精品解析：湖北省宜昌市远安县第一高级中学2025届高三下学期模拟考试（一）数学试卷

远安一高2025届高三模拟考试数学卷 （一） 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A. 1 B. C. D. 4. 若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点 到点的距离与到直线的距离相等，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知函数则的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（ ） A. π B. 2π C. 4π D. 8π 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在二项式的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C. 常数项为 D. 展开式中系数最大项为第3项和第4项 10. 已知，分别是椭圆 ：的左、右焦点， 为坐标原点， 为 上异于左、右顶点的一点， 是线段的中点，则（ ） A. B. C. 内切圆半径的最大值为 D. 外接圆半径的最小值为1 11. 已知递增数列的各项均为正整数，且满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为________.（用数字作答） 13. 函数的最小值为________. 14. 已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 16. 如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，点 在线段上. （1）求证：平面平面； （2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求. 17. 已知双曲线的离心率为，点 为坐标原点，过 的右焦点的直线 交 的右支于两点，当轴时，. （1）求 的方程； （2）过点 作直线 的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 18. 已知，函数，. （1）当时，求的极值； （2）若存在零点. （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：. 19. 如图，已知给定线段长为2，以为底边作顶角为的等腰三角形，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形……依次类推，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形，得到三角形列. （1）用表示出的外接圆半径； （2）当时，证明：各顶点均在外接圆上或其内部； （3）若各顶点均在外接圆上或其内部，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 远安一高2025届高三模拟考试数学卷 （一） 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】集合，则， 所以. 故选：B 2. 设复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘除法运算即可得到答案. 【详解】. 故选：A. 3. 已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义及数量积的运算律求解. 【详解】由在上的投影向量为，得，则，而是单位向量， 因此，又是单位向量，所以. 故选：B 4. 若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合等差数列、等比数列的定义判断. 【详解】数列中，， 数列为等比数列，令其公比为，则，， 为常数，因此数列为等差数列； 反之，为等差数列，令其公差为，则，即为常数， 因此数列为等比数列， 所以“为等比数列”是“为等差数列”的充要条件. 故选：C 5. 已知抛物线的焦点为 ，点在抛物线上，点到点 的距离与到直线的距离相等，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义及已知条件得到，求出，再代入抛物线方程，求出. 【详解】抛物线的准线为， 又点在抛物线，所以点到点 的距离与到直线的距离相等， 又，点到点 的距离与到直线的距离相等， 所以，解得，即，所以，解得. 故选：B 6. 已知函数则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数为奇函数，再根据函数单调性解抽象不等式即可. 【详解】当 时，，，； 当时，，，； 且当 时，， 所以为奇函数， 易知为上的递减函数， 则， 所以原不等式的解集为. 故选：A 7. 已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（ ） A. π B. 2π C. 4π D. 8π 【答案】B 【解析】 【分析】由侧面面积公式建立等式，然后分别写出上下底面面积，作差后代入即可得到结果. 【详解】如图： 设展开图小圆半径和大圆半径分别为，则圆台侧面积，即， 上底面半径，下底面半径， 圆台上下底面面积之差的绝对值为. 故选：B. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，求导分析单调性可得A错误；令求导分析单调性可得B错误；令，由诱导公式和两角和的正弦展开式可得C错误； 令，求导后放缩得单调性后可得D正确. 【详解】对于A，令，则， 所以在上单调递减，即， 所以，故A错误； 对于B，令，，则， 所以在上单调递增，即，故B错误； 对于C，因为，令时，， ， 因为，所以，故C错误； 对于D，令，，则， 由三角函数线可得当时，，所以， 所以， 所以在上单调递增，，， 即，故D正确. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在二项式的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C. 常数项为 D. 展开式中系数最大项为第3项和第4项 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出展开式的通项，根据题意可得，即可判断A；根据二项式定理的性质即可判断B；令的指数等于零，即可判断C；理由不等式法即可判断D. 【详解】展开式的通项为， 则前3项的系数分别为， 对于A，由题意可得， 即，解得或（舍去）， 所以，故A正确； 对于B，展开式中所有奇数项的二项式系数和为，故B正确； 对于C，展开式的通项为， 令，则， 所以展开式中常数项为，故C错误； 对于D，设展开式中第项的系数最大项， 则有，解得或， 所以展开式中系数最大项为第3项和第4项，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知，分别是椭圆 ：的左、右焦点， 为坐标原点， 为 上异于左、右顶点的一点，是线段的中点，则（ ） A. B. C. 内切圆半径的最大值为 D. 外接圆半径的最小值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆的定义结合中位线的性质可得A正确；由椭圆的性质令点 在第二三象限时可得B错误；由焦点三角形的面积公式结合内切圆的性质和椭圆的性质可得C正确；由正弦定理可得D正确. 【详解】 对于A，，故A正确； 对于B，由三角形中位线得，因为当点 在第二三象限时，，此时，故B错误； 对于C，因为，， 当点 在上顶点时，最大，所以，所以， 所以，所以由三角形相似可得， 设内切圆半径为，又， 所以内切圆半径的最大值为，故C正确； 对于D，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，故D正确. 故选：ACD 11. 已知递增数列的各项均为正整数，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A直接代入计算即可；对B，利用反证法即可证明，对C，通过不断代入得到，再结合其单调性即可判断C，对D，通过代入归纳总结得到时，，再代入合理 值即可判断. 【详解】对A，在原式中令，则，故A正确； 对B，若，单调递增，则，则，即矛盾，舍去，故，故B正确； 对C，由得，则，则， ，，原式中令， 令，因为递增数列，C错； 对D，由，令，由单调递增， ，令，令则， 则时，，且， 则时，时，， 当时，时，， 在原式中令， 同理由，D正确， 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先给两个1找两个位置，再给两个3找两个位置，最后剩的一个位置排5即可. 【详解】第一步选2个空给两个1有种选法， 第二步选剩下的3个空给两个3有种选法， 最后剩一个空排5即可， 根据分步乘法计数原理有种排法， 故答案为：. 13. 函数的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据和分类讨论，作出函数图像即可求解. 【详解】当时，即时，， 当时，即时， ， 所以， 作出函数图像： 所以函数的最小值为，当时. 故答案为：. 14. 已知正四面体 的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】设四个顶点为，根据得到截面方程即可求解. 【详解】建立正四面体的顶点坐标， 设四个顶点为， 每条棱长均为，设动点， ， ， ， ， ， ， 因为， 所以，即所有满足条件的点 构成的平面为平面（平面）， 而为正方体的顶点（如图所示），且该正方体的中心为原点， 由对称性可得棱交于，棱交于，棱 交于，棱 交于， 截面四边形的顶点为， 在平面上形成一个菨形，其对角线的长度为 ，故面积为2. 故答案为： . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 【答案】（1）； （2）分布列： 0 1 2 3 期望为，方差为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式求解. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望的方差. 【小问1详解】 设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”， 依题意，，， 因此， 所以智能客服的回答被采纳的概率为. 【小问2详解】 依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望；. 16. 如图，正方形所在平面和等腰梯形 所在平面互相垂直，已知，，点 在线段上. （1）求证：平面平面； （2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求. 【答案】（1） 证明：由正方形有，又平面平面 ，平面平面， 所以平面 ，又平面 ，所以， 过点 作，则，，，所以， 所以，即，又， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，设即可求得点 的坐标，利用夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知两两互相垂直，分别以为轴， 轴，轴，建立空间直角坐标系如图： 则有，设，则，设， 则有，解得，得， 所以， 设平面的法向量为，则有， 令，得， 设直线与平面所成角为， 所以， 解得或， 所以或. 17. 已知双曲线的离心率为，点 为坐标原点，过 的右焦点的直线交 的右支于两点，当轴时，. （1）求 的方程； （2）过点 作直线 的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 【答案】（1） （2） ①证明：如图，设，则， 由斜率不为0，可设， 联立双曲线并整理得， 则，， 所以， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得， 因为，所以， 而，所以，则， 所以过定点； ； ② 【解析】 【分析】（1）由离心率及双曲线参数关系求得，结合已知令，代入双曲线求参数值，即可得方程； （2）①设，则，设，联立双曲线并应用韦达定理，结合直线、双曲线对称性确定定点位置并得到，再作化简求值，即可得定点坐标； ②应用三角形面积公式、弦长公式，结合求面积的最小值. 【小问1详解】 由题可知， 则， 由轴时，，可令， 代入双曲线得， 解得， 则所求方程为. 【小问2详解】 ①略； ②， 由①得，解得， 令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. 18. 已知，函数，. （1）当时，求的极值； （2）若存在零点. （i）当时，求 的取值范围； （ii）求证：. 【答案】（1）当时，，函数既无极大值也无极小值. 当时，函数的极小值是，无极大值. （2）（i）； （ii）证明：因为函数存在零点，所以有解，其中， 若，则，该式不成立，故. 故，考虑直线， 表示原点与直线上的动点之间的距离， ，所以， 时，要证，只需证， 解法一：即证. 令，则， 令， ，故在上为增函数，故. 即在上为增函数， 故，故，即成立. 解法二：令,则， 令，得单调递减， 令，得单调递增， 所以. 【解析】 【分析】（1）直接求导得，再分和讨论即可； （i）转化得有解，再设，求导后再对 分类讨论，最后利用隐零点法即可得到其范围； （ⅱ）分析得表示原点与直线上的动点之间的距离，再等价转化为证明，再设新函数并多次求导即可证明. 【小问1详解】 时，， 当时，，函数单调递增，既无极大值也无极小值. 当时，， ，函数单调递减，， ，函数单调递增， 函数的极小值是，无极大值. 【小问2详解】 （ⅰ）当时，因为函数存在零点，故有解， 若 ，此时无解，所以 ，有解，， ①若单调递增，此时不存在零点； ②若，令，，， 由零点存在定理可知存在， 所以在上为减函数，在上为增函数， 故，解得，故. （ⅱ）略 19. 如图，已知给定线段长为2，以为底边作顶角为的等腰三角形，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形……依次类推，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形，得到三角形列. （1）用表示出的外接圆半径； （2）当时，证明：各顶点均在外接圆上或其内部； （3）若各顶点均在外接圆上或其内部，求的取值范围. 【答案】（1）; （2） 设的外心为，外接圆半径为，的中点为，， 则，，. 注意到的中点也为，故的中垂线与中垂线重合. 由题意知，，均在的中垂线上. 而， ， 故. 另一方面，， 故的外接圆内切于的外接圆. 从而的外接圆各点位于的外接圆上或其内部.① 反复使用结论①可得，的外接圆位于外接圆上或其内部. 故各顶点均在外接圆上或其内部. （3）； 【解析】 【分析】（1）根据三角函数定义即可得到其半径表达式； （2）计算和的表达式，作差得，从而得到的外接圆各点位于的外接圆上或其内部，再反复使用该结论即可； （3）计算得，利用得到不等式，解出，则得到范围. 【小问1详解】 设的外接圆半径为，由题意知， ，， 又，故. 故的外接圆半径为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若满足题意，则位于在外接圆上或其内部，故. 由（2）知， ， 由题意，，即，解得. 故. 当，同上可得. 由（2）知，，共线，故，即. 故，故的外接圆位于外接圆上或其内部. 故各顶点均在外接圆上或其内部，故的范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $