2.6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例（2知识点+6题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

2.6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例 课程标准 学习目标 （1）会用向量方法计算或证明几何中的有关问题； （2）会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题． （1）能运用向量的有关知识解决平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题； （2）能运用向量的有关知识解决物理中有关力、速度、功等问题． 知识点01 向量在平面几何中的应用 1、向量在平面几何中的常见应用 （1））证明线段平行或点共线问题以及相似问题，常用共线向量基本定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0，λ∈R)⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))． （2）证明垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形等，常用向量数量积的运算性质： a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))． （3）求夹角问题，利用夹角公式：cos〈a，b〉＝＝(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))． （4）求线段的长度或说明线段相等，常用向量的模长公式：|a|＝＝或 |AB|＝||＝(其中a＝(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2))． 2、用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤：选取一组基；用基表示相关向量；利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；把计算所得结果转化为几何问题． （2）向量的坐标运算法的四个步骤：建立适当的平面直角坐标系；把相关向量坐标化；利用向量的坐标运算找到相应关系；利用向量关系回答几何问题． 【即学即练1】（23-24高二上·北京通州·期中）已知为矩形，点在线段上，且满足，则满足条件的点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【即学即练2】（22-23高一下·陕西西安·月考）已知，，，，点D在边上且，则长度为（    ） A． B． C． D． 知识点02 向量在物理中的应用 1、由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决． 2、物理学中的功是一个标量，即为力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)． 【即学即练3】（23-24高一下·安徽·期中）平面上三个力作用于一点且处于平衡状态.，，与的夹角为150°，则（    ） A．1N B． C． D． 【即学即练4】（24-25高一下·新疆喀什·月考）一架飞机向北飞行，然后改变方向向西飞行，则飞机飞行的路程为 ，位移为 . 难点：平面向量在实际中的综合应用 1、向量的运算有着鲜明的几何背景，几何图形的许多变化和性质，如平移、全等、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示． 2、既有大小又有方向的物理量是数学中向量的现实原型，向量是解决许多物理问题的工具． 【示例1】（23-24高三上·山西·期末）已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形一定为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 【示例2】（24-25高一下·广东东莞·月考）在三角形中，点在线段上，平分． (1)尝试利用等面积法证明角平分线定理，即请证明：； (2)尝试利用正弦定理证明角平分线定理，即请证明：； (3)若，，则是多少？ 【题型1：利用向量解决垂直问题】 例1．（23-24高二上·山东泰安·开学考试）在四边形中，，则四边形的形状是 . 变式1-1．如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：． 变式1-2．用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 变式1-3．（22-23高一下·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点． (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【方法技巧与总结】 （1）利用向量解决垂直问题的方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0． （2）利用向量解决垂直问题的途径：可以考虑利用基表示向量，也可以考虑坐标的形式． 【题型2：利用向量解决平行或共线问题】 例2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，，，，则与共线的条件为（    ） A． B． C． D．或 变式2-1．（24-25高一下·湖北·月考）设是不共线的两个向量. (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数的值. 变式2-2．（24-25高一下·甘肃平凉·月考）如图所示，在中，分别是边的中点，，，． (1)用表示； (2)求证：三点共线． 变式2-3．（23-24高一下·河北邯郸·月考）如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 . (1)请用 与 表示 ; (2)用向量方法证明：四边形是平行四边形. 【方法技巧与总结】 利用向量解决平行或共线问题的核心方法是：首先定义相关向量并用坐标表示，然后利用向量平行或共线的充要条件（即一个向量是另一个向量的标量倍数）建立方程，解方程验证是否存在非零标量k，若存在，则向量平行或共线，反之则不平行或不共线． 【题型3：利用向量解决线段相等问题】 例3．用向量的方法证明：梯形的中位线等于两底和的一半． 变式3-1．四边形是正方形，P是对角线DB上一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形是矩形，试用向量法证明：. 变式3-2．如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形. 变式3-3．如图，在平行四边形中，E、F分别为、的中点，、分别交于R、T两点.用向量方法证明：. 【方法技巧与总结】 首先根据线段的端点坐标定义向量，然后计算各向量的模（即线段长度），最后比较模的大小．若模相等，则对应的线段长度相等；若模不相等，则线段长度不相等． 【题型4：利用向量解决长度或夹角问题】 例4．（22-23高一下·福建·期中）在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．（23-24高一下·陕西西安·月考）如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值； (3)求和. 变式4-2．（23-24高三上·河南新乡·月考）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 变式4-3．（24-25高一下·山东泰安·月考）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【方法技巧与总结】 首先根据题目条件定义向量并用坐标表示，然后利用向量的模计算线段的长度，或利用向量的数量积公式计算向量之间的夹角．具体来说，向量的模用于求线段长度，而向量的数量积除以模的乘积等于向量夹角的余弦值，从而可以求出夹角． 【题型5：向量的线性运算在物理中的应用】 例5．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为，已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（    ）（重力加速度） A． B． C． D． 变式5-1．（23-24高一下·河南南阳·期中）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 变式5-2．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）某人在静水中游泳，速度为km/h．若此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4km/h，则此人实际沿与水流方向成 （填弧度数）方向前进，速度为 km/h 变式5-3．（24-25高一下·四川成都·期中）一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 【方法技巧与总结】 1、利用向量法解决物理问题有两种思路： 第一种是几何法：选取适当的基，将题中涉及的向量用基表示，利用向量运算法则、运算律或性质计算． 第二种是坐标法：通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算． 2、用向量处理物理中的向量问题时，根据题意把物理量用有向线段表示，利用平行四边形法则转化为代数方程来计算，也可建立平面直角坐标系，把向量作正交分解． 【题型6：向量的数量积在物理中的应用】 例6．（24-25高一下·广西来宾·月考）已知平面上的三个力，，作用于一点，处于平衡状态，且，，，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 变式6-1．（22-23高一下·河南新乡·期末）若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．已知，，与的夹角为，则的大小为（    ） A． B． C． D． 变式6-2．（24-25高一下·安徽·月考）一物体在力的作用下，由点移动到点.已知，则对该物体所做的功为（    ） A．4 B．8 C．10 D．16 变式6-3．（24-25高一下·山东菏泽·月考）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为 【方法技巧与总结】 物理上的功实质上就是力与位移两向量的数量积 1．（24-25高一下·陕西榆林·月考）已知一个物体在三个力的作用下处于静止状态，则（    ） A． B． C． D． 2．已知力的大小，在的作用下产生的位移的大小为，与的夹角为60°，则做的功为（    ） A．7 B．10 C．14 D．70 3．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 4．（23-24高一下·福建龙岩·月考）已知所在平面内点，且满足，则=（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（22-23高一下·福建福州·期中）在中，，，为的重心，若，则外接圆的半径为(    ) A． B．1 C．2 D． 6．（22-23高一下·山东菏泽·月考）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．的范围为 C．当时， D．当时， 7．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（    ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 8．（22-23高一下·宁夏银川·期中）在中，分别为边上的点，且.设. (1)用表示； (2)用向量的方法证明：. 9．（23-24高一下·广西防城港市·期末）如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·浙江嘉兴·月考）海宁一中物理兴趣小组在课外研究三力平衡问题：即三个力的合力为零.已知，，三力平衡，且夹角如图所示. (1)若，，，求的大小； (2)证明：. 11．（23-24高一下·安徽·月考）如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点，且； (1)求∠PAQ的大小； (2)求面积的最小值； (3)某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合（2）他猜想“中PQ边上的高为定值”，他的猜想对吗?请说明理由． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例 课程标准 学习目标 （1）会用向量方法计算或证明几何中的有关问题； （2）会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题． （1）能运用向量的有关知识解决平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题； （2）能运用向量的有关知识解决物理中有关力、速度、功等问题． 知识点01 向量在平面几何中的应用 1、向量在平面几何中的常见应用 （1））证明线段平行或点共线问题以及相似问题，常用共线向量基本定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0，λ∈R)⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))． （2）证明垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形等，常用向量数量积的运算性质： a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))． （3）求夹角问题，利用夹角公式：cos〈a，b〉＝＝(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))． （4）求线段的长度或说明线段相等，常用向量的模长公式：|a|＝＝或 |AB|＝||＝(其中a＝(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2))． 2、用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤：选取一组基；用基表示相关向量；利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；把计算所得结果转化为几何问题． （2）向量的坐标运算法的四个步骤：建立适当的平面直角坐标系；把相关向量坐标化；利用向量的坐标运算找到相应关系；利用向量关系回答几何问题． 【即学即练1】（23-24高二上·北京通州·期中）已知为矩形，点在线段上，且满足，则满足条件的点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】C 【解析】以为原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 可得, 因为点在线段上，所以可设， 所以, 又，所以，可得，解得；， 即满足条件的点P有2个.故选：C. 【即学即练2】（22-23高一下·陕西西安·月考）已知，，，，点D在边上且，则长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】中，点D在边上且， 则 又，，， 则， 即长度为故选：D 知识点02 向量在物理中的应用 1、由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决． 2、物理学中的功是一个标量，即为力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)． 【即学即练3】（23-24高一下·安徽·期中）平面上三个力作用于一点且处于平衡状态.，，与的夹角为150°，则（    ） A．1N B． C． D． 【答案】A 【解析】平面上三个力作用于一点且处于平衡状态，则， ，，与的夹角为150°， 故.故选：A. 【即学即练4】（24-25高一下·新疆喀什·月考）一架飞机向北飞行，然后改变方向向西飞行，则飞机飞行的路程为 ，位移为 . 【答案】 1400 1000 【解析】一架飞机向北飞行，然后改变方向向西飞行， 飞机飞行的路程为，位移为. 难点：平面向量在实际中的综合应用 1、向量的运算有着鲜明的几何背景，几何图形的许多变化和性质，如平移、全等、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示． 2、既有大小又有方向的物理量是数学中向量的现实原型，向量是解决许多物理问题的工具． 【示例1】（23-24高三上·山西·期末）已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形一定为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 【答案】C 【解析】由题意结合中位线定理可得，， 所以，即四边形为平行四边形. ， ， ， ， ，即，即，所以， 又，所以， 同理由中位线定理可得，所以， 故四边形为矩形.故选：C. 【示例2】（24-25高一下·广东东莞·月考）在三角形中，点在线段上，平分． (1)尝试利用等面积法证明角平分线定理，即请证明：； (2)尝试利用正弦定理证明角平分线定理，即请证明：； (3)若，，则是多少？ 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）利用等面积法证明：设，BC边上的高为h. 由，又，故； （2）利用正弦定理证明：设，则，， 在中，由正弦定理，， 在中，由正弦定理，， 因，两式相比，可得：； （3）由角平分线定理得，故， 于是， 两边平方得： ，故. 【题型1：利用向量解决垂直问题】 例1．（23-24高二上·山东泰安·开学考试）在四边形中，，则四边形的形状是 . 【答案】矩形 【解析】由可知,进而， 由可得且，所以四边形为矩形. 变式1-1．如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 变式1-2．用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 【答案】证明过程见解析 【解析】由题意得，， 故， 因为，所以，故. 变式1-3．（22-23高一下·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点． (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在． 【解析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角． 的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 【方法技巧与总结】 （1）利用向量解决垂直问题的方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0． （2）利用向量解决垂直问题的途径：可以考虑利用基表示向量，也可以考虑坐标的形式． 【题型2：利用向量解决平行或共线问题】 例2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，，，，则与共线的条件为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】若与共线，则，得到， 化简得，故， 因为，所以我们讨论是否为， 当时，得到或，但时，一定满足， 当时，则，此时满足， 则与共线的条件为或，故D正确.故选：D． 变式2-1．（24-25高一下·湖北·月考）设是不共线的两个向量. (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析；(2)或. 【解析】（1）证明：， ， 又因为与共线，且有公共端点, 所以三点共线. （2）因为与共线，所以存在实数，使得 即. 由与不共线，可知，解得 所以 即实数的值为或. 变式2-2．（24-25高一下·甘肃平凉·月考）如图所示，在中，分别是边的中点，，，． (1)用表示； (2)求证：三点共线． 【答案】(1)，；(2)证明见解析 【解析】（1）如图，延长到，使，连接，得到平行四边形， 则，， ； （2）由（1）知，， ， ， 所以，所以共线， 又因为有公共点，所以三点共线. 变式2-3．（23-24高一下·河北邯郸·月考）如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 . (1)请用 与 表示 ; (2)用向量方法证明：四边形是平行四边形. 【答案】(1)；(2)证明过程见解析 【解析】（1）因为、依次是对角线上的两个三等分点，所以， 于是有， 即； （2）因为、依次是对角线上的两个三等分点，所以， 于是有， 即，因此， 显然有，不共线， 因此且， 所以四边形是平行四边形. 【方法技巧与总结】 利用向量解决平行或共线问题的核心方法是：首先定义相关向量并用坐标表示，然后利用向量平行或共线的充要条件（即一个向量是另一个向量的标量倍数）建立方程，解方程验证是否存在非零标量k，若存在，则向量平行或共线，反之则不平行或不共线． 【题型3：利用向量解决线段相等问题】 例3．用向量的方法证明：梯形的中位线等于两底和的一半． 【答案】证明见解析 【解析】如下图，梯形ABCD中，且为中位线，则，， 又，所以， 又同向，所以 所以梯形的中位线等于两底和的一半. 变式3-1．四边形是正方形，P是对角线DB上一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形是矩形，试用向量法证明：. 【答案】证明见解析. 【解析】在正方形中，建立如图所示的平面直角坐标系， 设正方形的边长为1，则， 由P是对角线DB上一点(不包括端点)，令， 而，则，即，由四边形是矩形，得， 因此， 则，， 于是，所以. 变式3-2．如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形. 【答案】证明见解析. 【解析】由四边形是平行四边形，得，， 因为，， 因此，显然点不在直线上，则，且， 所以四边形是平行四边形. 变式3-3．如图，在平行四边形中，E、F分别为、的中点，、分别交于R、T两点.用向量方法证明：. 【答案】证明见解析. 【解析】证明：设，，. ∵B、R、E三点共线，∴存在，使得，即， ∴. ∵，故， ∴. 又与不平行， ∴,解得，即，同理， ∴ 【方法技巧与总结】 首先根据线段的端点坐标定义向量，然后计算各向量的模（即线段长度），最后比较模的大小．若模相等，则对应的线段长度相等；若模不相等，则线段长度不相等． 【题型4：利用向量解决长度或夹角问题】 例4．（22-23高一下·福建·期中）在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，由题意可得： ， 即，解之得.故选：A 变式4-1．（23-24高一下·陕西西安·月考）如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值； (3)求和. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由题意知，， 又，所以，故； （2）如图，过点E作交于AF于点N，过A作于点H， 设正方形的边长为，则， 由，得，， 所以， 由，得， 所以， 因为，所以， 所以，即，解得， 所以. （3）由（2）知，，得， 故. 变式4-2．（23-24高三上·河南新乡·月考）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由是上的中线，所以， 设，则， 又三点共线，所以，解得，所以， 因为是上的中线，所以， 所以， 所以，故. （2）为与夹角，且， 因为是BC上的中线，所以， 所以， 所以， 又， 所以， 所以. 变式4-3．（24-25高一下·山东泰安·月考）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． 【方法技巧与总结】 首先根据题目条件定义向量并用坐标表示，然后利用向量的模计算线段的长度，或利用向量的数量积公式计算向量之间的夹角．具体来说，向量的模用于求线段长度，而向量的数量积除以模的乘积等于向量夹角的余弦值，从而可以求出夹角． 【题型5：向量的线性运算在物理中的应用】 例5．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为，已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（    ）（重力加速度） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小， 则，故，故选：C 变式5-1．（23-24高一下·河南南阳·期中）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 【答案】C 【解析】根据题意，由于，又由， 则有向量，为邻边的四边形为菱形，则有，, 对于A，由于不变，则越小越省力，越大越费力，A错误； 对于B，由于，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，当时，，D错误．故选：C. 变式5-2．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）某人在静水中游泳，速度为km/h．若此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4km/h，则此人实际沿与水流方向成 （填弧度数）方向前进，速度为 km/h 【答案】 8 【解析】将此人的游泳速度与水的流速平移至共同起点，作出其和速度， 由此人的游泳速度为km/h，水的流速为4km/h， 可得此人实际速度为 km/h，且与水流方向成. 变式5-3．（24-25高一下·四川成都·期中）一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 【答案】(1)50公里；(2)，小时. 【解析】（1）设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 由船头始终指向正北方向，得，而，向量的夹角为， 于是， 所以船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离为（公里）. （2）由（1）知，，，， 由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得， 而，于是，， ，， 所以船头应调整的方向，到达B点所需时间为小时. 【方法技巧与总结】 1、利用向量法解决物理问题有两种思路： 第一种是几何法：选取适当的基，将题中涉及的向量用基表示，利用向量运算法则、运算律或性质计算． 第二种是坐标法：通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算． 2、用向量处理物理中的向量问题时，根据题意把物理量用有向线段表示，利用平行四边形法则转化为代数方程来计算，也可建立平面直角坐标系，把向量作正交分解． 【题型6：向量的数量积在物理中的应用】 例6．（24-25高一下·广西来宾·月考）已知平面上的三个力，，作用于一点，处于平衡状态，且，，，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为平面上的三个力，，作用于一点，处于平衡状态，所以， 所以，且，，， 设与夹角为， 由， 所以.故选：A. 变式6-1．（22-23高一下·河南新乡·期末）若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．已知，，与的夹角为，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据三力平衡得，即， 两边同时平方得， 即， 即，解得.故选：C. 变式6-2．（24-25高一下·安徽·月考）一物体在力的作用下，由点移动到点.已知，则对该物体所做的功为（    ） A．4 B．8 C．10 D．16 【答案】A 【解析】由题意得，，又，对物体做的功，故选：A. 变式6-3．（24-25高一下·山东菏泽·月考）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为 【答案】16 【解析】由题意得：，， 则合力对该质点所做的功为. 【方法技巧与总结】 物理上的功实质上就是力与位移两向量的数量积 1．（24-25高一下·陕西榆林·月考）已知一个物体在三个力的作用下处于静止状态，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为该物体静止，即受力平衡，三个力的合力为，即， 所以.故选：A. 2．已知力的大小，在的作用下产生的位移的大小为，与的夹角为60°，则做的功为（    ） A．7 B．10 C．14 D．70 【答案】D 【解析】根据向量的数量积，做的功为cos 60°＝.故选：D 3．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】易知， 可得，即，且， 所以可得的形状是直角三角形.故选：B 4．（23-24高一下·福建龙岩·月考）已知所在平面内点，且满足，则=（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】令，，根据向量的加法的平行四边形法则， 作出如图所示平行四边形，作于，于， 由，所以，为的高，等于的高， 所以.故选：D 5．（22-23高一下·福建福州·期中）在中，，，为的重心，若，则外接圆的半径为(    ) A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【解析】延长AG交BC于D，∵G是△ABC重心，∴AD为△ABC中线． ， 即AD⊥BC，故△ABC是等腰三角形，且， 则△ABC外接圆圆心在AD上，设为O，则OA=OC， ∵∠OAC=，∴△OAC是等边三角形，∴OA=OC=AC=AB=1，即△ABC外接圆半径为1．故选：B． 6．（22-23高一下·山东菏泽·月考）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．的范围为 C．当时， D．当时， 【答案】D 【解析】对A，为定值，， 解得：； 由题意知：时，单调递减，单调递增， 即越大越费力，越小越省力，故A错误； 对B，当时，不满足题意，故B错误； 对C，当时，，，故C错误； 对D，当时，，，故D正确.故选：D. 7．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（    ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】C 【解析】当航程最短时，船的实际航线应垂直河岸，此时船在静水中的速度应斜向上游， 船头方向与水流方向不垂直，所以A选项错误. 设船在静水中的速度与水流速度的夹角为， 因为船的实际航线垂直河岸，所以、与合速度构成直角三角形， 根据三角函数关系可得. 已知，，则，即， 根据诱导公式，可得，所以，即，B选项错误. 由、与合速度构成直角三角形，根据勾股定理可得. 将，代入，可得，C选项正确. 河宽米千米，合速度，可得. 将换算为分钟，所以分钟分钟，D选项错误.故选：C. 8．（22-23高一下·宁夏银川·期中）在中，分别为边上的点，且.设. (1)用表示； (2)用向量的方法证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为， . （2）由且， 得，所以. 9．（23-24高一下·广西防城港市·期末）如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是的垂心，延长，，分别交边，，于点，，，如图， 则，，，，， 因此，， 同理， 于是得， 又 由“奔驰定理”有 即，所以，故选：A 10．（23-24高一下·浙江嘉兴·月考）海宁一中物理兴趣小组在课外研究三力平衡问题：即三个力的合力为零.已知，，三力平衡，且夹角如图所示. (1)若，，，求的大小； (2)证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）依题意可得，所以， 又，，，所以， 所以. （2）依题意令，，， 以、为邻边作平行四边形， 由向量加法的平行四边形法则可得，即， 又，所以， 所以， 又，，，， 在中由正弦定理， 即， 所以，即. 11．（23-24高一下·安徽·月考）如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点，且； (1)求∠PAQ的大小； (2)求面积的最小值； (3)某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合（2）他猜想“中PQ边上的高为定值”，他的猜想对吗?请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)该同学猜想正确，理由见解析 【解析】（1）记，，则． （1）解法一：∵，∴， ∴， ∴， ∵正方形ABCD的边长为1，∴，， 在中，，，由， 则， ∴，． ∵，∴． 解法二：． 设，，则． 在中，，即， ． ∵，∴． （2），． ∴， ∵，∴． ∵，∴当时，面积的最小值为． （3）设中PQ边上的高为h， 由，得，． 又∵，∴， 且，∴， ∴，即为定值，该同学猜想正确. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$