精品解析：江苏省南京市临江高级中学2024-2025学年高一下学期4月期中考前模拟数学试题

临江高中2024-2025-2高一年级期中考前模拟考试 数学试题 时间：120分钟 总分：150分 注意：请在答题卡上作答 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 设，为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，，若与共线，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 6. 已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 在中， D为AC上一点且满足 若P为BD中点，且满足 则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分）（部分选对的得部分分） 9. 已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（ ） A. 与夹角 B. C. D. 10. 下列各式正确是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的最小正周期为，下列结论中正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数的对称中心是 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则第二次应计算的函数值是______． 13. 设当时，函数取得最大值，则______． 14. 已知外接圆的半径为1，圆心为点，且满足，则__________，__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知，，在同一平面内，且. （1）若，且，求； （2）若，且，求与的夹角的余弦值. 16. 已知均为锐角，且. （1）求的值： （2）求的值. 17 已知，，． （1）若点A、B、C不能构成三角形，求m的值； （2）若点A、B、C构成的三角形为直角三角形，求m的值． 18. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5nmile，与小岛D相距为．为钝角，且． （1）求小岛A与小岛D之间的距离； （2）求四个小岛所形成的四边形的面积． 19. 已知中，角A，B，C对应边分别为a，b，c. （1）求证：； （2）已知. ①若，求A； ②若是锐角三角形，且，求周长取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临江高中2024-2025-2高一年级期中考前模拟考试 数学试题 时间：120分钟 总分：150分 注意：请在答题卡上作答 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 已知，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知条件等式两边平方，结合同角间的三角函数关系和二倍角公式，即可求解. 【详解】两边平方得， ， 所以. 故选：D. 2. 设，为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量定义和数乘定义判断可知. 【详解】表示向量的长度是向量长度的2倍，但，的方向不一定相同， 所以由推不出； 反之，由数乘定义可知，若，则. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知向量，，若与共线，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量线性运算的坐标表示可得、，再由平面向量共线的坐标表示即可得解. 【详解】由已知得，， 又因为与共线， 所以有，解得. 故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量线性运算及共线的坐标表示，考查了运算求解能力，属于基础题. 4. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系可得，再利用两角差的正弦公式，即可得到答案. 详解】，， ， ， 故选：D. 5. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理化边为角，逆用和角公式即得结论. 【详解】由，利用正弦定理，， 即,因,则或（不合题意舍去）， 故△ABC一定是等腰三角形. 故选：A. 6. 已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可. 【详解】设与的夹角为， 则在上的投影向量为. 故选：B. 7. 在中， D为AC上一点且满足 若P为BD的中点，且满足 则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算计算即可. 【详解】 因为，所以， 则， 所以，，. 故选：D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切的倍角公式求得，再利用同角三角函数关系，将目标式进行转化，计算即可. 【详解】，故； 则. 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题，共18分）（部分选对的得部分分） 9. 已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（ ） A. 与夹角为 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条件求出的值，再根据向量的数量积定义求得夹角，即可判断A,B项；利用向量垂直的充要条件可判断C项；再由向量数量积的运算律求模判断D项即得. 【详解】由两边平方，，因，，故可得，，故B正确； 对于A，由可得，因，故得，即A正确； 对于C，由，则与不垂直，即C错误； 对于D，由，即，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用三角降幂公式化简，代入特殊角的三角函数即可算得；对于B，展开后，逆用两角和差的正切公式计算即得；对于C，通分后利用二倍角公式，辅助角公式和诱导公式即可求得；对于D，将待证式化成余弦，利用二倍角公式化简即得. 【详解】对于A，由，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数的最小正周期为，下列结论中正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数的对称中心是 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数图象可以由的图象向右平移个单位长度得到 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，利用三角恒等变换得到，根据最小正周期得到，得到函数解析式，求出A错误；B选项，整体法求解出函数的对称中心；C选项，求出，C错误；D选项，平移得到，D正确. 【详解】A选项， ， 因为函数的最小正周期为，解得，所以， 当时，，故A错误； B选项，令，即， 函数的对称中心是，故B错误； C选项，时，， 显然在其上不单调，故C错误； D选项，的图象向右平移个单位长度， 得到，故D正确． 故选：D． 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则第二次应计算的函数值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据零点的存在性定理，以及二分法的计算方法，得到第二次计算，即可的得到答案. 【详解】由函数零点时，第一次经过计算得，， 即，可得零点， 根据二分法，第二次计算. 故答案为： 13. 设当时，函数取得最大值，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先化简函数解析式，进而由正弦函数性质求出函数取最大值时x的取值即可求解. 【详解】由题函数， 所以当即时，函数取得最大值， 此时. 故答案为： 14. 已知外接圆的半径为1，圆心为点，且满足，则__________，__________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义求出夹角余弦、数量积. 【详解】由两边平方得：， 依题意，，所以； 故答案为：； 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知，，在同一平面内，且. （1）若，且，求； （2）若，且，求与的夹角的余弦值. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【分析】（1）设，由平面向量平行的坐标表示及模的坐标表示可得，即可得解； （2）由平面向量垂直可得，再由平面向量数量积的运算可得，最后由即可得解. 【详解】（1）设， 因为，，， 所以，解得或， 所以或； （2）因为，所以， 又，， 所以，所以， 所以. 【点睛】本题考查了平面向量共线及模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用及运算求解能力，属于中档题. 16. 已知均为锐角，且. （1）求的值： （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1），然后根据两角差的余弦公式展开，结合题目条件，分别算出每个量即可； （2）结合（1）的结果，求出，然后利用正切的角差公式，二倍角公式计算. 【小问1详解】 因为为锐角且， 所以， 因为，且， 所以 所以. 【小问2详解】 ，是锐角，则， 于是， 所以， 所以. 17. 已知，，． （1）若点A、B、C不能构成三角形，求m的值； （2）若点A、B、C构成的三角形为直角三角形，求m的值． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）点A、B、C不能构成三角形说明三点共线， 利用共线性质列出方程解出参数即可； （2）分类讨论直角的情况，转化为向量数量积为0， 列出方程解出即可. 【小问1详解】 因为点A、B、C不能构成三角形， 所以点A、B、C三点共线， 所以， 因为， ， 所以， 即， 所以若点A、B、C不能构成三角形，则. 【小问2详解】 若点A、B、C构成的三角形为直角三角形， 则： ①若为直角，此时， 即， 所以， ②若为直角，此时， 即，由 所以 所以， ③若为直角，此时， 即， 解得， 所以若点A、B、C构成的三角形为直角三角形， 则或或. 18. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5nmile，与小岛D相距为．为钝角，且． （1）求小岛A与小岛D之间的距离； （2）求四个小岛所形成的四边形的面积． 【答案】（1）2 （2）18 【解析】 【分析】（1）利用平方关系求出，由余弦定理求解可得； （2）利用圆的性质求出，由余弦定理求出，然后由三角形面积公式可得. 【小问1详解】 因为为钝角，且，所以， 在中，， 由余弦定理， 可得， 整理得，解得（负值已舍去）. 【小问2详解】 因为四点共圆，所以，且， 所以， 在中，，由余弦定理得， 整理得，解得（负值已舍去）. 所以四边形的面积平方海里. 19. 已知中，角A，B，C对应边分别为a，b，c. （1）求证：； （2）已知. ①若，求A； ②若是锐角三角形，且，求周长的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）将右式利用和角公式展开，化简并消去余弦即得； （2）①利用正弦定理和（1）的结论得到，推理得，计算即得角； ②利用① 的结论，推得，由正弦定理将边分别用角的三角函数表示，求出角的范围，借助于余弦函数的值域即可求得周长范围. 【小问1详解】 由 ， 故有成立； 【小问2详解】 ①由和正弦定理可得，, 又，则有, 由（1）可得，因， 故得，,又， 所以或(不合题意舍去), 即，又,，解得，. ② 因为，，所以； 由正弦定理得: ，即,则, ， 则的周长为， 又是锐角三角形，由可得， 则，故 即的周长的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $