精品解析：辽宁省朝阳市建平县实验中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

建平县实验中学2024-2025下学期高二月考 数学试卷 高二数学组 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 某气象台天气预报的准确率为80%，则3次预报中恰有1次预报准确的概率是（ ） A. 9.6% B. 10.4% C. 80% D. 99.2% 2. 设随机变量X服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 某天李老师驾车在青年大街上行驶，前方刚好有两个红绿灯路口，李老师经过第一个红绿灯路口时是绿灯概率为，连续经过这两个红绿灯路口时都是绿灯的概率为.用事件表示“李老师经过第一个红绿灯路口时是绿灯”，事件表示“李老师经过第二个红绿灯路口时是绿灯”，则（ ） A. B. C. D. 4. 某班有60名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为 A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 5. 展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 2 7. 我国古代将“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团计划开展“六艺”讲座活动，要求活动当天每艺安排一节，连排节，且“数”必须排在第节，“射”和“御”相邻，则不同安排顺序共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 设双曲线的左、右顶点分别是，点是的一条渐近线上一点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9. （多选）已知三个正态密度函数的图像如图，则下列结论错误的是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 各项系数之和为1 B. 二项式系数之和为 C. 存在常数项 D. 的系数为12 11. 商场某区域的行走路线图可以抽象为一个的正方体道路网（如图，图中线段均为可行走的通道），甲、乙两人分别从，两点出发，随机地选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，为止，下列说法正确的是（ ） A. 甲从必须经过到达的方法数共有9种 B. 甲从到的方法数共有180种 C. 甲、乙两人在处相遇的概率为 D. 甲、乙两人相遇的概率为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为X，求________． 13. 已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P 则随机变量Y的方差等于______； 14. 已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点，则|的最小值是_________． 四､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 中，. （1）求； （2）若，且，求面积. 16. 甲乙两人进行答题活动，每人各答两道题.已知甲答对第1道题的概率为，答对第2道题的概率为，乙答对每道题的概率都为.甲乙答对与否互不影响，各题答对与否也互不影响. （1）求甲答对一道题的概率； （2）求甲乙两人答对题目的个数相等的概率. 17. 学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是，小强每次投篮投中的概率都是p(0<p<1). （1）求小明在投篮过程中直到第三次才投中概率； （2）求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列和期望； （3）小强投篮4次，投中的次数为X，若期望E(X)=1，求p和X的方差D(X). 18. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，. （1）证明：： （2）求平面和平面夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值：苦不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线交于两点，线段的垂直平分线交于两点． ①证明：四边形的面积为定值，并求出该定值； ②若直线斜率存在且不为0，设线段的中点为，记，的面积分别为．当时，求的最小值． 五､附加题： 20. 在如图的的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平县实验中学2024-2025下学期高二月考 数学试卷 高二数学组 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 某气象台天气预报的准确率为80%，则3次预报中恰有1次预报准确的概率是（ ） A. 9.6% B. 10.4% C. 80% D. 99.2% 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立重复实验的概率公式可求出结果. 【详解】由天气预报的准确率为80%， 则3次预报中恰有1次预报准确的概率为： ，即. 故选：A. 2. 设随机变量X服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求得答案. 【详解】由题意随机变量X服从正态分布，即正态分布曲线关于对称, 因为， 故， 故选：B 3. 某天李老师驾车在青年大街上行驶，前方刚好有两个红绿灯路口，李老师经过第一个红绿灯路口时是绿灯的概率为，连续经过这两个红绿灯路口时都是绿灯的概率为.用事件表示“李老师经过第一个红绿灯路口时是绿灯”，事件表示“李老师经过第二个红绿灯路口时是绿灯”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式列式计算即得. 【详解】依题意，，所以. 故选：D 4. 某班有60名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为 A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由计算出，由此求得该班学生数学成绩在120分以上的概率，问题得解． 【详解】因为数学成绩， 所以由可得：， 所以该班学生数学成绩在120分以上的概率为：， 所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为：（人） 故选A 【点睛】本题主要考查了正态分布的特征及其应用，属于基础题． 5. 展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出展开式的通项，进而多项式的展开运算可得展开式中的系数. 【详解】展开式的通项为， 则的展开式中含项为， 即的系数为. 故选：A. 6. 若，则 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据赋值法即可求解. 【详解】令，得，． 又令得，， 所以 故选：A 7. 我国古代将“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团计划开展“六艺”讲座活动，要求活动当天每艺安排一节，连排节，且“数”必须排在第节，“射”和“御”相邻，则不同的安排顺序共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知“数”排在第节，将“射”和“御”捆绑，确定这两门课程的排法种数，再安排剩余的门课程，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】分析可知“数”排在第节，且“射”和“御”相邻时，有种排法， 再将“礼”、“乐”、“书”安排在剩下的节，有种排法， 所以不同的安排顺序共有（种）． 故选：C． 8. 设双曲线的左、右顶点分别是，点是的一条渐近线上一点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，设点在第一象限，根据已知条件得到点在以原点为圆心，为半径的圆上，联立，解得，从而得到，利用正切值得到，再转化为的齐次方程求解即可. 【详解】如图所示，设点在第一象限， ， 因为，所以点在以原点为圆心，为半径的圆上. ，解得. 又因为，所以. 在中，，，， 所以，即. 所以，，， 即，所以 故选：C 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9. （多选）已知三个正态密度函数的图像如图，则下列结论错误的是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正态幂函数图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由正态密度函数和的图像关于同一条直线对称，所以； 又由的图像的对称轴在的图像的对称轴的右边，故有； 因为越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“瘦高”， 由图象知知正态密度函数和的图像一样“瘦高”，的图像明显“矮胖”， 从而可知．所以A，B，C都是错误的，D正确． 故选：ABC. 10. 关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 各项系数之和为1 B. 二项式系数之和为 C. 存在常数项 D. 的系数为12 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，令可得；对B，由可判断；对C，求出通项公式，令的指数为0，求解可判断；对D，令的指数为4可求出. 【详解】对于A，令，则可得各项系数之和为，故A正确； 对于B，二项式系数之和为，故B正确； 对于C，的展开式的通项公式为，令，解得，即常数项为第四项，故C正确； 对于D，，令，解得，则的系数为，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查二项展开式的应用，解题的关键是正确求出二项展开式的通项公式. 11. 商场某区域的行走路线图可以抽象为一个的正方体道路网（如图，图中线段均为可行走的通道），甲、乙两人分别从，两点出发，随机地选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，为止，下列说法正确的是（ ） A. 甲从必须经过到达的方法数共有9种 B. 甲从到方法数共有180种 C. 甲、乙两人在处相遇的概率为 D. 甲、乙两人相遇的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用组合计数原理结合分步乘法计数原理可判断A选项；分析可知从点到点，一共要走6步，其中向上2步，向前2步，向右2步，结合分步乘法计数原理可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；找出两人相遇的位置，求出两人相遇的概率，可判断D选项． 【详解】对于A，从点到点，需要向上走2步，向前走1步， 从点到点，需要向右走2步，向前走1步， 所以，甲从必须经过到达的方法数为种，A正确； 对于B,从点到点，一共要走6步，其中向上2步，向前2步，向右2步， 所以，甲从到的方法数为种，B错误； 对于C，甲从点运动到点，需要向上、前、右各走一步， 再从点运动到点，也需要向上、前、右各走一步， 所以，甲从点运动到点，且经过点，不同的走法种数为种， 乙从点运动到点，且经过点，不同的走法种数也为36种， 所以，甲、乙两人在处相遇的概率为，C正确； 对于D，若甲、乙两人相遇，则甲、乙两人只能在点、、、、、、， 甲从点运动到点，需要向上走2步，向前走1步，再从点运动到点，需要向前走1步，向右走2步， 所以甲从点运动到点且经过点的走法种数为， 所以甲、乙两人在点处相遇的走法种数为， 同理可知，甲、乙两人在点、、、、处相遇的走法种数都为， 因此，甲、乙两人相遇的概率为，D正确． 故选：ACD． 【点睛】解答本题的关键在于利用组合数去计算对应的方法数，将从到的路线转变为六步，其中每一条路线向上步数确定后，则对应向右的步数也能确定，因此可以考虑从六步中选取向上或向右的步数，由此得到的组合数可表示对应路线的方法数． 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为X，求________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了超几何分步的概率计算，属于基础题． 根据题意，X的取值为0或1，代入超几何分布公式求出对应概率，再相加即可． 【详解】解：由题意可得 ， ， 所以． 故答案为：． 13. 已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P 则随机变量Y的方差等于______； 【答案】## 【解析】 【分析】根据分布列中概率和为1可得，再由期望、方差公式计算出,最后利用计算可得答案. 【详解】因为，所以， ，， 所以. 故答案为：. 14. 已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点，则|的最小值是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由抛物线的定义可得，所以的最小值转化为求的最小值，由图可知的最小值为，从而可求得答案 【详解】抛物线y2＝2x的焦点，准线为， 由抛物线的定义可得， 所以, 因为，， 所以， 所以， 当且仅当三点共线且在线段上时，取得最小值， 所以的最小值为， 故答案为： 四､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 中，. （1）求； （2）若，且，求面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）通过正弦定理把中的边换成角的正弦值，化简求得cosB，进而求得sinB． （2）通过余弦定理求得c，代入三角形的面积公式，进而求得△ABC的面积． 【详解】（1）由正弦定理，得 即sinBcosC+cosBsinC＝3sinAcosB ∴sin（B+C）＝3sinAcosB ∵A+B+C＝180° ∴sinA＝3sinAcosB ∵0°＜A＜180° ∴cosB ∴sinB （2）由余弦定理，cosB，再由b＝4，a＝c，cosB得c2＝24 ∴S△ABCacsinBc2sinB＝8 16. 甲乙两人进行答题活动，每人各答两道题.已知甲答对第1道题的概率为，答对第2道题的概率为，乙答对每道题的概率都为.甲乙答对与否互不影响，各题答对与否也互不影响. （1）求甲答对一道题的概率； （2）求甲乙两人答对题目的个数相等的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式求解即可； （2）利用相互独立事件和互斥事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 由题意所求概率为； 【小问2详解】 乙答对一题的概率为， 甲乙都没有答对一题的概率为， 甲乙都答对一题的概率为， 甲乙都答对两题的概率为， 所以甲乙两人答对题目的个数相等的概率为. 17. 学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是，小强每次投篮投中的概率都是p(0<p<1). （1）求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率； （2）求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列和期望； （3）小强投篮4次，投中的次数为X，若期望E(X)=1，求p和X的方差D(X). 【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3），. 【解析】 【分析】（1）小明在投篮过程中直到第三次才投中，说明小明前两次未投中，第三次投中，再由小明每次投篮投中的概率都是，可求得所求概率； （2）由题意可知小明在4次投篮后总得分ξ的可能取值为0，2，4，6，8，然后求出每个所对应的概率，进而可列出分布列； （3）随机变量X~B(4，p)，，而由E(X)=1，可求出p=，进而可求出D(X) 【详解】解：（1）设“小明在投篮过程中直到第三次才投中”为事件A， 事件A说明小明前两次未投中，第三次投中， 所以P(A)=. 故小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为. （2）小明在4次投篮后总得分ξ的可能取值为0，2，4，6，8. P(ξ=0)=， P(ξ=2)=， P(ξ=4)=， P(ξ=6)=， P(ξ=8)=. 所以总得分ξ的分布列为 ξ 0 2 4 6 8 P 所以E(ξ)=0×+2×+4×+6×+8×. （3）因为随机变量X~B(4，p)， 所以E(X)=4p=1.所以p=. 所以随机变量X的方差D(X)=np(1p)=4×. 18. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，. （1）证明：： （2）求平面和平面夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值：苦不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题设中的边的关系可证明，再结合线面垂直的判定和性质可得； （2）结合（1）中结果可建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面法向量后可求夹角的正弦值； （2）设，利用点到平面的距离公式可求的值. 【小问1详解】 因为中点，故，而，故， 而，平面， 故平面，而平面，故. 【小问2详解】 因为，结合（1）中可得， 而，故，故， 结合（1）中及可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故平面的法向量为， 设平面的法向量为，而， 则即，取，则， 故，而，故. 【小问3详解】 设，其中， 由（2）可得平面的法向量为， 故到平面的距离为，由题设有， 故，故. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线交于两点，线段的垂直平分线交于两点． ①证明：四边形的面积为定值，并求出该定值； ②若直线的斜率存在且不为0，设线段的中点为，记，的面积分别为．当时，求的最小值． 【答案】（1） （2）① 证明见解析，定值；② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆中相关量的几何性质列出关于求解即可； （2）（ⅰ）从直线与轴重合这一特殊入手，此时求得．当直线与轴不重合时，设直线方程为，通过几何对称性和椭圆的性质，计算求得，，通过面积公式计算即可证得结论; （ⅱ）由（ⅰ）知，而,继而通过换元法结合基本不等式可求得最小值. 【小问1详解】 根据题意，得，解得， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）证明：设四边形的面积为， 由（1）得，椭圆的焦点， 因为直线的垂直平分线段，所以， 当直线与轴重合时，此时，， ． 由圆的性质知直线过坐标原点，由椭圆的对称性知． 当直线与轴不重合时，设直线方程为． ，， ． ，则直线的方程为，联立椭圆方程， 得，解得 ． ． ． 综上所述，四边形的面积为定值． （ⅱ）易知，，又， 直线的斜率存在且不为0， ． 由（ⅰ）知， 设，则， ． 当且仅当，即时，等号成立，此时． 故的最小值为． 五､附加题： 20. 在如图的的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是__________． 【答案】112 【解析】 【分析】利用列举法写出所有的可能结果，即可求出最大值. 【详解】每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字， 则所有的可能结果为： ， ， ， ， 所以选中的方格中，的4个数之和最大，为. 故答案为：112 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $