精品解析：河南省三门峡市陕州区2024-2025学年2024-2025学年八年级下学期期中教情学情诊断数学试卷

2024−2025学年下学期期中教情学情诊断 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟．请用蓝黑水笔或圆珠笔直接答在试卷上． 2．答题前请将密封线内的项目填写清楚 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 2. 下列四组线段a，b，c，能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D 3. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. 1 B. 5 C. D. 4. 已知，若是整数，则的值可能是( ) A. B. C. D. 3 5. 若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A. 2和1 B. 1和2 C. 2和2 D. 1和1 6. 如图，在平行四边形中，下列结论中错误是（    ） A. B. C.   D. 7. 如图1，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪面积是（ ） A. 24米2 B. 36米2 C. 48米2 D. 72米2 8. 如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为(　　) A 8 B. 10 C. 12 D. 14 9. 如图，的顶点在正方形网格的格点，若小方格的边长为1，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都不对 10. 大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为14，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知：2<x<4，化简+|x-5|=_______． 12. 直角三角形有两边长分别为3，4，则该直角三角形第三边为______． 13. 如图，，点、、在直线上，四边形为平行四边形，若的面积为5，则平行四边形的面积是______． 14. 如图，平行四边形的活动框架，当时，面积为，将从扭动到，则四边形面积为_______． 15. 图1是第七届国际数学教育大会（JCME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的面积为_____． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中a=2+，b=2-． 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点． (1)在图①中，以格点为端点，画线段MN=； (2)在图②中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为10． 19. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，求∠E的度数. 20. 如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时． （1）求港口A到海岛B的距离； （2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？（结果保留一位小数） 21. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在AB边上的点D处． （1）当∠B＝28°时，求∠CAE的度数； （2）当AC＝6，AB＝10时，求线段DE的长． 22. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题．有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇(点P是的中点)，它高出水面1尺(尺)． 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面()． 水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 23. 如图，在中，两点分别在边 上，连接， 且． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若平分，，且，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024−2025学年下学期期中教情学情诊断 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟．请用蓝黑水笔或圆珠笔直接答在试卷上． 2．答题前请将密封线内的项目填写清楚 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，，，是解题的关键．根据二次根式的性质进行化简，然后分析作出判断即可． 【详解】解：A． ，故A正确，符合题意； B．，故B错误，不符合题意； C．，故C错误，不符合题意； D．，故D错误，不符合题意． 故选：A． 2. 下列四组线段a，b，c，能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握利用勾股定理的逆定理判断直角三角形的方法． 利用勾股定理的逆定理判断选项的正确性． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，可以构成直角三角形，符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意． 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是两点间距离公式，掌握“由两点的坐标求解两点之间的距离”是解本题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到原点的距离是： ． 故选：D． 4. 已知，若是整数，则的值可能是( ) A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意及二次根式的运算直接进行排除选项即可． 【详解】解：由，若是整数，可得： A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 5. 若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A. 2和1 B. 1和2 C. 2和2 D. 1和1 【答案】D 【解析】 【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 6. 如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（    ） A. B. C.   D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，理解平行四边形的所有性质是解题的关键．直接利用平行四边形的对边平行，对边相等，对角相等等性质分别判断可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴C选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图1，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（ ） A. 24米2 B. 36米2 C. 48米2 D. 72米2 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形．从而用求和的方法求面积． 【详解】连接AC，则由勾股定理得AC=5米， ∵52+122=132 即AC2+DC2=AD2， ∴∠ACD=90°． 这块草坪的面积=SRt△ABC+SRt△ACD=AB•BC+AC•DC=（3×4+5×12）=36米2． 故选B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点． 8. 如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为(　　) A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据平行四边形的性质可知AB=CD，AD∥BC，AD=BC，然后根据平行线的性质和角平分线的性质可知AB=AF，DE=CD，因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12，解得AD=BC=12-2=10. 故选B. 点睛：此题主要考查了平行四边形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是把所求线段转化为题目中已知的线段，根据等量代换可求解. 9. 如图，的顶点在正方形网格的格点，若小方格的边长为1，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】考查了勾股定理及其逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理∶已知的三边满足，则是直角三角形． 根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定． 【详解】解∶正方形小方格边长为1， ， ， ， 在中， ，， ． ∴是直角三角形， 故选∶ B． 10. 大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为14，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由题意知，再由点、、分别是、、的中点，可得，，即可得出即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 点、、分别是、、的中点， ，， 为等边三角形，也是等边三角形， ， ， 是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， 在和中， ， ， 同理，可得， ， ， ， ， ，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查求三角形面积，涉及等边三角形的性质，中点性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，正确作出辅助线，得出是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知：2<x<4，化简+|x-5|=_______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用二次根式的意义、绝对值的意义化简． 【详解】解：∵2＜x＜4 ∴x-1＞0 ∴x-5＜0 ∴ ∴． 【点睛】本题考查二次根式与绝对值化简，需要熟练掌握． 12. 直角三角形有两边长分别为3，4，则该直角三角形第三边为______． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的知识．根据告诉的两边长，利用勾股定理求出第三边即可．注意4可能是直角边，也可能是斜边，所以得分两种情况讨论． 【详解】解：当3和4都是两条直角边时， 第三边； 当3是直角边，4是斜边时， 第三边． 故答案为：5或． 13. 如图，，点、、在直线上，四边形为平行四边形，若的面积为5，则平行四边形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线间的距离相等以及平行四边形的对边相等即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积等于， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及平行四边形的性质，根据同底等高的两个三角形面积相等以及等底等高的两个三角形面积相等是解本题的关键． 14. 如图，平行四边形的活动框架，当时，面积为，将从扭动到，则四边形面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，含有角的直角三角形的性质，根据题意可得，，作，交于点，则，从而即可得到．添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：当时，面积为， ， 将从扭动到， ， 作，交于点，如图所示， ， ， 故答案为：． 15. 图1是第七届国际数学教育大会（JCME-7）会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理依次计算出，，，，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答求得△的面积即可得到结论． 【详解】解：，，， ． ； ； ； △的面积． ∴的面积=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式； （2）按照混合运算法则，先算括号里面的，同时进行二次根式乘法，再合并同类二次根式. 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键. 17. 先化简，再求值：，其中a=2+，b=2-． 【答案】原式== 【解析】 【详解】试题分析：先对括号内的分式进行通分计算，然后再进行乘除法运算，最后代入数值即可. 试题解析：原式＝ =， 当a=2+ ，b=2-时，原式＝ =. 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点． (1)在图①中，以格点为端点，画线段MN=； (2)在图②中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为10． 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析. 【解析】 【分析】（1）以3和2为直角边作出直角三角形，斜边即为所求； （2）以3和1为直角边作出直角三角形，斜边为正方形的边长，如图②所示． 【详解】（1）如图①所示： （2）如图②所示. 【点睛】考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题关键． 19. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，求∠E的度数. 【答案】15° 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=30°，可得∠E度数． 解：连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°， ∴∠E=∠DAE， 又∵BD=CE， ∴CE=CA， ∴∠E=∠CAE， ∵∠CAD=∠CAE+∠DAE， ∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°， 故答案为15． 20. 如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时． （1）求港口A到海岛B的距离； （2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？（结果保留一位小数） 【答案】（1） （2）乙船 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答此题的关键是构造直角三角形，利用解直角三角形的相关知识解答． （1）作于点D，构造两个直角三角形并解直角三角形，用表示出和，利用和之间的关系列出方程求解； （2）分别求得两船看见灯塔的时间，然后比较即可． 【小问1详解】 解：过点B作于点D， 在中，，设，则， 在中，， 则，， 由得， 解得， ， 答：港口A到海岛B的距离为海里； 【小问2详解】 解：甲船看见灯塔所用时间：小时， 乙船看见灯塔所用时间：小时， 所以乙船先看见灯塔． 21. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在AB边上的点D处． （1）当∠B＝28°时，求∠CAE的度数； （2）当AC＝6，AB＝10时，求线段DE的长． 【答案】（1）31°；（2）3． 【解析】 【分析】（1）在Rt△ABC中，利用互余得到∠BAC＝62°，再根据折叠的性质得∠CAE＝∠CAB＝31°，然后根据互余可计算出∠AEC＝59°； （2）Rt△ABC中，利用勾股定理即可得到BC的长；设DE＝x，则EB＝BC﹣CE＝8﹣x，依据勾股定理可得，Rt△BDE中DE2+BD2＝BE2，再解方程即可得到DE的长． 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠B＝28°， ∴∠BAC＝90°﹣28°＝62°， ∵△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在点D处， ∴∠CAE＝∠CAB＝×62°＝31°； （2）在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10， ∴BC＝＝＝8， ∵△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在点D处， ∴AD＝AC＝6，CE＝DE， ∴BD＝AB﹣AD＝4， 设DE＝x，则EB＝BC﹣CE＝8﹣x， ∵Rt△BDE中，DE2+BD2＝BE2， ∴x2+42＝（8﹣x）2， 解得x＝3． 即DE的长为3． 【点睛】本题考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，解题时常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 22. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题．有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇(点P是的中点)，它高出水面1尺(尺)． 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面()． 水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 【答案】水的深度PN为12尺，芦苇MN的长度为13尺 【解析】 【分析】在中，根据勾股定理列出方程，求出的长，即可求解． 【详解】解：∵，点P是的中点， ∴． ∵， ∴． 在中，根据勾股定理， ． ∴． 解得， ∴． 答：水的深度为12尺，芦苇的长度为13尺． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 23. 如图，在中，两点分别在边 上，连接， 且． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若平分，，且，，求的长． 【答案】（1）证明过程见详解 （2）的长为 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定可得，，再根据平行四边形的性质，可得，由此即可求证； （2）根据题意可得，根据垂直可得平行四边形是矩形，设，在和中，运用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵，且四边形平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，， 在中，，则， ∴， ∴， 解得，， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等角对等边，勾股定理的运用，掌握矩形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$