11.2不等式的性质（3大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（鲁教版五四制）

10.2不等式的性质 题型一、不等式的性质 1．若，则下列不等式中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 5．下列叙述不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．已知，则下列不等式一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 7．已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．设，有下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中，成立的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．若，则下列各式中一定成立的是（　　） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 10．已知，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 11．命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 12．若，则 ． 13．若，则 ．（选填“”“ ”或“”） 14．写出下列不等式变形的依据： （1）由，得．依据是 ； （2）由，得．依据是 ； （3）由，得．依据是 ． 15．比较大小，用“”或“”填空：若，且，则 ． 16．用“”或“”填空： （1） ；     （2） ； （3）若，则有 ， ； （4）若，则 ， ． 题型二、不等式性质的应用 17．三角形的三个内角分别为α，β，γ，且，，则β的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．已知，，，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 19．若，，则下列判断错误的是（     ） A． B． C． D． 20．已知实数，满足：，且，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 21．已知a，b，c为非零实数，且满足，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 22．已知实数m，n满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 23．已知实数a，b满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 24．若，，则点在第 象限． 25．如果，则 ．（填或） 26．若，，，则的最小值是 ． 27．已知在整数和a之间，则a的值为 ． 28．设，用“＜”或“＞”号填空 （1） ；  （2） ； （3） ；    （4） ． 29．（1）已知，是否一定有？请说明理由． （2）已知，是否一定有？请说明理由． 30．在如图1所示的计算程序中，输入一个实数x，便可输出一个相应的实数y． (1)若输入x的值为，求输出y的值； (2)若输出的y落在如图2所示的范围内，求x的最大整数值． 31．已知多项式，满足，且为正整数，将其中的个“”改为“”后得到一个新多项式．下列说法中正确的个数是（    ） ①当（为偶数）时，新多项式的值可能为； ②当时，若，，均为正整数且，得到的新多项式的值恒为非负数，则； ③当，时，对新多项式取绝对值后化简的结果共有种． A．0 B．1 C．2 D．3 32．已知多项式，，（a，b为常数），下列说法： 其中正确的个数是（   ） ①当时，无论x，y取何值，都有； ②若，且，则； ③若，则存在整数x，y，使得； A．0 B．1 C．2 D．3 33．嘉琪同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序． (1)若开始输入为，请你根据程序列出算式并计算出输出结果； (2)嘉琪发现将一个小于的数输入，得到的结果总是正数．请验证这个结论． 34．小明在比较与的大小时，采用一种不同的方法，写出如下的解题过程： 因为，所以，所以． (1)这种比较大小的方法通常称作作差法，过程中由得到，即由得到的理论是______； (2)利用上述方法比较与的大小； (3)利用上述方法比较与的大小． 35．在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，..，，，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上(如图)，这五张卡片分别记为，，，，，张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大.下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是 (填，，，，) 卡片编号 两数的和 36．利用我们学过的完全平方公式与不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，阅读下列两则材料： 材料一：已知，求的值． 解：，， ， ． 材料二：探索代数式与是否存在最大值或最小值？ ①． 代数式有最小值； ②， ．代数式有最大值4． 学习方法并完成下列问题： (1)代数式的最___________（填“大”、“小”）值为___________； (2)已知为有理数，且满足．若有最大（或最小）值，请求出其最大（或最小值）；若没有最大（或最小）值，请说明理由； (3)已知的三条边的长度分别为，且，且为正整数，求周长的最小值． 试卷第2页，共25页 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.2不等式的性质 题型一、不等式的性质 1．若，则下列不等式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是确定使用了不等式的哪个性质，不等号的方向是否发生变化． 根据不等式的基本性质逐项判断可得答案． 【详解】解：A，∵，则，故此选项成立； B，∵，则，故此选项成立； C，∵，则，∴，故此选项成立； D，∵，∴，故此选项不成立． 故选：D． 2．若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴，故C不符合题意； D、∵， ∴， ∴，故D符合题意； 故选：D． 3．已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，，故ABC成立，不符合题意； 当时，，当时，，故D不成立，符合题意； 故选：D． 4．若，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式，可以采用特殊值的方法进行判断． 【详解】解：A、取，，满足，但，故此选项判断错误，不符合题意； B、取，，满足，但，故此选项判断错误，不符合题意； C、取，，满足，但，故此选项判断错误，不符合题意； D、若，则，故此选项判断正确，符合题意； 故选：D． 5．下列叙述不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于 0 的数，不等号方向改变，由此逐项判断即可． 【详解】解：A，∵，∴，故A正确，不符合题意； B，∵，∴，故B错误，符合题意； C，∵，∴，故C正确，不符合题意； D，∵，∴，故D正确，不符合题意； 故选：B． 6．已知，则下列不等式一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质1：把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故A符合题意； B．∵，， ∴，故B不符合题意； C．∵， ∴，故C不符合题意； D．∵， ∴，故D不符合题意． 故选：A． 7．已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 不等式的两边同时加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变．不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，依据不等式的基本性质进行判断． 【详解】解：A、由，两边都减1，不等号的方向不变，即，故A不符合题意； B、由，两边都乘以2，不等号的方向不变，即，故B不符合题意； C、由，两边乘，不等号变向，得到，两边都减1可得，故C符合题意； D、两边都乘以，若时，不等号的方向改变，不成立，故D不符合题意． 故选：C． 8．设，有下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中，成立的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，，， ∴式子①②④⑤成立，共4个． 故选：D 9．若，则下列各式中一定成立的是（　　） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，④不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可． 本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：①∵，则，故本选项符合题意； ②∵，则，故本选项不符合题意； ③∵，则，故本选项不符合题意； ④∵，则，则，故本选项符合题意； 故选D． 10．已知，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向不变，不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质进行判断即可． 【详解】解：由，得，故选项A，选项B，选项C错误，选项D正确， 故选：D． 11．命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题主要考查命题以及不等式的性质，根据不等式的性质得出，从而可得出结论． 【详解】解：， ， ∵， ， 故这是一个真命题． 故答案为：真． 12．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．若，则 ．（选填“”“ ”或“”） 【答案】 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质是解答的关键．根据不等式的基本性质1“不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变”求解即可． 【详解】解：根据不等式的基本性质2，若，则， 故答案为：． 14．写出下列不等式变形的依据： （1）由，得．依据是 ； （2）由，得．依据是 ； （3）由，得．依据是 ． 【答案】 不等式性质1 不等式性质2 不等式性质1 【分析】（1）根据等式两边加上（或减去）同一个数，不等号方向不变求解； （2）根据不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变求解； （3）根据等式两边加上（或减去）同一个含有字母的式子，不等号方向不变求解． 【详解】（1）由，得．依据是不等式性质1； 故答案为：不等式性质1； （2）由，得．依据是不等式性质2； 故答案为：不等式性质2． （3）由，得．依据是不等式性质1． 故答案为：不等式性质1． 15．比较大小，用“”或“”填空：若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的运算性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的性质分析出即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴ ∴ 故答案为：． 16．用“”或“”填空： （1） ；     （2） ； （3）若，则有 ， ； （4）若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质；熟记不等式的基本性质是解决问题的关键．根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）， ， 故答案为：； （3）， ， ，， 故答案为：，； （4）， ， ， ， 故答案为：，． 题型二、不等式性质的应用 17．三角形的三个内角分别为α，β，γ，且，，则β的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内角和先根据三角形的内角和定理表示出，然后根据及可确定的范围，从而可确定的范围． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 18．已知，，，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减、不等式的性质，利用作差法得到，再根据等式的性质得到，进而可作出判断． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴， ， 故选：B 19．若，，则下列判断错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质．先求得，得到，解得，再分别求得、和的取值范围即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得； ∴，则， 即； ∵，， ∴， ∴，即； ∵，， ∴， ∴，即， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 20．已知实数，满足：，且，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质．由得到，把，代入求出，进而得出，最后根据不等式的性质进行计算和推理一一判断即可求解． 【详解】解：A、， ， ， ， 故A正确，不符合题意； B、， ， ，即， 故B正确，不符合题意； C、， ， ， ， ， ，即， 故C错误，符合题意； D、， ， ， ， ， ，即， 故D正确，不符合题意； 故选：C． 21．已知a，b，c为非零实数，且满足，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质以及代数式的变形，解题的关键是利用将用和表示出来，再代入不等式进行分析． 先由得出，将其代入得到关于和的不等式，再对格选项逐一分析判断． 【详解】因为，所以，将代入，可得，进一步变形为， A、由不能直接推出，所以选项A错误； B、前面已推出，而不是，所以选项B错误； C、将代入可得：， 由两边同时乘以2得，即，选项C正确； D、将代入可得： 由两边同时乘以，可得，，选项D错误． 22．已知实数m，n满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，选项A错误，不符合题意； 同理：，即， ∴，选项B错误，不符合题意； ∴，，， ∴，，选项C错误，不符合题意；选项D正确，符合题意； 故选：D． 23．已知实数a，b满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的概念、不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．由题意得，再将变形为，整体代入可得，最后利用不等式的性质即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 又， ， ， ． 故选：A． 24．若，，则点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中第二象限的点的坐标的符号特点．牢记四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断其所在的象限，本题根据这些进行解答即可解决. 【详解】解：∵，， ∴，， ∴点在第二象限， 故答案为：二 25．如果，则 ．（填或） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质求解即可得． 【详解】解：∵， ∴（不等式的两边同乘以，不等号的方向改变）， ∴（不等式的两边同减去1，不等号的方向不变）， 故答案为：． 26．若，，，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查代入消元法、不等式的性质，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 把问题转化为，利用不等式的性质解决最值问题． 【详解】解：， ， ∴， ， ，即， ∵ ， ∴， 即， 时，的值最小，最小值为6． 故答案为：6． 27．已知在整数和a之间，则a的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了无理数的估算，属于基础题，解答本题的关键是掌握夹逼法的运用． 先估算出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵在整数和a之间 ∴． 故答案为：3． 28．设，用“＜”或“＞”号填空 （1） ；  （2） ； （3） ；    （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，，， 故答案为：，，，． 29．（1）已知，是否一定有？请说明理由． （2）已知，是否一定有？请说明理由． 【答案】（1）一定有，理由见解析；（2）不一定有，理由见解析． 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质即可判断； （2）根据不等式的性质即可判断． 【详解】解：（1）一定有，理由如下： ∵， ∴， ∴； （2）不一定有，理由如下： ①当时，； ②当时， ∴， ∴； ③当时， ∵， ∴． 30．在如图1所示的计算程序中，输入一个实数x，便可输出一个相应的实数y． (1)若输入x的值为，求输出y的值； (2)若输出的y落在如图2所示的范围内，求x的最大整数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了程序框图，含乘方的有理数混合运算，不等式性质，解题的关键在于正确理解程序框图． （1）根据程序框图列出算式，再结合含乘方的有理数混合运算法则求解，即可解题； （2）由图（2）知，，，再结合不等式性质求解，即可解题． 【详解】（1）解：若输入x的值为， 则有 ； （2）解：由图（2）知，，， 所以 ， 即， 所以x的最大整数值为． 31．已知多项式，满足，且为正整数，将其中的个“”改为“”后得到一个新多项式．下列说法中正确的个数是（    ） ①当（为偶数）时，新多项式的值可能为； ②当时，若，，均为正整数且，得到的新多项式的值恒为非负数，则； ③当，时，对新多项式取绝对值后化简的结果共有种． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的化简，不等式的性质，整式的规律探索，熟练根据题意正确列出多项式是解题的关键． ①中，正确举例即可得； ②中，根据，，均为正整数且，，得出，设，先判断，再得出当时，的新多项式的最小值为改变项前的“”，设最小值为，得出，得出时，；时，；时，，；又由，得，则可得，即可判断； ③中，逐一枚举，并利用不等式的性质进行化简即可得． 【详解】解：①例如，多项式，， 则， 新多项式可以为， 举例：， 则①正确； ②若，，均为正整数且，， ∴，，，，，，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， 其中，当时，， ∴， 当时，的新多项式的最小值为改变项前的“”， 设最小值为， 即， ∵时，，； 时，，； 时，，； 又∵， ∴， ∴， ∴只有当时，得到的新多项式的值恒为非负数， 故②正确； ③当，时，， 情况1：， ∵， ∴，，， ∴， ∴新多项式取绝对值化简结果为； 情况2：， ∵， ∴，，， ∴， ∴新多项式取绝对值化简结果为； 情况3：， ∵， ∴，，， ∴， ∴新多项式取绝对值化简结果为； 情况4：， 由无法判断的正负， ∴新多项式取绝对值化简结果为或； 情况5：， ∵， ∴，，， ∴， ∴新多项式取绝对值化简结果为； 情况6：， ∵， ∴，，， ∴， ∴新多项式取绝对值化简结果为； 情况7：， 由无法判断的正负， ∴新多项式取绝对值化简结果为或； 情况8：， 由无法判断的正负， ∴新多项式取绝对值化简结果为或； 情况：， 由无法判断的正负， ∴新多项式取绝对值化简结果为或； 情况：， 由无法判断的正负， ∴新多项式取绝对值化简结果为或； 综上，新多项式取绝对值后化简的结果共有种， 故③正确． 故正确的是①②③， 故选：D． 32．已知多项式，，（a，b为常数），下列说法： 其中正确的个数是（   ） ①当时，无论x，y取何值，都有； ②若，且，则； ③若，则存在整数x，y，使得； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，完全平方公式，平方的非负性等知识点，结合已知，依次对各个选项进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性进行判断即可，熟练掌握配方法的步骤是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴ ∵， ∵当时，， ∴， ∴，即，故①错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，，故②正确； ， 设， ∴， ∵ ， ∴， ∴要使， ∴， ∵是整数，，而不是整数， ∴不存在整数使得，故③错误， 综上所述，正确的有1个， 故选：B． 33．嘉琪同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序． (1)若开始输入为，请你根据程序列出算式并计算出输出结果； (2)嘉琪发现将一个小于的数输入，得到的结果总是正数．请验证这个结论． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，不等式的性质，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）首先用开始输入的数乘，求出积是多少；然后用所得的积除以2，求出商是多少；最后用所得的商减去即可． （2）这个数是x，得出程序的结果为，再令，代入验证即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设这个数是x，则， ， ， ，即得到的结果总是正数． 34．小明在比较与的大小时，采用一种不同的方法，写出如下的解题过程： 因为，所以，所以． (1)这种比较大小的方法通常称作作差法，过程中由得到，即由得到的理论是______； (2)利用上述方法比较与的大小； (3)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)不等式的基本性质1 (2) (3)当，即时，；当，即时，；当，即时， 【分析】本题主要考查不等式的性质、实数的大小比较及整式的加减运算，熟练掌握不等式的性质、实数的大小比较及整式的加减运算是解题的关键； （1）根据不等式的性质可进行求解； （2）由题意可得，然后进行作差，进而问题可求解； （3）作差可得，然后对a的值进行分类讨论即可求解 【详解】（1）解：由得到的理论是不等式的基本性质1． （不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）； 故答案为不等式的基本性质1． （2）解：， ， ． （3）解：， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，． 35．在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，..，，，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上(如图)，这五张卡片分别记为，，，，，张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大.下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是 (填，，，，) 卡片编号 两数的和 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质和不等式的应用，熟练掌握等式的性质和不等式的应用是解答本题的关键． 由题意得到关于的方程，然后作差利用不等式的性质，最后根据题意得结论． 【详解】解：设，，，，卡片上对应的数分别为，，，，， 则，，，，， ，得，所以， ，得，所以， ，得，所以， ，得，所以， ，得，所以， 所以，且， 所以卡片上的数最大， 故答案为：． 36．利用我们学过的完全平方公式与不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，阅读下列两则材料： 材料一：已知，求的值． 解：，， ， ． 材料二：探索代数式与是否存在最大值或最小值？ ①． 代数式有最小值； ②， ．代数式有最大值4． 学习方法并完成下列问题： (1)代数式的最___________（填“大”、“小”）值为___________； (2)已知为有理数，且满足．若有最大（或最小）值，请求出其最大（或最小值）；若没有最大（或最小）值，请说明理由； (3)已知的三条边的长度分别为，且，且为正整数，求周长的最小值． 【答案】(1)小， (2)有最大值，最大值为6 (3)15 【分析】本题考查了完全平方公式、偶次方的非负性、三角形的三边关系、不等式，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）先利用完全平方公式可得，再根据可得，由此即可得； （2）先求出，再利用完全平方公式可得，然后根据即可得； （3）先将已知等式变形为，根据偶次方的非负性可得，，从而可得，再根据三角形的三边关系可得，可得出整数的最小值，然后利用三角形的周长公式求解即可得． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为， 故答案为：小，． （2）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴有最大值，最大值为6． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的三条边的长度分别为， ∴，即， ∵为正整数， ∴整数的最小值为3， ∴周长的最小值为． 试卷第2页，共25页 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$