精品解析：2025年湖南省十三市州初中学业水平考试阶段性试题一模数学试题

湖南省十三市州初中学业水平考试阶段性检测试题 数学模拟 温馨提示： 1．作业时量120分钟，满分120分． 2．请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上． 3．请你在答题卡上作答，答在本卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个数中，最小的数是（　　） A. B. 0 C. D. 2. 下列有关学科的图标中（不含文字），是中心对称图形的是（ ） A. 地理 B. 生物 C. 物理 D. 化学 3. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于未来拼装建造月球基地．如图是“月壤砖”的示意图，其左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 用反证法证明命题“若 ，则”时，应先假设（ ） A. B. C. D. 5. 长沙约有2400年建城史，是楚文明和湘楚文化的发源地，境内历史名迹颇多．小明一家准备在岳麓书院、天心阁、橘子洲头、开福寺中随机选择一处游玩，则选到“橘子洲头”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 将点向右平移3个单位长度得点Q，点Q刚好落在y轴上，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图（1）是翻花绳的一种图案，可以抽象成右图，在矩形中，， ，，的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在 中，点分别在的边上，且，的中线交于点G．若四边形的面积与 的面积相等，，则 的长为（ ） A. 1 B. C. D. 9. 力作用于物体，产生的压强与物体受力面积之间满足，在某次实验中，当 一定时，关于的函数图象如图所示．若压强由40增压至60，则物体受力面积（ ） A. 减小了 B. 增大了 C. 减小了 D. 增大了 10. 二位同学在研究函数（a为实数，且）时，甲发现当 时，函数图象的顶点在第四象限；乙发现方程必有两个不相等的实数根．则（　　） A. 甲、乙的结论都错误 B. 甲的结论正确，乙的结论错误 C. 甲、乙的结论都正确 D. 甲的结论错误，乙的结论正确 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若，则代数式的值为______________． 12. 为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了12nm的光刻机难题，其中1nm＝0.000000001m，则12nm用科学记数法表示为______m． 13. 冰裂纹是我国古典园林的铺装纹样之一，被广泛的应用于建筑装饰．图2是从图1中提取的多边形，则这个多边形的内角和是______．． 14. 一双好眼睛，能更好地探索未来．央视青少年爱眼护眼公益广告——《好视力，好未来》中提到：航天员需要裸眼视力不低于 ，特警需要裸眼视力不低于，射箭运动员需要裸眼视力不低于，船长需要裸眼视力不低于 ．数据的中位数是_____________． 15. 定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b=a（a﹣b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣5，那么不等式3⊕x＜13的解集为 ________. 16. 如图所示的扇形中，若 ，，的长为40，则的长为____________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边 在轴上，点 的坐标为，固定点 ， ，把正方形沿箭头方向推，使点落在 轴正半轴上的点处，此时，则点 的对应点的坐标为________________． 18. 在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程的图解法是：如图1，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于的一元二次方程的图解，如图2，若，则 的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 2025年中央广播电视台春节联欢晚会，作为春节申遗成功后的首届春晚，整场晚会以“已已如意，生生不息”为主题，充分展示中华优秀传统文化的隽永魅力．为了解某校九年级学生春晚观看方式（A：平板观看；B：手机观看；C：电视观看；D：其他方式或没有观看），小明随机统计了部分学生的春晚观看方式，并绘制成如下统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）这次随机抽取的学生共有________人，并将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中“手机观看”所对应扇形的圆心角角度为________； （3）该校九年级共有学生900人，请估计这次九年级学生用电视观看春晚的学生约有多少人？ 22. 如图，在矩形中，是对角线 的中点． （1）用尺规过点作 的垂线，分别交 ，于点 ， ，连接， ；（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（）的条件下，求证：四边形 是菱形． 23. 湖南茶陵是中华茶文化的发源地之一，茶陵县也是中国历史上唯一以茶命名的行政县，相传炎帝神农氏在这里发现了茶，并被称为“茶祖”，湖南不仅在茶文化上有重要地位，其茶叶品种也非常丰富，其所产的君山银针和古丈毛尖更是享誉全国，某茶庄主要经营的茶类有君山银针和古丈毛尖，其中君山银针卖得比较好的是A规格的，古丈毛尖卖得比较好的是B规格的，它们的进价和售价如下表： 种类 君山银针A规格 古丈毛尖B规格 进价（元/斤） 160 500 售价（元/斤） 200 600 该茶庄计划购进这两种规格的茶共100斤． （1）若该茶庄购进这两种规格的茶共花费29600元，求该茶庄购进A，B两种规格的茶各多少斤？ （2）根据市场销售分析，A规格茶的进货量不低于B规格茶进货量的3倍．问：该茶庄如何进货才能使本次购进的茶全部销售完获得的利润最大？最大利润是多少元？ 24. 老旧小区改造，一头连着民生福祉，一头连着城市发展，不仅是城市更新的重要内容，更承载着人民对美好生活的向往．某位“综合与实践”小组的同学从安全性及适用性出发，对附近一所小区的一段斜坡进行调研．为提升运用数学知识解决实际问题的能力，该小组同学把斜坡安全改造”作为一项课题活动，在老师的带领下利用课余时间进行实地测量，如下为活动报告． 课题 斜坡安全改造 成员 老师：××× 组长：××× 组员：×××，×××，××× 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图①，原坡面是矩形，计划将斜坡 改造成图②所示的坡比为的斜坡，坡面的宽度保持不变． 测量数据 【步骤一】利用皮尺测得 米，米； 【步骤二】在点 处用测角仪测得斜坡的坡角为． …… …… 请根据活动报告，解答下列问题： （1）求改造后斜面底部延伸出来的部分的长度； （2）求改造这段斜坡需要多少立方米的混凝土材料？（结果保留根号） 25. 综合探究 如图（1），在矩形中， ，E是的中点，与关于对称，连接． （1）求证： ． （2）以为直径作． ①如图（2），过点F作 于点G，当时，试判断此时 与的位置关系，并证明； ②如图（3），当 时，求m的值． 26. 已知二次函数 （b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在 的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数 的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省十三市州初中学业水平考试阶段性检测试题 数学模拟 温馨提示： 1．作业时量120分钟，满分120分． 2．请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上． 3．请你在答题卡上作答，答在本卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个数中，最小的数是（　　） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数比较大小，掌握“正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 最小， 故选：C． 2. 下列有关学科的图标中（不含文字），是中心对称图形的是（ ） A. 地理 B. 生物 C. 物理 D. 化学 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．原图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．原图是中心对称图形，故此选项符合题意； C．原图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．原图不是中心对称图形，故此选项不符合题意， 故选：B． 3. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于未来拼装建造月球基地．如图是“月壤砖”的示意图，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断几何体的三视图（判断简单组合体的三视图）．左视图是从左边看到的视图，据此即可得出答案． 【详解】解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其左视图为 故选：． 4. 用反证法证明命题“若 ，则”时，应先假设（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反证法，使用反证法时，需假设原命题的结论不成立．原命题的结论是，其否定应为． 【详解】解：命题为“若 ，则”．其中条件是 ，结论是． 假设结论不成立，即在原条件 下，结论的否定成立． 的否定是， 故选：D 5. 长沙约有2400年建城史，是楚文明和湘楚文化的发源地，境内历史名迹颇多．小明一家准备在岳麓书院、天心阁、橘子洲头、开福寺中随机选择一处游玩，则选到“橘子洲头”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键， 根据概率的定义，选到 “橘子洲头” 的概率 选到 “橘子洲头” 这一种结果总共有4种结果，即可解答． 【详解】解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好选中“橘子洲头”的结果有1种， ∴恰好选中选到“橘子洲头”的概率是； 故选：C． 6. 将点向右平移3个单位长度得点Q，点Q刚好落在y轴上，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标平移，坐标轴上的点的特征，根据y轴上的点横坐标为0，构建方程求解即可． 【详解】解：由题意，即， ∵点Q在y轴上， ， ， ， 故选：B． 7. 翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图（1）是翻花绳的一种图案，可以抽象成右图，在矩形中，， ，，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的性质可得 ，进而可得；再根据三角形内角和定理可得；然后再证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由对顶角相等即可解答． 【详解】解：如图：∵矩形中， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 8. 如图，在 中，点分别在的边上，且，的中线交于点G．若四边形的面积与 的面积相等，，则 的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质；证明 ，得，然后证明，得根据相似三角形的性质求出，结合进而计算 的值即可． 【详解】解：∵ 与四边形的面积相等， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ， ， ∴， ∵ ∴ ∴， 故选：B． 9. 力作用于物体，产生的压强与物体受力面积之间满足，在某次实验中，当一定时，关于的函数图象如图所示．若压强由40增压至60，则物体受力面积（ ） A. 减小了 B. 增大了 C. 减小了 D. 增大了 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，关键是掌握反比例函数的性质．结合图象得到，再分别求出当压强为40和60时的受力面积，并进行比较，即可解题． 【详解】解：一定， 结合图象可知，即， 当压强为40时，有，解得， 当压强为60时，有，解得， ， 压强由40增压至60，则物体受力面积减小了， 故选：A． 10. 二位同学在研究函数（a为实数，且）时，甲发现当 时，函数图象的顶点在第四象限；乙发现方程必有两个不相等的实数根．则（　　） A. 甲、乙的结论都错误 B. 甲的结论正确，乙的结论错误 C. 甲、乙的结论都正确 D. 甲的结论错误，乙的结论正确 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式及二次函数的对称性；先确定与x轴的两个交点的横坐标分别为和，再由二次函数的对称性求出顶点的横坐标，确定其范围；将化为，求判别式与0比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴函数与x轴的两个交点的横坐标分别为和， 由二次函数的对称性可知：函数顶点的横坐标为：， ∵ ，∴， ∴，此时y＜0 ∴函数的顶点一定在第四象限，故甲同学的结论正确； ∵， ∴，且， 其判别式， ∴方程必有两个实数根， 故甲同学结论正确，乙同学结论不正确， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若，则代数式的值为______________． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入的思想是解题的关键． 将代数式变形为，再将整体代入求值即可． 【详解】解：． 故答案为2025． 12. 为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了12nm的光刻机难题，其中1nm＝0.000000001m，则12nm用科学记数法表示为______m． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值小于1的数的科学记数法的表示形式为：a×10−n（1≤a<10），n为正整数，n的值由原数中左起第一个非零数之前的零的个数确定，据此计算即可得． 【详解】解：∵1nm=0.000000001m=1×10−9m ∴12nm=1.2×10−8m 故答案为：1.2×10−8． 【点睛】本题主要考查绝对值小于1的数的科学记数法，熟练掌握科学记数法的变换方法是解题关键． 13. 冰裂纹是我国古典园林的铺装纹样之一，被广泛的应用于建筑装饰．图2是从图1中提取的多边形，则这个多边形的内角和是______．． 【答案】##720度 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，熟练掌握多边形内角和计算公式是关键． 根据n边形内角和为，求解即可． 【详解】解：这个多边形为六边形，它的内角和为：． 故答案为：． 14. 一双好眼睛，能更好地探索未来．央视青少年爱眼护眼公益广告——《好视力，好未来》中提到：航天员需要裸眼视力不低于 ，特警需要裸眼视力不低于，射箭运动员需要裸眼视力不低于，船长需要裸眼视力不低于 ．数据的中位数是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．据此解答即可．解题的关键是根据中位数的定义来解答． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为：4.8；4.8；5.0；5.0， 所以中位数为：， 故答案为：． 15. 定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b=a（a﹣b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣5，那么不等式3⊕x＜13的解集为 ________. 【答案】x＞﹣1 【解析】 【详解】解：3⊕x＜13， 3（3-x）+1＜13， 解得：x＞-1． 故答案为：x＞﹣1 ． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，正确理解题意进行计算是本题的解题关键． 16. 如图所示的扇形中，若 ，，的长为40，则的长为____________． 【答案】120 【解析】 【分析】先在小扇形中利用扇形弧长公式求出圆心角度数，再在大扇形中利用弧长公式求解即可 【详解】解：设扇形圆心角度数为， ∵ ，， ∴在扇形 中，， 解得：， ∴在扇形中，， ； 故答案为：120． 17. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边 在轴上，点的坐标为，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上的点处，此时，则点的对应点的坐标为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；由已知条件得到，根据勾股定理得到，据此求解可得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 18. 在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程的图解法是：如图1，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于的一元二次方程的图解，如图2，若，则的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键． 设，则，由勾股定理得，然后根据求出m，再根据根据即可求出a． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴． 故答案为：6． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】题目主要考查分式的化简求值，先计算分式的除法运算，然后计算加减法，最后代入求值即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 2025年中央广播电视台春节联欢晚会，作为春节申遗成功后的首届春晚，整场晚会以“已已如意，生生不息”为主题，充分展示中华优秀传统文化的隽永魅力．为了解某校九年级学生春晚观看方式（A：平板观看；B：手机观看；C：电视观看；D：其他方式或没有观看），小明随机统计了部分学生的春晚观看方式，并绘制成如下统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）这次随机抽取的学生共有________人，并将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中“手机观看”所对应扇形的圆心角角度为________； （3）该校九年级共有学生900人，请估计这次九年级学生用电视观看春晚的学生约有多少人？ 【答案】（1）40， 补全条形统计图如图所示： （2） （3）225人 【解析】 【分析】（1）根据A平板观看的人数与占比即可求出本次调查的学生总人数，进而求出C电视观看的人数即可计算补全统计图； （2）先求出“手机观看”的占比再乘以即可求解； （3）根据“电视观看”的占比乘以全校九年级人数即可求解． 此题主要考查关联扇形统计图与条形统计图、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答．解题关键是正确读懂统计图的信息以及明确题意． 【小问1详解】 这次随机抽取的学生总人数：（人）， “电视观看”的人数：（人）， 【小问2详解】 B“手机观看”所占圆心角， 故答案为：； 【小问3详解】 这次九年级学生用“电视观看”春晚的学生约有（人）， 答：这次九年级学生用“电视观看”春晚的学生为225人． 22. 如图，在矩形中，是对角线的中点． （1）用尺规过点作的垂线，分别交 ，于点，，连接， ；（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（）的条件下，求证：四边形 是菱形． 【答案】（1） 如图所示，直线即为所求； （2） 证明：∵四边形是矩形， ∴ ， ∴， ， ∵是的中点， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵， ∴是菱形． 【解析】 【分析】（）根据题意画出图形即可； （ ）证明，可得 ，即得四边形 是平行四边形，再根据即可求证； 本题考查了过一点作已知直线的垂线，矩形的性质，菱形的判定等，正确画出图形是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 湖南茶陵是中华茶文化的发源地之一，茶陵县也是中国历史上唯一以茶命名的行政县，相传炎帝神农氏在这里发现了茶，并被称为“茶祖”，湖南不仅在茶文化上有重要地位，其茶叶品种也非常丰富，其所产的君山银针和古丈毛尖更是享誉全国，某茶庄主要经营的茶类有君山银针和古丈毛尖，其中君山银针卖得比较好的是A规格的，古丈毛尖卖得比较好的是B规格的，它们的进价和售价如下表： 种类 君山银针A规格 古丈毛尖B规格 进价（元/斤） 160 500 售价（元/斤） 200 600 该茶庄计划购进这两种规格的茶共100斤． （1）若该茶庄购进这两种规格的茶共花费29600元，求该茶庄购进A，B两种规格的茶各多少斤？ （2）根据市场销售分析，A规格茶的进货量不低于B规格茶进货量的3倍．问：该茶庄如何进货才能使本次购进的茶全部销售完获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）该茶庄购进A规格的茶60斤，B规格的茶40斤； （2）该茶庄购进A规格的茶75斤，B规格的茶25斤时，全部销售完获得的利润最大，最大利润是5500元． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答 （1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元-次方程组，从而可以求得该茶庄购进4，B两种规格的茶各多少斤； （2）根据题意和表格中的数据，可以得到利润和购进A规格茶叶数量的函数关系式，然后根据A规格的进货量不低于B规格的3倍，可以得到购进A规格茶叶数量的取值范围，再根据最后根据一次函数的性质确定最大值． 【小问1详解】 解：设该茶庄购进A规格的茶x斤，购进B规格的茶y斤，根据题意得． 根据题意，得 解得 答：该茶庄购进A规格的茶60斤，B规格的茶40斤． 【小问2详解】 设该茶庄购进A规格的茶m斤，则购进B规格的茶斤． 因为A规格茶的进货量不低于B规格茶进货量的3倍， 所以， 解得． 设该茶庄本次购进的茶全部销售完获得的利润为W元． 根据题意，得． 因为， 所以w随m的增大而减小． 又， 所以当时，w取得最大值，最大值为． 此时． 答：该茶庄购进A规格的茶75斤，B规格的茶25斤时，全部销售完获得的利润最大，最大利润是5500元． 24. 老旧小区改造，一头连着民生福祉，一头连着城市发展，不仅是城市更新的重要内容，更承载着人民对美好生活的向往．某位“综合与实践”小组的同学从安全性及适用性出发，对附近一所小区的一段斜坡进行调研．为提升运用数学知识解决实际问题的能力，该小组同学把斜坡安全改造”作为一项课题活动，在老师的带领下利用课余时间进行实地测量，如下为活动报告． 课题 斜坡安全改造 成员 老师：××× 组长：××× 组员：×××，×××，××× 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图①，原坡面是矩形，计划将斜坡 改造成图②所示的坡比为的斜坡，坡面的宽度保持不变． 测量数据 【步骤一】利用皮尺测得 米，米； 【步骤二】在点处用测角仪测得斜坡的坡角为． …… …… 请根据活动报告，解答下列问题： （1）求改造后斜面底部延伸出来的部分的长度； （2）求改造这段斜坡需要多少立方米的混凝土材料？（结果保留根号） 【答案】（1）改造后斜面底部延伸出来的部分的长度为米． （2）改造这段斜坡需要立方米的混凝土材料． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点A作，交 的延长线于点H，构造直角三角形，再计算即可； （2）先计算，再计算体积即可． 【小问1详解】 解：如图，过点A作，交 的延长线于点H， 在 中，米， （米），（米）， 在中，， （米）, 米． 答：改造后斜面底部延伸出来的部分BE的长度为米； 【小问2详解】 解：平方米， 立方米． 答：改造这段斜坡需要立方米的混凝土材料． 25. 综合探究 如图（1），在矩形中， ，E是的中点，与关于对称，连接． （1）求证： ． （2）以为直径作． ①如图（2），过点F作 于点G，当时，试判断此时 与的位置关系，并证明； ②如图（3），当 时，求m的值． 【答案】（1） 证明：如图， ∵与关于对称， ∴ ， ∴ ， ∵E是的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （2）① 与相切， 证明：如图，连接， ∵ ， ∴ ， ， 在 G中，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在矩形中， ， 由对称可知， ∵是的直径， ∴点F在上， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ 与相切，． ② 【解析】 【分析】（1）根据对称的性质及线段中点的定义结合三角形内角和定理，平角的定义推出 ， ，即可得出结论； （2）① 与相切，证明如下：如图，连接，解直角三角形求出 ， ，由矩形的性质结合对称的性质得到点F在上，由等边对等角求出 ，即 ，即可证明 与相切，．②如图，连接，由（1）知 ，证明 ，推出 ，设 ，则 ，得到，在 中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 解：②如图，连接， ∵ ， ∴ ， 由（1）知 ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵ ， 设 ，则 ， ∵ ， ∴， ∴， 在 中， ， ∴， ∴， ∴ （负值已舍）． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定，矩形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形的应用等知识．涉及的知识点较多，难度较大． 26. 已知二次函数 （b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在 的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数 的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $