精品解析：重庆市第一中学校2024-2025学年七年级下学期阶段性消化作业（一）数学试题

重庆一中2024-2025初2027届七下阶段性消化作业（一） 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 3．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的．请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. －2的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，工人师傅在砌门时，常用木条固定长方形门框，这里所运用的几何原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 三角形具有稳定性 D. 垂线段最短 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. “三条线段组成一个三角形”是必然事件 B. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离 C. 过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 D. “一副扑克牌中，随意抽出一张牌黑桃3”是随机事件 5. 如图所示，，，当（ ）时，． A. B. C. D. 6. 如果代数式的展开式不含的一次项，那么的值为（ ） A. B. C. 4 D. 7. 如图，在和中，已知，下列添加的条件中不能证明的是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9 如图，已知，，，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，点在上，点、在上，已知，，连接、交于点，且为中点，连接，若，则为（ ） A 3 B. 4 C. 6 D. 8 11. 如图，点、、在同一直线上，在等腰中有，在等腰中有，连接和，且交于点，交于点，连接，延长至点使得，连接，交于点，交于点，且有，以下的结论中：①；②；③；④平分．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 对于以下整式：，，，，下列说法正确的有（ ） ①当时，若，则的值为1或3； ②如果为第1项，为第2项，为第3项，第1项与第2项的和减去第3项的结果为第4项，第2项与第3项的和减去第4项的结果为第5项，…，依此类推，则第25项为； ⑧记②中的前两项的和为，前三项的和为，前四项的和为，…，则前项的和为，若有，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 13. 中芯国际于2025年官宣飞腾成功完成5纳米工艺验证．即米，用科学记数法表示为______米． 14. 在“”中，任选一个字母，则这个字母为“”的概率为______． 15. 一个等腰三角形的周长是25，已知一边是6，则其他两边分别为______． 16. 已知多项式是一个完全平方式，求的值______． 17. 如图，已知中，，，，为边上一点，，为上一点，过点作于点，于点，求的值______． 18. 已知为整数，关于的方程的解为非负整数．求满足条件的值的和______． 19. 如图，已知长方形纸片、分别是、上一点，将纸片沿折叠，使得点落在上点处，然后将纸片沿折叠，使得点与重合，点落在处，交于点．若，求______． 20. 对于一个四位正整数，若它的十位数字与个位数字的和等于千位数字与百位数字的和，则称这个四位数为“段和数”．现将的末尾数字放在首位，得到一个新的数字记为，再将的末尾数字放在首位得到，以此类推得到．记，则______．已知、均为“段和数”，其中，（，，，，，且，，，，为整数），若，则当取最大值时，的值为______． 三、解答题：（本大题共10个小题，共82分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 21. （1）计算：； （2）解方程：． 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 如图，已知中，为边上的中线． （1）请用基本尺规作图：在下方作，使射线交的延长线于点．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）： （2）若，，在（1）所作图形中，求线段的取值范围． 解：为边上的中线， ______． 在和中 ______， ， ． 在中，， ______． ， ______． 24. 重庆一中积极响应“健康中国”战略，引入AI赋能的校园体育云打卡平台，旨在通过智能监测和数据分析，科学提升学生体质健康水平．该平台可实时追踪学生运动时长，提供个性化运动反馈，并激励学生养成锻炼习惯．现随机抽取数名学生，统计其使用该平台后每周运动打卡时长（单位：小时），结果分为六组：1组、2组、3组、4组、5组、6组．体育组张老师整理数据后绘制如下两幅统计图，请解答下列问题： （1）本次调查共抽取了______名学生； （2）扇形统计图中表示3组人数的圆心角度数为______，并补全条形统计图； （3）若初一年级有1200名学生，试估计抽到打卡时长在的学生人数． 25. 如图，点在中边的延长线上，过点做，且，连接、．与相交于点，且． （1）试说明：； （2）若，，求的度数． 26. 根据《重庆市人民政府关于对居民生活用水实行阶梯价格制度的通知》，结合国家发改委《关于加快建立完善城镇居民用水阶梯价格制度的指导意见》，重庆市自2024年起实施居民生活用水阶梯水价制度，具体规则如下： 阶梯划分 年用水量 水价（元/吨） 污水处理费（元/吨） 第一阶梯 不超过300吨 第二阶梯 超过300吨不超过420吨的部分 第三阶梯 超过420吨的部分 附加费用：每户需额外缴纳水资源费元/吨，用于支持节水工程． 特殊政策：家庭人口超过4人的，每增加1人，每阶段用水量基数每年分别增加35吨．例：小明家有5人，则年用水量基数第一阶梯调整为不超过335吨，第二阶梯调整为超过335吨不超过455吨的部分，第三阶梯调整为超过455吨的部分． 注：水费总额供水费污水处理费水资源费 （1）小华家2024年用水量为吨（其中），已知其家庭人口为3人，求全年水费总额；（用含的式子表示，并化简）． （2）小刚家2024年水费总额为867元，已知其家庭人口为6人，求小刚家实际用水量．（列一元一次方程解决实际问题） 27. 已知，、分别为、上的点，为平面内一点，连接、．如图1，过点作交直线于点，作交直线于点，点是上一点，过点作，交于点，交于点． （1）请直接写出、和的数量关系______． （2）若，，求的度数． （3）如图2，分别作和的角平分线，交于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 28. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： （1）图1是四个完全相同的小长方形拼成的大正方形，已知每个小长方形的面积为4．大正方形的边长为5，则小正方形的面积为______． （2）如图2，在长方形中，、分别为、上的点，，，且，分别以、为边长在长方形外侧作正方形和正方形，已知长方形面积为22，求阴影部分面积． （3）若满足，求的值． 29. 在等腰中，． （1）如图1，点在边上，连接，若，，求的度数． （2）如图2，点在边上，以为边作，，，过点作与延长线相交于点．连接，与相交于点．若，试说明：． （3）在（2）的条件下，点为边延长线上一点，连接．点、为上两点，且，连接、．在线段上取一点，使．过点作交于点，作交于点，连接、，过点做于点．若，，，，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中2024-2025初2027届七下阶段性消化作业（一） 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 3．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的．请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. －2的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：-2的相反数是2， 故选A． 【点睛】本题考查了实数性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 2. 如图，工人师傅在砌门时，常用木条固定长方形门框，这里所运用的几何原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 三角形具有稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可求解．熟知三角形的稳定性是解题关键． 【详解】解：工人师傅在砌门时，常用木条固定长方形门框，这里所运用的几何原理是三角形具有稳定性． 故选C． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方运算，积的乘方运算，掌握“幂的运算的运算法则”是解本题的关键．由合并同类项法则可判断A，由幂的乘方运算可判断B，由同底数幂的乘法运算可判断C，由积的乘方运算和幂的乘方运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：，原运算错误，故A不符合题意； ，原运算错误，故B不符合题意； ，原运算错误，故C不符合题意； ，运算正确，故D符合题意． 故选：D． 4. 下列说法正确的是（ ） A. “三条线段组成一个三角形”是必然事件 B. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离 C. 过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 D. “一副扑克牌中，随意抽出一张牌是黑桃3”是随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据对顶角、点到直线的距离、垂线、余角与补角等相关定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、“三条线段组成一个三角形”是随机事件，故原说法不正确； B、点到直线的距离指的是从直线外一点到该直线的垂线段的长度，故原说法不正确； C、过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故原说法不正确； D、一副扑克牌中，随意抽出一张牌是黑桃3”是随机事件，正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了事件的分类、点到直线的距离、平行公理，解题的关键是熟知相关概念与性质． 5. 如图所示，，，当（ ）时，． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，角的和差计算，掌握平行线的几种判定方法是解题的关键． 先根据垂直的定义得到，则当时，，得到，直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，， 即， 解得：， 故选：B． 6. 如果代数式的展开式不含的一次项，那么的值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，由展开式不含的一次项，可知含的一次项的系数为0，由此可解． 【详解】解：， 展开式不含的一次项， ， 解得：， 故选：D． 7. 如图，在和中，已知，下列添加的条件中不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法：、、、、依次对各选项分析即可判断．注意：、不能判定两个三角形全等． 【详解】解：∵，， ∴A．添加，根据可判定，故不符合题意； B．添加，根据可判定，故不符合题意； C．添加，不能判定，故符合题意； D．添加，根据可判定，故不符合题意； 故选C． 8. 在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质、直角三角形的性质，熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．分、两种情况，根据直角三角形的性质、三角形的外角性质计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵是的外角， ∴， 综上所述，的度数为或， 故选：C． 9. 如图，已知，，，若，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，角的和差，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 过点作，过点M作， 由平行线的传递性可知，，然后由平行线的性质求解即可． 【详解】过点作，过点M作， ∵， ∴，， ∴，， ∴． ∵，， ∴，， ∴，， 同理可求，． 故选D． 10. 如图，在中，点在上，点、在上，已知，，连接、交于点，且为中点，连接，若，则为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积问题，由为中点得，设，，则，．由得，由得，可得，进而可求出的值． 【详解】解：如图，连接． ∵为中点， ∴， ∴， 设， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选B． 11. 如图，点、、在同一直线上，在等腰中有，在等腰中有，连接和，且交于点，交于点，连接，延长至点使得，连接，交于点，交于点，且有，以下的结论中：①；②；③；④平分．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．证明，得出，即可判断①正确；根据证明，即可判定②正确；根据全等三角形的性质可以证明，但，即，即可判定③错误；与不一定全等，，点C到、的距离不一定相等，即可判断④错误． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵，，， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与不一定相等， ∴， ∴， ∴与不一定全等， ∴， ∴， ∴，故③不正确； ∵与不一定全等，， ∴点C到、的距离不一定相等， ∴不一定平分，故④不正确； 综上分析可知：正确的有2个． 故选：B． 12. 对于以下整式：，，，，下列说法正确的有（ ） ①当时，若，则的值为1或3； ②如果为第1项，为第2项，为第3项，第1项与第2项的和减去第3项的结果为第4项，第2项与第3项的和减去第4项的结果为第5项，…，依此类推，则第25项为； ⑧记②中的前两项的和为，前三项的和为，前四项的和为，…，则前项的和为，若有，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要依托整数的加减运算考查规律问题，（1）有题意得，化简绝对值求解即可；（2）根据定义列出这列数，即可知从第三项开始两个为一组，每组中的系数都为1，的系数互为相反数，且绝对值一次增加6，则第25项为；（3）结合已知定义列出前几项，总结出，，结合多项式的定义可得即可． 【详解】解：（1）当时，， ∵， ∴，解得或3，故（1）正确； （2）这列数为： 第一项：， 第二项：， 第三项：， 第四项：， 第五项：， 第六项：， 第七项：， 第八项：， 第九项： ⋯⋯ 从第三项开始两个为一组，每组中的系数都为1，的系数互为相反数，且绝对值一次增加6， ∴第25项为，故（2）错误； （3）， ， ， ， ， ⋯⋯ 则，， ∵， ∴， ∴， 则，故（3）正确 故选：C． 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 13. 中芯国际于2025年官宣飞腾成功完成5纳米工艺验证．即米，用科学记数法表示为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 14. 在“”中，任选一个字母，则这个字母为“”的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了根据概率公式进行计算，熟练掌握概率公式，是解题的关键．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：在“”中有10个字母，其中字母“”有2个，因此在“”中，任选一个字母，则这个字母为“”的概率为． 故答案为：． 15. 一个等腰三角形的周长是25，已知一边是6，则其他两边分别为______． 【答案】9.5，9.5． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，解题的关键是掌握这些知识点． 当等腰三角形的底边为6时，腰为，根据，，得满足三角形三边关系，当等腰三角形的腰为6时，底边为，根据得不满足三角形三边关系，综上，即可得． 【详解】解：当等腰三角形的底边为6时，腰为：， ∵，， ∴满足三角形三边关系， 当等腰三角形的腰为6时，底边为：， ∵， ∴不满足三角形三边关系， 综上，另两边长分别为9.5，9.5， 故答案为：9.5，9.5． 16. 已知多项式是一个完全平方式，求的值______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，一般地，形如和的式子称为完全平方式，据此即可解答． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为： 17. 如图，已知中，，，，为边上一点，，为上一点，过点作于点，于点，求的值______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，先求出，然后根据即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 古答案为：4． 18. 已知为整数，关于的方程的解为非负整数．求满足条件的值的和______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查方程的整数解，先求出含有参数的方程的解，并列举出它是整数的所有可能性，再求出的整数值，最后求出这些值之和即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∵为整数，方程的解为非负整数， ∴是非负整数， ∴或或， 解得：或（不符合题意舍去）或， ∴符合条件的值的和为． 故答案为：． 19. 如图，已知长方形纸片、分别、上一点，将纸片沿折叠，使得点落在上点处，然后将纸片沿折叠，使得点与重合，点落在处，交于点．若，求______． 【答案】##73度 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理应用，三角形外角的性质，根据折叠可知：，，，，，，设，则，，求出，，根据，得出，求出，然后再求出结果即可． 【详解】解：在长方形中，，， 根据折叠可知：，，，，，， 设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 20. 对于一个四位正整数，若它的十位数字与个位数字的和等于千位数字与百位数字的和，则称这个四位数为“段和数”．现将的末尾数字放在首位，得到一个新的数字记为，再将的末尾数字放在首位得到，以此类推得到．记，则______．已知、均为“段和数”，其中，（，，，，，且，，，，为整数），若，则当取最大值时，的值为______． 【答案】 ①. 165 ②. 7557 【解析】 【分析】本题主要考查整数的数字规律，整式加减的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题目规律对进行计算即可；先由题得、，根据，得出，根据、均为“段和数”，得出， 最后分类讨论即可． 【详解】解： ． ∵， ∴， ， ， ∴， ∴， ， ， ∴ ， ∵， ∴， ， ， ∴， ∴， ， ， ∴ ， ， ∴， ∵、均为“段和数”， ∴， ∴， ∵，，，，，且，，，，为整数，且p取最大值， 当，，时， ， 则，不符合题意； 当，，时， ， 则， ∵， ∴，，符合题意； ∴此时． 故答案为：165；7557． 三、解答题：（本大题共10个小题，共82分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 21. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算和解一元一次方程． （1）先根据零指数幂和负整数指数幂进行运算，再进行加减运算即可； （2）根据解一元一次方程的步骤进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） 去分母得， 去括号得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘法，偶次方和绝对值的非负性，先化简整式，再求得的值代入求值即可，解题的关键是正确的化简整式． 【详解】解：， ， ， ； ，即， ， 解得， 故原式． 23. 如图，已知中，为边上的中线． （1）请用基本尺规作图：在下方作，使射线交的延长线于点．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）： （2）若，，在（1）所作的图形中，求线段的取值范围． 解：为边上的中线， ______． 在和中 ______， ， ． 在中，， ______． ， ______． 【答案】（1）见解析 （2）；；2；1 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，三角形的三边关系，尺规作图，作一个角等于已知角，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）按照作一个角等于已知角的步骤作图即可； （2）先证明，根据全等三角形的性质得到，，然后在由三边关系求出 ，即可求出线段的取值范围． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：为边上的中线， ． 在和中 ， ， ． 在中，， ． ， ． 故答案为：；；2；1． 24. 重庆一中积极响应“健康中国”战略，引入AI赋能的校园体育云打卡平台，旨在通过智能监测和数据分析，科学提升学生体质健康水平．该平台可实时追踪学生运动时长，提供个性化运动反馈，并激励学生养成锻炼习惯．现随机抽取数名学生，统计其使用该平台后每周运动打卡时长（单位：小时），结果分为六组：1组、2组、3组、4组、5组、6组．体育组张老师整理数据后绘制如下两幅统计图，请解答下列问题： （1）本次调查共抽取了______名学生； （2）扇形统计图中表示3组人数的圆心角度数为______，并补全条形统计图； （3）若初一年级有1200名学生，试估计抽到打卡时长在的学生人数． 【答案】（1）200 （2） （3）480 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图综合，样本估计总体，解题的关键是正确分析题目中的数据． （1）用第3组的人数除以所占的百分比求解即可； （2）用乘以3组人数所占的百分比求解即可；求出5组人数，然后补全统计图即可； （3）用1200乘以4组和5组人数所占的百分比求解即可． 【小问1详解】 （名） ∴本次调查共抽取了200名学生； 【小问2详解】 ∴扇形统计图中表示3组人数的圆心角度数为； 5组人数为（人） ∴补全条形统计图如下： 【小问3详解】 （人） ∴估计抽到打卡时长在的学生人数有480人． 25. 如图，点在中边的延长线上，过点做，且，连接、．与相交于点，且． （1）试说明：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明是解答本题的关键． （1）由平行线的性质得，，进而得出，然后根据可证； （2）先求出，由得，进而可求出． 【小问1详解】 ∵， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 26. 根据《重庆市人民政府关于对居民生活用水实行阶梯价格制度的通知》，结合国家发改委《关于加快建立完善城镇居民用水阶梯价格制度的指导意见》，重庆市自2024年起实施居民生活用水阶梯水价制度，具体规则如下： 阶梯划分 年用水量 水价（元/吨） 污水处理费（元/吨） 第一阶梯 不超过300吨 第二阶梯 超过300吨不超过420吨的部分 第三阶梯 超过420吨的部分 附加费用：每户需额外缴纳水资源费元/吨，用于支持节水工程． 特殊政策：家庭人口超过4人的，每增加1人，每阶段用水量基数每年分别增加35吨．例：小明家有5人，则年用水量基数第一阶梯调整为不超过335吨，第二阶梯调整为超过335吨不超过455吨的部分，第三阶梯调整为超过455吨的部分． 注：水费总额供水费污水处理费水资源费 （1）小华家2024年用水量为吨（其中），已知其家庭人口为3人，求全年水费总额；（用含的式子表示，并化简）． （2）小刚家2024年水费总额为867元，已知其家庭人口为6人，求小刚家实际用水量．（列一元一次方程解决实际问题） 【答案】（1）元 （2）小刚家实际用水量为吨 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握等量关系． （1）根据表格中的信息用a表示出全年水费总额即可； （2）先求出小刚家用水量为第二阶梯，设小刚家实际用水量为x吨，根据小刚家2024年水费总额为867元，列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：小华全年水费总额为： 元； 【小问2详解】 解：∵小刚家庭人口为6人， ∴年用水量基数第一阶梯调整为不超过吨，第二阶梯调整为超过吨不超过吨的部分，第三阶梯调整为超过吨的部分， ∵（元）， （元）， 又∵， ∴小刚家用水量为第二阶梯， 设小刚家实际用水量为x吨，根据题意得： ， 解得：， 答：小刚家实际用水量为吨． 27. 已知，、分别为、上的点，为平面内一点，连接、．如图1，过点作交直线于点，作交直线于点，点是上一点，过点作，交于点，交于点． （1）请直接写出、和的数量关系______． （2）若，，求的度数． （3）如图2，分别作和的角平分线，交于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据三角形内角和定理得出，即可得出答案； （2）根据，，得出，根据余角的性质得出，根据三角形外角的性质得出，，根据，得出，根据平行线的性质得出，即可证明，求出结果即可； （3）过点K作，根据角平分线定义得出，，证明，得出，根据，得出． 【小问1详解】 解：；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据三角形外角性质可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：；理由如下： 过点K作，如图所示： 则， ∵平分，平分， ∴，， 根据解析（2）可知：， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理应用，三角形外角的性质，余角的性质，平行线的性质，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 28. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： （1）图1是四个完全相同的小长方形拼成的大正方形，已知每个小长方形的面积为4．大正方形的边长为5，则小正方形的面积为______． （2）如图2，在长方形中，、分别为、上的点，，，且，分别以、为边长在长方形外侧作正方形和正方形，已知长方形面积为22，求阴影部分面积． （3）若满足，求的值． 【答案】（1）9 （2）100 （3） 【解析】 【分析】（1）用大正方形的面积减去4个小长方形的面积求出小正方形面积即可； （2）根据长方形的面积为，得出，根据，利用，根据完全平方公式进行变形求值即可； （3）根据，，利用完全平方公式进行变形求值． 【小问1详解】 解：小正方形的面积为： ； 【小问2详解】 解：根据题意可知：，， ∵长方形的面积为， ∴， ∵， ∴ ． 【小问3详解】 解：∵，， ∴ ． 29. 在等腰中，． （1）如图1，点在边上，连接，若，，求的度数． （2）如图2，点在边上，以为边作，，，过点作与延长线相交于点．连接，与相交于点．若，试说明：． （3）在（2）的条件下，点为边延长线上一点，连接．点、为上两点，且，连接、．在线段上取一点，使．过点作交于点，作交于点，连接、，过点做于点．若，，，，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得，设，则，再根据可得，，然后根据三角形的外角性质可得，最后根据等腰三角形的性质可得，建立方程，解方程可得的值，由此即可得； （2）先证出，再根据等腰三角形和直角三角形的性质可得，然后在取一点，使得，连接，证出，根据全等三角形的性质可得，，然后证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据线段的和差、等量代换即可得； （3）利用过点作，过点作交于点， 构造，得出，，则点是定点，又，利用两点之间距离最短，则当、、依次共线时，最小为，过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型得，得，利用，列式求出，通过证明得出，，再证明，得出，即可求出，再证明，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴，， ∴， 如图，在取一点，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：过点作，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴点是定点， ∵，利用两点之间距离最短， ∴当、、依次共线时，最小为，此时如图， 过点作延长线于点， ∵，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 得：， ∵，， ∴， ，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，两点之间的距离，熟练根据题意正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $