信息必刷卷05（辽宁专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（辽宁专用） 考情速递 中考·新动向：减少机械计算，增加探究性、开放性题目，考察对基础知识的灵活运用及迁移能力，题目更侧重生活中数学知识的应用，试卷总字数增加，注重阅读能力与推理能力。 中考·新考法：对几何、函数等传统考点，通过逆向思维、多条件组合等方式创新设问。几何证明难度有可能提升。 中考·新情境：题目紧跟当下热点时事，结合科技、经济等领域的实际问题，考察从中抽象出相关数学模型的能力，注重跨学科融合，与古代知识文化相融合。 命题·大预测：2025年辽宁中考数学将更侧重于考察基础核心能力、实际应用能力、思维发散与整合能力、创新综合能力。备考应关注基础性训练，几何题步骤书写。再强化实际问题应用（如20题）与思维拓展训练（如23题），并要重点关注跨学科融合问题（如7题）与时事热点问题（如18题），培养多角度分析解决探究题与开放性试题的能力（如22题）。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 由5个相同的小立方体搭成的物体如图所示，则它的俯视图为　　 A． B． C． D． 2. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，0.00003用科学记数法可表示为　　 A． B． C． D． 3. 下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 4. 如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为　　 A． B． C． D．2 5. 环保全称环境保护，是指人类为解决现实的或潜在的环境问题，协调人类与环境的关系，保障经济、社会的持续发展而采取的各种行动的总称．下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 6. 如图所示，矩形的两条对角线相交于点，，，则对角线的长是　　 A． B．4 C．5 D．6 7. 老师让小武同学随意配制两种溶液，实验室现有氯化钠、硝酸钾、硝酸钠、氯化铵这四种溶质，若在配制溶液时需将所有溶质溶解，则小武同学配制的两种溶液恰为氯化钠溶液和硝酸钠溶液的概率是　　 A． B． C． D． 8. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为　　 A． B． C． D． 9. 如图，与△是位似图形，，，则的长为　　 A．1 B．2 C．4 D．8 10. 如图，在矩形中，点、在轴上，轴，对角线、交于点，，，反比例函数经过、两点，则的值为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11. 已知，，则　 　． 12. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度后，再向下平移2个单位长度，得到点，则点的坐标为 　　． 13. 使用科学计算器进行计算，其按键顺序如图所示，输出结果应为 　 　． 14. 如图，已知点是函数图象上的一个动点．若，则的取值范围是　　． 15. 如图，在矩形中，连接，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、两点，作直线，分别与、交于点、，连接、．若，．则四边形的周长为　 　． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. （10分）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. （8分）某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元． （1）篮球和足球的单价各是多少元？ （2）商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多10个，且获利超过1300元，问篮球最少卖出多少个？ （3）商场计划用不超过10350元购进两种球共100个，其中篮球不少于40个，问商场有几种进货方案？哪种方案商场获利最大？ 18. （8分）2025年是中国时代元年，技术已渗透至社会各领域，重塑职业结构、生活方式与个人发展路径．综合实践小组开展了对代表性的两种软件“”、“ ”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（分数用表示，单位：分，满分100分，分为四个等级：，，，，下面给出了部分信息： 抽取的对“”的评分数据中等级的数据：89，89，88，87，86，86，84； 抽取的对“”的评分数据：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68． 抽取的对“”、“ ”的评分统计表 品牌 平均数 中位数 众数 等级所占百分比 88 98 88 87.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 　 　 ， 　　 ， 　　 ； （2）根据以上数据，你认为哪个软件更受用户的喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）此次测验中，有300人对“”进行评分，260人对“”进行评分，估计此次测验中对“”，“ ”两种软件评分为等级的共有多少人？ 19. （8分）某工厂生产某种玩具的成本价为20元件，工厂决定采取电商销售和门店销售两种方式同时销售该玩具．电商销售：售价为30元件；门店销售：第一天售价为50元件，此后售价每天比前一天每件降低0.5元，该方式每天还需支付租金、人工等固定费用455元．已知两种销售方式第天的销售数量（件均满足．（1）直接写出门店销售方式每天的售价（元件）与的函数关系式； （2）该玩具销售过程中，在第几天获得的利润总和（元最大？利润总和最大是多少？ （3）该玩具销售过程中，哪些天门店销售的利润不低于电商销售的利润？ 20. （8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，． （1）如图2，当时，，求投影探头的端点到桌面的距离； （2）如图3，将（1）中的绕点顺时针旋转，当时，投影探头是否会与桌面发生碰撞？请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，， 21. （8分）如图，在等腰中，，点是上一点，以为直径的过点，连接，且，的平分线交于点，交于点，连接．（1）求证：与相切． （2）求证：． （3）已知，求的值． 22. （12分）【阅读材料】我们把一组对边平行，另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形． 【问题解决】已知在等腰梯形中，，，对角线，相交于点． （1）如图1，若，以点为圆心，长为半径作圆，求证：直线是的切线； （2）如图2，若点，分别为线段，的中点，求证：； （3）如图3，若点是的中点，交于点，若，，直接写出的长 　　（用含字母的代数式表示） 23. （13分）在平面直角坐标系中，点，，点，都在同一函数图象上，且，点为坐标平面内的点，若△是以为腰的等腰三角形，则称等腰△为线段的“友好三角形”． （1）如图1，点，在函数的图象上，点的横坐标为4，线段的“友好三角形”为△，且，，轴，求点的坐标； （2）如图2，点，在函数的图象上，点，的纵坐标分别为3，1，线段的“友好三角形”为△，且△的底边平行于轴，求点的坐标； （3）如图3，二次函数的图象与轴交于点，且过点，点，，点，在这个二次函数的图象上． ①求二次函数的解析式； ②若，，该二次函数图象在点，点之间的部分（包括点，的最高点的纵坐标为，直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ③若，线段的“友好三角形”为△，且，与关于直线对称，设与这个二次函数图象的另一个交点为，求点坐标． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷（辽宁专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A B B D B A A C C 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案直接填写在横线上 11． 8 12． 13．3.94 14． 15． 10 三、解答题:本大题有8个小题,共62分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（10分） 【答案】解：（1）原式； （2）原式． 【解析】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 17．（8分） 【答案】（1）足球单价为90元，篮球单价为120元； （2）篮球最少要卖33个； （3）商场共有6种进货方案，购买篮球45个，购买足球55个，商场获利最大． 【解析】（1）设足球单价为元，则篮球单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 则， 答：足球单价为90元，篮球单价为120元； （2）设购买篮球个，则购买足球个， 由题意得：， 解得， 为整数， 的最小整数值为33， 故篮球最少要卖33个； （3）设购买篮球个，则购买足球个， 由题意得：， 解得：， 篮球不少于40个， ， 有6种方案， 设商场获利元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 时，有最大值， （个， 答：商场共有6种进货方案，购买篮球45个，购买足球55个，商场获利最大． 18．（8分） 【答案】解：（1）15，89，97； （2）“”软件更受用户的喜爱， 因为“”评分数据中等级所占百分比比“”高（答案不唯一）． （3）估计此次测验中对“”，“ ”两种软件评分为等级的共有239人． 【解析】解：（1）“”的评分数据中等级数据有7份，， ； “”的评分数据中等级数据份数为：， 等级数据按从大到小顺序排列为：89，89，88，87，86，86，84，第10，11位数据均为89， ； 众数； 故答案为：15，89，97； （2）“”软件更受用户的喜爱， 因为“”评分数据中等级所占百分比比“”高（答案不唯一）． （3）（人， 答：估计此次测验中对“”，“ ”两种软件评分为等级的共有239人． 19．（8分） 【答案】解：（1）； （2）该玩具销售过程中，在第30天或第31天时，获得的利润总和（元最大，利润总和最大为820元； （3）第6、7、8、9、10、11、12、13、14、15天时，门店销售的利润不低于电商销售的利润． 【解析】解：（1）； （2） ． ， 当时，有最大值． 天数为正整数， 该玩具销售过程中，在第30天或第31天时，获得的利润总和（元最大．利润总和最大（元． 答：该玩具销售过程中，在第30天或第31天时，获得的利润总和（元最大，利润总和最大为820元； （3）． ． 设． 当时，． ． ． 解得，． 如图所示：当时，． 答：第6、7、8、9、10、11、12、13、14、15天时，门店销售的利润不低于电商销售的利润． 20．（8分） 【答案】（1）投影探头的端点到桌面的距离约为； （2）投影探头不会与桌面发生碰撞． 【解析】（1）延长交于点， ，， ， 在△中，，， ， ，， 投影探头的端点到桌面的距离， 投影探头的端点到桌面的距离约为； （2）投影探头不会与桌面发生碰撞， 理由：过点作，交的延长线于点， 由题意得：， ， ， 在△中，， ， ， 投影探头的端点到桌面的距离， 投影探头不会与桌面发生碰撞． 21．（8分） 【答案】（1）证明略 （2）证明略 （3）． 【解析】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 与相切． （2）证明：与所对的弧相同， ， 平分， ， ， ， ， （3）解：， ， ，，． ， ， 在中，． 连接， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 22．（12分） 【答案】（1）证明略 （2）证明略 （3）． 【解析】（1）证明：如图，过点作于点， ， ， ， ， ， 是的平分线， 又，， ， 直线是的切线； （2）证明：如图，连接并延长交于点， ， ，， 点为线段的中点， ， ， ，， 点为线段的中点， 是的中位线， ． （3）解：如图，连接，， 设， 在等腰梯形，，，， ，，， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线， ，， ，， 解得， ，， 设，则，， ， ， 即， 整理得， 解得（负值舍去）， ． 故答案为：． 23．（13分） 【答案】解：（1）； （2）或； （3）①； ②； ③． 【解析】解：（1）点在函数的图象上，且横坐标为4， ， ， 如图1过作于， ，， ． 设，则点的坐标为， 点在函数的图象上， ， 即， 解得（舍去），， 检验：当 时，， 是原分式方程的解， 当 时，点的坐标为； （2）点，在函数的图象上，点的纵坐标为3， 当时，， ． 点的纵坐标为1， ， ， ， 如图2， 当，轴时，过作于， 则， ； 当时，轴，过作于，则， ， ； 综上所述，点的坐标为或； （3）①：二次函数的图象与轴交于点， ， 又过点， 将代入中， ， 解得， ； ②，， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时，点是最高点，， 当即时，点是最高点，， 当 即时，顶点是最高点，， ； ③，令， 解得，， ， ，， ，， 又， 如图3，连接，， ，， △△， ， ， ，即， 延长至点，使，连接， 是线段的垂直平分线， ，与关于直线对称， 过作轴于，则，，， △△， ，， ， ． 设的解析式为，代入，， ，解得， ， 令， 解得，， 当时，， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（辽宁专用） 考情速递 中考·新动向：减少机械计算，增加探究性、开放性题目，考察对基础知识的灵活运用及迁移能力，题目更侧重生活中数学知识的应用，试卷总字数增加，注重阅读能力与推理能力。 中考·新考法：对几何、函数等传统考点，通过逆向思维、多条件组合等方式创新设问。几何证明难度有可能提升。 中考·新情境：题目紧跟当下热点时事，结合科技、经济等领域的实际问题，考察从中抽象出相关数学模型的能力，注重跨学科融合，与古代知识文化相融合。 命题·大预测：2025年辽宁中考数学将更侧重于考察基础核心能力、实际应用能力、思维发散与整合能力、创新综合能力。备考应关注基础性训练，几何题步骤书写。再强化实际问题应用（如20题）与思维拓展训练（如23题），并要重点关注跨学科融合问题（如7题）与时事热点问题（如18题），培养多角度分析解决探究题与开放性试题的能力（如22题）。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 由5个相同的小立方体搭成的物体如图所示，则它的俯视图为　　 A． B． C． D． 【分析】根据简单组合体三视图的意义画出俯视图即可． 【解答】解：该组合体的俯视图如下： 故选：． 【点评】本题考查简单组合体的三视图，掌握俯视图的意义，画出从上面看所得到的图形是正确判断的前提． 2. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，0.00003用科学记数法可表示为　　 A． B． C． D． 【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 3. 下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】选项根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 选项根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂相除，底数不变，指数相减． 选项根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘； 选项根据积的乘方运算法则判断即可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【解答】解：．，故本选项不合题意； ．，故本选项符合题意； ．，故本选项不合题意； ．，故本选项不合题意； 故选：． 4. 如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为　　 A． B． C． D．2 【分析】利用勾股定理求出半径，确定的长，根据数轴点的位置确定符号，得出答案． 【解答】解：直角三角形中，斜边， 也就是说圆弧的半径． 因为在原点左侧，所以点对应的实数是． 故选：． 【点评】本题考查了数轴与实数的一一对应关系，解答时，需要用到勾股定理、同圆的半径相等等知识，解题的关键是确定的长． 5. 环保全称环境保护，是指人类为解决现实的或潜在的环境问题，协调人类与环境的关系，保障经济、社会的持续发展而采取的各种行动的总称．下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 【解答】解：．该选项不是中心对称图形，不符合题意； ．该选项不是中心对称图形，不符合题意； ．该选项不是中心对称图形，不符合题意； ．该选项是中心对称图形，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 6. 如图所示，矩形的两条对角线相交于点，，，则对角线的长是　　 A． B．4 C．5 D．6 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得△是等边三角形，即可求解． 【解答】解：四边形是矩形， ，， ， △是等边三角形， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 7. 老师让小武同学随意配制两种溶液，实验室现有氯化钠、硝酸钾、硝酸钠、氯化铵这四种溶质，若在配制溶液时需将所有溶质溶解，则小武同学配制的两种溶液恰为氯化钠溶液和硝酸钠溶液的概率是　　 A． B． C． D． 【分析】运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再找出需要的结果，运用概率公式计算即可． 【解答】解：分别用，，，表示氯化钠、硝酸钾、硝酸钠、氯化铵这四种溶质，列表如下， 配制的溶液共有12种等可能结果，其中是氯化钠溶液和硝酸钠溶液的结果为，，共2种， 配制的两种溶液恰为氯化钠溶液和硝酸钠溶液的概率是， 故选：． 【点评】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来是解题的关键． 8. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为　　 A． B． C． D． 【分析】设竿长尺，绳索长尺，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺可得方程，根据将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得方程，据此可得答案． 【解答】解：由题意得，， 故选：． 【点评】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，列出方程组． 9. 如图，与△是位似图形，，，则的长为　　 A．1 B．2 C．4 D．8 【分析】根据位似图形的对应边互相平行列式计算，得到答案． 【解答】解：与△是位似图形， ， △， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，点、在轴上，轴，对角线、交于点，，，反比例函数经过、两点，则的值为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】设，则，，由矩形的性质得出，然后关键列出等式，即可求出的值． 【解答】解：设，则，， 在矩形中，点、在轴上，轴，对角线、交于点， 点是的中点， ， 四边形是矩形，反反比例函数经过、两点， ， 解得， ， 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，正确表示出点的坐标是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11. 已知，，则　 　． 【分析】已知第一个等式左边提取公因式，把第二个等式代入计算即可求出所求． 【解答】解：，， ， 则． 故答案为：8． 【点评】此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度后，再向下平移2个单位长度，得到点，则点的坐标为 　　． 【分析】根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减，计算即可得解． 【解答】解：点向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度， ，， 点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查了坐标与图形的变化平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 13. 使用科学计算器进行计算，其按键顺序如图所示，输出结果应为 　 　． 【分析】根据如图所示的按键顺序，列出算式，再计算可得． 【解答】解：根据如图所示的按键顺序，输出结果应为， 故答案为：3.94． 【点评】本题主要考查计算器基础知识，解题的关键是掌握分数的按键和平方的按键，并依据其功能列出算式． 14. 如图，已知点是函数图象上的一个动点．若，则的取值范围是　　． 【分析】求得抛物线与轴的交点坐标，根据题意得出，由图象可知． 【解答】解：函数中，令，则， 解得或2， 抛物线与轴的交点为，， 点是函数图象上的一个动点．， ， ， 当时，有最大值， 的取值范围是， 故答案为． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，连接，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、两点，作直线，分别与、交于点、，连接、．若，．则四边形的周长为　 　． 【分析】利用作图过程可得为的垂直平分线，利用垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质证明四边形为菱形，利用勾股定理求得，则结论可得． 【解答】解：由题意知：为的垂直平分线， ，． 在矩形中，设与交于点，如图， 则．， ，， 在△和△中， ， △△， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， 四边形的周长． 设，则， ，， ， 在△中，由勾股定理得： ， ， 解得：， 四边形的周长． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，作图基本作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定与性质，判定四边形为菱形是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. （10分）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【分析】（1）先化简，然后计算加减法即可； （2）先将括号内的式子通分，然后计算括号外的除法，再将的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 【点评】本题考查分式的化简求值、实数的运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键． 17. （8分）某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元． （1）篮球和足球的单价各是多少元？ （2）商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多10个，且获利超过1300元，问篮球最少卖出多少个？ （3）商场计划用不超过10350元购进两种球共100个，其中篮球不少于40个，问商场有几种进货方案？哪种方案商场获利最大？ 【分析】（1）利用分式方程即可求出篮球和足球的单价； （2）设购买篮球个，则购买足球个，根据题意列不等式即可； （3）设购买篮球个，则购买足球个，根据题意求出的取值范围，再根据（1）的结论列不等式即可得出购买方案，设商场获利元，列出关于的函数关系式，利用一次函数的性质即可解答． 【解答】解：（1）设足球单价为元，则篮球单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 则， 答：足球单价为90元，篮球单价为120元； （2）设购买篮球个，则购买足球个， 由题意得：， 解得， 为整数， 的最小整数值为33， 故篮球最少要卖33个； （3）设购买篮球个，则购买足球个， 由题意得：， 解得：， 篮球不少于40个， ， 有6种方案， 设商场获利元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 时，有最大值， （个， 答：商场共有6种进货方案，购买篮球45个，购买足球55个，商场获利最大． 【点评】本题考查了分式方程的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出一元一次不等式． 18. （8分）2025年是中国时代元年，技术已渗透至社会各领域，重塑职业结构、生活方式与个人发展路径．综合实践小组开展了对代表性的两种软件“”、“ ”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（分数用表示，单位：分，满分100分，分为四个等级：，，，，下面给出了部分信息： 抽取的对“”的评分数据中等级的数据：89，89，88，87，86，86，84； 抽取的对“”的评分数据：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68． 抽取的对“”、“ ”的评分统计表 品牌 平均数 中位数 众数 等级所占百分比 88 98 88 87.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 　 　 ， 　　 ， 　　 ； （2）根据以上数据，你认为哪个软件更受用户的喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）此次测验中，有300人对“”进行评分，260人对“”进行评分，估计此次测验中对“”，“ ”两种软件评分为等级的共有多少人？ 【分析】（1）用1减去，，所占百分数，即可得到；根据中位数定义可求；根据众数的定义可求； （2）比较等级所占百分比或中位数即可； （3）用总人数乘以等级所占百分比，然后相加即可． 【解答】解：（1）“”的评分数据中等级数据有7份，， ； “”的评分数据中等级数据份数为：， 等级数据按从大到小顺序排列为：89，89，88，87，86，86，84，第10，11位数据均为89， ； 众数； 故答案为：15，89，97； （2）“”软件更受用户的喜爱， 因为“”评分数据中等级所占百分比比“”高（答案不唯一）． （3）（人， 答：估计此次测验中对“”，“ ”两种软件评分为等级的共有239人． 【点评】本题考查调查与统计，利用样本估计总体，掌握中位数、众数的定义是解题的关键． 19. （8分）某工厂生产某种玩具的成本价为20元件，工厂决定采取电商销售和门店销售两种方式同时销售该玩具．电商销售：售价为30元件；门店销售：第一天售价为50元件，此后售价每天比前一天每件降低0.5元，该方式每天还需支付租金、人工等固定费用455元．已知两种销售方式第天的销售数量（件均满足．（1）直接写出门店销售方式每天的售价（元件）与的函数关系式； （2）该玩具销售过程中，在第几天获得的利润总和（元最大？利润总和最大是多少？ （3）该玩具销售过程中，哪些天门店销售的利润不低于电商销售的利润？ 【分析】（1）门店销售方式每天的售价第一天的售价，把相关数值代入化简即可； （2）利润总和电商销售的利润门店销售的利润电商销售每个玩具的利润销售数量门店销售每个玩具的利润销售数量固定费用，进而根据二次函数的二次项的比例系数，判断出符合实际情况的天数及最大利润总和； （3）根据门店销售的利润不低于电商销售的利润列出不等式，根据二次函数与不等式的关系判断出相应的天数即可． 【解答】解：（1）； （2） ． ， 当时，有最大值． 天数为正整数， 该玩具销售过程中，在第30天或第31天时，获得的利润总和（元最大．利润总和最大（元． 答：该玩具销售过程中，在第30天或第31天时，获得的利润总和（元最大，利润总和最大为820元； （3）． ． 设． 当时，． ． ． 解得，． 如图所示：当时，． 答：第6、7、8、9、10、11、12、13、14、15天时，门店销售的利润不低于电商销售的利润． 【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：二次函数的比例系数小于0，当时，二次函数有最大值．函数值不小于0，看函数图象与轴的交点及轴上方的函数图象所对应的自变量的取值即可． 20. （8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，． （1）如图2，当时，，求投影探头的端点到桌面的距离； （2）如图3，将（1）中的绕点顺时针旋转，当时，投影探头是否会与桌面发生碰撞？请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，， 【分析】（1）延长交于点，根据已知易得：，然后在△中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，根据题意可得：，从而可得，然后在△中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系求出投影探头的端点到桌面的距离，即可解答． 【解答】解：（1）延长交于点， ，， ， 在△中，，， ， ，， 投影探头的端点到桌面的距离， 投影探头的端点到桌面的距离约为； （2）投影探头不会与桌面发生碰撞， 理由：过点作，交的延长线于点， 由题意得：， ， ， 在△中，， ， ， 投影探头的端点到桌面的距离， 投影探头不会与桌面发生碰撞． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21. （8分）如图，在等腰中，，点是上一点，以为直径的过点，连接，且，的平分线交于点，交于点，连接．（1）求证：与相切． （2）求证：． （3）已知，求的值． 【分析】（1）连接，根据等边对等角，垂径定理及切线的判定定理即可得证； （2）根据圆周角定理，角平分线的性质及相似三角形判定即可得证； （3）利用圆周角定理及勾股定理得到，利用相似三角形的性质得到比例式，即可解答． 【解答】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 与相切． （2）证明：与所对的弧相同， ， 平分， ， ， ， ， （3）解：， ， ，，． ， ， 在中，． 连接， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 【点评】本题考查圆的综合应用，主要考查垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质，掌握这些性质定理是解题的关键． 22. （12分）【阅读材料】我们把一组对边平行，另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形． 【问题解决】已知在等腰梯形中，，，对角线，相交于点． （1）如图1，若，以点为圆心，长为半径作圆，求证：直线是的切线； （2）如图2，若点，分别为线段，的中点，求证：； （3）如图3，若点是的中点，交于点，若，，直接写出的长 　　（用含字母的代数式表示） 【分析】（1）过点作于点，证明是的平分线，利用角平分线的性质证得，据此可证明直线是的切线； （2）连接并延长交于点，证明，推出，，得到是的中位线，利用三角形中位线定理即可证明． （3）利用等腰梯形的性质结合，，求得，，设，则，，证明，利用相似三角形的性质构造一元二次方程，解方程即可求解． 【解答】（1）证明：如图，过点作于点， ， ， ， ， ， 是的平分线， 又，， ， 直线是的切线； （2）证明：如图，连接并延长交于点， ， ，， 点为线段的中点， ， ， ，， 点为线段的中点， 是的中位线， ． （3）解：如图，连接，， 设， 在等腰梯形，，，， ，，， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线， ，， ，， 解得， ，， 设，则，， ， ， 即， 整理得， 解得（负值舍去）， ． 故答案为：． 【点评】本题考查圆的综合应用，主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，三角形中位线定理，线段垂直平分线的判定和性质，第3问求得，是解题的关键． 23. （13分）在平面直角坐标系中，点，，点，都在同一函数图象上，且，点为坐标平面内的点，若△是以为腰的等腰三角形，则称等腰△为线段的“友好三角形”． （1）如图1，点，在函数的图象上，点的横坐标为4，线段的“友好三角形”为△，且，，轴，求点的坐标； （2）如图2，点，在函数的图象上，点，的纵坐标分别为3，1，线段的“友好三角形”为△，且△的底边平行于轴，求点的坐标； （3）如图3，二次函数的图象与轴交于点，且过点，点，，点，在这个二次函数的图象上． ①求二次函数的解析式； ②若，，该二次函数图象在点，点之间的部分（包括点，的最高点的纵坐标为，直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ③若，线段的“友好三角形”为△，且，与关于直线对称，设与这个二次函数图象的另一个交点为，求点坐标． 【分析】（1）先利用反比例函数解析式求出点坐标，过作于，根据等腰直的性质可得，设参，表示出点的坐标，代入反比例函数解析式求解即可； （2）由线段的“友好三角形”为△，且△的底边平行于轴，画出图形，根据等腰三角形的性质，结合点的坐标即可得解； （3）①利用待定系数法求解即可；②分在对称轴左侧，右侧，之间讨论即可得解；③画出符合要求的图象如图所示，连，作交轴于点，先求出点的坐标，再求得直线的解析式，与二次函数解析式组成方程组，求解即可得到点的坐标． 【解答】解：（1）点在函数的图象上，且横坐标为4， ， ， 如图1过作于， ，， ． 设，则点的坐标为， 点在函数的图象上， ， 即， 解得（舍去），， 检验：当 时，， 是原分式方程的解， 当 时，点的坐标为； （2）点，在函数的图象上，点的纵坐标为3， 当时，， ． 点的纵坐标为1， ， ， ， 如图2， 当，轴时，过作于， 则， ； 当时，轴，过作于，则， ， ； 综上所述，点的坐标为或； （3）①：二次函数的图象与轴交于点， ， 又过点， 将代入中， ， 解得， ； ②，， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时，点是最高点，， 当即时，点是最高点，， 当 即时，顶点是最高点，， ； ③，令， 解得，， ， ，， ，， 又， 如图3，连接，， ，， △△， ， ， ，即， 延长至点，使，连接， 是线段的垂直平分线， ，与关于直线对称， 过作轴于，则，，， △△， ，， ， ． 设的解析式为，代入，， ，解得， ， 令， 解得，， 当时，， ． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，求一次函数解析式，轴对称的性质，反比例函数图象等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 1 / 3 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