【领航密卷】2025年普通高等学校招生全国统一考试数学押题卷(5)

2025年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 押题卷(五) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1. C 2. C 3. B 4. A 5. C 【解析】易知直线l:y=kx +k-1=k(x +1)-1过定点 A(-1,-1),曲线C 可转化为 (x-1)2+(y-1)2=2,y≥0 (x-1)2+(y+1)2=2,y<0 , 如图.由图可知,若直线l与曲线C 有公共点,则直线l介于直线AB 与直线AD 之间即可. 解法一 由圆心C1(1,1)到直线kx-y+k-1=0的距离等于半径,得 |k-1+k-1| k2+1 = 2, 整理得k2-4k+1=0,解得k=2+ 3或k=2- 3(舍去),同理,由圆心C2(1,-1)到直线kx -y+k-1=0的距离等于半径,得 |k+1+k-1| k2+1 = 2,整理得k2=1,解得k=1(舍去)或k =-1,∴k∈ [-1,2+ 3].故选C. 解法二 易知C1(1,1),C2(1,-1),直线AC2与x轴平行,∠BAC1= π 6 ,∠C1AC2= π 4 ,∠DAC2 = π 4 ,∴∠BAC2= π 4+ π 6= 5 12π ,∴kAD =-1,kAB =tan 5π 12=tan (π 6+ π 4 )=2+ 3,∴k∈[-1, 2+ 3].故选C. 6.C 7. B 【解析】因为函数f(x)=a+ b 3x -1 (ab≠0)是奇函数,且定义域为{x|x≠0},所以f(1)+f(- 1)=0,即a+ b 2+a- 3 2b=0 ,所以2a-b=0,故选B. 8. A 【解析】由题意可得, f(x)的图象关于直线x=1对称, f(2+x)=-f(x),∴f(4+x)=-f(x +2)=f(x),f(x)是周期为4的函数.令g(x)=f(x)-πx,则g'(x)=f'(x)-π,∵ 当x ∈ [0,1]时,f'(x)>π,∴ 当x∈[0,1]时,g'(x)>0,∴ 函数g(x)在[0,1]上单调递增,∴ 当x ∈ [0,1]时,g(x)≥g(0),而g(0)=f(0)-π×0=0,∴ 当x ∈ [0,1]时,g(x)≥0,即当x ∈ [0,1]时,f(x)≥πx. 设h(x)=sin πx-πx,x ∈ [0,1],(f(x)与sin πx 的大小关系,无法建立直接联系,但是我们 已经得出了f(x)与πx 的大小关系,∴ 可以借助πx 和sin πx 的大小关系来研究,于是可以设 h(x)=sin πx-πx,x∈[0,1])则h'(x)=πcos πx-π=π(cos πx-1)≤0,∴函数h(x)在 [0,1]上单调递减,则sin πx-πx ≤0,x ∈[0,1],即sin πx ≤πx,x ∈[0,1],故f(x)≥sin πx 在[0,1]上恒成立. 结合对称性和周期性可画出函数f(x)和y=sin πx 在[-3,3]上的大致图象,如图所示,由图象 可知,不等式f(x)≤sin πx 在[-3,3]上的解集为[-2,0]∪ [2,3].故选A. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要 求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9. 2 2 10. BCD 11. ACD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12. 5 13. 3 3π 【解析】因为圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形,所以圆锥的底面半径r=1,圆锥的高h= 3,所以圆锥的体积V= 1 3πr 2h= 3 3π. 14. 15 4 四、解答题:本题共5小题,共25分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13分) 【解】(1)由题意得,2Sn=3an-1,则2Sn-1=3an-1-1(n≥2),两式相减得an=3an-1(n≥2). ∴ 数列{an}是等比数列,公比为3,令n=1,则2a1=3a1-1,得a1=1,∴{an}的通项公式为an =3n-1. (2) 由(1)得,bn = n+3n-1,n 为奇数 n·3n-1,n 为偶数 . 记数列{bn}的前2n 项中奇数项的和为S奇数项,偶数项的和为S偶数项, 则S奇数项 =(1+3+5+…+2n-1)+(30+32+34+…+32n-2)=n2+ 9n -1 8 , S偶数项 =2×31+4×33+6×35+…+2(n-1)×32n-3+2n×32n-1 ①, 则9S偶数项 =2×33+4×35+6×37+…+2(n-1)×32n-1+2n×32n+1 ②, ①-② 得,-8S偶数项 =2(31+33+35+…+32n-1)-2n·32n+1=2 3·(1-9n) 1-9 - 2n·32n+1, ∴S偶数项 = (24n-3)·32n +3 32 . ∴T2n =n2+ 9n -1 8 + (24n-3)·32n +3 32 =n 2+ (24n+1)·32n -1 32 . 16. (15分) 【解】(1)解法一(推理法) 连接A1E,BE,A1F,B1E(如图),∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三 棱柱,∴BB1⊥ 底面ABC,∴BB1⊥AB. ∵A1B1∥AB,BF⊥A1B1.∴BF⊥AB,又BB1∩BF=B,∴AB⊥平面BCC1B1,又BC⊂ 平面BCC1B1,∴AB⊥BC.∵E 为AC 的中点且AB=BC,∴AC⊥BE,又AA1⊥平面ABC, ∴AA1⊥BE,∵AA1∩AC=A,∴BE ⊥ 平面ACC1A1,∴A1E ⊥BE. 在 △A1EF 中,A1E= 6,EF= 3,A1F=3,于是A1E2+EF2=A1F2,∴A1E ⊥EF,又EF ∩BE=E,∴A1E ⊥ 平面BEF,∴A1E ⊥BF. 又A1E ∩A1B1=A1,∴BF ⊥ 平面A1EB1,而DE ⊂ 平面A1EB1,∴BF ⊥DE. 解法二(空间向量法) ∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴BB1⊥底面ABC,又AB,BC⊂平面ABC,∴BB1⊥ AB,BB1⊥BC. ∵A1B1 ∥AB,BF⊥A1B1,∴BF⊥AB.又BB1∩BF=B,BF,BB1⊂平面BCC1B1,∴AB ⊥ 平面BCC1B1.∵BC ⊂ 平面BCC1B1,∴AB ⊥BC,∴BA,BC,BB1 两两垂直. 以B 为坐标原点,以BA,BC,BB1 所在直线分别为x 轴,y 轴,z轴建立如图所示的空间直角坐 标系. 则 B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,2),A1(2,0,2),C1(0,2,2),E(1,1,0),F(0,2,1). 由题意,设D(a,0,2)(0≤a≤2),则BF → =(0,2,1),DE → =(1-a,1,-2), ∴BF → ·DE → =0×(1-a)+2×1+1×(-2)=0,∴BF → ⊥DE → ,即BF ⊥DE. (2) 易知EF → =(-1,1,1),DE → =(1-a,1,-2). 设平面DFE 的法向量为m=(x,y,z), 则 m·EF → =0 m·DE → =0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,即 -x+y+z=0 (1-a)x+y-2z=0 . 令z=2-a,则x =3,y=1+a,可得 m =(3,1+a,2-a)为平面 DFE 的一个法向量, 易知平面BCC1B1 的一个法向量为BA → =(2,0,0), 设平面BCC1B1 与平面DEF 所成二面角的平面角为θ, 则|cos θ|= | m·BA → | |m|·|BA → | = 6 2× 2a2-2a+14 = 3 2a2-2a+14 . 易知当a= 1 2 时,2a2-2a+14可取得最小值,最小值为 27 2 , 此时|cos θ|取得最大值,最大值为 3 27 2 = 6 3. ∴(sin θ)min= 1-( 6 3 )2 = 3 3 ,此时B1D= 1 2. 17. (15分) 【解】(1)因为10×0.75=7.5, 所以这10位同学预赛成绩的上四分位数为按从小到大顺序排列的第8个预赛成绩,即96. 这10位同学预赛成绩的平均数为93×2+94×2+95×3+96+97+9810 =95. (2) P(X =2)= 1 3× 1 2= 1 6 , P(X =3)= 1 3× 1 2× 1 2+ 2 3× 1 2× 1 2= 3 12= 1 4 , P(X =4)= 1 3× 1 2× 1 2× 2 3+ 2 3× 1 2× 1 2× 2 3+ 2 3× 1 2× 1 2× 2 3= 10 36= 5 18 , P(X =5)= 2 3× 1 2× 1 2× 1 3+ 1 3× 1 2× 1 2× 1 3+ 2 3× 1 2× 1 2× 1 3+ 2 3× 1 2× 1 2× 1 3+ 2 3× 1 2× 1 2× 2 3= 11 36. 所以X 的分布列为 X 2 3 4 5 P 16 1 4 5 18 11 36 (列出分布列后,注意根据概率和为1进行验证) E(X)=2× 1 6+3× 1 4+4× 5 18+5× 11 36 = 134 36 = 67 18. 18. (17分) 【解】(1)设P(x,y),A(x0,0),B(0,y0),则OA → =(x0,0),OB → =(0,y0),OP → =(x,y), ∵ |AB|=22,∴x20+y20=8. ∵ 2OP → = 3OA → +OB → , ∴ 2x= 3x0,2y=y0,即x0= 6 3x ,y0= 2y, 代入x20+y20=8中,化简得 x2 12+ y2 4=1. ∴ 动点P 的轨迹C 的方程为x 2 12+ y2 4=1. (2) 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 联立直线l与椭圆C 的方程,得 y=-x+m x2 12+ y2 4=1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 , 消去y,得4x2-6mx+3m2-12=0, 由Δ=36m2-4×4(3m2-12)>0,得m2<16, 则x1+x2= 3m 2 ,x1·x2= 3m2-12 4 , ∵ |MN|=32, ∴ |MN|= 2|x1-x2|= 2 (x1+x2)2-4x1x2 =32, 即 (3m 2 )2-4× 3m2-12 4 =3 , 解得m2=4,符合Δ>0, ∴ m=±2. 19. (17分) 【解】(1)因为f'(x)= 1+ 1 x -ln x (x+1)2 , 所以切线的斜率为f'(1)= 1 2 , 故切线方程为y= 1 2x- 1 2. (2) 当x ∈ [1,+∞)时,f(x)≤a(x-1)等价于ln x ≤a(x2-1), 令g(x)=a(x2-1)-ln x,x∈[1,+∞),则ln x≤a(x2-1)在[1,+∞)上恒成立,即g(x) ≥0恒成立. g'(x)=2ax- 1 x = 2ax2-1 x , 当a≤0时,g'(x)<0,g(x)在[1,+∞)上单调递减,所以g(x)≤g(1)=0,不符合题意; 当0<a< 1 2 时,由g'(x)=0得,x= 1 2a >1 , x ∈[1, 1 2a )时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以x∈[1, 1 2a )时,g(x)≤g(1)=0,不符合 题意; 当a≥ 1 2 时,2a≥1,因为x ≥1,所以2ax2-1≥0,则g'(x)≥0,g(x)在[1,+∞)上单调 递增,所以g(x)≥g(1)=0,符合题意. 综上所述,a 的取值范围为[12 ,+∞). YT5 数学试卷 第1 页(共4页) 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 押题卷(五) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1. .已知集合A={x|x2-4x+3≤0},B={x|2<x<4},则A ∩B= A.{x|3≤x<4} B.{x|1≤x≤3} C.{x|2<x≤3} D.{x|1≤x<4} 2. 复数z满足i2 023(2+z)=2-i,则z 􀳯 = A.-1+2i B.1+2i C.-1-2i D.1-2i 3. 已如x>0,y>0,则x+y≥2是xy≥1的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4. 把双曲线x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)绕着其中心旋转一定的角度可以得到函数f(x)=x- 1 x 的 图象,则该双曲线的实轴长为 A.2 22-2 B.4 22-2 C.2 32-2 D.4 32-2 5. 已知直线l:y=kx+k-1和曲线C:x2+y2-2x-2|y|=0有公共点,则实数k的取值范围 为 A.[2- 3,2+ 3] B.[3-2,1] C.[-1,2+ 3] D.[-1,1] 6. 记Sn 为等比数列{an}的前n 项和,若a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则S6= YT5 数学试卷 第2 页(共4页) A.6 B.8 C.9 D.12 7. 已知函数f(x)=a+ b 3x -1 (ab≠0)是奇函数,则 A.2a+b=0 B.2a-b=0 C.a+b=0 D.a-b=0 8. 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(2+x)=f(-x),且当x∈[0,1]时f'(x)>π,则不等 式f(x)≤sin πx 在[-3,3]上的解集为 A.[-2,0]∪ [2,3] B.[-1,3] C.[-1,2] D.[-3,-2]∪ [0,2] 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要 求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9. 已知函数y=Asin(x+φ)(A>0)的图象与直线y=m(0<m <A)连续的三个公共点从左到 右依次为 M,N,P,若|PN|=3|MN|,则 m A = . 10. 已知a>0,b>0,a+2b=1,则 A.2a + 1 b 的最小值为4 B.a2+b2 的最小值为 1 5 C.log1 2 a+log1 2 b的最小值为3 D.2a +4b 的最小值为22 11. 近年来,各级党委政府,教育管理部门和学校高度重视“平安校园”建设,经过不懈努力,已取得 了一定成效.某校法制副校长通过专题讲座的形式将平安校园知识普及至师生.为了了解讲座 效果.随机抽取10名师生,让他们在讲座前和讲座后各回答一份平安校园知识答卷,这10名师 生在讲座前和讲座后答卷的正确率如图所示: 讲座前后平安校园知识答题情况对比图 根据上图信息,下列说法正确的是 A.讲座前问卷答题的正确率的中位数等于72.5% B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于90% YT5 数学试卷 第3 页(共4页) C.讲座前问卷答题的正确率的上四分位数为85% D.讲座后问卷答题的正确率极差小于讲座前问卷答题的正确率极差 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12. (1-x+x2)(1+x)6 展开式中x7 的系数是 . 13. 已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形,则圆锥的体积为 . 14. 已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,|a-2b|=5,则a·b= . 四、解答题:本题共5小题,共25分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13分) 设数列{an}的前n 项和为Sn,已知Sn = 1 2 (3an -1)(n∈N*). (1)求{an}的通项公式; (2)设bn = n+an,n 为奇数 n·an,n 为偶数 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,求数列{bn}的前2n 项的和T2n. 16. (15分) 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B 为正方形,AB=BC=2,E,F 分别为AC,CC1 的中点,D 为棱A1B1 上的点,BF ⊥A1B1. (1)证明:BF ⊥DE; (2)当B1D 为何值时,平面BB1C1C 与平面DFE 所成二面角的正弦值最小? 17. (15分) 某校举行“学习二十大,奋进新征程”知识竞赛,知识竞赛包含预赛和决赛. (1)下表为某10位同学的预赛成绩: 预赛成绩 93 94 95 96 97 98 人数 2 2 3 1 1 1 YT5 数学试卷 第4 页(共4页) 求这10位同学预赛成绩的上四分位数(第75百分位数)和平均数; (2)决赛共有编号为A,B,C,D,E的5道题,学生甲按照A,B,C,D,E的顺序依次作答,答对的 概率依次为2 3 ,1 2 ,1 2 ,1 3 ,1 3 ,各题作答互不影响,若累计答错2道题或5道题全部答完则比赛结 束,记X 为比赛结束时学生甲已作答的题数,求X 的分布列和数学期望. 18. (17分) 在平面直角坐标系xOy中,点A,B 分别在x 轴、y轴上运动,且|AB|=22,动点P 满足 2OP → = 3OA → +OB → . (1)求动点P 的轨迹C 的方程; (2)设直线l:y=-x+m 与曲线C 交于M,N 两点,且|MN|=32,求实数m 的值. 19. (17分) 已知函数f(x)= ln x x+1 . (1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当x ≥1时,f(x)≤a(x-1),求a 的取值范围.