精品解析：湖南省娄底市2025年普通高中学业水平合格性考试（三）数学试题

湖南省普通高中学业水平合格性考试（三） 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名，准考证号，考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸，试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整，笔迹清晰，卡面清洁． 姓名______ 准考证号______ 座位号______ 湖南省普通高中学业水平合格性考试（三） 数学 时量：90分钟 满分：100分 一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与不共线的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的最小正周期为，则为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 半径为2，圆心角为1弧度的扇形的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. （ ） A. B. C. D. 1 6. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 7. 为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（ ） A. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 8. 函数的定义域是（ ） A. 且 B. C. D. 且 9. 下列函数在其定义域内单调递减是（ ） A. B. C. D. 10. 数据的方差是5，则数据的方差是（ ） A. 9 B. 10 C. 19 D. 20 11. 若与互为相反数，则（ ） A. B. C. D. 12. 若直线l是与平面相交的一条斜线，则在平面内与l垂直的直线（ ） A. 有且只有一条 B. 有无数条 C. 有且只有两条 D. 不存在 13. 树人中学七年级有500人､八年级有600人､九年级400人，为了解该校“双减”政策落实情况､按年级进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为150的样本.则八年级应抽取的人数为（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 14. 已知，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 15. 在长方体中，下列直线位置关系判断正确的是（ ） A. 直线AB与AC异面 B. 直线AC与相交 C 直线与AC异面 D. 直线与相交 16. 在如图所示并联电路中，元件A正常工作的概率为0.6，元件B正常工作的概率为0.7，且A，B元件工作状态相互独立．则整个电路正常工作的概率为（ ） A. 0.42 B. 0.88 C. 0.7 D. 0.6 17. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 18. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆的半径为4米，盛水筒从点处开始运动，与水平面的所成角为，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒距离水面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分， 19. 已知复数为纯虚数，则______． 20. 函数的图象恒过定点__________. 21. 在中，内角A，B，C的对边分别为，则______ 22. 如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为．估计该样本数据的第60百分位数是______． 三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 在一个盒子中有除颜色外完全相同的3个球，蓝球，红球，绿球各1个，从中随机地取出1个球，观察其颜色后放回，然后随机取出1个球． （1）请用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； （2）求“第一次取出的是红球”的概率； （3）求“第一次取出的是红球且两次取出的球颜色不同”的概率． 24. 如图，在正四棱锥中，是正方形ABCD的中心，E是PC的中点，直线PB与平面ABCD所成的角为． （1）求证：平面PAD； （2）求四棱锥体积． 25. 已知函数． （1）求m的值； （2）用定义法证明：函数在上是减函数； （3）若在上有两个不同的实根，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省普通高中学业水平合格性考试（三） 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名，准考证号，考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸，试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整，笔迹清晰，卡面清洁． 姓名______ 准考证号______ 座位号______ 湖南省普通高中学业水平合格性考试（三） 数学 时量：90分钟 满分：100分 一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集定义易得. 【详解】由，易得. 故选：A. 2. 在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与不共线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线向量的定义即可. 【详解】因为共线向量是指向量所在直线共线或平行的向量，O为正六边形的中心， 所以与所在直线平行，所以是共线向量，故A错误； 与所在直线平行，所以是共线向量，故B错误； 与所在直线既不共线也不平行，所以不是共线向量，故C正确； 与所在直线共线，所以是共线向量，故D错误. 故选：C. 3. 已知函数的最小正周期为，则为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由正切函数的周期性，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 4. 半径为2，圆心角为1弧度的扇形的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形面积公式即可代入求解. 【详解】由扇形面积的计算公式可得, 故选：B 5. （ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式计算. 【详解】. 故选：C. 6. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出对应方程的根，结合对应二次函数的开口方向即可求解. 【详解】由得或， 因为的图象开口向上，所以不等式的解集为. 故选：B 7. 为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（ ） A. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角函数图象变换求解判断. 【详解】把余弦曲线上所有的点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 得的图象，A正确，BCD错误. 故选：A 8. 函数的定义域是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数有意义求解即可. 【详解】由，解得且， 所以函数的定义域是且. 故选：A. 9. 下列函数在其定义域内单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合正弦、余弦函数的性质，以及指数函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数在定义域上不是单调函数，所以A不符合题意； 对于B中，函数在定义域上不是单调函数，所以B不符合题意； 对于C中，由指数函数的性质，可得在上是递增函数，所以C不符合题意； 对于D中，由指数函数的性质，可得在上是递减函数，所以D符合题意. 故选：D. 10. 数据的方差是5，则数据的方差是（ ） A. 9 B. 10 C. 19 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】利用方差的性质求解即可． 【详解】因为数据的方差是5， 所以数据的方差是. 故选：D. 11. 若与互为相反数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数的运算公式即可得解. 【详解】由题意可知，则，. 故选：C 12. 若直线l是与平面相交的一条斜线，则在平面内与l垂直的直线（ ） A. 有且只有一条 B. 有无数条 C. 有且只有两条 D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】依题意画出图形，即可判断. 【详解】如图设斜线l与平面交于点A，在平面内过点A作直线， 则在平面内所有与直线a平行的直线均与直线l垂直， 故在平面内与l垂直的直线有无数条. 故选：B 13. 树人中学七年级有500人､八年级有600人､九年级400人，为了解该校“双减”政策落实情况､按年级进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为150的样本.则八年级应抽取的人数为（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义求出抽样比，按此比例求出八年级的人数即可. 【详解】依题意，抽样比为， 故八年级应抽取的人数为人. 故选：D 14. 已知，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式求，结合指数函数和对数函数的单调性即可比较大小. 【详解】因， 所以. 故选：B 15. 在长方体中，下列直线位置关系判断正确的是（ ） A. 直线AB与AC异面 B. 直线AC与相交 C. 直线与AC异面 D. 直线与相交 【答案】C 【解析】 【分析】利用长方体中的线线位置关系，可逐一判断各选项. 【详解】 如图，连接， 对于A，因，故直线AB与AC相交，不异面，故A错误； 对于B，因， ，故得，则有， 故直线AC与不可能相交，故B错误； 对于C，因平面， 平面， 平面， 故直线与AC异面，即C正确； 对于D，因， ，故得，则， 而与相交，故直线与异面，故D错误 故选：C. 16. 在如图所示的并联电路中，元件A正常工作的概率为0.6，元件B正常工作的概率为0.7，且A，B元件工作状态相互独立．则整个电路正常工作的概率为（ ） A. 0.42 B. 0.88 C. 0.7 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】想要电路正常工作，只需中至少有一个正常工作即可，结合对立事件的概率可求解. 【详解】当都不能正常工作时，整个电路就不能正常工作， 所以整个电路不能正常工作的概率为：， 所以整个电路正常工作的概率为：. 故选：B 17. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量垂直的坐标关系及充分、必要条件的概念判断即可. 【详解】由，可得，当时，，可以推出， 当时，，不能推出，故充分性不成立； 由，可得，解得，可以推出，故必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 18. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆的半径为4米，盛水筒从点处开始运动，与水平面的所成角为，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒距离水面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】有题意设，根据最高、最低高度，周期和初始高度，可得结果. 【详解】设距离水面的高度H与时间t的函数关系式为， 周期为120s，， 最高点的纵坐标为， 最低点的纵坐标为， 所以， 当t=0时，H=0，， 所以. 故选：A. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分， 19. 已知复数为纯虚数，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用纯虚数的定义求出，再求出复数的模. 【详解】由复数为纯虚数，得，，所以. 故答案为：1 20. 函数的图象恒过定点__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分析求解即可. 【详解】令，解得，此时， 所以函数的图象恒过定点. 故答案为：. 21. 在中，内角A，B，C的对边分别为，则______ 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】由， 可得：，得， 故答案为： 22. 如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为．估计该样本数据的第60百分位数是______． 【答案】14 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算即可. 【详解】由题图知，数据落在区间上的频率为， 数据落在区间上的频率为， 所以第百分位数是． 故答案为：. 三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 在一个盒子中有除颜色外完全相同的3个球，蓝球，红球，绿球各1个，从中随机地取出1个球，观察其颜色后放回，然后随机取出1个球． （1）请用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； （2）求“第一次取出的是红球”的概率； （3）求“第一次取出的是红球且两次取出的球颜色不同”的概率． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意写出样本空间即可； （2）写出事件A包含的基本事件，利用古典概型求解； （3）写出事件B包含的基本事件，利用古典概型求解. 【小问1详解】 样本空间Ω={（蓝球，蓝球），（蓝球，红球），（蓝球，绿球），（红球，蓝球），（红球，红球），（红球，绿球）（绿球，蓝球）（绿球，红球）（绿球，绿球）}． 【小问2详解】 设“第一次取出的是红球”为事件A． 事件A包含的样本点有（红球，蓝球），（红球，红球），（红球，绿球），共3个， 由（1）知基本事件总数， 所以． 【小问3详解】 设“第一次取出的是红球且两次取出的球颜色不同”为事件B． 事件B包含的样本点有（红球，蓝球），（红球，绿球），共2个， 由（1）知基本事件总数， 所以. 24. 如图，在正四棱锥中，是正方形ABCD的中心，E是PC的中点，直线PB与平面ABCD所成的角为． （1）求证：平面PAD； （2）求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，再利用线面平行的判定定理即可； （2）由正四棱锥的性质可得线面角，再结合长度求出正四棱锥的高，最后利用体积公式即可. 【小问1详解】 连接AC，因为O是正方形ABCD的中心，所以O是AC的中点． 又因为E是PC的中点，所以是的中位线，则， 因为平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 在正四棱锥中，平面. 因为直线PB与平面ABCD所成的角为， 则直线PB与平面ABCD所成的角， 在正方形ABCD中，，则， 在中，，所以， 又正四棱锥的底面积， 则正四棱锥的体积． 25. 已知函数． （1）求m的值； （2）用定义法证明：函数在上减函数； （3）若在上有两个不同的实根，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式中即可求得的值； （2）任取，利用作差法证明即可； （3）分析函数在上的单调性和最值，发现当时，单调递减；当时，单调递增，计算的值，由此可得函数在上的图象，进而得到实数a的取值范围. 【小问1详解】 因为，将代入函数，可得， 解得． 【小问2详解】 设，则 ， 因为，所以，则， 又，所以，即， 所以函数在上是减函数． 小问3详解】 在上有两个不同的实根，等价于函数与直线在上有两个交点， 因为，由基本不等式可知，当且仅当即时取等号， 即当时，， 由对勾函数性质可知当时，单调递减；当时，单调递增， 又， 因为函数与直线在上有两个交点， 所以实数a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$