【领航密卷】2025年普通高等学校招生全国统一考试数学押题卷(2)

2025年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 押题卷(二) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1. B 2. A 3. C 4. D 5. A 6. C 7. C 8. B 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要 求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9. AB 10. ACD 【解析】解法一 对于A,由基本不等式可得a+2b=1≥2 2ab,解得ab≤ 1 8 ,当且仅当 a=2b a+2b=1 ,即a=12,b=14时等号成立,所以A 正确. 对于B,a2+b2=(1-2b)2+b2=5b2-4b+1=5(b- 2 5 )2+ 1 5 ,当且仅当b= 2 5 ,a= 1 5 时, a2+b2 取到最小值 1 5 ,故B 错误. 对于C,由2a + 1 b= (a+2b)( 2 a+ 1 b )=4+ 4b a + a b ≥4+24=8 ,当且仅当 4b a = a b a+2b=1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,即a = 1 2 ,b= 1 4 时等号成立,所以C 正确. 对于D,2a +4b ≥2 2a·4b =2 2a+2b =22,当且仅当 2a =4b a+2b=1 ,即a=12,b=14时等号成 立,所以D 正确. 综上,选ACD. 解法二 因为a+2b=1,所以a=1-2b.因为a>0,b>0,所以0<b< 1 2. 故ab=(1-2b)b =-2b2+b,设函数f(b)=-2b2+b=-2(b- 1 4 )2+ 1 8 (0<b< 1 2 ),易知函数f(b)max=f( 1 4 ) = 1 8 ,此时b= 1 4 ,a= 1 2 ,符合题意.故A 正确. 对B 的判断同解法一. 2 a + 1 b = 2 1-2b+ 1 b ,设g(b)= 2 1-2b+ 1 b (0<b < 1 2 ),则g'(b)= 4 (1-2b)2 - 1 b2 = 4b-1 (1-2b)2b2 ,令g'(b)=0,解得b= 1 4 ,当b∈(0, 1 4 )时,g'(b)<0,当b∈( 1 4 ,1 2 )时,g'(b)> 0,所以g(b)在区间(0, 1 4 )上单调递减,在区间(1 4 ,1 2 )上单调递增,所以g(b)min=g( 1 4 )=8,此 时b= 1 4 ,a= 1 2 ,符合题意,故C 正确. 11. AC 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12. 160 13. 42 3 【解析】如图,连接AC,取AC 的中点F,连接PF,则AC= 2AB=22,AF= 1 2AC= 2 ,正四 棱锥P-ABCD 的高PF= PA2-AF2= 4-2= 2,则该正四棱锥的体积为 1 3×2×2× 2 = 42 3 . 14. - 3 10 【解析】m·n=(a+b)·(a+λb)=a2+λb2+(1+λ)a·b=10λ+3,∵m ⊥n,∴m·n=10λ +3=0,∴λ=- 3 10. 四、解答题:本题共5小题,共25分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13分) 【解】(1) 设等差数列{an}的公差为d, 由题可知, 2a1+9d=20 9a1+36d=27(a1+d) , 解得 a1=1 d=2 , ∴an =2n-1.(2) bn = 2 an+2 + an = 2 2n+3+ 2n-1 = 2n+3- 2n-1 2 , Tn = 1 2 [(5-1)+(7- 3)+(9- 5)+ … +(2n+1- 2n-3)+(2n+3- 2n-1)]= 1 2 (2n+1+ 2n+3-1- 3), ∵n≥3,2Tn - an+1 = 2n+3-1- 3≥2- 3>0, ∴ 当n≥3时,2Tn > an+1. 16. (15分) 【解】(1) 如图,连接AC,BD,记AC 与BD 交于点O,取OD 的中点F,连接EF,CF,AF. 由AB=CB,AD=CD,得BD 垂直平分AC. 又 ∠ABC=90°,且AB= 2, 所以AO=BO=CO=1,所以DO= AD2-AO2 =2, 所以DF=1,BF=2. 所以BF FD = PE ED =2 ,所以EF ∥PB. 因为PB ⊂ 平面PAB,EF ⊄ 平面PAB,所以EF ∥ 平面PAB. 又点O 为线段BF 和AC 的中点,所以四边形ABCF 是平行四边形,所以CF ∥AB. 因为AB ⊂ 平面PAB,CF ⊄ 平面PAB,所以CF ∥ 平面PAB. 又EF ∩CF=F,EF,CF ⊂ 平面CEF,所以平面CEF ∥ 平面PAB. 又CE ⊂ 平面CEF,所以直线CE ∥ 平面PAB. (2) 连接PO,在 △POB 和 △POD 中,由cos∠POB=-cos∠POD, 有PO 2+BO2-PB2 2PO·BO =- PO2+DO2-PD2 2PO·DO ,即PO 2+1-5 2PO =- PO2+4-8 4PO . 解得PO=2,所以PO2+BO2=PB2,所以PO ⊥BD. 又PA=PC,所以PO ⊥AC,又BD ⊥AC,所以PO,CO,DO 两两垂直. 以O 为坐标原点,OC,OD,OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标 系, 有P(0,0,2),B(0,-1,0),C(1,0,0),D(0,2,0),E(0, 4 3 ,2 3 ),BP → =(0,1,2),CP → =(-1,0,2), CE → =(-1, 4 3 ,2 3 ). 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),由 n·BP → =0 n·CP → =0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,得 y+2z=0 -x+2z=0 ,取z=1,得x=2,y=- 2,所以n=(2,-2,1). 设直 线 CE 与 平 面 PBC 所 成 的 角 为θ,则sin θ =|cos<n,CE → >|= | n·CE → | |n|·|CE → | = |-2- 8 3+ 2 3| 9× 29 9 = 4 29 29 , 所以直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为4 2929 . 17. (15分)【解】(1)设“停止取球时盒中恰好剩3个白球”为事件A, 则P(A)= C14A13A33 A47 = 3 35. (2) X 的可能取值为3,4,5,6, P(X=3)= A33 A37 = 1 35 ,P(X=4)= A44+C14A13A33 A47 = 4 35 ,P(X=5)= C13A14A44+C24A24A33 A57 = 2 7 ,P(X =6)= C13C14A22 A27 = 4 7 , 所以X 的分布列为 X 3 4 5 6 P 135 4 35 2 7 4 7 所以X 的数学期望E(X)=3× 1 35+4× 4 35+5× 2 7+6× 4 7= 27 5. (3)Y 的可能取值为3,4,5,6,设甲盒、乙盒抽取次数分别为Y1,Y2, 因为乙盒中两种小球个数相同,所以无论甲盒剩余小球什么颜色,乙盒只需取完另一种颜色即 可, P(Y=3)=P(Y1=1)P(Y2=2)= 1 3 A22 A24 = 1 18 , P(Y=4)=P(Y1=1)P(Y2=3)+P(Y1=2)P(Y2=2)= 1 3 C12A12A22 A34 + 2 3 A22 A24 = 2 9 , P(Y=5)=P(Y1=1)P(Y2=4)+P(Y1=2)P(Y2=3)= 1 3 (C 1 2A12A22 A34 + A22 A24 )+ 2 3 C12A12A22 A34 = 7 18 , P(Y=6)=P(Y1=2)P(Y2=4)= 2 3 (C 1 2A12A22 A34 + A22 A24 )= 1 3 , Y 的数学期望E(Y)=3× 1 18+4× 2 9+5× 7 18+6× 1 3=5. 在将球分装时,甲盒取完后直接取乙盒,此时甲盒中还有其他球,该球干扰作用已经消失,所以 同样是要剩余同一颜色的球,调整后的方案总抽取次数的期望更低. 18. (17分) 【解】(1)解法一 如图,圆心B(-1,0),圆B 的半径为4. 于是|EA|+|EB|=4,且|AB|=2< 4,故Γ 为椭圆. 2a=4,2c=2,b2=a2-c2=3.所以Γ 的方程为 x2 4+ y2 3=1. 解法二 依题意,B(-1,0),圆B 的半径为4, 设E(x,y),因为|EA|+|EB|=4, 所以 (x-1)2+y2 + (x+1)2+y2 =4, 化简,得x 2 4 + y2 3=1 , 故点E 的轨迹Γ 是椭圆,曲线Γ 的方程为x 2 4+ y2 3=1. (2)解法一 设直线CM 的方程为y=kx+m(k≠0),C(x1,y1),M(x2,y2),则D(x1,-y1), 由 y=kx+m 3x2+4y2=12 ,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, 则x1+x2= -8km 3+4k2 ,x1x2= 4m2-12 3+4k2 , 直线DM 的方程为y+y1= y1+y2 x2-x1 (x-x1),令y=0,得xQ =x1+ y1(x2-x1) y1+y2 , 所以|OQ|=|xQ|=|x1+ y1(x2-x1) y1+y2 |=| x1y2+x2y1 y1+y2 |=| x1(kx2+m)+x2(kx1+m) (kx1+m)+(kx2+m) |=| 2kx1x2+m(x1+x2) k(x1+x2)+2m |=| 2k·4m 2-12 3+4k2 +m·- 8km 3+4k2 k·-8km 3+4k2 +2m |=4| k m|. 在y=kx+m 中,令y=0,得xP = -m k , 所以|OP|·|OQ|=|- m k | ·4| k m|=4 ,因此|OP|·|OQ|为定值4. 解法二 设直线CM 的方程为x=ty+m,C(x1,y1),M(x2,y2),则D(x1,-y1), 由 x=ty+m 3x2+4y2=12 ,得(3t2+4)y2+6tmy+3m2-12=0, 则y1+y2= -6tm 3t2+4 ,y1y2= 3m2-12 3t2+4 , 直线DM 的方程为y+y1= y1+y2 x2-x1 (x-x1), 令y=0,得xQ =x1+ y1(x2-x1) y1+y2 , 所以|OQ|=|xQ|=|x1+ y1(x2-x1) y1+y2 |=| x1y2+x2y1 y1+y2 |=| (ty1+m)y2+(ty2+m)y1 y1+y2 |=| 2ty1y2+m(y1+y2) y1+y2 |=|2t· y1y2 y1+y2 +m|=|2t· 3m2-12 -6tm + m|=| 4 m|. 在x=ty+m 中,令y=0,得xP =m, 所以|OP|·|OQ|=|m|·| 4 m|=4 , 因此|OP|·|OQ|为定值4. 解法三 设点C(x1,y1),M(x2,y2),P(m,0),Q(n,0), 则D(x1,-y1), 直线CM 的方程为y= y1 x1-m (x-m),直线DM 的方程为y= -y1 x1-n (x-n), 由 y= y1 x1-m (x-m) 3x2+4y2=12 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,消去y 并整理,得(3x 2 1-6mx1+3m2+4y21)x2-8my21x+4m2y21- 12(x1-m)2=0, 因为点C 在椭圆Γ 上,所以直线CM 与椭圆Γ 必有公共点, 所以x1+x2= 8my21 3x21-6mx1+3m2+4y21 , 同理可得x1+x2= 8ny21 3x21-6nx1+3n2+4y21 . 所以 8my21 3x21-6mx1+3m2+4y21 = 8ny21 3x21-6nx1+3n2+4y21 , m(3x21-6nx1+3n2+4y21)=n(3x21-6mx1+3m2+4y21), 化简可得3(m-n)x21+4(m-n)y21=3mn(m-n). 当m ≠n 时,3mn=3x21+4y21=12,此时,mn=4; 当m=n 时,P,Q,M 三点重合,此时,|m|=|n|=a=2,|mn|=4. 综上所述,|OP|·|OQ|=|mn|=4,即|OP|·|OQ|为定值4. 19. (17分) 【解】(1) 因为函数f(x)=ax3+bx2+1(a,b∈R)在x=1处取得极值0, 所以f'(1)=3a+2b=0,f(1)=a+b+1=0, 解得a=2,b=-3, 经检验,当a=2,b=-3时,函数f(x)在x=1处取得极值0,符合题意,所以a=2,b=-3. (2)由(1)可知,函数f(x)=2x3-3x2+1,所以f'(x)=6x2-6x. 设切点坐标为(x0,2x30-3x20+1),所以切线方程为y-(2x30-3x20+1)=(6x20-6x0)(x- x0). 因为切线过点(1,m), 所以m-(2x30-3x20+1)=(6x20-6x0)(1-x0), 解法一 即m=-4x30+9x20-6x0+1. 令h(x)=-4x3+9x2-6x+1,则h'(x)=-12x2+18x-6=-6(2x-1)(x-1), 令h'(x)=0,解得x= 1 2 或x=1, 当x 变化时,h'(x),h(x)的变化情况如表所示, x (-∞, 1 2 ) 1 2 (1 2 ,1) 1 (1,+∞) h'(x) - 0 + 0 - h(x) 单调递减 - 1 4 单调递增 0 单调递减 (利用导数研究函数f(x)的单调性的步骤:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)对f(x)求导;(3) 令f'(x)>0,解不等式得x 的范围,即得单调递增区间,令f'(x)<0,解不等式得x 的范围,即 得单调递减区间)(注:列表的第一行、第二行正确的得1分,第三行正确的得1分) 因此,当x= 1 2 时,h(x)有极小值h(12 )=- 1 4 ,当x=1时,h(x)有极大值h(1)=0.(注:语言 叙述正确,但未列表的不扣分) 过点(1,m)存在三条直线与曲线y=f(x)相切,等价于关于x 的方程m=-4x3+9x2-6x+ 1有三个不同的根,等价于直线y=m 与y=h(x)的图象有三个不同的交点.当x →-∞ 时, h(x)→+∞,当x →+∞ 时,h(x)→-∞,作出直线y=m 与y=h(x)的大致图象,如图,则 - 1 4<m <0 ,所以实数m 的取值范围是(- 1 4 ,0). 解法二 即-4x30+9x20-6x0+1-m=0, 令h(x)=-4x3+9x2-6x+1-m, 则h'(x)=-12x2+18x-6=-6(2x-1)(x-1), 令h'(x)=0,解得x= 1 2 或x=1, 当x 变化时,h'(x),h(x)的变化情况如表所示, x (-∞, 1 2 ) 1 2 (1 2 ,1) 1 (1,+∞) h'(x) - 0 + 0 - h(x) 单调递减 - 1 4-m 单调递增 -m 单调递减 (注:列表的第一行、第二行正确的得1分;第三行正确的得1分) 因此,当x= 1 2 时,h(x)有极小值h(12 )=- 1 4-m ,当x=1时,h(x)有极大值h(1)=-m. (注:语言叙述正确,但未列表的不扣分) 过点(1,m)存在三条直线与曲线y=f(x)相切,等价于关于x 的方程-4x3+9x2-6x+1- m=0有三个不同的根, 等价于y=h(x)的图象与x 轴有三个不同的交点,又当x→-∞时,h(x)→+∞,当x→+∞ 时,h(x)→-∞,所以 -m >0 - 1 4-m <0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解得- 1 4<m <0 ,所以实数m 的取值范围是(- 1 4 ,0). YT2 数学试卷 第1 页(共4页) 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 押题卷(二) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1. 已知集合A={x|x2<4},B={x|-3<x≤1},则A ∩B= A.{x|x<2} B.{x|-2<x≤1} C.{x|-3<x≤1} D.{x|-3<x<2} 2. 已知i是虚数单位,若非零复数z满足(1-i)z=|z|2,则 z 1+i= A.1 B.-1 C.i D.-i 3. “x>2”是“2x - 4 2x >3”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 如图,F1,F2 分别是双曲线C: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,C的右支上存在一点B 满 足BF1⊥BF2,BF1 与双曲线C 左支的交点A 满足 sin∠AF2F1 sin∠AF2B = |BF2| |F1F2| ,则双曲线C 的离心 率为 A.3 B.2 C.23 D.13 YT2 数学试卷 第2 页(共4页) 5. 过点P(-1,33)作圆C:x2+y2-4x-5=0的两条切线,切点分别为A,B,则劣弧AB 的长度 是 A.2π B.3π2 C. 4π 3 D.π 6. 若{an}是等比数列,a1=1,a3=5,则a5= A.7 B.9 C.25 D.35 7. 若函数f(x)=cos x·lg(x2+m -x)为奇函数,则m= A.-1 B.0 C.1 D.±1 8. 已知偶函数f(x)与其导函数f'(x)的定义域均为R,且f'(x)+e-x +x也是偶函数,若f(2a- 1)<f(a+1),则实数a 的取值范围是 A.(-∞,2) B.(0,2) C.(2,+∞) D.(-∞,0)∪ (2,+∞) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要 求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9. 声音是由物体振动产生的声波,纯音的数学模型是函数y=Asin ωt,我们听到的声音是由纯音合 成的,称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sin x 2- 1 2sin x,则下列结论中正确的 是 A.f(x)是奇函数 B.f(x)在区间(0,2π)内有最大值 33 4 C.f(x)的周期是2π D.f(x)在区间(0,2π)内有一个零点 10. 已知a>0,b>0,若a+2b=1,则 A.ab的最大值为18 B.a 2+b2 的最小值为1 C.2a + 1 b 的最小值为8 D.2a +4b 的最小值为22 11. 某学校组建了辩论、英文剧场、民族舞、无人机和数学建模五个社团,高一学生全员参加,且每位 学生只能参加一个社团.学校根据学生参加情况绘制如下统计图,已知参加无人机社团和参加 数学建模社团的学生人数相等,下列说法正确的是 YT2 数学试卷 第3 页(共4页) A.高一年级学生人数为120 B.参加无人机社团的学生人数为17 C.若按比例分层随机抽样从各社团抽取20人,则从无人机社团抽取的学生人数为3 D.若甲、乙、丙三人报名参加社团,则共有60种不同的报名方法 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12. (2+x)6 的展开式中x3 的系数是 .(用数字作答) 13. 在正四棱锥P-ABCD 中,PA=AB=2,则该正四棱锥的体积为 . 14. 已知向量m=a+b,n=a+λb,其中|a|=32,|b|=5,<a,b>=135°,若m ⊥n,则实数 λ的值为 . 四、解答题:本题共5小题,共25分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13分) 已知等差数列{an}的前n 项和为Sn,a4+a7=20,S9=27a2. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn = 2 an+2 + an ,数列{bn}的前n 项和为Tn,证明:当n≥3时,2Tn > an+1. 16. (15分) 如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面四边形ABCD 满足AB=CB= 2,AD=CD= 5,∠ABC =90°,棱PD 上的点E 满足PE=2DE. (1)证明:直线CE ∥ 平面PAB; (2)若PB= 5,PD=22,且PA=PC,求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值. YT2 数学试卷 第4 页(共4页) 17. (15分) 一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的7个小球,其中4个白球,3个黑球,现采取不放回的 方式每次从盒中随机抽取一个小球,当盒中只剩一种颜色的球时,停止取球. (1)求停止取球时盒中恰好剩3个白球的概率. (2)停止取球时,记总的抽取次数为X,求X 的分布列与数学期望. (3)现对方案进行调整:将这7个球分装在甲、乙两个盒子中,甲盒装3个小球,其中2个白球,1 个黑球;乙盒装4个小球,其中2个白球,2个黑球.采取不放回的方式先从甲盒中每次随机抽取 一个小球,当盒中只剩一种颜色的球时,用同样的方式从乙盒中抽取,直到乙盒中所剩小球颜色 和甲盒剩余小球颜色相同,或者乙盒小球全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y,求Y 的数学期望,并从实际意义解释X 与Y 的数学期望的大小关系. 18. (17分) 已知平面上动点E 到点A(1,0)与到圆B:x2+y2+2x-15=0的圆心B 的距离之和等于该圆 的半径.记E 的轨迹为曲线Γ. (1)说明Γ 是什么曲线,并求Γ 的方程; (2)设C,D 是Γ 上关于x 轴对称的不同两点,点M 在Γ 上,且M 异于C,D 两点,O 为原点,直 线CM 交x 轴于点P,直线DM 交x 轴于点Q,试问|OP|·|OQ|是否为定值? 若为定值,求 出这个定值;若不是定值,请说明理由. 19. (17分) 已知函数f(x)=ax3+bx2+1(a,b∈R)在x=1处取得极值0. (1)求a,b; (2)若过点(1,m)存在三条直线与曲线y=f(x)相切,求实数m 的取值范围.