精品解析：江苏省射阳中学2025届高三下学期阶段检测5数学试题

2025届高三数学学科阶段检测5 时间：120分钟 分值：150分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则中元素的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 若 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 甲同学每次投篮命中的概率为，在投篮6次的实验中，命中次数的均值为2.4，则的方差为（ ） A. 1.24 B. 1.44 C. 1.2 D. 0.96 4. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 直线 与圆 相交于 两点，当 面积最大时 的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6. 设为单位向量，且，若向量满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法错误的是（ ） A. 函数的一个对称中心为 B. C. 函数为周期函数，且一个周期为4 D. 8. 在正三棱柱中，，为的中点，若三棱锥的四个顶点均在球上，过作球的截面，则所得截面圆面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 复数 满足 ，则（ ） A. B. 纯虚数 C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据5，8，10，12，13的第40百分位数是9 B. 若随机变量X服从正态分布，，则 C. 20张彩票中有2张能中奖，现从中一次性抽取n张，若其中至少有一张中奖的概率大于0.5，则n的最小值为5 D. 已知数据，，…，的平均数为6，方差为10，现加入5和7两个数，则这8个数的方差 11. 已知数列满足：对任意的，总存在，使得，则称为“回旋数列”．以下结论中正确的是（ ） A. 若，则“回旋数列” B. 设为等比数列，且公比为有理数，则为“回旋数列” C. 设为等差数列，当，公差时，若为“回旋数列”，则 D. 若为“回旋数列”，则对任意，总存在，使得 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲､乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为的6个大小质地完全相同的小球，甲先从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得1分，数字更小者得0分，以此规律，直至小球全部取完，总分更多者获胜.甲获得3分的概率为__________. 13. 已知（为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线方程__________． 14. 已知点为抛物线的焦点，过的直线（倾斜角为锐角）与交于两点（点在第一象限），交其准线于点，过点作准线的垂线，垂足为，若，则____________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）化简，并求的值； （2）在锐角中，内角满足，求的值． 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若在区间上恰有一个零点，求的取值范围； 17. 我们把鱼在水中聚集的比较密的地方叫做鱼窝.某人在一湖中用粘网（也叫挂网）捕鱼，如果找到鱼窝下网，则捕到鱼的概率为；如果找不到鱼窝下网，则捕到鱼的概率为.若这个人能够找到鱼窝的概率为. （1）求此人能捕到鱼概率； （2）此人连续下网次，每次下网捕鱼之间相互独立，若能捕到鱼次数为，则为何值时，次捕到鱼的概率的值最大? 18. 如图，在五面体中，菱形的边长为，，. （1）证明：且. （2）求五面体体积的最大值. （3）当五面体的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知两点，平面内的动点到定点的距离与到直线的距离之比为，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）点在曲线上，且在第一象限，连接并延长与曲线交于点，以为圆心，为半径圆与线段交于点，记的面积分别为. （i）若点的坐标为，求证：； （ii）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三数学学科阶段检测5 时间：120分钟 分值：150分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则中元素的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先计算一元二次不等式得出集合B，再应用并集定义计算求解. 【详解】集合， 则元素的个数是3个. 故选：A. 2. 若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角公式求解即可. 【详解】由，得. 故选：A 3. 甲同学每次投篮命中的概率为，在投篮6次的实验中，命中次数的均值为2.4，则的方差为（ ） A. 1.24 B. 1.44 C. 1.2 D. 0.96 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项分布期望值公式以及方差公式计算可得结果. 【详解】根据题意可得命中次数服从二项分布，即； 即可得均值，解得； 所以的方差为. 故选：B 4. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数型复合函数单调性的求法可得参数范围. 【详解】由函数的定义域为， 设，则， 又单调递增， 当时，，，无单调性，不成立； 当时，在和上单调递增， 即在和上单调递增， 所以，则，即； 当时，在和上单调递减， 即在和上单调递减，不成立； 综上所述， 故选：C. 5. 直线 与圆 相交于 两点，当 面积最大时 的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出的面积是关于的一个式子，利用基本不等式即可求出答案. 【详解】圆心到直线的距离， 则弦长为， ， 当且仅当，即时， 面积取得最大值. 故选：B. 6. 设为单位向量，且，若向量满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】假设点坐标，由此可得对应点的轨迹，采用三角换元法，根据向量坐标运算可将表示为关于的函数，结合正弦函数值域可求得结果. 【详解】由题意可设：，，， ，， ，即， 可令，， ， 故选：C. 7. 已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法错误的是（ ） A. 函数的一个对称中心为 B. C. 函数为周期函数，且一个周期为4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由为奇函数，则，再将代入化简可求出对称中心；对于B，由选项A可得，再由为偶函数可得，令可求出；对于C，由的图象关于点对称，结合求出进行判断；对于D，利用赋值法求解判断. 【详解】对于A，因为为奇函数， 所以，即， 所以，所以， 所以函数的图象关于点对称，所以A正确， 对于B，在中，令，得，得， 因为函数为偶函数，所以， 所以， 所以， 令，则，所以，得，所以B正确， 对于C，因为函数的图象关于点对称，， 所以，所以， 所以4不是的周期，所以C错误， 对于D，在中令，则， 令，则，因为，所以， 因为，所以，所以D正确， 故选：C 【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的奇偶性、对称性和周期性，解题的关键是由已知条件化简后利用赋值法分析判断，考查计算能力，属于较难题. 8. 在正三棱柱中，，为的中点，若三棱锥的四个顶点均在球上，过作球的截面，则所得截面圆面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一,根据题意可得在外接圆上，即可的球为四棱锥的外接球，进而求解截面圆的最小值; 方法二, 根据题意可得在的外接圆上，即可的球为四棱锥的外接球，进而求解截面圆的最小值. 【详解】方法一：因为，所以点在的外接圆上， 所以三棱锥的四个顶点均在球上， 即球为四棱锥的外接球， 故球心在正方形的中心，则球的半径为． 过作球的截面，当所得截面圆面积最小时， 则截面圆圆心为中点（即过作截面垂线，垂足为中点）， 所以截面圆半径为1，所以面积最小值为． 方法二：因为，所以点在的外接圆上， 所以三棱锥的四个顶点均在球上， 即球为四棱锥的外接球， 故两点在球上，所以最小截面圆为以为直径的圆． 则截面圆圆心为中点（即过作截面垂线，垂足为中点）， 所以截面圆半径为1，所以面积最小值为． 故选：B. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 复数 满足 ，则（ ） A. B. 为纯虚数 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的模、纯虚数、复数运算等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，其中. 其模，已知，则，两边同时平方可得 ①. ，所以， 两边同时平方可得，即 ② 将①代入②可得：，化简可得，解得. 把代入①可得：，即，， 解得，所以. 选项A： 根据共轭复数的模的性质，对于复数，，已知，所以，故A正确； 选项B： 纯虚数是指实部为，虚部不为的复数，而的实部， 所以不是纯虚数，故B错误； 选项C： 当时，，则； 当时，，则，故C正确； 选项D： 当时，，则； 当时，，则. 所以，故D错误. 故选：AC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据5，8，10，12，13的第40百分位数是9 B. 若随机变量X服从正态分布，，则 C. 20张彩票中有2张能中奖，现从中一次性抽取n张，若其中至少有一张中奖的概率大于0.5，则n的最小值为5 D. 已知数据，，…，的平均数为6，方差为10，现加入5和7两个数，则这8个数的方差 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据百分位数的定义计算即可；对于B，利用正态分布的对称性计算即可；对于C，利用组合数计算概率，列得不等式求解即可；对于D，根据方差公式计算即可. 【详解】对于A，由，知数据5，8，10，12，13得第40百分位数是，故A正确； 对于B，由正态曲线的对称性，知，所以，故B正确； 对于C，由题意得，，又为正整数，得n的最小值为6，故C错误； 对于D，易知加入5和7两个数后，新数据的平均数仍为6， 由方差公式，得，解得， 则新数据得方差，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知数列满足：对任意的，总存在，使得，则称为“回旋数列”．以下结论中正确的是（ ） A. 若，则为“回旋数列” B. 设为等比数列，且公比为有理数，则为“回旋数列” C. 设为等差数列，当，公差时，若为“回旋数列”，则 D. 若为“回旋数列”，则对任意，总存在，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由题可得，然后由回旋数列定义可判断选项正误； 对于B，通过举特例可判断选项正误； 对于C，由回旋数列定义可得，据此可判断选项正误； 对于D，由A分析举特例可判断选项正误. 【详解】[对于A，由可得， 由可得， 取即可，则为“回旋数列”，故A正确； 对于B，当时，，， 由可得，故当时，很明显不成立， 故不是“回旋数列”，故B错误； 对于C，是等差数列，故，， 因为数列是“回旋数列”，所以， 即，其中为非负整数， 所以要保证恒为整数， 故为所有非负整数的公约数，且，所以， 此时，当时，；时，； 当时，，当为大于3的整数时，与奇偶性相反，则为正整数， 故满足题意，故C正确； 对于D，由A可知，当时，为“回旋数列”， 取，，显然不存在，使得，故D错误． 故选：AC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲､乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为的6个大小质地完全相同的小球，甲先从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得1分，数字更小者得0分，以此规律，直至小球全部取完，总分更多者获胜.甲获得3分的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】将问题转化为在三个盒子中各放入2个编号不同的小球，甲从每个盒子中各取一个小球，求甲取到每个盒子中编号较大小球的概率，然后可解. 【详解】将问题转化为：在三个盒子中各放入2个编号不同的小球，甲从每个盒子中各取一个小球，求甲取到每个盒子中编号较大小球的概率. 甲从三个盒子中各取一球，共有种取法，三个都是编号较大小球只有一种取法， 所以，甲获得3分的概率为. 故答案为： 13. 已知（为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线方程__________． 【答案】或（写出其中一个即可）； 【解析】 【分析】首先设出切点，再分别求切线方程，公切线的性质，列式求解. 【详解】设切线与函数的图象切于点，， 所以切线方程为，即 设切线与函数的图象切于点，， 则切线方程为，即， 若两条切线是一条直线，则，得， 得，解得：或， 当时，切线方程为，当时，切线方程为， 故答案为：或（写出其中一个即可）； 14. 已知点为抛物线的焦点，过的直线（倾斜角为锐角）与交于两点（点在第一象限），交其准线于点，过点作准线的垂线，垂足为，若，则____________． 【答案】2 【解析】 【分析】先联立方程计算求解的坐标，再求出所在直线斜率，可得的倾斜角，最后应用两角和的正切公式计算即可． 【详解】设所在直线方程为， 联立，得． 设，准线交x轴于点M，则， 又，，即， 联立 ，过的直线（倾斜角为锐角），解得（舍)或， 则，即， 设的倾斜角为，则， 由，， ， 可得； 故答案为：2． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）化简，并求的值； （2）在锐角中，内角满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将函数中的切化弦，再分子分母同时乘以，利用二倍角公式及辅助角公式即可化简，化简后将代入解析式即可求得结果. （2）将代入解析式，再由已知求出的取值范围，即可求出的值，再利用凑角及两角和差公式代入数值即可求得结果. 【小问1详解】 ，所以， 所以； 【小问2详解】 因为，所以，所以， 又因为且，所以，则， 因为，所以， 所以. 16. 已知函数. （1）讨论单调性； （2）若在区间上恰有一个零点，求的取值范围； 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导后分类讨论参数的范围可得单调性； （2）当时，由函数的单调性结合可得无零点；当时，令极小值小于零可得. 【小问1详解】 因为 所以， 当时，因为，所以， 即在定义域内单调递增： 当时，由； 由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在定义域内单调递增： 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，当时，在内单调递增， 且注意到， 因此在区间上无零点； 当时，考虑到，为使内有零点，则极小值点小于零， 即， 结合，则的取值范围为. 17. 我们把鱼在水中聚集的比较密的地方叫做鱼窝.某人在一湖中用粘网（也叫挂网）捕鱼，如果找到鱼窝下网，则捕到鱼的概率为；如果找不到鱼窝下网，则捕到鱼的概率为.若这个人能够找到鱼窝的概率为. （1）求此人能捕到鱼的概率； （2）此人连续下网次，每次下网捕鱼之间相互独立，若能捕到鱼的次数为，则为何值时，次捕到鱼的概率的值最大? 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式直接求解即可； （2）根据二项分布概率公式可表示出，采用不等式法可求得的范围，结合最大可确定的取值. 【小问1详解】 记事件为“此人能补到鱼”，事件为“此人能找到鱼窝”， 则，，， . 【小问2详解】 由（1）知：，， 假设当时，次补到鱼的概率最大， 则，解得：， 若的值最大，则，解得：， 又且，或， 即当或时，次补到鱼的概率的值最大. 18. 如图，在五面体中，菱形的边长为，，. （1）证明：且. （2）求五面体体积的最大值. （3）当五面体的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知证得平面，即可证得；取的中点，的中点，连接，，，可得，进而得平面，则，即可证得； （2）分别作，，垂足分别为，，连接，，，，由已知和（1）中结论，可得，设，可得五面体的体积为，利用导数求出其最大值即可； （3）（方法一）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算分别求出平面和平面的一个法向量，利用公式即可求得两个平面夹角的余弦值. （方法二）过点作于，过点作于，连接， 可得平面，则，可得平面，则， 则为平面与平面的夹角，在中，由三角函数定义求出，进而求得其余弦值. 【小问1详解】 在菱形中，，因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以. 取的中点，的中点，连接，，，则， 所以，故，，，四点共面， 因为，， 所以，，即， 因为四边形为梯形，所以与相交，所以平面， 又平面， 所以，而，所以. 【小问2详解】 分别作，，垂足分别为，，连接，，，， 由（1）知，则， 又，，平面， 所以平面，同理平面. 因为菱形的边长为，， 为的中点，为的中点，， 则，，又， 所以四边形是等腰梯形，由对称性可知 设，则，， 所以， 所以，， 所以五面体的体积为 ， ， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故当时，五面体体的最大，最大值为. 【小问3详解】 当五面体的体积最大时， ，， （方法一）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，， ，，，. 设平面的一个法向量为， 则，取，得， ，. 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. （方法二）过点作于，过点作于，连接， 由（2）知平面，则 又，平面， 所以平面， 又平面，则，， 因为，平面， 所以平面，又平面，则， 所以为平面与平面的夹角， 又，， 由（2）及已知，， 所以，，则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知两点，平面内的动点到定点的距离与到直线的距离之比为，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）点在曲线上，且在第一象限，连接并延长与曲线交于点，以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记的面积分别为. （i）若点的坐标为，求证：； （ii）求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）结合题意列式，化简即可求解； （2）（i）结合题意，利用两点间的距离公式及双曲线的定义即可证明；（ii）设点，由，可得，结合双曲线的标准方程，求出，可得，结合（i）得结论可得，又，继而可得，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 设，由题意得， 整理得，即， 所以曲线的方程为：. 【小问2详解】 （i）由（1）知， 因为曲线为双曲线，且为焦点，点在右支上， 所以，， . （ii）设点， ，即， ，即①， ， ， ， 将①代入上式得，又， 联立解得， 由（i）知，又， 由题意， 当且仅当等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何中与面积有关的最值问题，关键在于求出，由向量的运算可得，可以通过求出的值，两式相加即可求出，所以结合双曲线的方程，构造式子，整理可得，将代入即可求出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$