信息必刷卷01（山东青岛专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（青岛专用） 考情速递 中考·新动向：2025年青岛中考数学试卷结构和难度与2024年基本持平 ，难度保持一致！2023年数学试卷满分120分，共25题：9（选择题）+6（填空题）+1作图题+9（解答题），根据最新考试信息以及模拟考试可以发现：在知识结构方面，考查内容要关注基础性、综合性、应用型和创新性，要关注学科主干知识，对学科基本概念、基本原理和思想方法的考查；从考查内容上看，随着数学教学的逐步深入，为体现数学课程标准对数学教学. 中考·新考法：通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，中考试卷侧重增加文化的考查，加强问题背景的设置，加大考查的深度和广度. 中考·新情境：中考数学侧重于加强对情境性问题、动手操作题、数学文化等进行综合考查，如第8题求圆中的角，用字母代替了具体的度数；第15题借助于三视图来考查几何体的表面积问题；第16题是考查利用几何工具作图，根据作图得出几何图形中的基本性质进行求解；第18题以雷锋精神为素材考查统计的知识；第20题考查了利用三角函数解决实际生活中的情景问题，体验数学是从生活中来，用数学解决生活中的问题；第22题将会重点考查反比例函数与一次函数问题、但本题没有给出图象，需要学生自己动手画出，难度中等；第23题和第24题继续考查二次函数性质与实际问题和三角形四边形的动点与函数问题，运算能力和分析能力要求比较高。 命题·大预测：在平时学习中要特别关注基础性，尤其是试卷的前5-6题直接考查基础知识，填空题的前3题，解答题的前5题，同时要注重知识的综合性迁移应用，主要是选填以及解答的压轴题。在备考中要注重知识的应用型，如本卷中的第13题一元二次方程的应用、第20题锐角三角函数的应用、第21题方程与不等式的应用、第23题二次函数的应用。在备考时，要注意数学文化的理解，在命题时一般会以数学文化为背景或在新情景下命制对概念的理解以及问题的梳理，同时掌握整体思想、数形结合、特殊值等数学思想，这些思想会蕴含于每道试题之中，尤其是解答题的最后两题。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．我国海洋面积是2897000平方千米，2897000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：2897000用科学记数法表示为2.897×106， 故选则：A． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】直接利用中心对称图形以及轴对称图形的定义分别分析得出答案． 【详解】第一个图形和第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形； 第二个图形是轴对称图形不是中心对称图形； 第四个图形不是轴对称图形，是中心对称图形． 故选C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形以及轴对称图形，正确把握相关定义是解题的关键． 3．已知有理数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由数轴判断式子是否正确，由数轴上点的位置确定，进而根据选项中各个式子逐项判断即可得到答案，数形结合确定式子正负大小是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ， A、，原式子错误，不符合题意； B、，原式子错误，不符合题意； C、正确，符合题意； D、由得，原式子错误，不符合题意； 故选：C． 4．下列四个几何体中，主视图是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主视图是从几何体的正面看，主视图是三角形的一定是一个锥体，是长方形的一定是柱体，由此分析可得答案． 【详解】主视图是三角形的一定是一个锥体，只有D是锥体． 故选D． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，主要考查同学们的空间想象能力． 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘除法，完全平方公式式．根据合并同类项，同底数幂的乘除法，完全平方公式式逐项计算，即可判断． 【详解】解：，则A符合题意； 与b不是同类项，无法合并，则B不符合题意； ，则C不符合题意； ，则D不符合题意； 故选：A． 6．在如图所示的平面直角坐标系中，将向右平移个单位长度后得到，再将绕点旋转后得到，那么点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移和旋转，坐标与图形，根据题意，画出图形，即可得出答案，掌握平移、旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，可画出如下图形：    ∴点的坐标， 故选：． 7．如图所示，在正五边形中，过点，作平行线，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和，平行线的性质，根据多边形的内角和定理求出的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴． ∵，， ∴． 故选：A． 8．如图，为的直径，C，D是上两点，且，若，则的度数可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆周角定理得，由平行线的性质得到，再根据三角形的外角定理以及等腰三角形的等边对等角即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形外角定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 9．如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论： ①； ②对于任意实数m，都有； ③当时，y随x的增大而增大； ④； ⑤若为方程的两个根，则． 其中正确结论的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据抛物线开口向下，对称轴是直线，再结合二次函数的性质逐个进行判断可以判断得解． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴． 又∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴． 又∵对称轴是直线， ∴． ∴，故①正确． 由题意，当时，y取最大值为， ∴对于任意实数m，都有． ∴，故②错误． 由题意，∵抛物线的对称轴是直线，且开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，故③错误． ∵抛物线与x轴交于点， ∴． 又∵， ∴． ∴，故④正确． 由题意，∵抛物线的对称轴是直线，且与x轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一交点为． ∴抛物线为． ∴方程的根可以看作直线与抛物线的交点的横坐标． ∵在x轴上方， ∴若为方程的两个根，则，故⑤正确． 综上，正确的有①④⑤共3个． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10．计算：＝ ． 【答案】2 【分析】 本题考查实数的运算．根据实数的运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：2． 11．2020年春节期间，全球爆发了新型冠状病毒引发肺炎的疫情，导致学生不能返校上课，为了确保疫情期间学生的学习，学校进行了网课教学，为了解甲、乙两位同学在网课期间在线学习时间情况，随机抽查了10天统计两位同学的在线学习时间，发现两位同学平均在线学习时间相同，方差分别是：，则在线学习时间较稳定的是 （选填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】根据方差的意义：方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，再比较出甲、乙两位同学的方差大小即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴在线学习时间较稳定的是甲同学， 故答案为：甲． 【点睛】此题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，此题较简单，是一道基础题． 12．如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至点G，使得DG＝BD，连结EG，FG．若AE＝DE，AB＝2，则EG＝ ． 【答案】 【分析】连接AC、EF，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB=BD，然后判断出△ABD是等边三角形，再根据等边三角形的三个角都是60°求出∠ADB=60°，设EF与BD相交于点H，AB=4x，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH，再求出DH，从而得到GH，利用勾股定理列式求出EG，最后求出比值即可． 【详解】 解：如图，连接AC、EF， 在菱形ABCD中，AC⊥BD， ∵BE⊥AD，AE=DE， ∴AB=BD， 又∵菱形的边AB=AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ADB=60°， 设EF与BD相交于点H，AB=4x， ∵AE=DE， ∴由菱形的对称性，CF=DF， ∴EF是△ACD的中位线， ∴DH=DO=BD=x， 在Rt△EDH中，EH=DH=x， ∵DG=BD， ∴GH=BD+DH=4x+x=5x， 在Rt△EGH中，由勾股定理得，EG=== 所以， ∵AB=2 ∴EG=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，难点在于作辅助线构造出直角三角形以及三角形的中位线． 13．如图，把长、宽的矩形纸板剪掉个小正方形和个小矩形(阴影部分即剪掉部分)，将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形的边长为 (纸板的厚度忽略不计)，若折成长方体盒子的表面积是，则的值是 ．    【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，观察图形可知小矩形的长为，根据去除阴影部分后的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴的值是． 故答案为：． 14．在中，，，，以点B为圆心，3为半径作圆B，过点C作圆B的切线，M为切点，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，解直角三角形求出，，根据切线性质得出，利用勾股定理求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线性质，勾股定理，解直角三角形，三角函数应用，解题的关键是作出图形，熟练掌握切线的性质． 15．老师用10个1cm×1cm×1cm的小正方体摆出一个立体图形，它的主视图如图①所示，且图中任意两个相邻的小正方体至少有一条棱（1cm）共享，或有一面（1cm×1cm）共享．老师拿出一张3cm×4cm的方格纸（如图②），请小亮将此10个小正方体依主视图摆放在方格纸中的方格内，小亮摆放后的几何体表面积最大为 cm2．（小正方体摆放时不得悬空，每一小正方体的棱均与水平线垂直或平行） 【答案】52 【分析】为了使几何体的表面积最大，尽量使小正方体不共面，如图，10个小正方体俯视图中这样摆放时，几何体的表面积最大． 【详解】解：如图，10个小正方体像俯视图中这样摆放时，几何体的表面积最大， 最大值＝3×6+2×10+14＝52(cm2)， 故答案为：52． 【点睛】本题考查了已知几何体的主视图求最大表面积问题，解题的关键是理解题意，准确画出使表面积最大的摆法． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。 16．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：． 求作：，使它经过点B和点C，并且圆心O在的平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．作的垂直平分线和的平分线，它们相交于点，然后以点为圆心，为半径作圆即可． 【详解】如图，为所作． 四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（9分）（1）化简：            （2）解不等式组： 【答案】（）；（）． 【分析】本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式组，解题的关键是明确分式的混合运算的计算方法，明确解一元一次不等式组的方法． （）根据分式的加法和除法法则对原式进行化简即可； （）根据解不等式组的方法可以求得不等式组的解集． 【详解】（）解：    ； （）解：解不等式得，； 解不等式得， ； ∴ 原不等式组的解集是 ． 18．（6分）为进一步弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的雷锋精神，倡导志愿服务理念，某校组织了“爱心捐款活动”，活动结束后，学生会随机抽取了部分学生的捐款金额进行统计，并用得到的数据绘制了如下统计图（不完整）．    请根据相关信息，解答下列问题， (1)所抽取学生的人数为_________；在扇形统计图中，捐款金额为40元所对的扇形的圆心角的度数为_________，并补全条形统计图； (2)所抽取学生的捐款金额的中位数是_________元，并求出所抽取学生的平均捐款金额； (3)若该校共有1200名学生参与捐款，请你估计该校学生捐款金额不少于30元的人数． 【答案】(1)40； ；图见解析 (2)20；23； (3)420人 【分析】本题主要考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，加权平均数，中位数，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）先求出所抽查学生总人数，再求出捐款金额为10元的人数，再根据统计图即可作答； （2）根据中位数定义与加权平均数公式进行计算即可； （3）用该校的总人数乘以捐款金额为30元和40元的学生所占的百分比即可． 【详解】（1）解：所抽查学生总人数为（人），捐款金额为10元的人数为 （人）， ，    故答案为：40，； （2）解：由统计图可知，所抽查学生捐款金额中位数为20元． （元）， 答：所抽查学生捐款的平均金额为23元． （3）解：，（人）， 答：该校学生捐款不少于30元的人数为420人． 19．（6分）学校联欢会上有一个“转盘”游戏，用如图所示的两个均匀、可以自由转动的转盘做游戏，游戏规则如下：盘被分成面积相等的个扇形，盘中小的扇形区域所占的圆心角是．分别任意旋转两个转盘，将盘转出的数字，与盘转出的数字相乘，如果乘积是的倍数，则小红赢得游戏；如果乘积是的倍数，则小明赢得游戏． (1)小明转动一次盘，求指针指向数字为的概率为 ； (2)这个游戏对双方是否公平？请利用画树状图或列表的方法说明理由． 【答案】(1) (2)公平，理由见解析 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率、利用列表或树状图求概率、游戏的公平性，熟练掌握画树状图或列表求概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算概率即可； （2）先根据题意列出表格，再根据表中数据分别算出两人赢的概率，再比较概率得出答案即可． 【详解】（1）解：∵盘被分成面积相等的个扇形， ∴小明转动一次盘，求指针指向数字为的概率， 故答案为：； （2）解：公平，理由如下： ∵盘中小的扇形区域所占的圆心角是， ∴盘中大的扇形区域所占的圆心角， ∴可以理解为盘中有两块圆心角是的数字的扇形区域， ∴列表如图所示： 盘盘 1 2 3 4 5 5 10 15 20 5 5 10 15 20 6 6 12 18 24 由表得：共有种等可能事件，其中小红赢得游戏的结果有种，小明赢得游戏的结果有种， ∴小红赢得游戏的概率为：， 小明赢得游戏的概率为：， ∵， ∴这个游戏对双方公平． 20．（6分）单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到） 参考数据：，． 【答案】的长为 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，先求解，再求解，从而可得答案； 【详解】解：∵，，； ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∴的长为； 21．（8分）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同． (1)问： A、B两款的进货单价分别是多少元？ (2)小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 【答案】(1)A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元 (2)购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进B款个，先根据“A款的数量不小于B款的一半”求得；再设总利润为，则，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴， 答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元； （2）解：设购进B款个，则购进A款个， 又A款的数量不小于B款的一半， ， 解得：， 设总利润为，则， ， ∴随的增大而增大， 当取得最大整数解50时，取得最大值，最大值为， 此时，则， 答：购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元． 22．（8分）已知反比例函数和一次函数为常数． (1)若， 求反比例函数与一次函数的交点坐标； 当反比例函数的值大于一次函数的值时，的取值范围是______ ． (2)是否存在实数，使反比例函数与一次函数有且只有一个交点，如果存在，求出实数，如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①，；②或 (2)存在，或 【分析】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了方程组的解是函数图象的交点，判别式等于零时一元二次方程有两个相等的实数根． （1）根据的值，可得一次函数的解析式，联立反比例函数与一次函数的解析式，可得方程组，解方程组，可得交点坐标；利用图象法判断即可； （2）联立反比例函数与一次函数的解析式，可得方程组，根据反比例函数与一次函数有且只有一个交点，可得方程组只有一组解，根据一元二次方程的判别式，可得答案． 【详解】（1） 解：当时，一次函数的解析式为：， 联立，解得，， 当时，反比例函数与一次函数的交点坐标为，； 如图， 当反比例函数的值大于一次函数的值时，的取值范围是或 故答案为：或； （2） 存在实数，使反比例函数与一次函数有且只有一个交点， 联立，整理得，， 方程组只有一组解，得， 解得：或， 当或时，反比例函数与一次函数有且只有一个交点． 23．（8分）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且，，． (1)求证： ； (2)若时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，菱形的判定，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得出，再由全等三角形的判定和性质及平行线的判定证明即可； （2）利用全等三角形的判定和性质得出，又，再由菱形的判定证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）在和中， ， ∴ ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； 24．（10分）我国高压输电技术领先全球，已建成覆盖全国的高压、超高压输电网络．输电电缆空中架设时，在两铁塔之间下垂部分可以近似地看成抛物线形状．如图所示，是在水平地面架设电缆示意图，相邻两铁塔之间的距离为，每个塔高均为，为保证安全，要求电缆最低点距地面的最小垂直高度为米． (1)请建立适当的坐标系，并求出电缆抛物线的解析式． (2)如图所示，斜坡坡比为，两铁塔高度仍为，水平距离仍为，电缆抛物线形状与水平架设相同，建立如图所示坐标系． ①求此时抛物线的解析式． ②电缆与斜坡最小垂直距离是否满足安全要求． ③为节约成本，在保证安全高度的情况下，是否可降低两铁塔的高度，降低多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1) (2)①；②能满足安全要求，③； 【分析】本题考查二次函数与实际问题结合问题，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键； （1）建立合适的坐标系，代入坐标即可求解； （2）①根据题意设，，代入即可求解； ②根据函数解析式可得，当函数最小值为：，斜坡坡比为，则斜坡最小垂直距离为：，由此可以求得电缆与斜坡最小垂直距离是否满足安全要求； ③根据题意可设函数解析式为：，结合电缆与斜坡最小垂直距离为，解即可求出降低两铁塔的高度； 【详解】（1）根据题意建立坐标系如下： ，，， 设二次函数表达式为：， 将点，坐标代入， 可得：，，， 故此时抛物线的解析式为： （2）①解：根据题意设， 电缆抛物线形状与水平架设相同，， 设二次函数解析式为：， 将，点坐标代入函数解析式可得：， 故函数解析式为： ②根据函数解析式可得，当函数最小值为： ， 斜坡坡比为，则斜坡最小垂直距离为：， 电缆与斜坡最小垂直距离为： 保证安全，要求电缆最低点距地面的最小垂直高度高于米，满足安全需要， ③根据题意可设函数解析式为： 当函数最小值为， 则电缆与斜坡最小垂直距离为， 解得：， 为节约成本，在保证安全高度的情况下，可降低两铁塔的高度，降低米 25．（10分）如图，在等腰中，，点D为延长线上一点，且．现有一动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．过点D作，交的延长线于点E，连接．设运动时间为t（s）．（） (1)试猜想与的位置关系，并证明． (2)当t为何值时，？ (3)直接写出四边形的面积与之间的函数关系式． (4)取中点M，连接并延长，交于点N，随着时间t的变化，N点位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)当t值为1时， (3) (4)N点位置不发生变化，，理由见解析 【分析】（1）证明，得出即可证明结论； （2）先求出，证明四边形是平行四边形，得出，进而列方程求出结论； （3）根据即可求出； （4）证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意得：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 解得：， 当t值为1时，； （3）解：，，， ； （4）解：N点位置不发生变化，，理由如下： 如下图： ， ， 是中点， ， ， ， 随着时间t的变化，N点位置不发生变化，． 【点睛】本题考查的是相似三角形判定与性质、全等三角形判定与性质、平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，求函数解析式等知识，熟练掌握这些知识是解题关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（青岛专用） 考情速递 中考·新动向：2025年青岛中考数学试卷结构和难度与2024年基本持平 ，难度保持一致！2023年数学试卷满分120分，共25题：9（选择题）+6（填空题）+1作图题+9（解答题），根据最新考试信息以及模拟考试可以发现：在知识结构方面，考查内容要关注基础性、综合性、应用型和创新性，要关注学科主干知识，对学科基本概念、基本原理和思想方法的考查；从考查内容上看，随着数学教学的逐步深入，为体现数学课程标准对数学教学. 中考·新考法：通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，中考试卷侧重增加文化的考查，加强问题背景的设置，加大考查的深度和广度. 中考·新情境：中考数学侧重于加强对情境性问题、动手操作题、数学文化等进行综合考查，如第8题求圆中的角，用字母代替了具体的度数；第15题借助于三视图来考查几何体的表面积问题；第16题是考查利用几何工具作图，根据作图得出几何图形中的基本性质进行求解；第18题以雷锋精神为素材考查统计的知识；第20题考查了利用三角函数解决实际生活中的情景问题，体验数学是从生活中来，用数学解决生活中的问题；第22题将会重点考查反比例函数与一次函数问题、但本题没有给出图象，需要学生自己动手画出，难度中等；第23题和第24题继续考查二次函数性质与实际问题和三角形四边形的动点与函数问题，运算能力和分析能力要求比较高。 命题·大预测：在平时学习中要特别关注基础性，尤其是试卷的前5-6题直接考查基础知识，填空题的前3题，解答题的前5题，同时要注重知识的综合性迁移应用，主要是选填以及解答的压轴题。在备考中要注重知识的应用型，如本卷中的第13题一元二次方程的应用、第20题锐角三角函数的应用、第21题方程与不等式的应用、第23题二次函数的应用。在备考时，要注意数学文化的理解，在命题时一般会以数学文化为背景或在新情景下命制对概念的理解以及问题的梳理，同时掌握整体思想、数形结合、特殊值等数学思想，这些思想会蕴含于每道试题之中，尤其是解答题的最后两题。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．我国海洋面积是2897000平方千米，2897000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 3．已知有理数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列四个几何体中，主视图是三角形的是（   ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．在如图所示的平面直角坐标系中，将向右平移个单位长度后得到，再将绕点旋转后得到，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，在正五边形中，过点，作平行线，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 8．如图，为的直径，C，D是上两点，且，若，则的度数可以表示为（    ） A． B． C． D． 9．如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论： ①； ②对于任意实数m，都有； ③当时，y随x的增大而增大； ④； ⑤若为方程的两个根，则． 其中正确结论的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10．计算：＝ ． 11．2020年春节期间，全球爆发了新型冠状病毒引发肺炎的疫情，导致学生不能返校上课，为了确保疫情期间学生的学习，学校进行了网课教学，为了解甲、乙两位同学在网课期间在线学习时间情况，随机抽查了10天统计两位同学的在线学习时间，发现两位同学平均在线学习时间相同，方差分别是：，则在线学习时间较稳定的是 （选填“甲”或“乙”）． 12．如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至点G，使得DG＝BD，连结EG，FG．若AE＝DE，AB＝2，则EG＝ ． 13．如图，把长、宽的矩形纸板剪掉个小正方形和个小矩形(阴影部分即剪掉部分)，将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形的边长为 (纸板的厚度忽略不计)，若折成长方体盒子的表面积是，则的值是 ． 14．在中，，，，以点B为圆心，3为半径作圆B，过点C作圆B的切线，M为切点，则的长为 ． 15．老师用10个1cm×1cm×1cm的小正方体摆出一个立体图形，它的主视图如图①所示，且图中任意两个相邻的小正方体至少有一条棱（1cm）共享，或有一面（1cm×1cm）共享．老师拿出一张3cm×4cm的方格纸（如图②），请小亮将此10个小正方体依主视图摆放在方格纸中的方格内，小亮摆放后的几何体表面积最大为 cm2．（小正方体摆放时不得悬空，每一小正方体的棱均与水平线垂直或平行） 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。 16．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：． 求作：，使它经过点B和点C，并且圆心O在的平分线上． 四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（9分）（1）化简：            （2）解不等式组： 18．（6分）为进一步弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的雷锋精神，倡导志愿服务理念，某校组织了“爱心捐款活动”，活动结束后，学生会随机抽取了部分学生的捐款金额进行统计，并用得到的数据绘制了如下统计图（不完整）． 请根据相关信息，解答下列问题， (1)所抽取学生的人数为_________；在扇形统计图中，捐款金额为40元所对的扇形的圆心角的度数为_________，并补全条形统计图； (2)所抽取学生的捐款金额的中位数是_________元，并求出所抽取学生的平均捐款金额； (3)若该校共有1200名学生参与捐款，请你估计该校学生捐款金额不少于30元的人数． 19．（6分）学校联欢会上有一个“转盘”游戏，用如图所示的两个均匀、可以自由转动的转盘做游戏，游戏规则如下：盘被分成面积相等的个扇形，盘中小的扇形区域所占的圆心角是．分别任意旋转两个转盘，将盘转出的数字，与盘转出的数字相乘，如果乘积是的倍数，则小红赢得游戏；如果乘积是的倍数，则小明赢得游戏． (1)小明转动一次盘，求指针指向数字为的概率为 ； (2)这个游戏对双方是否公平？请利用画树状图或列表的方法说明理由． 20．（6分）单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到） 参考数据：，． 21．（8分）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同． (1)问： A、B两款的进货单价分别是多少元？ (2)小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 22．（8分）已知反比例函数和一次函数为常数． (1)若， 求反比例函数与一次函数的交点坐标； 当反比例函数的值大于一次函数的值时，的取值范围是______ ． (2)是否存在实数，使反比例函数与一次函数有且只有一个交点，如果存在，求出实数，如果不存在，说明理由． 23．（8分）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且，，． (1)求证： ； (2)若时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由 24．（10分）我国高压输电技术领先全球，已建成覆盖全国的高压、超高压输电网络．输电电缆空中架设时，在两铁塔之间下垂部分可以近似地看成抛物线形状．如图所示，是在水平地面架设电缆示意图，相邻两铁塔之间的距离为，每个塔高均为，为保证安全，要求电缆最低点距地面的最小垂直高度为米． (1)请建立适当的坐标系，并求出电缆抛物线的解析式． (2)如图所示，斜坡坡比为，两铁塔高度仍为，水平距离仍为，电缆抛物线形状与水平架设相同，建立如图所示坐标系． ①求此时抛物线的解析式． ②电缆与斜坡最小垂直距离是否满足安全要求． ③为节约成本，在保证安全高度的情况下，是否可降低两铁塔的高度，降低多少？（直接写出结果即可） 25．（10分）如图，在等腰中，，点D为延长线上一点，且．现有一动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．过点D作，交的延长线于点E，连接．设运动时间为t（s）．（） (1)试猜想与的位置关系，并证明． (2)当t为何值时，？ (3)直接写出四边形的面积与之间的函数关系式． (4)取中点M，连接并延长，交于点N，随着时间t的变化，N点位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷（青岛专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A C C D A B A C C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10．2． 11．甲 12． 13． 14． 15．52 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。 16．如图，为所作． 四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（9分）（）解：    ；………………………………… 4分 （）解： 解不等式得，； 解不等式得， ； ∴ 原不等式组的解集是 ．………………………………… 9 分 18．（6分）（1）解：所抽查学生总人数为（人），捐款金额为10元的人数为 （人）， ，    故答案为：40，；………………………………… 2 分 （2）解：由统计图可知，所抽查学生捐款金额中位数为20元． （元）， 答：所抽查学生捐款的平均金额为23元．………………………………… 4分 （3）解：，（人）， 答：该校学生捐款不少于30元的人数为420人．………………………………… 6 分 19．（6分）（1）解：∵盘被分成面积相等的个扇形， ∴小明转动一次盘，求指针指向数字为的概率， 故答案为：；………………………………… 3分 （2）解：公平，理由如下： ∵盘中小的扇形区域所占的圆心角是， ∴盘中大的扇形区域所占的圆心角， ∴可以理解为盘中有两块圆心角是的数字的扇形区域， ∴列表如图所示： 盘盘 1 2 3 4 5 5 10 15 20 5 5 10 15 20 6 6 12 18 24 由表得：共有种等可能事件，其中小红赢得游戏的结果有种，小明赢得游戏的结果有种， ∴小红赢得游戏的概率为：， 小明赢得游戏的概率为：， ∵， ∴这个游戏对双方公平．………………………………… 6分 20．（6分）单解：∵，，； ∴， ，………………………………… 2分 ∴， ∵，， ∴，…………………………………4 分 ∴； ∴的长为；………………………………… 6 分 21．（8分）（1）解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴， 答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元；………………………………… 3分 （2）解：设购进B款个，则购进A款个， 又A款的数量不小于B款的一半， ， 解得：，………………………………… 4 分 设总利润为，则，………………………………… 6分 ， ∴随的增大而增大， 当取得最大整数解50时，取得最大值，最大值为， 此时，则， 答：购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元．………………………… 8 分 22．（8分）（1） 解：当时，一次函数的解析式为：， 联立，解得，， 当时，反比例函数与一次函数的交点坐标为，；…………………………………2 分 如图， 当反比例函数的值大于一次函数的值时，的取值范围是或 故答案为：或；………………………………… 4分 （2） 存在实数，使反比例函数与一次函数有且只有一个交点， 联立，整理得，， 方程组只有一组解，得， 解得：或， 当或时，反比例函数与一次函数有且只有一个交点．……………………… 8 分 23．（8分）（1）证明：∵， ∴， 即，………………………………… 2分 在和中， ， ∴， ∴， ∴；………………………………… 4 分 （2）在和中， ， ∴ ∴，………………………………… 6分 又， ∴四边形是平行四边形，………………………………… 7 分 ∵， ∴是菱形；………………………………… 8 分 24．（10分）（1）根据题意建立坐标系如下： ，，， 设二次函数表达式为：， 将点，坐标代入， 可得：，，， 故此时抛物线的解析式为：………………………………… 2分 （2）①解：根据题意设， 电缆抛物线形状与水平架设相同，， 设二次函数解析式为：， 将，点坐标代入函数解析式可得：， 故函数解析式为：………………………………… 4分 ②根据函数解析式可得，当函数最小值为： ， 斜坡坡比为，则斜坡最小垂直距离为：， 电缆与斜坡最小垂直距离为： 保证安全，要求电缆最低点距地面的最小垂直高度高于米，满足安全需要，…………………… 7分 ③根据题意可设函数解析式为： 当函数最小值为， 则电缆与斜坡最小垂直距离为， 解得：， 为节约成本，在保证安全高度的情况下，可降低两铁塔的高度，降低米…………………………10 分 25．（10分）（1）解：，理由如下： 由题意得：， ， ， ， ， ， ， ；………………………………… 2分 （2）解：， ， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 解得：， 当t值为1时，；…………………………………5 分 （3）解：，，， ；…………………………………7 分 （4）解：N点位置不发生变化，，理由如下： 如下图： ， ， 是中点， ， ， ， 随着时间t的变化，N点位置不发生变化，．…………………………………10 分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$