精品解析：重庆市字水中学2024-2025学年高三下学期3月考试数学试题

2024-2025学年高三（下）学期3月考试 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合,，则集合的真子集个数为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 15 2. 已知复数满足，则复数在复平面里位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知数列满足，且，则（ ） A. 3 B. C. D. 4. 南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：，则该数列的第16项为（ ） A. 196 B. 197 C. 198 D. 227 5. 如图，在中，设，则（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 7. 已知双曲线渐近线与椭圆在第一象限内的交点为，是椭圆的左、右焦点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，当时，，则方程所有根之和为（） A 10 B. 11 C. 12 D. 13 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据的众数和第60百分位数都为5 B. 样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强 C. 若随机变量服从二项分布，则方差 D. 若随机变量服从正态分布，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 11. 如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则点的轨迹长度为 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若是正方形的中心，在线段上，则的最小值为 D. 若是棱的中点，三棱锥的外接球球心为，则平面截球所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线被圆截得的弦长为_____． 13. 某年级将甲、乙、丙三位体育老师分配到 5 个不同班级指导学生体育活动，要求每位体育老师至少指导一个班级，每个班级只有一位体育老师指导，则不同的分配方案有_____种． 14. 若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处切线方程； （2）若恒成立，求实数取值范围． 16. 2025年春晚最火的节目无疑是机器人扭秧歌． 其中表演的机器人出自宇树科技， 宇树科技是一家专注于高性能四足机器人研发和生产的中国科技公司． 该公司以其创新的四足机器人在全球范围内广受关注，主要应用于教育、科研、娱乐和工业等领域，其中四大产品之一的机器人Unitree A1具备较强的负载能里和环境适应性， 可用于巡检与监控、物流和运用、安防与救援． 现统计出机器人Unitree A1在某地区2024年2月到6月的销售量如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 销量 42 53 66 109 用最小二乘法得到Unitree A1的销售量关于月份的回归直线方程为，且相关系数，销量的方差． （1）求的值(结果精确到0.1)； （2）求的值，并根据（1）的结果计算5月销售量的残差． 附： 回归系数，相关系数 ． 17. 如图①所示，长方形中，，点是边中点，将沿翻折到，连接，得到图②的四棱锥. （1）若棱的中点为，求的长； （2）当四棱锥的体积取最大值时，求平面和平面夹角的余弦值. 18. 如图， 是抛物线 上一点，过点 的直线 与 轴分别交于 两点，且 是线段 的中点． （1）证明：直线 是抛物线 的切线； （2）若点 是抛物线 上异于点 的动点， ， 分别在线段 ， 上，且 ， 交 于点 ． ①证明： 点 是 的重心； ②若直线 过点 ，求 的最小值． 19. 如果数列中存在四项，，，，使得（互不相同），则称数列为稳健数列． （1）若数列是项数为5的正项等比数列，且是稳健数列，求的公比q的个数； （2）若数列的项数为6，且，从中任意取出四项组成一个数列，求该数列为稳健数列的频率； （3）若数列为等差数列，且公差不为0，从中任意取出四项组成一个数列，该数列为稳健数列的概率超过，求数列的项数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高三（下）学期3月考试 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合,，则集合的真子集个数为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】由知道为奇数，从而求出集合，然后由集合的真子集公式求得结果. 【详解】∵，∴为奇数，∴，∴集合中有3个元素，∴集合的真子集个数为：. 故选：C 2. 已知复数满足，则复数在复平面里位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据复数的模的计算公式求出复数在复平面内对应的点的轨迹方程，即可得解. 详解】设， 因为， 所以，即， 所以复数在复平面内对应的点是以为圆心，为半径的圆， 所以复数在复平面里位于第一象限. 故选：A. 3 已知数列满足，且，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由递推式子可求出前几项的值，进而可知数列 的规律. 【详解】且 数列 的周期为 ， 故选： ． 4. 南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：，则该数列的第16项为（ ） A. 196 B. 197 C. 198 D. 227 【答案】D 【解析】 【分析】由从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，列出后一项与前一项的差，再由累加法即可求得通项公式，即可求得该数列的第16项. 【详解】若某个二阶等差数列的前4项为：， 即 可知，，, 累加即可得到， 则，则 故选：D. 5. 如图，在中，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形由向量的线性运算可得. 【详解】因为， 所以，， 又因为， 所以， 所以， 故选：C. 6. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 【答案】C 【解析】 【分析】AB选项，先判断出虚线部分为，实线部分为，求导得到在R上单调递增，AB错误；再求导得到的单调性，得到C正确，D错误． 【详解】AB选项，由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数， 则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为，实线部分为， 故恒成立， 故R上单调递增，则A，B显然错误； 对于C，D，， 由图像可知时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，也为最大值，且，C正确，D错误． 故选：C 7. 已知双曲线的渐近线与椭圆在第一象限内的交点为，是椭圆的左、右焦点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆方程可知的长，由垂直可知，然后设点坐标，得到方程组，解得点坐标，然后得到双曲线的渐近线斜率即，然后由双曲线离心率公式求得结果. 【详解】椭圆中，，，，∴， ∵， ∴ ， 设，则，解得，即， ∴双曲线的渐近线的斜率， ∴双曲线的离心率. 故选：A. 8. 已知定义在上的函数满足，当时，，则方程所有根之和为（） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，在同一坐标系内画出函数与函数的图象，确定两个图象的交点个数并求得所有根之和即可． 【详解】由，得函数的图象关于点对称， 由，得，则函数的图象关于直线对称， 且有，则，于是是以4为周期的周期函数， 又当时，，即函数在上单调递增， 又，根据对称性可知，函数在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减，所以， 由，得， 则方程的根即为函数的图象与直线交点的横坐标， 而直线关于点对称，即函数的图象与直线都关于点对称， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图所示. 观察图象可知，函数的图象与直线在上有6个交点， 由中心对称的性质知，函数的图象与直线在上有6个交点， 因此函数的图象与直线的所有交点横坐标和为， 所以方程所有根之和为13． 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据的众数和第60百分位数都为5 B. 样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强 C. 若随机变量服从二项分布，则方差 D. 若随机变量服从正态分布，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用众数和第60百分位数的定义判断A，利用相关系数的意义判断B，利用方差的性质判断C，利用正态曲线的性质判断D即可求解. 【详解】数据中的众数为，所以第60百分位数为第6个数据5，选项A正确； 当时，越大成对样本数据的线性相关程度越弱，选项B错误； 选项C正确； 选项D错误， 故选：AC 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据中，，的几何意义，求得的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，函数图象的变换，逐一分析选项即可． 【详解】由图可知，，函数的最小正周期，故A正确； 由，知， 因为，所以，所以，，即，， 又，所以，所以， 对于B，当时，，所以， 所以的值域为，故B错误； 对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确； 对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 因为当时，，所以得到的函数图象关于点对称，故D正确． 故选：ACD． 11. 如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则点的轨迹长度为 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若是正方形的中心，在线段上，则的最小值为 D. 若是棱的中点，三棱锥的外接球球心为，则平面截球所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出相应图形，先证明平面平面，再结合给定条件确定动点轨迹，求出长度即可判断A；建立空间直角坐标系，根据题意确定动点轨迹，求解长度即可判断B，将平面翻折到与平面共面，连接，与交于点，此时取到最小值，利用勾股定理求出即可判断C，先找到球心，利用勾股定理得出半径，进而可判断D. 【详解】如图，取的中点为N，M，连接MN，DN，BD，BM，NE，， 所以，又E，F分别是棱的中点， 所以，所以，平面CEF，平面CEF， ∴平面CEF， 因为N，E分别是棱的中点，所以，且， 所以四边形CDNE为平行四边形， 所以，又平面CEF，平面CEF， ∴平面CEF，又，MN，平面BDNM， 所以平面平面CEF， 点P是正方形内的动点，且平面CEF， 所以点P的轨迹为线段MN，由勾股定理得，故A正确； 如图，以A为原点，建立空间直角坐标系， 由题意得，设， 则， 所以，所以点P轨迹为为圆心，半径为1的个圆， 所以点P的轨迹长度为，故B正确： 如图，将平面CEF翻折到与平面共面， 连接PC，与EF交于点Q，此时取到最小值， ∵，且， 所以点Q为EF的中点，所以， 所以， 即的最小值为，故C错误： 如图， 连接PF，交于点，连接PE，设三棱锥的外接球的半径为， 若P是棱的中点，则， 所以FP是外接圆的一条直径，所以是外接圆的圆心， 过点作平面ABCD的垂线，则三棱锥的外接球的球心O一定在该垂线上， 连接OP，设，则， 连接OC，，所以， 所以，解得， 所以， 点到平面的距离为， 则球心到平面的距离为， 则截面圆的半径为，所以截面的面积为，故D正确. 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线被圆截得的弦长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先求圆心到直线的距离，结合垂径定理求弦长. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 所以所求弦长为. 故答案为：. 13. 某年级将甲、乙、丙三位体育老师分配到 5 个不同班级指导学生体育活动，要求每位体育老师至少指导一个班级，每个班级只有一位体育老师指导，则不同的分配方案有_____种． 【答案】150 【解析】 【分析】先将5个班级分组，再进行分配即可. 【详解】将5个班级分成三组，有和两种类型， 故有种不同的分配方案. 故答案为：150. 14. 若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，切点为，再根据导数的几何意义求出切线方程，再结合题意求出的关系，再构造新的函数，利用导数求出最大值即可. 【详解】设，则， 设切点为，则， 则切线方程为，整理可得， 所以，解得， 所以，所以， 设，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：设出切点，根据直线为曲线的一条切线，求出的关系，是解决本题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义即可得解； （2）利用导数求得的最小值，从而得到关于的不等式，解之即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 当时，， 故， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由（1）得， 因为所以由得 所以当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围为 16. 2025年春晚最火的节目无疑是机器人扭秧歌． 其中表演的机器人出自宇树科技， 宇树科技是一家专注于高性能四足机器人研发和生产的中国科技公司． 该公司以其创新的四足机器人在全球范围内广受关注，主要应用于教育、科研、娱乐和工业等领域，其中四大产品之一的机器人Unitree A1具备较强的负载能里和环境适应性， 可用于巡检与监控、物流和运用、安防与救援． 现统计出机器人Unitree A1在某地区2024年2月到6月的销售量如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 销量 42 53 66 109 用最小二乘法得到Unitree A1的销售量关于月份的回归直线方程为，且相关系数，销量的方差． （1）求的值(结果精确到0.1)； （2）求的值，并根据（1）的结果计算5月销售量的残差． 附： 回归系数，相关系数 ． 【答案】（1） （2）；残差为 【解析】 【分析】（1）根据题中数据可得，，，代入即可求的值； （2）根据线性回归方程必过样本中心点求的值，令，可得，即可得残差. 【小问1详解】 由表可得：，， 因为，可得， 又因为， 可得， 所以. 【小问2详解】 由表可知：， 由（1）可知回归直线方程为，且， 则，解得， 此时，，可得，符合题意， 所以， 对于回归直线方程，令，可得， 所以5月销售量的残差. 17. 如图①所示，长方形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图②的四棱锥. （1）若棱的中点为，求的长； （2）当四棱锥的体积取最大值时，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，则，在直角三角形中利用勾股定理计算即可； （2）易知当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，此时可求出点P到底面的距离，进而可建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，利用空间向量求空间角即可. 【小问1详解】 【小问1详解】 取中点，连接， 因为为中点，所以为的中位线， 所以且， 因为为的中点，四边形为矩形， 所以且， 所以且， 故四边形为平行四边形， 所以； 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为，则， 当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值， 此时平面，且， 过点D作z轴平行于，以、分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 所以， 设平面的一个法向量为 则，令，则，所以 易知平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则, 故平面和平面夹角的余弦值为. 18. 如图， 是抛物线 上一点，过点 的直线 与 轴分别交于 两点，且 是线段 的中点． （1）证明：直线 是抛物线 的切线； （2）若点 是抛物线 上异于点 的动点， ， 分别在线段 ， 上，且 ， 交 于点 ． ①证明： 点 是 的重心； ②若直线 过点 ，求 的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）设点的坐标，根据中点坐标公式得点的坐标，进而得直线的方程，与抛物线的方程联立，消元后得一元二次方程，计算得，即证明直线是抛物线的切线； （2）①由三点共线，设，再结合，可得，由是线段的中点，得，进而得，即可证明是的重心； ②设直线的方程，与抛物线方程联立，可得，进而可得点的坐标，根据两点间的距离公式可得的表达式，构造函数，利用导函数求的最小值，即可得的最小值. 【小问1详解】 设，因为是线段的中点，所以. 则，所以直线的方程为，即. 联立，整理得，所以， 因此，直线是抛物线的切线. 【小问2详解】 ①因为三点共线，所以. 又因为，设，则， 所以， 所以， 因为是线段的中点，所以，即， 所以，所以是的重心. ②设直线，. 联立，整理得，所以，则， 由，，，得， 所以 令， 则， 因此，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以当时，取最小值，最小值为， 所以当时，取最小值. 19. 如果数列中存在四项，，，，使得（互不相同），则称数列为稳健数列． （1）若数列是项数为5的正项等比数列，且是稳健数列，求的公比q的个数； （2）若数列的项数为6，且，从中任意取出四项组成一个数列，求该数列为稳健数列的频率； （3）若数列为等差数列，且公差不为0，从中任意取出四项组成一个数列，该数列为稳健数列的概率超过，求数列的项数的最大值． 【答案】（1）3 （2） （3）21 【解析】 【分析】（1）不妨设数列为：1，q，，，，分类求解方程，根据解的情况可得. （2）由列举法及古典概型概率公式可求. （3）根据公差与项数n的奇偶性分类计数，借助取整函数与数列求和求解． 【小问1详解】 由，互不相同，不妨设，，， 不妨设数列为：1，q，，，，由数列为正项等比数列，知， 当时，满足题意； 当且时，则数列为递增或递减数列， 依题意，且，且， ①若，则，即，， 令，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，因此，使得， 即存在唯一的，使得； ②若，则，，无解； ③若，则，，无解； ④若，则，整理得， 令，求导得， 函数在上单调递增，又，，使得， 即存在唯一的，使得； ⑤若，则，整理得，无解； 若，则，无解， 所以公比q的个数为3. 【小问2详解】 从中取出的4项所有可能为：1，2，3，4（稳健数列）；1，2，3，5（不是稳健数列）； 1，2，3，6（不是稳健数列）；1，2，4，5（稳健数列）；1，2，4，6（不是稳健数列）； 1，2，5，6（稳健数列）；1，3，4，5（不是稳健数列）；1，3，4，6（稳健数列）； 1，3，5，6（不是稳健数列）；1，4，5，6（不是稳健数列）；2，3，4，5（稳健数列）； 2，3，4，6（不是稳健数列）；2，3，5，6（稳健数列）；2，4，5，6（不是稳健数列）； 3，4，5，6（稳健数列）；共15种，其中7个稳健数列， 所以从中任意取出4个元素组成一个数列，该数列为稳健数列的概率. 【小问3详解】 不妨令，2，3，…，n，取出的4个数从小到大依次为， 当时，稳健数列a，b，c，d共有个： 若，从a到d共有个数， 相应的b，c的取法有种，则， 当m为偶数时， 当m为奇数时，若，则共有种， 若，则回到m为偶数情况，共有种； 此时； 因此当n为偶数时，从中取出4个数为稳健数列的个数为： 由，而，整理得， 则正整数满足，又n为偶数，此时n最大为20； 当n为奇数时，从中取出4个数为稳健数列的个数为： ， 由，而，整理得， 正整数满足，又n为奇数，此时n最大为21． 所以n的最大值为21. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$