精品解析：2025年山东省济宁市济宁高新技术产业开发区九年级中考一模数学试题

2024—2025学年度第二学期第一次模拟学情监测 九年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 计算的结果是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 中国传统文化博大精深，下面四个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 京剧脸谱 B. 剪纸对鱼 C. 中国结 D. 风筝燕归来 3. 笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是寓意“规矩方圆”的一方砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，把一个含角的直角三角板的直角顶点C放在直尺上，，，则的度数是（ ） A. 10° B. 12° C. 15° D. 20° 6. 若是分式方程根，则a的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 下面是“作一个角使其等于”尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则. 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 9. 已知点，在直线（常数，）上，则有（　　） A. 最大值 B. 最大值9 C. 最小值 D. 最小值9 10. 如图，在中，是边上一动点（不与B，C重合），于点E．设给出下面三个结论： ① ② ③ 上述结论中，所有正确结论序号是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ② D. ①②③ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 今年嫦娥六号探测器再次奔赴月球，将实现世界首次月球背面南极艾特肯盆地采样返回，月球距离地球384000千米．其中384000用科学记数法表示为__________． 12. 若x＝1是关于x的一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是__________． 13. 十边形的每个内角都相等，则它的一个外角的度数为__________． 14. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则其侧面积为___________． 15. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点N是点M等和点．若点的等和点N在直线上，则______． 三、解答题：本题共8小题，共75分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）化简： 17. 小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗?小刚经过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州．假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为，从宜昌到荆州的速度约为．从奉节到荆州的水上距离约为．经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多．根据小刚的假设，回答下列问题： （1）奉节到宜昌的水上距离是多少？ （2）李白能在一日（）之内从白帝城到达江陵吗？说明理由． 18. 如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求的长． 19. 为了了解本年级的学生的身高情况，数学小组的同学从校医务室随机调取了一个班39人的身高数据，（单位：），以下是甲、乙、丙三个小组对数据整理的结果： 甲：39名学生的身高频数分布图（数据分成4组：，，，）： 其中，身高的数值在这一组的是： 161，161，162，162，162，163，163，163，163， 164，165，166，167，167，168，168，168，170． 乙：该班有20名女生和19名男生，女生和男生的身高数据的折线图： 丙：39名学生的身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 167 （1）写出表中和的值； （2）在男女两组学生中，身高数据更均匀的是________（填“男生”或“女生”）； （3）现需要从该班男、女生中各抽调6名学生参加该校运动会开幕式仪仗队，已知抽调的女生身高分别为166，168，168，171，172，173．男生已经确定的四名成员的身高数据为168，170，171，173，为了使被抽调的男生身高比女生身高的平均值略大，且仪仗队身高整体比较均匀，则选出的另外两名男生的身高分别为________和________． 20. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 21. 如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，． （1）求与的解析式； （2）当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围； （3）求的面积． 22. 如图1，以的直角边为直径画，过作斜边的垂线交于点，连结，交于点，交于点，连结． （1）求证：． （2）如图2，当是等腰直角三角形时． ①求的正切值；②求的值． （3）若，设，求关于的函数表达式． 23. 在平面直角坐标系xOy中，点，是抛物线（）上任意两点． （1）直接写出抛物线的对称轴； （2）若，，比较与的大小，并说明理由； （3）若对于，，总有，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期第一次模拟学情监测 九年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 计算的结果是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘法．根据“两数相乘，同号得正”即可求出结论． 【详解】解：． 故选：A． 2. 中国传统文化博大精深，下面四个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 京剧脸谱 B. 剪纸对鱼 C. 中国结 D. 风筝燕归来 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符符合题意； C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、该图形是既不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 3. 笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是寓意“规矩方圆”的一方砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据俯视图是从物体上面看到的图形即可解答，注意能看到的线用实线，看不到的线用虚线． 【详解】解：从物体上面看到的图形是：   故选：． 4. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方．根据同底数幂的乘除法法则、合并同类项的方法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能进行合并，故该项不符合题意； B、，故该项不符合题意； C、，故该项不符合题意； D、，故该项符合题意； 故选：D． 5. 如图，把一个含角的直角三角板的直角顶点C放在直尺上，，，则的度数是（ ） A. 10° B. 12° C. 15° D. 20° 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行公理推论，平行线性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是正确作出辅助线． 过点B作交于D，则，在中，，又在中，，则，从而求得，再证明，即可由平行线的性质求解． 【详解】解：过点B作交于D， ∵， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 6. 若是分式方程的根，则a的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意，把代入分式方程中，然后根据一元一次方程的解法，求出a的值即可． 【详解】解：将代入分式方程中， 可得：， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查了分式方程的解，解题的关键是熟练掌握分式方程解的意义． 7. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键在于掌握概率所求情况数与总情况数之比． 根据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，即可解题． 【详解】解：画树状图如下： 由图知，共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种， 两次都取到白色小球的概率为． 故选：D． 8. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则. 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【详解】解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 9. 已知点，在直线（为常数，）上，则有（　　） A. 最大值 B. 最大值9 C. 最小值 D. 最小值9 【答案】B 【解析】 【分析】将，代入可得，先求得，则，再计算，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：点，在直线上， ， ， 解得：， 将代入，得：， ， ， 抛物线开口向下，即有最大值， 当时，有最大值，最大值为9， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的特征，二次函数的最值，解题的关键是掌握配方法求函数的最值． 10. 如图，在中，是边上一动点（不与B，C重合），于点E．设给出下面三个结论： ① ② ③ 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ② D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】连接，当平分，即时，即证明，可得出，当不平分，若时，，若时，，可判定①错误；根据，又由，可得，可判定②正确；证明，得出，又根据，则可得出，可判定③正确． 【详解】解：连接， 当平分，即时， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴即； 若时，，即， 若时，，即， 故①错误； ∵，， ∴，即， ∵， ∴， 故正确； ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确； 故选：B． 【点睛】本题考查等腰直三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 今年嫦娥六号探测器再次奔赴月球，将实现世界首次月球背面南极艾特肯盆地采样返回，月球距离地球384000千米．其中384000用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：384000用科学记数法表示为． 故答案为：． 12. 若x＝1是关于x的一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是__________． 【答案】x2﹣x＝0（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用因式分解法求一元二次方程根的方法进行倒推即可，答案不唯一． 【详解】解：关于x的一元二次方程的一个根是1，则符合条件的一个一元二次方程可以是：x（x﹣1）＝0， 整理得：x2﹣x＝0． 故答案为：x2﹣x＝0（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，答案较为开放，符合题意即可，找到合适的方程是解题的关键． 13. 十边形的每个内角都相等，则它的一个外角的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的外角与内角，熟练掌握多边形的外角和等于360度是解决本题的关键． 利用十边形的外角和是360度，并且每个外角都相等，即可求出每个外角的度数． 【详解】解：∵， ∴它的每个外角的度数是， 故答案为：． 14. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则其侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】考查圆锥侧面积的计算，勾股定理，熟记侧面积计算公式是解题的关键． 根据已知和勾股定理求出母线的长，再根据圆锥侧面积公式即可求解． 【详解】解：由题意得母线长为， ∴其侧面积为， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点N是点M的等和点．若点的等和点N在直线上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求一次函数的解析式，理解新定义，是解题的关键．设点，根据新定义，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵点N在直线上， ∴设， ∵点N是点等和点， ∴， ∴； 故答案为：5． 三、解答题：本题共8小题，共75分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算及分式的混合运算， （1）先计算负整数指数幂、化简二次根式及特殊角的三角函数，然后计算加减即可； （2）先计算分式的除法，然后计算加减法即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗?小刚经过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州．假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为，从宜昌到荆州的速度约为．从奉节到荆州的水上距离约为．经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多．根据小刚的假设，回答下列问题： （1）奉节到宜昌的水上距离是多少？ （2）李白能在一日（）之内从白帝城到达江陵吗？说明理由． 【答案】（1）奉节到宜昌的水上距离为 （2）李白不能在一日之内从白帝城到达江陵，见解析． 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程应用题，找到等量关系列方程是解题关键． （1）奉节到宜昌的水上距离为千米，根据李白从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多列出方程，解方程即可; （2）用两段时间之和计算即可. 【小问1详解】 解：（1）设奉节到宜昌的水上距离是． 根据题意得：，解得． 答：奉节到宜昌的水上距离为． 【小问2详解】 ∵， ∴李白不能在一日之内从白帝城到达江陵． 18. 如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析 （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查了菱形的证明、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记定理内容是解题关键． （1）证得，可得四边形是平行四边形，即可进一步求证； （2）由题意得是等边三角形，根据即可求解. 【小问1详解】 解：四边形是菱形， 理由：∵，平分， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴4， 19. 为了了解本年级的学生的身高情况，数学小组的同学从校医务室随机调取了一个班39人的身高数据，（单位：），以下是甲、乙、丙三个小组对数据整理的结果： 甲：39名学生的身高频数分布图（数据分成4组：，，，）： 其中，身高的数值在这一组的是： 161，161，162，162，162，163，163，163，163， 164，165，166，167，167，168，168，168，170． 乙：该班有20名女生和19名男生，女生和男生的身高数据的折线图： 丙：39名学生的身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 167 （1）写出表中和的值； （2）在男女两组学生中，身高数据更均匀的是________（填“男生”或“女生”）； （3）现需要从该班男、女生中各抽调6名学生参加该校运动会开幕式仪仗队，已知抽调的女生身高分别为166，168，168，171，172，173．男生已经确定的四名成员的身高数据为168，170，171，173，为了使被抽调的男生身高比女生身高的平均值略大，且仪仗队身高整体比较均匀，则选出的另外两名男生的身高分别为________和________． 【答案】（1），； （2）女生； （3）167，174． 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、方差、中位数、众数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键． （1）中位数是第20位学生的身高，根据甲的频数分布图，可以知道第20位学生位于的第14个，从而找到中位数；根据乙的统计数据，可以知道174出现的次数最多，所以众数为174； （2）根据乙的折线统计图，可以知道女生的数据波动小一些； （3）女生的平均身高为169.6，已选的4位男生的平均身高为170.5，为了使被抽调的男生身高比女生身高的平均值略大，且仪仗队身高整体比较均匀，从而判断出另2个男生的身高． 【小问1详解】 因为样本数量是39，将这39人身高从低到高排列，中位数是第20位学生的身高， 根据甲的统计数据，可以知道，第20位学生的身高落在组， 因为有6个人， 所以第20位学生位于的第14个， 其中，身高的数值在这一组的是： 161，161，162，162，162，163，163，163，163， 164，165，166，167，167，168，168，168，170． 所以中位数为167； 根据乙的统计数据，可以知道174出现的次数最多， 所以众数为174； 故答案为：， 【小问2详解】 根据乙的折线统计图，可知女生的数据波动小一些， 所以女生的数据更均匀一些； 故答案为：女生． 【小问3详解】 已知抽调女生身高分别为166，168，168，171，172，173． 此时，女生平均身高为： 男生已经确定的四名成员的身高数据为168，170，171，173， 那么这四个男生的平均身高为 为了使被抽调的男生身高比女生身高的平均值略大，且仪仗队身高整体比较均匀， 那么另外两个男生的身高应选择和； 故答案为：167，174． 20. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据等腰三角形的性质计算出的值； （2）利用锐角三角函数求出长，然后根据计算即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：由题可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 21. 如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，． （1）求与的解析式； （2）当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象和性质，反比例函数与一次函数综合，求出一次函数与反比例函数图象交点坐标是关键； （1）根据题意可得，即有，问题随之得解； （2）表示反比例函数的图象在一次函数的图象上方时，对应的自变量的取值范围，据此数形结合作答即可； （3）若与y轴相交于点C，可得，则，根据，问题即可得解． 【小问1详解】 由题知， ∴， ∴，， ∴， 把，代入得， ∴， ∴； 【小问2详解】 由图象可知自变量x的取值范围为或 【小问3详解】 若与y轴相交于点C， 当时，， ∴，即：， ∴． 22. 如图1，以的直角边为直径画，过作斜边的垂线交于点，连结，交于点，交于点，连结． （1）求证：． （2）如图2，当是等腰直角三角形时． ①求的正切值；②求的值． （3）若，设，求关于的函数表达式． 【答案】（1）见解析 （2）①；② （3） 【解析】 【分析】本题考查圆的综合应用，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用同弧所对的圆周角相等得到，通过等量代换证明即可； （2）①过点作交延长线于点，连接，设圆的半径为，证明四边形是矩形得到，再求出，最后根据正切的定义可得答案；②设圆的半径为，则，，过点作交于点，则，结合，推导出，，即可得到； （3）连接，证明和，推导与的关系即可． 【小问1详解】 证明：， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：①如图所示，过点作交延长线于点，连接， 设圆半径为， 是等腰直角三角形，且， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴ 四边形是矩形， ， ∴， ； ②设圆的半径为，则， ∴， ∵， ∴； 如图所示，过点作交于点， ， ∴， ， ∴， ， ∴， ， ∴， ； 【小问3详解】 解：如图所示，连接， 是圆的直径， ， ， ， ； ∵， ∴ ∵， ， ， ， ． 23. 在平面直角坐标系xOy中，点，是抛物线（）上任意两点． （1）直接写出抛物线的对称轴； （2）若，，比较与的大小，并说明理由； （3）若对于，，总有，求m的取值范围． 【答案】（1）抛物线的对称轴为直线 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）利用抛物线对称轴公式求出即可； （2）根据条件点M、N都在对称轴右侧，根据函数增减性进行解答即可； （3）根据二次函数图象上点的坐标特征，分析中点坐标与对称轴的关系得到不等式，解不等式即可得到m的取值范围． 【小问1详解】 解：抛物线（）的对称轴为：， ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 ∵，抛物线开口向上，对称轴为直线，， ∴，都在对称轴右侧， ∵当时，y随x的增大而增大，且， ∴； 【小问3详解】 ∵，， ∵， ∴距离对称轴更近，，则的中点在对称轴的右侧， ∴， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $