精品解析： 湖南省永州市宁远县2024-2025学年八年级上学期期末质量监测数学试题

2024年下期期末质量监测试卷 八年级数学 时量：120分钟 满分：120分 一、单选题（共30分） 1. 使分式值为零的的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零． 【详解】依题意得：x+1=0且x-1≠0， 解得x=-1． 故选A． 【点睛】考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 2. 在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　） A. 2cm，3cm，4cm B. 3cm，6cm，6cm C. 2cm，4cm，6cm D. 5cm，6cm，7cm 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边进行分析即可． 【详解】解：A、，能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，不符合题意； C、，不能构成三角形，符合题意； D、，能构成三角形，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系，是解题的关键．解题时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 3. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质即可得到答案． 【详解】解：若，则，故选项A正确； 若，则，故选项B正确； 若，则，故选项C 不正确； 若，则，故选项D正确． 故选C． 4. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，则． B. 对应角相等的三角形全等 C. 若，则． D. 两点之间，线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用有理数的乘法，全等三角形的判定，等式的性质，两点之间线段最短逐项判断后即可确定正确的选项． 【详解】A. 若，则故该选命题是假命题，不符合题意． B. 对应角相等的三角形不一定全等，故该选命题是假命题，不符合题意． C. 若，则，故该选命题是假命题，不符合题意． D. 两点之间，线段最短，是真命题，符合题意； 故选：D． 5. 在数轴上表示不等式的解集正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式解集的表示方法依次判断． 【详解】解：在数轴上表示不等式x>−1的解集的是A． 故选：A． 【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确掌握不等式解集的表示方法,区分实心点与空心点，是解题的关键． 6. 下面有四种说法，其中正确的是（　　） A. 的立方根是4 B. 49的算术平方根是 C. 的立方根是 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根及平方根的定义，解题的关键是理解正数的平方根有2个．利用立方根、算术平方根和平方根的求法分别得到正确的答案即可做出选择． 【详解】解：A、的立方根是，故本选项错误； B、49的算术平方根是7，故本选项错误； C、的立方根是，故本选项正确； D、，故本选项错误． 故选：C 7. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的性质化简，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D 8. 自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯，某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯．用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为元，则列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题的方法与步骤，抓住等量关系列方程是解题关键． 设甲种水杯的单价为元，则乙种水杯的单价为元，根据720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同列方程即可得解． 【详解】解：设甲种水杯的单价为元，则乙种水杯的单价为元 根据题意列出方程得：． 故选：A． 9. 若关于的不等式组无解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的解集，能熟记求不等式组的解集的规律是解此题的关键．根据求不等式组解集的规律得出答案即可． 【详解】解：关于的不等式组，即无解， ， 解得：， 故选：D． 10. 如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，E是AC中点，连接BE，CD⊥BE于点F，CD＝BE．若AD＝，则BD的长为（　　） A. 2 B. 2 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作CN⊥AB于点N，连接ED，EN，利用SAS证明△DCE≌△BEN，可得ED＝NB，∠CED＝∠ENB＝135°，得△ADE是等腰直角三角形，可得AD＝DN＝BN，进而可得结果． 【详解】解：如图，过点C作CN⊥AB于点N，连接EN， ∴∠CNA＝90°， ∵∠BAC＝45°， ∴∠NCA＝∠A＝45°， ∴AN＝CN， ∵点E是AC的中点， ∴∠ANE＝∠CNE＝45°，∠CEN＝∠AEN＝90°， ∴∠CEF+∠FEN＝90°， ∵CD⊥BE， ∴∠CFE＝90°， ∴∠CEF+∠FCE＝90°， ∴∠DCE＝∠BEN， 在△DCE和△BEN中， ， ∴△DCE≌△BEN（SAS）， ∴ED＝NB，∠CED＝∠ENB＝135°， ∴∠AED＝45°＝∠A＝∠ACN， ∴AD＝DE， ∵AE＝CE， ∴AE=EN， ∴AD＝DN， ∴AD＝DN＝BN， ∴BD＝2AD＝2． 故选B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形求解． 二、填空题（共24分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的二次根式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，则， 故答案为：． 12. 在实数，，，，中，无理数的个数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查无理数．根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：在实数，，，，中，无理数有，，共3个； 故答案为：3． 13. 若有一种病毒的直径大约为，则用科学记数法可表示为_______ 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：用科学记数法可表示为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 14. 若,则=________ 【答案】1 【解析】 【分析】根据算术平方根的非负性及绝对值的非负性，即可列出方程组，解方程组即可求解. 【详解】解：由已知得： ， 解得： ∴=1. 故答案为1. 15. 在中，，的垂直平分线交于点，连接，若的周长为39，则的长为______． 【答案】14 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得，再求出的周长，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， 的周长， ∵的周长为39，， ∴． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等的性质，三角形的周长，熟记性质是解题的关键． 16. 如图，已知在等腰中，，点、是斜边上的两点不包括端点，且，若，，则_______________                   【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，难度适中．准确作出旋转后的图形是解题的关键．将绕点逆时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质可得，，，，然后求出，从而得到，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再求出是直角三角形，然后由勾股定理得出，求出、的长度，即可解决问题． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接． 由旋转的性质得，，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ∴ ． 故答案为：． 17. 对于实数，，定义一种新运算“*”：，等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义、分式方程的解法，解题的关键是理解题中给出的新运算法则及分式方程的解法．根据题中的新运算法则列出分式方程，再根据分式方程的解法解答即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 去分母得， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 18. 商场的某种商品标价为1200元，进价为800元，商场准备打折销售，要使利润率不低于5%，则最多打__________折． 【答案】七##7 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设打x折销售，根据利润售价进价，结合利润率不低于，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：设打x折销售，依题意得， ， 解得：， 则最多打七折． 故答案为：七． 三、解答题（共66分） 19. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘法及乘方，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用有理数的乘法及乘方，零指数幂，负整数指数幂计算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 解分式方程：． 【答案】分式方程无解． 【解析】 【分析】方程两边同乘以最简公分母（x+1）（x-3），将其转化为整式方程再求解，并检验． 【详解】解：两边同乘以最简公分母（x+1）（x-3）得， 4=（x-3）+（x+1）， 解得，x=3， 检验：当x=3时，（x+1）（x-3）=（3+1）（3-3）=0， ∴x=3不是是原方程的解， ∴原方程无解． 【点睛】本题考查了分式方程的求解能力，关键是能化分式方程为整式方程并准确求解． 21. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点（不写做法，保留作图痕迹）； （2）连接，求的度数． 【答案】（1） 如图所示，直线垂直平分，交于点，     （2） 【解析】 【分析】（1）根据尺规作线段垂直平分线的方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质以及等边对等角可得，然后利用三角形外角的性质求出，进而利用三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，属于基础题． 22. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为，0 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， ∴适合原不等式组的整数解为为，0． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 23. 先化简，再从，，2中选一个合适的数代入并求值． 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=-2代入计算即可求出值． 【详解】解：原式． 当x=2或-1时，原式无意义，故x=-2 当时，原式． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 24. 某服装店到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装，每套A品牌服装进价比B品牌服装每套进价多25元，已知用1000元购进A种服装的数量与用元购进B种服装数量相同． （1）求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？ （2）若A品牌服装每套售价为元，B品牌服装每套售价为元，服装店老板决定，购进B品牌服装的数量比购进A品牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，要使总利润不少于元，则最少购进A品牌的服装多少套？ 【答案】（1）A种品牌服装每套进价是100元，种品牌服装每套进价是75元 （2）16套 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用． （1）首先设A品牌服装每套进价为x元，则B品牌服装每套进价为元，根据关键语句“用2000元购进A种服装数量是用750元购进B种服装数量的2倍．”列出方程，解方程即可； （2）首先设购进A品牌的服装m套，则购进B品牌服装套，根据“可使总的获利超过1200元”可得不等式，再解不等式即可． 【小问1详解】 解：设A种品牌服装每套进价是元，种品牌服装每套进价是元， ， 解得：， 经检验为原分式方程的解且符合题意， ， 答：A种品牌服装每套进价是100元，种品牌服装每套进价是75元； 【小问2详解】 解：设购进A品牌服装套，由题意得： ， 解得：， 答：最少购进A品牌服装16套． 25. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b的值； （2）试着把化成一个完全平方式； 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题干中的方法应用完全平方公式展开，对应相等即可得出结果； （2）将7拆分，然后利用完全平方公式即可求解． 【小问1详解】 解：（1）∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 ． 【点睛】题目主要考查利用完全平方公式书写二次根式，理解题意，掌握完全平方公式是解题关键． 26. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知图能得到的理由是 ． （2）求得的取值范围是 ． （3）如图2，是的中线，交AC于E，交于F，且．求证：． 【答案】（1） （2） （3） 延长至点G，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据三角形全等的判定定理即可进行解答； （2）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答； （3）延长至点G，使，连接，先证明，即可得出，再根据，得出，最后根据等角对等边，即可求证． 【小问1详解】 解：∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，解题的关键是正确做出作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下期期末质量监测试卷 八年级数学 时量：120分钟 满分：120分 一、单选题（共30分） 1. 使分式值为零的的值为（ ） A. B. C. D. 2. 在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　） A. 2cm，3cm，4cm B. 3cm，6cm，6cm C. 2cm，4cm，6cm D. 5cm，6cm，7cm 3. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，则． B. 对应角相等的三角形全等 C. 若，则． D. 两点之间，线段最短 5. 在数轴上表示不等式的解集正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下面有四种说法，其中正确的是（　　） A. 的立方根是4 B. 49的算术平方根是 C. 的立方根是 D. 7. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯，某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯．用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为元，则列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的不等式组无解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，E是AC中点，连接BE，CD⊥BE于点F，CD＝BE．若AD＝，则BD的长为（　　） A. 2 B. 2 C. 2 D. 3 二、填空题（共24分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围为______． 12. 在实数，，，，中，无理数的个数是______． 13. 若有一种病毒的直径大约为，则用科学记数法可表示为_______ 14. 若,则=________ 15. 在中，，的垂直平分线交于点，连接，若的周长为39，则的长为______． 16. 如图，已知在等腰中，，点、是斜边上的两点不包括端点，且，若，，则_______________                   17. 对于实数，，定义一种新运算“*”：，等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是___________． 18. 商场的某种商品标价为1200元，进价为800元，商场准备打折销售，要使利润率不低于5%，则最多打__________折． 三、解答题（共66分） 19. 计算：． 20. 解分式方程：． 21. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点（不写做法，保留作图痕迹）； （2）连接，求的度数． 22. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 23. 先化简，再从，，2中选一个合适的数代入并求值． 24. 某服装店到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装，每套A品牌服装进价比B品牌服装每套进价多25元，已知用1000元购进A种服装的数量与用元购进B种服装数量相同． （1）求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？ （2）若A品牌服装每套售价为元，B品牌服装每套售价为元，服装店老板决定，购进B品牌服装的数量比购进A品牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，要使总利润不少于元，则最少购进A品牌的服装多少套？ 25. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b的值； （2）试着把化成一个完全平方式； 26. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知图能得到的理由是 ． （2）求得的取值范围是 ． （3）如图2，是的中线，交AC于E，交于F，且．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $