11.5一元一次不等式与一次函数（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（鲁教版五四制）

10.5一元一次不等式与一次函数 题型一、一次函数图象问题中不等式的应用 1．一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．如图，一次函数的图象经过两点，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 3．一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．如图，点A点的横坐标为a，根据图像，判断下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 5．如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．如图，是的图象，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．已知不等式的解是，则一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像如图所示，那么关于的一元一次不等式的解集是 ． 9．如图，一次函数的图像经过、两点，那么关于的不等式的解集是 ． 10．已知一次函数的图象如图所示，不等式的解集是 ． 11．如图，根据图中信息解答下列问题： (1)求关于的不等式的解集； (2)当时，求的取值范围． 题型二、一次函数图象交点背景下的不等式应用 12．一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 13．若函数和函数的图像如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 14．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是 15．在平面直角坐标系中，将函数向上平移2个单位，与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，与正比例函数的图象交于点．已知点的坐标为，点的纵坐标为6． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，直接写出自变量的取值范围． 17．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向上平移4个单位长度得到，且与x轴交于点A． (1)求该一次函数的解析式及点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 18．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)结合图象，求不等式的解集． 19．如图所示，根据图中信息． (1)点P的坐标为 ． (2)当时，x的取值范围是多少？ (3)求． 20．如图所示，已知正比例函数和一次函数，它们的图象都经过点，且一次函数图象与轴交于点． (1)求、的值； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集________ 21．如图，直线：与轴交于点，与一次函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)列表并画出一次函数的图象； (3)如果，写出的取值范围． 22．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，且与的图象交于点．    (1)求的值； (2)若，求的取值范围． (3)求四边形的面积． 23．如图，平面直角坐标系中，直线与直线交于点． (1)求，的值； (2)关于、的二元一次方程组的解为___________； (3)当时，的取值范围是___________． 24．如图，一次函数图象与x轴交于点A，一次函数图象与x轴交于点，两函数图象交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)下列说法正确的有________（填序号）； ①关于x的不等式的解集是； ②当时，一次函数值的取值范围是； ③关于x的方程的解是； ④关于x的不等式的解集是． (3)观察图象，请直接写出不等式的解集． 题型三、一次函数性质与不等式 25．一次函数的图象上有，两点，下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 26．一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据该表反映的变化规律，下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 1 4 7 … A．的值随值的增大而减小 B．该函数的图象经过第一、三、四象限 C．关于的方程的解是 D．不等式的解集为 27．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出m的取值范围． 28．已知一次函数过点 (1)求这个一次函数的表达式． (2)当时，求y的取值范围． 29．已知一次函数（为常数，）的图象经过点． (1)求的值； (2)不等式组的解集是__________． 30．已知y与成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)若，求x的取值范围； (3)这个函数的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，求的面积． 31．如图，这是一个“数值转换机”．当输入的值时，通过不同的取值会得到对应的的值，表格中给出了几组的值以及对应的的值． 根据以上信息，解答下列问题： (1)当时，求与之间的关系式． (2)当时，求输入的的值． (3)若输出的值为正数，则输入的的取值范围是________． 题型四、绝对值不等式问题 32．新定义：对于两个实数、，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时， ； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是 ． 33．先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 34．某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数的图象和性质做了探究．下面是该学习小组的探究过程，请补充完整： (1)上表是与的几组对应值，请将表格补充完整：表格中的值为 ，的值为 ． (2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象． (3)请观察函数的图象，直接写出如下结论： 当自变量 时，函数的最小值为 ； 方程的解集为 ； 函数与的图象只有两个交点，其中交点坐标分别是和．当时，直接写出不等式的解集． 35．小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是 ； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集： ． 36．已知、在数轴上分别表示、. (1)对照数轴填写下表： 、两点的距离 (2)写出数轴上到和的距离之和为的所有整数，并求这些整数的和； (3)若数轴上表示数a的点位于与6之间，求的值； (4)若x表示一个有理数，且，求有理数的取值范围． 、两点的距离 6 2 12 37．在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集．确定的解集过程如图1： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： (1)请将小明的探究过程补充完整； 所以，的解集是或______①___________． 再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，请你在图2的数轴上确定范围②； 所以，的解集为：_______③________． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式的解集为___________④___________，的解集为___________⑤___________． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： (2)求绝对值不等式的解集． ∴ 故答案为：； ∴或； 故答案为：或 ∴； 故答案为： 38．阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 39．规定：表示取一组数据中的最大的数，例如：． (1)___________． (2)若，求的值； (3)①若，则的最小值为___________； ②已知点，当最小时，求点的坐标． 40．认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少? (3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：    由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______； ②利用数轴解不等式，并加以说明．       41．阅读理解： 例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________ (2)解不等式：． (3)解不等式：． 42．（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则： ①“”可理解为 ； ②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ． 我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或， 绝对值不等式的解集是．则： ①不等式的解集是 ． ②不等式的解集是 ． （3）【拓展应用】解不等式，并画图说明． 题型五、一元一次不等式的综合应用问题 43．如图，是平面直角坐标系中的一个动点，直线与轴、轴分别交于点，． (1)求直线的解析式； (2)判断点是否有可能落在直线上？并说明理由； (3)点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点． 直接写出点的坐标； 当点在的内部（不包括边界）时，求的取值范围． 44．综合与实践 学习小组根据学习一次函数的经验，对函数和的交点问题进行了探究．下面是探究的过程，请补充完成： 【动手操作】 （1）如图所示，在同一坐标系中，作出这两个函数的图象：经过点（2， ）和画的图象；经过点（ ，0）和画的图象． 【观察实践】 （2）观察发现，这两个函数图象在第二象限内相交，请写出这个交点的坐标； 【应用迁移】 （3）结合图象，直接写出方程组的解； （4）结合图象，直接写出当时x的取值范围． 45．在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（为常数）的图象．若函数|（为常数）与直线有交点、，现给出以下结论，其中正确结论的序号是 ． ①的面积总为2； ②若函数（为常数）图象在直线下方的点的横坐标满足，则的取值范围为； ③若，则的解集为； ④当，若正比例函数与（为常数）的图象只有一个公共点，则． 46．把一次函数（k，b为常数，）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V”形图象，例如，如图1就是函数的“V”形图象． (1)请在图2中画出一次函数的“V”形图象，并直接写出该“V”形图象的函数表达式及自变量x的取值范围； (2)在（1）的条件下，若一次函数的“V”形图象与x轴交于点A，与直线相交于B，C两点，求的面积； (3)一次函数（k为常数）的“V”形图象经过，两点，且，求k的取值范围． 47．若不等式只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式为n阶不等式．我们规定：当时，这个不等式为0阶不等式． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式有3个正整数解，因此称其为3阶不等式． 请根据定义完成下列问题： (1)是　　　阶不等式；是　　阶不等式组； (2)若关于x的不等式是4阶不等式，a的取值范围为　　　； (3)关于x的不等式的正整数解有，，，，…，其中…．如果是阶不等式，且关于x的方程的解是不等式的正整数解，直接写出m的值以及n的取值范围． 48．在平面直角坐标系中，对于任意两点M，N给出如下定义：点M，N的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和叫做这两点之间的“直角距离”，记作；，即点与点之间的“直角距离”为．已知点，点． (1)A与B两点之间的“直角距离”　　； (2)点C（t，0）为x轴上的一个动点，当t的取值范围是 　　时，的值最小； (3)若动点P位于第四象限，且满足，请在直角坐标系中画出点P的运动区域．（用阴影表示） 49．在平面直角坐标系中，给出如下新定义：对于任意一点和给定的正整数n，如果满足，则把点称作“精致点”． (1)是“精致点”，当，时， ； (2)在第一象限内，当时， ①设“精致点”的横坐标为x，那么纵坐标可以用含x的代数式表示为 ； ②如图直线l经过和，求出直线l所对应的函数表达式，并判断该直线在第一象限内是否存在“精致点”．如果有，请求出其“精致点”的坐标，如果没有，请说明理由； (3)若直线上存在“4−精致点”，请直接写出实数b的取值范围． 50．如图，平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度再向下平移6个单位长度得到点B，直线经过点A，B，直线：其中． (1)在图中画出直线，并求直线的解析式； (2)嘉嘉说：无论k为何值，将直线上的任意点向右平移k个单位长度，再向下平移2k个单位长度后仍会落在直线上． 淇淇说：无论k为何值，直线总经过一个定点，且该定点在直线上．请选择其中一人的说法进行说理； (3)①若直线，与y轴所围成的三角形面积为6，求k的值； ②将直线向下平移16个单位长度，直线向右平移3个单位长度，若平移后两条直线交点在第三象限，直接写出k的取值范围． 试卷第62页，共64页 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.5一元一次不等式与一次函数 题型一、一次函数图象问题中不等式的应用 1．一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据一次函数的图象，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，随的增大而减小，当时，， ∴当时，的取值范围是； 故选A． 2．如图，一次函数的图象经过两点，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．根据一次函数与一元一次不等式的关系，利用函数图象找出函数值为负数时，对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵当时，，即， ∴由图象可知，关于x的不等式的解集是． 故选：A． 3．一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据一次函数的图象，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，随的增大而减小，当时，， ∴当时，的取值范围是； 故选D． 4．如图，点A点的横坐标为a，根据图像，判断下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与不等式的关系，熟练掌握知识点，利用数形结合思想是解题的关键． 根据一次函数与不等式的关系即可判断A、B、D，根据一次函数的性质即可判断C． 【详解】解：A、当时，，故A错误，不符合题意； B、当时，，故B错误，不符合题意； C、当时，y随x的增大而增大，故C错误，不符合题意； D、当时，，正确，符合题意， 故选：D． 5．如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：利用数形结合的思想，从函数的角度看，就是寻求使一次函的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．由一次函数的图象经过，可得关于x的不等式的解集． 【详解】解：∵一次函数的图象经过， ∴，即时，， ∴关于x的不等式的解集为． 故选：A． 6．如图，是的图象，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 从图象得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集． 【详解】解：从图象知，函数的图象经过点，并且函数值y随x的增大而减小， ∴当时，，即关于x的不等式的解集是． 故答案为A． 7．已知不等式的解是，则一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法，把不等式的解集理解为当时，一次函数的函数值大于0，即函数图象上x的上方，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：∵不等式的解是， ∴对于一次函数，当时，， 即当时，一次函数的图象上x的上方． 故选：B． 8．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像如图所示，那么关于的一元一次不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图像法是解题关键．关于的一元一次不等式表示的是一次函数的函数值小于2，结合函数图像，求出此时的取值范围即可得． 【详解】解：关于的一元一次不等式表示的是一次函数的函数值小于2， 由函数图像可知，当一次函数的函数值小于2时，， 即关于的一元一次不等式的解集是， 故答案为：． 9．如图，一次函数的图像经过、两点，那么关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，关于的不等式的解集是， 故答案为：． 10．已知一次函数的图象如图所示，不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图象．根据一次函数的图象可知，函数值随的增大而减小，从而得到答案． 【详解】解：由图象可知：函数值随的增大而减小， 当时，， 故当时，， 故答案为：． 11．如图，根据图中信息解答下列问题： (1)求关于的不等式的解集； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，两直线交点问题等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据图象和y轴的交点坐标进行解答即即可； （2）一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是，据此进行解答即可． 【详解】（1）解：∵直线与y轴的交点是， ∴当时，， 即不等式的解集是； （2）解：由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是，当函数的图象在的下面时，有． ∴当时， 题型二、一次函数图象交点背景下的不等式应用 12．一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据题意，由不等式组，结合图象可得其解集为满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值，进而可以判断得解． 本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：由图象可知满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值， ． 故选：． 13．若函数和函数的图像如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数与不等式，先求出，再结合函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：将代入得：， 解得：， ∴， 由图象可得，关于的不等式的解集是， 故选：B． 14．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与方程，不等式的关系，利用数形结合的思想是解题关键．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由图可知直线与直线的交点P的坐标为， ∴方程的解是，故A选项结论正确，不符合题意； ∴不等式的解集为，不等式的解集为， ∴不等式和不等式的解集相同，故B选项结论正确，不符合题意； 将点P的坐标代入直线与直线可得直线与直线 ∴直线与x轴交于点， ∴不等式组的解集是，故C选项结论正确，不符合题意； 由题意可知方程组，即方程组的解是， 无法求出方程组的解，故D选项结论错误，符合题意． 故选：D． 15．在平面直角坐标系中，将函数向上平移2个单位，与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数的平移，两直线的交点问题，掌握一次函数的图象和性质是解题关键．． （1）根据一次函数的平移得到新函数，再求出两直线的交点坐标，得到的值，再代入函数解析数求出的值即可； （2）根据题意找到临界点求解即可． 【详解】（1）解：将函数向上平移2个单位，得到新函数， 当时，， 即函数与函数的图象交于点， 将点代入函数， 则， 解得：； （2）解：当时，，； 当经过点时，； 当经过点时，； 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值时的取值范围为或． 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，与正比例函数的图象交于点．已知点的坐标为，点的纵坐标为6． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键． （1）先求出，再根据待定系数法求解； （2）根据数形结合思想求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， 的图象经过点和， 解得：， 一次函数的表达式为：； （2）解：由图象得：时，自变量的取值范围为：． 17．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向上平移4个单位长度得到，且与x轴交于点A． (1)求该一次函数的解析式及点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数的平移，一次函数的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据一次函数的平移规律得到一次函数解析式，再求出与x轴的交点坐标即可； （2）先找到临界值，求出当一次函数过点时以及与平行时的值，再结合图象确定m的取值范围即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象由函数的图象向上平移4个单位长度得到， 该一次函数的解析式为， 当时，，解得：， 点A的坐标为； （2）解：当时，， 把点代入一次函数，得， 解得：， 当一次函数与平行时，， 一次函数中， 当时，对于x的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值，m的取值范围为且． 18．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)结合图象，求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）将代入可得，则，再用待定系数法求直线的表达式即可； （2）根据点B坐标，结合函数图象即可求得答案． 【详解】（1）解：过点， 解得：， ， 直线过点，， ，解得： 直线的表达式为； （2）解：结合图象可知，的解集为， 即的解集为， 由（1）可知， 的解集为． 19．如图所示，根据图中信息． (1)点P的坐标为 ． (2)当时，x的取值范围是多少？ (3)求． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与二元一次方程组、坐标与图形等知识点，掌握一次函数与二元一次方程组的关系是解答本题的关键． （1）把代入可计算出m的值，把代入可求出n的值，联立两解析式所组成的方程组即可得到P点坐标； （2）观察函数图像得到，当x大于P点的横坐标时，，据此即可解答． （3）直接根据坐标与图形和三角形面积公式列式计算即可． 【详解】（1）解：把代入中得，解得， ∴， 把代入得，解得， ∴， 联立，解得， ∴； （2）解：由函数图象可得，当时，； （3）解：令，则，则，即， ∴， ∴． 20．如图所示，已知正比例函数和一次函数，它们的图象都经过点，且一次函数图象与轴交于点． (1)求、的值； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集________ 【答案】(1)， (2)3 (3) 【分析】此题主要考查了一次函数的性质，待定系数法求函数解析式以及三角形面积求法，正确求出函数解析式是解题关键． （1）将代入正比例函数可求，将代入一次函数，可求的值； （2）利用三角形面积求法得出答案； （3）根据交点坐标可求不等式的解集． 【详解】（1）解：将代入正比例函数得， 解得， 将代入一次函数得， 解得； （2）解：因为 所以 因为 所以的面积为：； （3）解：由图象可知，不等式的解集为． 故答案为：． 21．如图，直线：与轴交于点，与一次函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)列表并画出一次函数的图象； (3)如果，写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，两直线交点坐标的求法，一次函数与一元一次不等式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）将两个一次函数解析式联立得到方程组，解方程组即可得到点的坐标； （2）列出表格，根据描点法即可画出图象； （3）根据图象，找出落在上方的部分对应的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：直线：与一次函数的图象交于点， 联立得：， 解得：， ∴点； （2）解：画表如下： 描点画图如下： （3）解：直线与一次函数的图象交于点， 由题意和（2）中图可知，如果，那么的取值范围是． 22．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，且与的图象交于点．    (1)求的值； (2)若，求的取值范围． (3)求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）将代入，求出的值，再将点代入即可求出的值； （）求出点坐标，再根据图象解答即可求解； （）连接，求出点坐标，再根据计算即可求解； 本题考查了一次函数的几何应用，待定系数法求函数的解析式，一次函数与不等式，利用数形结合的思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴， 把代入，得， ∴； （2）解：把代入，得， ∴， ∴， 由函数图象可得，当时，的取值范围为； （3）解：连接，    ∵， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．如图，平面直角坐标系中，直线与直线交于点． (1)求，的值； (2)关于、的二元一次方程组的解为___________； (3)当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的解析式，一次函数和二元一次方程组，以及不等式，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）把先代入求出m，再代入求出a即可； （2）根据图像可知交点坐标即为二元一次方程组的解； （3）根据图象写出的解集即可． 【详解】（1）解：把代入得， 把代入得：， 解得； （2）解：由图像可知二元一次方程组的解为． 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 故答案为：． 24．如图，一次函数图象与x轴交于点A，一次函数图象与x轴交于点，两函数图象交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)下列说法正确的有________（填序号）； ①关于x的不等式的解集是； ②当时，一次函数值的取值范围是； ③关于x的方程的解是； ④关于x的不等式的解集是． (3)观察图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)①③④ (3)或 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是关键． （1）先求得，再利用待定系数法求解即可； （2）利用数形结合，即可求解； （3）转化为或，观察图象，数形结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数图象经过点， ∴， ∴， ∵一次函数图象经过点和， ∴， 解得， ∴一次函数； （2）解：观察图象， ①关于x的不等式的解集是，说法正确； ②令，则， ∴当时，一次函数值的取值范围是，原说法错误； ③关于x的方程的解是，说法正确； ④关于x的不等式的解集是，说法正确． 综上，正确的说法是①③④； 故答案为：①③④； （3）解：∵， ∴或， 观察图象，的解集为， 的解集为， 综上，的解集为或． 题型三、一次函数性质与不等式 25．一次函数的图象上有，两点，下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，先求解一次函数与轴的交点坐标为：，再结合图象求解即可． 【详解】解： 当，则， 解得：， ∴一次函数与轴的交点坐标为：；如图， ∴当时，，当时，， 一次函数的图象上有，两点， ∴当时，则， ∴，， ∴，故D不符合题意，C符合题意； 当时，则， ∴的符号不确定，， ∴A，B都不符合题意； 故选：C 26．一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据该表反映的变化规律，下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 1 4 7 … A．的值随值的增大而减小 B．该函数的图象经过第一、三、四象限 C．关于的方程的解是 D．不等式的解集为 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据表格信息结合一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，的值随值的增大而增大，故选项A错误； ∴， 当时，， ∴该函数的图象经过第一、二、三象限，故选项B错误； 当时，，故关于的方程的解不是，故选项C错误； ∵的值随值的增大而增大，且当时，， ∴不等式的解集为；故选项D正确； 故选D． 27．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和的上方，画出临界状态图象分析即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得：当直线与直线平行时符合题意， 或者，当与x轴的夹角大于直线与x轴的夹角也符合题意， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，， ∴m的取值范围为． 28．已知一次函数过点 (1)求这个一次函数的表达式． (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求一次函数解析式和一次函数的性质. （1）设把点代入解析式即可求得； （2）求出当时，对应的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数过点， ， ， ， 一次函数的表达式为； （2）一次函数，当时，；当时，， 当时， 29．已知一次函数（为常数，）的图象经过点． (1)求的值； (2)不等式组的解集是__________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了对一次函数与一元一次不等式，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由（1）知一次函数的解析式为，令，求出一次函数的图象经过点，再结合一次函数的图象经过点，即可解答． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点， 则， 解得：； （2）解：由（1）知， 则一次函数的解析式为， 令，解得：， 则一次函数的图象经过点， ∵一次函数的图象经过点， ∴不等式组的解集是． 30．已知y与成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)若，求x的取值范围； (3)这个函数的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求一次函数解析式、解一元一次不等式、一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设，再利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，解一元一次不等式即可得解； （3）求出、的坐标，从而可得、长，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵y与成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意可得：， 解得：； （3）解：在中，当时，，即， ∴， 当时，，解得，即， ∴， ∴的面积为． 31．如图，这是一个“数值转换机”．当输入的值时，通过不同的取值会得到对应的的值，表格中给出了几组的值以及对应的的值． 根据以上信息，解答下列问题： (1)当时，求与之间的关系式． (2)当时，求输入的的值． (3)若输出的值为正数，则输入的的取值范围是________． 【答案】(1)； (2)当时，输入的的值为或； (3) 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式、利用一次函数的图象求不等式的解集． 把、和、代入，用待定系数法求出、，即可得到一次函数的解析式； 把分别代入和，求出的值即可； 在平面直角坐标系中画出函数图象，根据，可得关于的不等式：，，解不等式求出的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意，当时，，即， 当时，，即， 可得：， 解得：， 当时，与之间的关系式是；     （2）解：若，则， 解得：，，符合题意； 若，则， 解得：，，符合题意； 综上所述，当时，输入的的值为或； （3）解：， 根据题意，与的函数图象大致如图所示， 当为正数时，对应函数图像在轴的上方， 可得：，， 的取值范围是， 故答案为：． 题型四、绝对值不等式问题 32．新定义：对于两个实数、，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时， ； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与不等式，一次函数的图象及性质，能够根据定义，画出分段函数的图象，数形结合解题是关键． （1）利用新定义求得即可； （2）根据题意，当时，，当时，，再数形结合解题即可． 【详解】解：（1）当时，， 故答案为：； （2）当时，， 当时，， 如图： 当直线经过点时，， 当与直线平行时，， 时，直线与函数的图象有两个交点， 故答案为：． 33．先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 【答案】(1)；或 (2) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、二元一次方程组的特殊解法，求一元一次不等式组的整理数解等知识点，理解绝对值的几何意义是解答本题的关键． （1）根据阅读材料的结论即可解答； （2）先将二元一次的方程组的两方程求和可得，再代入得到关于的绝对值方程，然后求解，最后确定满足题意的的值即可． 【详解】（1）解：由阅读材料提供方法可得：的解集为； 的解集为或． 故答案为；或． （2）解：二元一次方程组 可得：，即 ， 是正整数 ． 34．某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数的图象和性质做了探究．下面是该学习小组的探究过程，请补充完整： (1)上表是与的几组对应值，请将表格补充完整：表格中的值为 ，的值为 ． (2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象． (3)请观察函数的图象，直接写出如下结论： 当自变量 时，函数的最小值为 ； 方程的解集为 ； 函数与的图象只有两个交点，其中交点坐标分别是和．当时，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)，； 或； ． 【分析】根据表格中的数据可知与 的函数关系式应为，分别把和代入函数的解析式求出、的值即可； 根据表格中的数据，描点、连线即可画出函数图象； 由中的函数图象可知：当时，函数有最小值，最小值为； 因为不等式，所以可得不等式：或，解不等式求出解集即可； 把点和代入一次函数中，利用待定系数法求出、的值，即可得到一次函数的解析式为，画出函数图象，根据图象写出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：由表格中的数据可知与 的函数关系式应为， 当时，， 即， 当时，， 即， 故答案为：，； （2）解：画图如下， （3）解：由图象可知：当时，函数有最小值，最小值为； 故答案为：，； 不等式， 可得：或， 当时，解得：， 当，解得：， 不等式的解集为：或， 故答案为：或； 当一次函数的图象经过点是和时， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式为， 画函数图象如下， 从图象上可以看出：当时，． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与一元一次不等式、函数图象上点的坐标的求法、函数图象的画法，熟练掌握函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法是解决本题关键． 35．小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是 ； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查解绝对值不等式，解题的关键是读懂题目中绝对值的几何意义,利用几何意义进行解题． （1）先根据绝对值的定义，再根据题意即可得； （2）将化为后，求出当时，或，根据以上结论即可得； （3）将化为，再根据题意即可得． 【详解】（1）解：根据题意可得，的解集是或． 故答案为：或； （2）解：由得到， 根据绝对值的定义，当时，或，分界点把数轴分为三部分： 点左边的点表示的数与的差的绝对值大于16； 点，之间的点表示的数与的差的绝对值小于16； 点右边的点表示的数与3的差的绝对值大于16 ∴的解集为或； ∴的解集为或； （3）解：∵ ∴ 根据绝对值的定义，当时，或，分界点把数轴分为三部分： 点的左边的点表示的数的绝对值大于8； 点，之间的点表示的数的绝对值小于8； 点8右边的点表示的数的绝对值大于8． 因此，绝对值不等式的解集是或． ∴不等式的解集是或． 故答案为：或． 36．已知、在数轴上分别表示、. (1)对照数轴填写下表： 、两点的距离 (2)写出数轴上到和的距离之和为的所有整数，并求这些整数的和； (3)若数轴上表示数a的点位于与6之间，求的值； (4)若x表示一个有理数，且，求有理数的取值范围． 【答案】(1)6；2；12 (2)0 (3)10 (4)或 【分析】（1）根据数轴上点表示的有理数，即可求出两点间的距离． （2）由数轴上两点间的距离，可得出只要在和7之间的整数均满足题意，进而即可求解． （3）由题意得：，去绝对值即可求解． （4）分类讨论：当时；当时；当时；去绝对值，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：当，时，A、B两点的距离为； 当，时，A、B两点的距离为； 当，时，A、B两点的距离为， 、两点的距离 6 2 12 故答案为：6、2、12． （2）7到的距离为，     7到之间的所有整数，均满足到和的距离之和为， ∴ 数轴上到7和的距离之和为14的所有整数有：，，，，，，，0，1，2，3，4，5，6，7； ， 答：所有这些整数的和为0． （3）由题意得：， 则． （4）当时， 不等式，即：， 解得：； 当时， 不等式，即， 则无解， 当时，不等式，即：， 解得：， 综上所述：有理数x的取值范围为：或． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离、解一元一次不等式及绝对值的意义，熟练掌握数轴上两点之间的距离及绝对值不等式的解法是解题的关键． 37．在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集．确定的解集过程如图1： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： (1)请将小明的探究过程补充完整； 所以，的解集是或______①___________． 再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，请你在图2的数轴上确定范围②； 所以，的解集为：_______③________． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式的解集为___________④___________，的解集为___________⑤___________． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： (2)求绝对值不等式的解集． 【答案】(1)①；②见解析；③；④或；⑤； (2)． 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法、绝对值的性质；熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键． （1）根据题意即可求得； （2）将的数字因数2化为1后，根据以上结论即可得． 【详解】（1）解：①∵， ∴或 故答案为：． 如下图： ∵， ∴ 故答案为：； ∵ ∴或； 故答案为：或 ∵ ∴； 故答案为： （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 38．阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了绝对值及不等式的知识： （1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或求解即可； （2）先求出的解，再求的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 【详解】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或， ∴方程的解为或， 故答案为：或． （2）在数轴上找出的解， ∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点对应的数为或8， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值， ∵在数轴上3和对应的点的距离为7， ∴满足方程的x对应的点在3的右边或的左边． 若x对应的点在3的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 39．规定：表示取一组数据中的最大的数，例如：． (1)___________． (2)若，求的值； (3)①若，则的最小值为___________； ②已知点，当最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或； (3)①；②点 【分析】（1）找出中最大数即可求解； （2）根据题意分和两种情况讨论，即可求解； （3）①根据题意分和两种情况讨论，得到，据此即可求解； ②根据题意得当时，才能取最小，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：当时， ∴或， 当时，，满足条件； 当时，，不满足条件，舍去； 当时，； ∴或， 当时，，满足条件； 当时，，不满足条件，舍去； 综上所述，或； （3）解：①当时，； 当时，； 综上所述，； ∴的最小值为； ②当时，才能取最小， ∴或； 当时，； 当时，； 而，因此时，最小， 则点． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集、理解新定义列出不等式组是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 40．认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少? (3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：    由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______； ②利用数轴解不等式，并加以说明． 【答案】(1)3， (2)，最小值为1 (3)①；② 【分析】（1）利用绝对值的意义计算和表示相应距离即可； （2）分析出的意义，结合数轴找到合适的值即可； （3）①仿照所给例即可求解；②分三种情况，并结合数轴求解． 【详解】（1）解：C到B的距离为； A到B的距离与A到C的距离之和可表示为； （2）表示数轴上x与3和x与2的距离之和，    故当时，取最小值，且为； （3）①的解集为或， 故答案为：或； ②当时，， ∴； 当时，， ∴x无解； 当时，， ∴； 综上所述：或．    【点睛】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握绝对值的意义，理解题意，分类讨论是解题的关键． 41．阅读理解： 例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________ (2)解不等式：． (3)解不等式：． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）利用在数轴上到对应的点的距离等于5的点对应的数为5或，求解即可； （2）先求出的解，再求的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为或5， ∴方程的解为：或， 故答案为：或． （2）解：在数轴上找出的解，如图：    ∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）解：在数轴上找出的解， 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的的值， ∵在数轴上4和对应的点的距离为6， ∴满足方程的x对应的点在4的右边或的左边， 若x对应的点在4的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题主要考查了绝对值，不等式，数轴上两点间的距离公式，解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 42．（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则： ①“”可理解为 ； ②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ． 我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或， 绝对值不等式的解集是．则： ①不等式的解集是 ． ②不等式的解集是 ． （3）【拓展应用】解不等式，并画图说明． 【答案】（1）①数在数轴上对应的点到原点的距离小于；②；3； （2）①或；②；（3）或，见解析． 【分析】（1）①类比题目所给的信息即可解答；②写出符合题意的两个整数即可（答案不唯一）； （2）①类比题目中的解题方法即可解答；②类比题目中的解题方法即可解答； （3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集，就是数轴上表示数的点到表示与的点的距离之大于的所有的值，由此即可确定不等式的解集． 【详解】（1）①由题意可得，“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于． 故答案为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于； ② 令， 使不等式“”成立的整数为，， 故答案为：，． （2）①由题意可知， 不等式的解集是或， 故答案为：或； ②由题意可知，不等式的解集为： ， 即， 故答案为：； （3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集就是数轴上表示数的点，到表示与的点的距离之和大于的所有的值， 如下图所示， 可知不等式的解集是或． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 题型五、一元一次不等式的综合应用问题 43．如图，是平面直角坐标系中的一个动点，直线与轴、轴分别交于点，． (1)求直线的解析式； (2)判断点是否有可能落在直线上？并说明理由； (3)点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点． 直接写出点的坐标； 当点在的内部（不包括边界）时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)有可能，当的坐标是时，点落在直线上，见解析； (3)点的坐标是；． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、一次函数的平移、求一次函数的解析式，解决本题的关键是待定系数法求一次函数的解析式，然后再利用一次函数的图象与性质求解． 把点的坐标代入，得到关于的一次方程，解方程求出的值即可； 把代入，得到关于的一元一次方程，解方程求出的值，再根据的值求出点的坐标即可判断； 先根据一次函数的解析式求出点的坐标，再根据平面直角坐标中点平移时，左减右加，上加下减求出点的坐标； 根据点的坐标可知：点在直线上，用待定系数法求出直线的解析式为，因为点在的内部（不包括边界），所以可得不等式组，解不等式组求出的取值范围． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 解得：， 直线l的解析式为； （2）解：有可能，理由如下： 把代入， 得：， 解得：， ， 当的坐标是时，点落在直线上； （3）解：当时，可得：， 点的坐标为， 把点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度可得：点的坐标是； 是平面直角坐标系中的一个动点， 点在直线上， 设直线的解析式为， 把点，代入， 可得：， 解得：， 可得：直线的解析式为， 在的内部（不包括边界）的点的坐标满足： 当时，解得：； 当时，解得：， 在的内部（不包括边界）的点的坐标满足：， 点在的内部（不包括边界）， ． 44．综合与实践 学习小组根据学习一次函数的经验，对函数和的交点问题进行了探究．下面是探究的过程，请补充完成： 【动手操作】 （1）如图所示，在同一坐标系中，作出这两个函数的图象：经过点（2， ）和画的图象；经过点（ ，0）和画的图象． 【观察实践】 （2）观察发现，这两个函数图象在第二象限内相交，请写出这个交点的坐标； 【应用迁移】 （3）结合图象，直接写出方程组的解； （4）结合图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1）3；；图见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】此题考查一次函数的图象与性质以及一次函数和不等式的关系． （1）将代入，令，求出坐标，再根据要求画出图象即可； （2）观察图象，写出交点的坐标即可； （3）根据交点的坐标即可得到结论； （4）根据图象的交点，写出当一次函数位于图象上时求x的取值范围即可． 【详解】解：（1）当时，， 当时，， 两个函数的图象如图所示： 故答案为：3；； （2）观察图象知，交点的坐标为； （3）观察图象知，交点的坐标为， ∴方程组的解为； （4）满足时自变量x的取值范围是． 45．在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（为常数）的图象．若函数|（为常数）与直线有交点、，现给出以下结论，其中正确结论的序号是 ． ①的面积总为2； ②若函数（为常数）图象在直线下方的点的横坐标满足，则的取值范围为； ③若，则的解集为； ④当，若正比例函数与（为常数）的图象只有一个公共点，则． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，两条直线平行问题，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键．求得、的坐标，即可得出，利用三角形面积公式求得△的面积即可判断①；根据满足，即可求出的取值范围，可以判断②；求得直线与函数的交点为，，，根据图象即可判断③；求得直线与直线平行，与直线平行时的的值，根据图象即可求得正比例函数与为常数）的图象只有一个公共点时的的取值，可以判断④． 【详解】解：①把代入为常数）得，， 解得或， ，，，， ， ，故①正确； ②当时，，； 当时，即， 的取值范围为．故②正确； ③由，解得， 由，解得， 直线与函数的交点为，，， 则的解集为，故③正确； ④时，直线与直线平行，时，直线与直线平行， 正比例函数与为常数）的图象只有一个公共点，则或．故④错误． 故答案为：①②③． 46．把一次函数（k，b为常数，）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V”形图象，例如，如图1就是函数的“V”形图象． (1)请在图2中画出一次函数的“V”形图象，并直接写出该“V”形图象的函数表达式及自变量x的取值范围； (2)在（1）的条件下，若一次函数的“V”形图象与x轴交于点A，与直线相交于B，C两点，求的面积； (3)一次函数（k为常数）的“V”形图象经过，两点，且，求k的取值范围． 【答案】(1)图象见解析； (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的应用及两直线的交点问题、一次函数的基本性质等，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键． （1）根据题意作出相应函数图象， （2）由一次函数解析式确定点A的坐标即可,然后联立求出交点坐标，结合图形求三角形面积即可； （3）对的取值范围进行分类讨论，利用一次函数的增减性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， 该“V”形图象的函数表达式为 （2），当时，， ∴点的坐标为 由图可得：线段所在直线的解析式为， ∴， 解得 ∴ 线段所在直线的解析式为， ∴， 解得 ∴ 由（1）得： ∴的面积； （3）∵直线（，且为常数） 当时， ∴经过定点 当时， ∴该图象与x轴交点 ①当时，当，则对称轴为直线， ∵， 由图象可知， 解得 ∴ ②当时，由图象可知，始终有 综上所述，或． 47．若不等式只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式为n阶不等式．我们规定：当时，这个不等式为0阶不等式． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式有3个正整数解，因此称其为3阶不等式． 请根据定义完成下列问题： (1)是　　　阶不等式；是　　阶不等式组； (2)若关于x的不等式是4阶不等式，a的取值范围为　　　； (3)关于x的不等式的正整数解有，，，，…，其中…．如果是阶不等式，且关于x的方程的解是不等式的正整数解，直接写出m的值以及n的取值范围． 【答案】(1)0，3 (2) (3)， 【分析】（1）求出题中的不等式（组）的解集，再根据已知所给定义即可得到解答； （2）首先根据已知求出原不等式组的正整数解，然后可得a的取值范围； （3）根据已知可得关于m的方程，求出m后可以用数轴表示出不等式组的正整数解，根据数轴即可得到n的取值范围． 本题考查新定义有理数运算的综合应用，熟练掌握不等式（组）的求解及用数轴表示解集是解题关键． 【详解】（1）解：∵当时，则无正整数解， ∴是0阶不等式； ∵ ∴ ∴． ∴有3个正整数解，为1，2，3． ∴是3阶不等式组． 故答案为：0，3； （2）解：∵关于x的不等式是4阶不等式， ∴x有4个正整数解，为：1，2，3，4， ∴． 故答案为：； （3）解：∵关于x的方程的解是不等式的正整数解， ∴ ∴，， ∴m为偶数，且， ∴， ∴， ∴可得图如下所示： ∴的取值范围是． 48．在平面直角坐标系中，对于任意两点M，N给出如下定义：点M，N的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和叫做这两点之间的“直角距离”，记作；，即点与点之间的“直角距离”为．已知点，点． (1)A与B两点之间的“直角距离”　　； (2)点C（t，0）为x轴上的一个动点，当t的取值范围是 　　时，的值最小； (3)若动点P位于第四象限，且满足，请在直角坐标系中画出点P的运动区域．（用阴影表示） 【答案】(1)8 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据“直角距离”的定义计算即可； （2）先根据“直角距离”的定义得到，再根据绝对值的几何意义求解即可； （3）先根据“直角距离”的定义得到，再分别对x，y的值分情况讨论，即可分别求出满足条件的范围，再根据求得的范围画图即可． 【详解】（1）解：点，点， ； 故答案为：8； （2）解：， 当时，的值最小； 故答案为：； （3）解：设， ， ， 当时，， 即， ① 当时，，不等式无解，舍去； ②当时，，解得， ； 当时，， 即， ①当时，，解得，舍去； ②当时，，化简得； 当时，， 即， ①当时，，不等式无解，舍去； ②当时，，解得，舍去； 综上所述符合条件的情况有两种：，和，； 据此画出如下图形． 【点睛】本题考查画一次函数的图象，绝对值的几何意义，解一元一次不等式，坐标与图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 49．在平面直角坐标系中，给出如下新定义：对于任意一点和给定的正整数n，如果满足，则把点称作“精致点”． (1)是“精致点”，当，时， ； (2)在第一象限内，当时， ①设“精致点”的横坐标为x，那么纵坐标可以用含x的代数式表示为 ； ②如图直线l经过和，求出直线l所对应的函数表达式，并判断该直线在第一象限内是否存在“精致点”．如果有，请求出其“精致点”的坐标，如果没有，请说明理由； (3)若直线上存在“4−精致点”，请直接写出实数b的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②，该直线在第一象限内不存在“精致点”，见解析 (3) 【分析】根据“精致点”的定义，将n和x代入即可得y值； ①根据“精致点”的定义，将n代入，再根据点在第一象限，去绝对值求解即可； ②求出直线l的表达式，再联立求出交点坐标，看其是否在第一象限即可判断； 利用解析式设P坐标为，根据“精致点”定义可知，去绝对值分类讨论，用b表示出m，进而建立不等式求解即可． 【详解】（1）， ， 当时，， 故答案为：； （2）①当时， ， 点P在第一象限， ， ， 即， 故答案为：； ②设直线l的表达式为， 直线l经过和， ， 解得， 直线l的表达式为； 结论：该直线在第一象限内不存在“精致点”， 由①知：在第一象限内有“精致点”， 可化为， 联立， 解得， 此时交点不在第一象限，即该直线在第一象限内不存在“精致点”； （3）在上， 设， 点P是“精致点”， ， ①当时， ， ， ， 解得：； ②当时， ， ， ， 解得； 综上， 【点睛】本题主要考查了新定义内容、一次函数的图象和性质、二元一次方程组、解一元一次不等式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 50．如图，平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度再向下平移6个单位长度得到点B，直线经过点A，B，直线：其中． (1)在图中画出直线，并求直线的解析式； (2)嘉嘉说：无论k为何值，将直线上的任意点向右平移k个单位长度，再向下平移2k个单位长度后仍会落在直线上． 淇淇说：无论k为何值，直线总经过一个定点，且该定点在直线上．请选择其中一人的说法进行说理； (3)①若直线，与y轴所围成的三角形面积为6，求k的值； ②将直线向下平移16个单位长度，直线向右平移3个单位长度，若平移后两条直线交点在第三象限，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3) 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）嘉嘉：设点，则平移后坐标为：，当时，，即可求解；淇淇：，即可求解； （3）①由直线，与y轴所围成的三角形面积，即可求解； ②直线、平移后的表达式分别为：、，联立上述两个函数表达式得：，即可求解． 本题为一次函数综合运用，涉及到解不等式、图象的平移、面积的计算等，熟悉函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解： 先向右平移3个单位长度再向下平移6个单位长度得到点B，则点， 设直线的表达式为：， 将点A的坐标代入上式得：，则， 即直线的解析式为：， 函数图象如下： （2）解：嘉嘉：设点，则平移后坐标为：， 当时，， 故嘉嘉说法正确； 淇淇：，即函数过定点， 故淇淇说法正确； （3）解：①设直线AB交y轴于点，直线交y轴于点， 则直线，与y轴所围成的三角形面积， 解得：或； ②直线、平移后的表达式分别为：、， 联立上述两个函数表达式得：， 解得：，， 两条直线交点在第三象限， 则且， 当时， 解得：； 当时， 解得：或， 综上， 试卷第62页，共64页 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$