精品解析：2025年广东省珠海市斗门区中考第一次模拟考试数学试题

2025年初中学业水平第一次模拟考试 数学试题 说明： 1．全卷共4页．满分120分，考试用时120分钟． 2．答案写在答题卷上，在试卷上作答无效． 3．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卷上，不能用铅笔和红色字迹的笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温中最小的数值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 从嫦娥一号升空，到嫦娥五号携月壤返回，中国人一步步将“上九天揽月”的神话变为现实．已知地球和月球间的平均距离约为，384000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞﹣1且k≠0 B. k＞﹣1 C. k＜﹣1 D. k＜1且k≠0 7. 小明准备在年春节期间去看电影，他想在《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐》《唐探》《熊出没：重启未来》这四部电影中选取两部去观看，他选取背面完全相同的四张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中《哪吒之魔童闹海》和《唐探》的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的方程的解是，则a的值为（　　） A. 2 B. 1 C. D. 9. 如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 10. “数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 实数8的立方根是_____． 12. 计算：_________． 13. 一元一次不等式组的解集是_________． 14. 如图，菱形对角线与相交于点，为的中点，菱形周长为，则的长为________． 15. 如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D落在上，延长，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为__________． 三、解答题（一）（共3题，每题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计35万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元，求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元． 18. 随着数字转型世界大会的召开，引领时尚，无人机走进人们生活．周末小华利用无人机来测量广场上，两点之间的距离（，位于同一水平地面上），如题图所示，小华站在处遥控空中处的无人机，此时他的仰角，无人机的飞行高度，并且无人机测得广场处的俯角为，若小华的身高，（点，，，在同一平面内），求、两点之间的距离．（参考数据：，） 四、解答题（二）（共3题，每题9分，共27分） 19. 如题图，在中，是钝角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作交于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接，若．求证：是的切线； 20. 随着科技的发展人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用表示），共分为四组，，，，，下面给出了部分信息． 甲款人工智能软件得分数据： 64，70，75，76，78，78，85，85，85，85， 86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款人工智能软件在组内的所有得分数据：85，86，87，88，88，88，90，90． 甲、乙两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 96.6 乙 86 86.5 88 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，________，________； （2）若本次调查有900名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有1200名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． （3）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； 21. 综合与实践 【主题】“潮汐车道”设计 【背景素材】某跨海大桥东西走向，双向四条车道，在上下班高峰期经常拥堵，交警部门统计了不同时段双向车流量（辆/分钟），发现时间和汽车流量的变化规律符合一次函数的特征，计划通过“潮汐车道（如图所示，大流量方向的汽车可在该路段借用相邻的对向一条机动车道通行）”动态调整车道方向以缓解拥堵． 【原始数据】 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自东向西车流量（辆/分钟） 200 320 440 560 680 自西向东车流量（辆/分钟） 500 440 380 320 260 【实践操作】 步骤1：建立车流量模型：根据原始数据，分别表示与、与之间的函数关系； 步骤2：交通流量分析：计算8时至20时每小时的车辆总流量，定义大流量方向车流量为； 步骤3：潮汐车道方案设计：根据分析结果，划分需要启用“潮汐车道”的具体时段方式． 【实践探索】 （1）求出与、与之间的函数关系； （2）经查阅资料得：当时需要启用“潮汐车道”以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置“潮汐车道”通行方式以缓解交通拥堵（在何时间段借用何方向机动车道通行），并说明理由． 五、解答题（三）（共2题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【问题背景】 在矩形中，，，点为线段上一点，将沿着线段折叠得到． 【构建联系】 （1）如题1图，当点恰好在在线段上时，求线段的长． 【深入探究】 （2）如题2图，当点在矩形的外部，线段交线段于点，作的平分线交线段于点． ①求证：． ②如题3图，点为的内心，连接，若线段，求线段的长． 23. 【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交x轴于点D，抛物线与双曲线交于点，把点P绕点D顺时针旋转得到的对应点为Q． 【构建联系】 （1）分别求出抛物线和双曲线的解析式，并说明点Q是否在双曲线上． （2）如图2，双曲线与抛物线对称轴交于点E，连接，，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，连接、，将绕着点旋转得到，其中点、分别是、两点的对应点，在旋转的过程中，当与重叠部分恰好是一个点时，求出此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平第一次模拟考试 数学试题 说明： 1．全卷共4页．满分120分，考试用时120分钟． 2．答案写在答题卷上，在试卷上作答无效． 3．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卷上，不能用铅笔和红色字迹的笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温中最小的数值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键；根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意可知：， ∴最小的数值是； 故选B． 2. 从嫦娥一号升空，到嫦娥五号携月壤返回，中国人一步步将“上九天揽月”的神话变为现实．已知地球和月球间的平均距离约为，384000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】将数据384000用科学记数法表示为3.84×105． 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 如图所示的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 本题主要考查常见几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握主视图是从物体正面看到的图形． 【详解】解：从正面看到的是两个长方形，上面一个小的，下面一个大的， 故选：B． 4. 光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质，得到的度数，进而即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 5. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂相乘、同底数幂除法、幂的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 利用合并同类项、同底数幂相乘、同底数幂除法、幂的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A． 、不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项正确，符合题意； D． ，故该选项错误，不符合题意． 故选C． 6. 若关于x的方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞﹣1且k≠0 B. k＞﹣1 C. k＜﹣1 D. k＜1且k≠0 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程的概念及一元二次方程根的判别式计算即可. 【详解】根据题意得k≠0且△=（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0， 所以k＞﹣1且k≠0． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 7. 小明准备在年春节期间去看电影，他想在《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐》《唐探》《熊出没：重启未来》这四部电影中选取两部去观看，他选取背面完全相同的四张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中《哪吒之魔童闹海》和《唐探》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 根据列树状图得出共有种等可能的结果，恰好是和的结果数为种，即抽中《哪吒之魔童闹海》和《唐探》结果数为种，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：设《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐》《唐探》《熊出没：重启未来》这四部电影分别用，，，表示，根据题意画树状图如下： 共有种等可能的结果，恰好是和的结果数为种，即抽中《哪吒之魔童闹海》和《唐探》结果数为种， ∴小明抽中《哪吒之魔童闹海》和《唐探》的概率是， 故选：． 8. 已知关于x的方程的解是，则a的值为（　　） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入方程，即可求a的值． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， 解得， 经检验是方程的解． 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解与分式方程的关系是解题的关键． 9. 如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查位似变换、平行线的判定．结合位似图形的定义、相似三角形的判定与性质逐项判断即可． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，位似比为， ∴，，且相似比为， ∴． 故A，B选项正确，不符合题意； 与是以点为位似中心的位似图形， ∴， ，， ， 故C选项正确，不符合题意； 与是以点为位似中心的位似图形，位似比为， ， ． 故D选项不正确，符合题意． 故选：D． 10. “数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答． 根据抛物线只经过两个象限，且抛物线开口向上，得出最小值大于等于，即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为， 拋物线只经过两个象限， ， ， 故选：A． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 实数8的立方根是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据立方根的概念解答． 【详解】∵， ∴8的立方根是2． 故答案为：2 【点睛】本题考查立方根的概念义，正确掌握立方根的概念是解题的关键． 12. 计算：_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，把两个分式的分子相加，然后分子与分母约分即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 一元一次不等式组的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，再取它们公共部分的解集，即可作答． 【详解】解：， 由得， 由得， ∴一元一次不等式组的解集是， 故答案为：． 14. 如图，菱形对角线与相交于点，为的中点，菱形周长为，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质与三角形中位线定理的应用．先根据菱形周长求出边长，再结合中点条件，利用三角形中位线定理求出的长度． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，是的中点． ∵菱形的周长为， ∴． 又∵为的中点， ∴在中，是中位线， ∴． 故答案为：3． 15. 如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D落在上，延长，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，得到，求出，证得，得到，求出，再根据公式即可得面积． 【详解】解：连接， 由旋转知， ∴， ∴， ∴， ∴， 即为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆周角定理，扇形面积计算公式，等腰三角形的性质，熟记圆周角定理是解题的关键． 三、解答题（一）（共3题，每题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，先计算30度角的正弦值，再计算算术平方根，零指数幂和负整数指数幂，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 17. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计35万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元，求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元． 【答案】型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，依题意列出方程组，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意得：， 解得：， 答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元； 18. 随着数字转型世界大会的召开，引领时尚，无人机走进人们生活．周末小华利用无人机来测量广场上，两点之间的距离（，位于同一水平地面上），如题图所示，小华站在处遥控空中处的无人机，此时他的仰角，无人机的飞行高度，并且无人机测得广场处的俯角为，若小华的身高，（点，，，在同一平面内），求、两点之间的距离．（参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．作于，得出四边形是矩形，在中，，得出可得，根据即可求解． 【详解】解：作于， ∵无人机的飞行高度， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵在中，， ∴． 又∵无人机测得河岸边处的俯角为， ∴， ∵， 解得， ∴， ∴，两点之间的距离． 四、解答题（二）（共3题，每题9分，共27分） 19. 如题图，在中，是钝角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作交于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接，若．求证：是的切线； 【答案】（1） 如图即为所求； （2） 证明：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，切线的判定，圆周角定理及等腰三角形的性质，，掌握线段垂直平分线的性质及切线的判定是解题的关键． （）根据作线段垂直平分线的作法和画圆的作图即可； （）连接，由是直径，可得，根据等边对等角可得，再根据，推出，即，即可证明． 【小问1详解】 解：作出垂直平分线，作出； 【小问2详解】 略 20. 随着科技的发展人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用表示），共分为四组，，，，，下面给出了部分信息． 甲款人工智能软件得分数据： 64，70，75，76，78，78，85，85，85，85， 86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款人工智能软件在组内的所有得分数据：85，86，87，88，88，88，90，90． 甲、乙两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 96.6 乙 86 86.5 88 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，________，________； （2）若本次调查有900名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有1200名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． （3）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； 【答案】（1）85.5；85；20 （2）510名 （3） 乙款人工智能软件更受用户欢迎． 理由如下： ∵甲款和乙款的平均数相同，乙款的方差小于甲款的方差， ∴乙款人工智能软件比较稳定， ∴乙款人工智能软件更受用户欢迎．． （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握中位数，众数，百分比的计算，根据样本估算总体数量的方法，由调查数据作决策的方法是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义求出a、b的值，再求出乙款中C组所占的百分比，然后用1分别减去各组所占的百分比得到m的值； （2）通过比较两款的方差进行判断； （3）用900乘以甲款中D组所占的百分比和1200乘以乙款中D组所占的百分比，然后求它们的和即可． 【小问1详解】 解：（1）∵甲款人工智能软件得分数据从小到大排列后排在中间的2个数是85和86， ∴中位数； ∵甲款人工智能软件的所有评分数据中85出现的次数最多， ∴众数， ∵乙款人工智能软件中C组所占的百分比为， ∴， 即； 故答案为：85.5，85，20； 【小问2详解】 ∵对甲款人工智能软件非常满意的总用户数（名） 对甲款人工智能软件非常满意的总用户数（名） ∴估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意的总用户数（名） 【小问3详解】 略 21. 综合与实践 【主题】“潮汐车道”设计 【背景素材】某跨海大桥东西走向，双向四条车道，在上下班高峰期经常拥堵，交警部门统计了不同时段双向车流量（辆/分钟），发现时间和汽车流量的变化规律符合一次函数的特征，计划通过“潮汐车道（如图所示，大流量方向的汽车可在该路段借用相邻的对向一条机动车道通行）”动态调整车道方向以缓解拥堵． 【原始数据】 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自东向西车流量（辆/分钟） 200 320 440 560 680 自西向东车流量（辆/分钟） 500 440 380 320 260 【实践操作】 步骤1：建立车流量模型：根据原始数据，分别表示与、与之间的函数关系； 步骤2：交通流量分析：计算8时至20时每小时的车辆总流量，定义大流量方向车流量为； 步骤3：潮汐车道方案设计：根据分析结果，划分需要启用“潮汐车道”的具体时段方式． 【实践探索】 （1）求出与、与之间的函数关系； （2）经查阅资料得：当时需要启用“潮汐车道”以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置“潮汐车道”通行方式以缓解交通拥堵（在何时间段借用何方向机动车道通行），并说明理由． 【答案】（1）； （2）8时到9时，可变车道的方向设置为自西向东；18时到20时，可变车道的方向设置为自东向西 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据表格，易得示与、与之间均为一次函数关系，设出关系式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出，分别求出，时的范围，进而设置“潮汐车道”通行方式即可． 【小问1详解】 解：设（、为常数，且）， 将，和，代入得： ，解得：， ∴； 设（、为常数，且）， 将，和，代入得： ，解得：， ∴； 【小问2详解】 ， 当时，即：，解得：， 当时，即：，解得：， ∴8时到9时，可变车道的方向设置为自西向东； 18时到20时，可变车道的方向设置为自动向西． 五、解答题（三）（共2题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【问题背景】 在矩形中，，，点为线段上一点，将沿着线段折叠得到． 【构建联系】 （1）如题1图，当点恰好在在线段上时，求线段的长． 【深入探究】 （2）如题2图，当点在矩形的外部，线段交线段于点，作的平分线交线段于点． ①求证：． ②如题3图，点为的内心，连接，若线段，求线段的长． 【答案】（1）3； （2）①解：方法一：作交的延长线于 ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 方法二：作交于点 ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ②6 【解析】 【分析】（1）根据折叠得出，根据勾股定理求出，即可求解； （2）方法一：作交的延长线于，根据平行线的性质，角平分线的定义以及等角对等边可得出，证明，根据相似三角形的性质可得出，即可得证； 方法二：作交于点，根据角平分线的性质得出，然后根据等面积法得出，即可得证； （3）连接，根据勾股定理求出，结合（2）中，可求出，根据内心的定义，三角形的内角和定理等可求出，证明，然后根据相似三角形的性质求出即可． 【详解】（1）解∶∵将沿着线段折叠得到 ∴ 在矩形中，，， ∴， ∴ （2）①略 ②连接 ∵，，， ∴ 由（2）得 ∴， ∴， ∵点是的内心 ∴平分，平分，平分， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形的内心等知识，明确题意，添加合适辅助线，找出对应的相似三角形是解题的关键． 23. 【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交x轴于点D，抛物线与双曲线交于点，把点P绕点D顺时针旋转得到的对应点为Q． 【构建联系】 （1）分别求出抛物线和双曲线的解析式，并说明点Q是否在双曲线上． （2）如图2，双曲线与抛物线对称轴交于点E，连接，，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，连接、，将绕着点旋转得到，其中点、分别是、两点的对应点，在旋转的过程中，当与重叠部分恰好是一个点时，求出此时点的坐标． 【答案】（1）双曲线的解析式为；抛物线的解析式为；点在双曲线上； （2）证明：∵双曲线与抛物线对称轴交于点， ∴， ∴ ∵，抛物线对称轴为直线，、关于对称轴对称， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）待定系数法先求出k的值，即可得到反比例的函数解析式，再将，代入中，解方程组即可得到抛物线的解析式；进而得到点D的坐标，分别作轴，轴，分别交轴于、两点，证明，得到点Q的坐标，即可判断； （2）证明，即可得到结论； （3）分与重叠部分是点，与重叠部分是点，两种情况讨论即可． 【详解】解：（1）把代入中， ∴ ∴双曲线的解析式为 把，代入中，可得方程组 ， 解得 ∴抛物线的解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线 ∴ 点在双曲线上，理由如下： 分别作轴，轴，分别交轴于、两点，如图 ∴ ∵把点绕点顺时针旋转得到的对应点 ∴， ∴，， ∴ ∵，， ∴ ∴，， ∴ ∴点在双曲线上． （2）略 （3）①当与重叠部分是点时，如图 分别作轴，轴，分别交轴于、两点 ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， 点的坐标为． ②当与重叠部分是点时，如图 ∴点在线段上 ∵抛物线解析式为， ∴ ∵， 设的解析式为， 把和代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴设的坐标为 ∵， ∴ 解得，（舍去） ∴点的坐标为． 综上：点的坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握并综合应用有关性质进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $