】（1）求此一次函数表达式，先设一次函数表达式，再根据交点坐标带入计算即可得到函数解析式； （2）求此一次函数与x轴、y轴的交点坐标，需分别假设时，和时相对应的点坐标，通过计算就可以得出一次函数与x轴、y轴的交点坐标； （3）求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积，利用函数与x轴，y轴的交点坐标结合三角形面积公式即可得到结果． 本题考查求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：设函数解析式为， 把点和点代入， 得， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：∵ 当时，， 则此函数与轴的交点坐标为； 当时，， 解得 则此函数与轴的交点坐标为； （3）解：∵此函数与轴，轴的交点坐标分别为，； ∴此一次函数与坐标轴所围成的面积． ． 26．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知一次函数的图象过，两点． (1)求一次函数表达式； (2)求该函数图象与坐标轴交点的坐标． 【答案】(1) (2)与轴交点为，与轴交点为 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设一次函数的解析式为，把把，代入计算，即可作答． （2）根据一次函数与坐标轴交点，则分别把，代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 把，代入， 得，解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：依题意，把代入， 解得， ∴与轴交点为． 把代入，得， 解得， ∴与轴交点为． 27．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，一条直线经过，，三点． (1)求直线的解析式； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法可求出这条直线的解析式， （2）把代入（1）的解析式，求出a的值即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴这条直线的解析式为：， （2）把代入得：， ∴． 题型十：一次函数比较大小问题 28．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的增减性和实数的大小比较，熟知：时，y随x增大而增大；时，y随x增大而减小是解题的关键．根据，可得y随x增大而减小，即可解答． 【详解】解：∵直线中，， ∴y随x增大而减小， ∵点，，都在直线上，且， ∴， 故选：A． 29．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 在中，当时随的而增大，当时，随的增大而减小，利用一次函数的增减性判断即可． 【详解】解：在一次函数中， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 30．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）若点，，在一次函数（为常数，且）的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，先利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数的性质解答即可求解，利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为， ∵， ∴随的增大而减小， ∵、在一次函数图象上，且， ∴， 故选：． 题型十一：一次函数规律探索问题 31．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图．在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，通过运算发现纵坐标的规律是解题的关键．设点，，，…，坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，过作轴于，…， 如图， ∵在直线上， ∴， ∴； 设，，，，…， ， 则有， ，，…， 又∵，，，…，都是等腰直角三角形，轴，轴，轴，…， ∴，，，…， ∴，，…， ， 将点的坐标依次代入直线解析式得到： ， ， ， …，， 又∵ ， ∴， ， ，…，； 故选：A． 32．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，已知直线：，直线：和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标．点在直线上，得到，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，求得的横坐标为，于是得到结论． 【详解】解：点，在直线上， ， 轴， 的纵坐标的纵坐标， 在直线上， ， ， ，即的横坐标为， 同理，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为， ∴的横坐标为， 的横坐标为， 故选：B． 33．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，已知直线a：y＝x，直线b：和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2024的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及点坐标规律探索，首先根据点的变化规律分别求出点、、、的坐标，根据它们的横坐标变化规律，得到点的横坐标，再根据点在直线上求出纵坐标． 【详解】点的坐标为，点在直线上， 点的坐标是， 轴， 点的纵坐标是， 又点在上， 解方程， 解得：， 点的坐标是， 轴， 点的横坐标是， 又点在直线上， 点的坐标是， 轴， 点的纵坐标是， 又点在直线上， 可得方程， 解得：， 点的坐标是， 根据规律可得：的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， ， 的横坐标为， ， 的横坐标为， 又点在上， 可得：， 点的坐标为 故答案选： A． 题型十二：一次函数的压轴类型 34．（2025八年级下·全国）直线分别与x，y轴交于A，B两点、过点B的直线交x 轴正半轴于点C，且．    (1)直接写出点A、B、C 的坐标； (2)在线段上存在点P， 使点P到B，C的距离相等，求出点P的坐标． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标，勾股定理，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）把代入求出x的值，即可得出点A的坐标； 把代入求出y的值，即可求出B的坐标；根据，求出，即可求出点C的坐标； （2）连接，设，则，在中，根据勾股定理可得：，据此列出方程求出x的值，进而得出，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵点P到B，C的距离相等， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 35．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，点，分别是一次函数与轴，轴的交点，为线段的中点，点是直线：上一点，连接，，且轴． (1)求，两点的坐标； (2)若，求的值； (3)连接，是否存在值，使得，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】本题考查一次函数与几何的综合，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，一次函数的图象和性质，正方形的判定和性质，进行解答，即可． （1）根据一次函数的图象和性质，即可求出，的坐标； （2）根据一次函数的图象和性质，得，，求出，根据，，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，求出点，根据点是直线：上一点，即可； （3）过作于，根据正方形的判定和性质，则四边形是正方形，得到，设，，延长到，使，根据全等三角形的判定和性质，则，推出，根据， 得到，再根据全等三角形的判定和性质，可得 ，推出，根据勾股定理，求出，根据点是直线：上一点，即可． 【详解】（1）解：∵点，分别是一次函数与轴，轴的交点， 当，；当时，； ∴，． （2）解：设直线和的交点为点 ∵， ∴， ∵为线段的中点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点， ∵点是直线：上一点， ∴， ∴． （3）答：存在，理由如下： 如图，过作于， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， 设，， 延长到，使， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点， ∵点是直线：上一点， ∴， 解得：． 36．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象与轴、轴分别交于，两点，直线的图象与轴交于，直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且的面积为，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得：，直接写出点坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）当时，，得到点，再由待定系数法即可求解； （2）当点在点右侧时，由，列出方程求解，得到点；当点在轴右侧时，同理求解即可； （3）先求出点的坐标，再在轴上找点，使得，过点作轴，再进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，即点， 将点的坐标代入函数得：，则， 则直线的表达式为：； （2）解：∵直线， 将代入得：， ∴点， 设直线交轴于点， 又∵直线， 将代入得：， ∴点， ∴， ①当点在点右侧时，如图     ， ， 解得：， ∴， ∴点； ②当点在点左侧时，如图， ，点在轴的左边，   ， ， 解得：， ∴点， 综上所述，点的坐标为：或； （3）解：存在，理由： 直线的表达式为：，令，则， 解得：， 点， 如图，在轴上找点，使得，过点作轴，   ， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点， 作点关于的对称点，则点也符合要求， ∵点，， ∴点， 综上，或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，坐标与图形，一次函数的图像及性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、面积的计算，数形结合和分类求解是解题的关键． 【双基达标】 一、单选题 1．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）将直线向上平移4个单位长度，得到的新直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据上加下减的原则平移求解即可． 本题考查了一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：直线向上平移4个单位长度，得到的新直线的解析式为． 故选：D． 2．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）已知正比例函数（为常数，），若的值随着值的增大而减小，则一次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数，当时，图象过一、二、三象限；当时，图象过一、三、四象限；时，图象过一、二、四象限；时，图象过二、三、四象限是解决此题的关键，由于正比例函数函数值随的增大而减小，可得，然后，判断一次函数的图象经过象限即可． 【详解】解：正比例函数（为常数，）中的的值随着值的增大而减小， ， 一次函数的图象经过二、三、四象限； 故选：． 3．（2025·山西朔州·一模）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，如下为记录几次数据之后所列表格： 1 2 3 8 19 则y与x之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的应用，设，用待定系数法求解析式即可解题． 【详解】解：秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系， 设与的函数关系式为：， 根据表格数据可得：， 解得， 与的函数关系式为：， 故选：A． 4．（24-25八年级下·陕西榆林·开学考试）已知一次函数，则下列说法中正确的是（　　） A．y的值随x的值的增大而增大 B．该函数的图象不经过第四象限 C．该函数的图象经过点 D．将一次函数的图象向左平移4个单位长度得到函数的图象 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数的性质是解答的关键．根据一次函数的图象与性质以及函数图象的平移规则逐项判断即可． 【详解】解：A、一次函数，y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意； B、函数，，，函数图象经过第一、二、四象限，原说法错误，不符合题意； C、当时，，故该函数的图象经过点，原说法正确，符合题意； D、将一次函数的图象向左平移4个单位长度得到函数，即的图象，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）已知一次函数，其中，当时，函数有最大值为2，则m的值为(   ) A．4 B． C．或4 D．4或2 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，理解一次函数的性质是解决本题的关键． 分两种情况：当时，把代入即可解得；当时，把代入即可解得． 【详解】解：当，即时，一次函数中，y随x的增大而增大， ∴时，y有最大值2， 把代入得：， 解得：； 当，即时，中，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值2， 把代入得：， 解得：， 综上所述，m的值为或4． 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级下·上海·阶段练习）要使一次函数的图象经平移后过点，需向上平移 个单位． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握一次函数的平移规律是解题的关键．由直线向上平移个单位，其图象经过点，把代入平移后的解析式：即可得到答案． 【详解】解：设直线向上平移个单位，其图象经过点， 点在的图象上， ， ， 故答案为： 7．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知是直线上的两点，则 （填：、或） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．根据一次函数的增减性求解即可得． 【详解】解：∵一次函数中的， ∴随的增大而减小， 又∵是直线上的两点，且， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知一次函数，它的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象以及函数图象与坐标轴的交点坐标，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 已知一次函数的表达式为，求出函数图象与坐标轴的交点坐标分别为，，由此可知图象与坐标轴围成直角三角形，根据三角形面积公式可写为，计算求出即可． 【详解】解：令，则，令，则， 一次函数的图象与轴，轴的交点分别为，， 一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为， ，即， 解得：， 故答案为：或． 9（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）某快递公司每天上午9：00～10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件．该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：00开始，经过 分钟时，两仓库快递件数相同． 【答案】20 【分析】本题考查了一次函数的应用，分别求出甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可． 【详解】解：设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：， 根据题意得， 解得， ∴； 设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：， 根据题意得， 解得， ∴， 联立， 解得， ∴经过20分钟时，当两仓库快递件数相同． 故答案为：20． 10．（24-25八年级下·山东枣庄）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…都在轴上，点，，，…都在同一条直线上，，，，，，…都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，一次函数，勾股定理等知识，解题的关键用列举法找到规律后再解答．先求出直线解析式，再根据题意分别求出，，，…的纵坐标，再代入函数表达式中，求出横坐标，即可得到答案． 【详解】解：∵，，，，…都是等腰直角三角形，且， ∴， 设直线过点，的函数表达式为． 则，解得：， 函数表达式为． ∵的纵坐标为1， 的纵坐标为， 的纵坐标为， …， 的纵坐标为， 把的纵坐标为代入中， 解得， 点的坐标是． 故答案为：. 三、解答题 11．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 【答案】(1)①；②P的最大值为5； (2)一次函数解析式为或． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）①把已知点的坐标代入中即可得到k的值； ②用x表示P得到，根据一次函数的性质，时，P的值最大，然后计算自变量为5所对应的函数值即可； （2）当时，，，则，当时，，，则，然后分别解方程求出k，从而得到对应的一次函数解析式． 【详解】（1）解：①把代入得， 解得； ②当时，， ∴， ∵y随x的增大而增大， ∴当时，时，P的值最大， 当时，， 即P的最大值为5； （2）解：当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 综上所述，一次函数解析式为或． 12．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且与x轴交于点A． (1)求的函数表达式； (2)将向下平移个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点A关于y轴的对称点，求n的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数的图象与性质、坐标与图形变化——轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入点到，利用待定系数法即可求解； （2）先求出点A的坐标，得出点A关于y轴的对称点的坐标，再根据一次函数的平移，设出的函数表达式，再代入对称点的坐标即可求出n的值． 【详解】（1）解：代入点，得， 解得：， 的函数表达式为． （2）解：令，则， 解得：， ， 点A关于y轴的对称点为， 将向下平移个单位长度得到直线， 设的函数表达式为， 代入得，， 解得：， n的值为2． 13．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点，点在直线l上． (1)求m，n的值； (2)已知M是x轴上的动点，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、直角三角形的性质以及勾股定理，分及两种情况，求出点M的坐标是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线l的解析式及点A，P的坐标，分及两种情况考虑：①当时，轴，结合点P的坐标可得出点M的坐标；②当时，设点M的坐标为，利用勾股定理，可求出a的值，进而可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于点， ∴， 解得：， ∴直线l的解析式为． 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为； 当时，， 解得：， ∴点P的坐标为， 即，； （2）分两种情况考虑： ①当时，轴， ∴点M的坐标为； ②当时，设点M的坐标为， ∴，，， ∵， ∴， 解得：， ∴点M的坐标为． 综上所述，点M的坐标为或． 14．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，直线与坐标轴分别交于、两点，．点在直线上．动点从点出发，沿路线以每秒1个单位长度的速度运动，到达点时运动停止．设点的运动时间为秒． (1)求点的坐标； (2)用含的代数式表示的长度； (3)当时，求的面积； (4)当的面积为6时，直接写出的值． 【答案】(1)点的坐标为； (2)； (3)； (4)当的面积为6时，的值为4或11． 【分析】本题主要考查对于一次函数的应用． （1）利用待定系数法求得直线的解析式，再将代入求解即可； （2）分两种情况，写出的长度即可； （3）先求得的长度，利用三角形的面积公式求解即可； （4）分两种情况，利用三角形的面积公式列式，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； （2）解：当点在上即时，， ∴， 当点在上即时，； 综上，； （3）解：当时，， ∵点的坐标为， ∴； （4）解：当时，由题意得， 解得； 当时，由题意得， 解得； ∴当的面积为6时，的值为4或11． 15．（2025八年级下·全国·专题练习）直线分别与轴交于两点，点A的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)在轴上方存在点，便以点为顶点的三角形与全等，画出并求出点的坐标； (3)若在线段上存在点，使点到点的距离相等，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)图见解析，点的坐标为或 (3)点P的坐标． 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出b值，进而得到点B坐标及的长度，从而可求出，得出点C坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）分和两种情况，分别求解即可； （3）设，则．由勾股定理得：，即，求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得． ． ， ， ， 点在轴正半轴上， 设直线的解析式为． 把及代入，得， 解得 直线的解析式为：； （2）解：分和两种情况：如图 当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵在第二象限内， ∴； 当时， ∴，， ∴即轴， 又∵，在第二象限内， ∴； 综上，点的坐标为或； （3）解：依照题意画出图形，如图所示． ∵， ∴设，则． 在中，， ∴，即， 解得：x， ∴点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$