【领航密卷】2025年普通高等学校招生全国统一考试数学押题卷(4)

2025年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 押题卷(四) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1. C 2. D 3. B 4. C 5. D 【解析】圆x2+y2-4x-m=0的方程可化为(x-2)2+y2=m+4,所以m+4>0,即m >- 4,且圆心为C(2,0),半径r= m+4.如图,因为过点P(-2,0)可作圆C 的两条切线,所以点 P(-2,0)在圆C 外,所以2-(-2)> m+4,即16>m+4,即m <12,所以-4<m <12. 设两切点分别为A,B,连接CA,CB,则CA⊥PA,CB⊥PB,|CA|=|CB|=r,又PA⊥PB, 所以四边形ACBP 为正方形,则△APC 和△BPC 都是等腰直角三角形,又|PC|=4,所以r=| CA|=|CB|=22,即 m+4=22,解得m=4,又4∈ (-4,12),故选D. 6. D 7. A 【解析】因为 x2+1>|x|≥-x,所以 x2+1+x>0在R 上恒成立,所以函数f(x)的定义 域为R,f(x)=ln(x2+1+x)+ (ex -1)-(ex +1) ex +1 =ln(x2+1+x)+ ex -1 ex +1 -1,令h(x) =f(x)+1=ln(x2+1+x)+ ex -1 ex +1 ,则h(x)+h(-x)=[ln(x2+1+x)+ ex -1 ex +1 ]+ [ln(x2+1-x)+ e-x -1 e-x +1 ]=ln(x2+1+x)+ln(x2+1-x)+ ex -1 ex +1 + 1-ex 1+ex =ln 1+ 0=0,所以h(x)是奇函数. 设g(x)=ln(x2+1+x),则g(x)为奇函数.当x≥0时,y= x2+1,y=x 均单调递增,则 y= x2+1+x 在[0,+∞)上单调递增.所以g(x)=ln(x2+1+x)在[0,+∞)上单调递 增. 又g(x)为奇函数且g(0)=0,所以g(x)在R 上单调递增.又y=ex +1在R 上单调递增,所以 y= 2 ex +1 在R 上单调递减,所以y=- 2 ex +1 在R 上单调递增,所以h(x)=g(x)- 2 ex +1 + 1在R 上单调递增. 不等式f(x)+f(2x-1)>-2,即f(x)+1>-[f(2x-1)+1],也即h(x)>-h(2x-1) =h(1-2x),所以x >1-2x,解得x > 1 3. 故选A. 8. D 【解析】设g(x)=f(x)-x,则g'(x)=f'(x)-1>0,∴g(x)在R 上单调递增.g(1+x)+g(1 -x)=f(1+x)+f(1-x)-(1+x)-(1-x)=-2,∴g(x)的图象关于点(1,-1)对称, 又g(0)=f(0)-0=-2,∴g(2)=0,∴不等式f(x-1)>x-1可化为g(x-1)>0=g(2), ∴x-1>2,解得x >3.故选D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要 求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9. ABD 10. ABD 【解析】由题意得,x1= y21 4 ,x2= y22 4 ,所以OA → ·OB → =x1x2+y1y2= y21 4× y22 4+y1y2= (y1y2)2 16 +y1y2=-4,即(y1y2)2+16y1y2+64=0,即(y1y2+8)2=0,解得y1y2=-8,所以A 正确. 设直线l的方程为x=my+a,与抛物线C 的方程y2=4x 联立并整理得,y2-4my-4a=0, Δ=(-4m)2-4×1×(-4a)=16(m2+a)>0,则y1y2=-4a,所以-4a=-8,得a=2,所 以直线l的方程为x=my+2,所以直线l过定点(2,0),所以B 正确. 如图,由以上分析知,y1+y2=4m,y1y2=-8,所以|y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2 = 16m2+32=4 m2+2,所以S△AOB = 1 2×2×|y1-y2|=4 m 2+2≥42,当且仅当m= 0时取等号,所以 △AOB 面积的最小值为42,所以C 错误. 因为y1y2=-8,所以x1x2= y21 4× y22 4= (-8)2 16 =4 ,因为x1,x2>0,所以 1 x1 + 4 x2 ≥2 1 x1 ·4 x2 =2,当且仅当x1=1,x2=4时取等号,所以 1 x1 + 4 x2 的最小值为2,所以D 正确.综上,选ABD. 11. BCD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12. 240 13. 132 6 【解析】过点G 作GH ∥AC,交SA 于点H,如图, 因为AC ⊥AB,AC ⊥SA,AB ∩AS=A,AB ⊂ 平面SAB,AS⊂ 平面SAB,所以AC⊥ 平 面SAB.因为GH ∥AC,所以GH ⊥ 平面SAB,且 GH AC = SG SC= 3 4 ,则GH = 3 4AC= 32 2 ,因为 点E,F 分别是棱AS,BS 的中点,所以S△SEF = 1 4S△ABS = 1 4× 1 2× (22)2=1,则V三棱锥G-SEF = 1 3S△SEF ·GH = 1 3×1× 32 2 = 2 2 ,V三棱锥C-SAB = 1 3S△ABS ·AC= 1 3× 1 2× (22)3= 82 3 ,所 以VEFG-ABC =V三棱锥C-SAB -V三棱锥G-SEF = 82 3 - 2 2 = 132 6 . 14. 1 【解析】由题知 A1 → ·A2 → =0 A2 → ·A3 → =0 A3 → ·A4 → =0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,所以 A1 → ⊥A2 → A2 → ⊥A3 → A3 → ⊥A4 → 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 .设|A1 → |=t,因为 |A1 → ||A2 → |=1 |A2 → ||A3 → |=2 |A3 → ||A4 → |=3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,所以|A2 → |= 1 t ,| A3 → |=2t,|A4 → |= 3 2t ,如图, 当A1 → 与 A3 → 方 向 相 反, 且 A2 → 与 A4 → 方 向 相 反 时,|A1 → | 有 最 小 值, 最 小 值 为 (2t-t)2+( 3 2t- 1 t )2 = t2+ 1 4t2 ≥ 2 t2· 1 4t2 = 2 1 4 =1 ,当且仅当t2= 1 4t2 ,即t= 2 2 时等号成立. 四、解答题:本题共5小题,共25分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13分) 【解】(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q, 则q3= b5 b2 = 16 2=8 ,q=2, ∴b1= b2 q = 1,∴bn =2n-1. ∵a1=2b1=2,a3=b4=23=8,∴d= a3-a1 3-1 = 8-2 2 =3 ,∴an =2+3(n-1)=3n-1. (2)由(1)得cn =(3n-1)·2n-1, ∴Sn =c1+c2+c3+…+cn-1+cn, Sn =2×20+5×21+8×22+…+(3n-4)·2n-2+(3n-1)·2n-1, 则2Sn =2×21+5×22+8×23+…+(3n-4)·2n-1+(3n-1)·2n,两式相减得-Sn =2 ×20+3×21+3×22+…+3·2n-1-(3n-1)·2n, 则-Sn =3(20+21+…+2n-1)-(3n-1)·2n -1=3× 1-2n 1-2- (3n-1)×2n -1, Sn =3-3×2n +(3n-1)×2n +1=(3n-4)×2n +4. 16. (15分) 【解】(1) 由题意知,BC⊥CD,∴ BD= BC2+CD2= 2a,易得AD= (2a-a)2+a2= 2a,∴ AD2 +BD2=AB2,∴ AD ⊥BD, 由翻折中的不变性可得,AD ⊥DE, 又BD ∩DE=D,BD,DE ⊂ 平面BDE,∴ AD ⊥ 平面BDE, 又BE ⊂ 平面BDE,∴ AD ⊥BE. (2) 由题意及(1)知,BD=DE= 2a,AE=AB=2a, 又 ∠EAB= π 3 ,∴ AB=AE=BE=2a,∴ DE2+BD2=BE2, ∴ DE ⊥BD. 由(1)知,DE ⊥AD, 又AD ∩BD=D,AD,BD ⊂ 平面ABCD,∴ DE ⊥ 平面ABCD. 又AB ⊂ 平面ABCD,∴ AB ⊥DE. 如图,过点D 作DM ⊥AB 交AB 于点M,连接EM, 又DE ∩DM =D,DE,DM ⊂ 平面DEM,∴ AB ⊥ 平面DEM, 又AB ⊂ 平面ABE,∴ 平面DEM ⊥ 平面ABE. 过点D 作DN ⊥EM 交EM 于点N,连接AN, 又平面ABE ∩ 平面DEM =EM,DN ⊂ 平面DEM,∴ DN ⊥ 平面ABE, ∴∠NAD 是直线AD 与平面ABE 所成的角. ∵ 平面CDF ∥ 平面ABE,∴ 直线AD 与平面CDF 所成角的正弦值等于sin∠NAD. ∵ DM ⊂ 平面ABCD,∴ DE ⊥DM,易得DM =BC=a,EM = 3 2AB= 3a ,又DE= 2a, ∴ DN= DE×DM EM = 6 3a ,又AD= 2a,∴在Rt△ADN 中,sin∠NAD= DN AD = 6 3a 2a = 3 3 ,即 直线AD 与平面CDF 所成角的正弦值为 33. 17. (15分)(1)设A=“甲猜对1个灯谜”,B=“乙猜对1个灯谜”, 则P(A)= 2 3 ,P(B)= 1 2. “甲、乙恰有1人猜对”=AB 􀳯 ∪A 􀳯 B, 得P(AB 􀳯 ∪A 􀳯 B) =P(AB 􀳯 )+P(A 􀳯 B) =P(A)P(B 􀳯 )+P(A 􀳯 )P(B) = 2 3× 1 2+ 1 3× 1 2 = 1 2 , 所以甲、乙恰有1人猜对的概率为12. (2)设C=“甲同学猜对2道题”,D=“甲同学抽中新春大礼包”, 则P(D)=P(C)P(D|C)+P(C 􀳯 )P(D|C 􀳯 ) =( 2 3 )2× 2 3+ [1-( 2 3 )2]× 1 4 = 8 27+ 5 36 = 47 108 , 所以甲同学抽中新春大礼包的概率为47 108. (3)由(1)知P(A)= 2 3 ,P(B)= 1 2. 易知甲、乙猜对灯谜的个数之和X 的所有可能取值为0,1,2,3,4, 则P(X =0)=( 1 3 )2×( 1 2 )2= 1 36 , P(X =1)=C12× 2 3× 1 3× (1 2 )2+C12× 1 2× 1 2× (1 3 )2= 1 9+ 1 18= 1 6 , P(X =2)=( 2 3 )2×( 1 2 )2+( 1 3 )2×( 1 2 )2+C12× 2 3× 1 3×C 1 2× 1 2× 1 2= 13 36 , P(X =3)=C12× 2 3× 1 3× (1 2 )2+C12× 1 2× 1 2× (2 3 )2= 1 3 , P(X =4)=( 2 3 )2×( 1 2 )2= 1 9 , 所以X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 136 1 6 13 36 1 3 1 9 因此,X 的数学期望E(X)=0× 1 36+1× 1 6+2× 13 36+3× 1 3+4× 1 9= 84 36= 7 3. 18. (17分) 【解】(1)设椭圆的半焦距为c,由题意知ca = 2 2 , 2a+2c=4(2+1),所以a=22,c=2. 又a2=b2+c2,所以b=2.故椭圆的标准方程为 x2 8 + y2 4=1. 由题意设等轴双曲线的标准方程为x 2 m2 -y 2 m2 =1(m>0),因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点, 所以m=2,因此双曲线的标准方程为 x2 4 - y2 4=1. (2)由(1)得F1(-2,0),F2(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则k1= y0 x0+2 ,k2= y0 x0-2 . 因为点P 在双曲线x2-y2=4上,所以x20-y20=4. 因此k1·k2= y0 x0+2 · y0 x0-2 = y20 x20-4 =1,即k1·k2=1. (3)直线PF1 的方程为y=k1(x+2),代入椭圆方程得(2k21+1)x2+8k21x+8k21-8=0, 显然2k21+1≠0,Δ>0.由根与系数的关系得x1+x2= -8k21 2k21+1 ,x1x2= 8k21-8 2k21+1 . 所以|AB|= 1+k21 (x1+x2)2-4x1x2 = 1+k21 ( -8k21 2k21+1 )2-4× 8k21-8 2k21+1 =42 k21+1 2k21+1 . 同理可得|CD|=42 k22+1 2k22+1 . 则 1 |AB|+ 1 |CD|= 1 42 (2k 2 1+1 k21+1 + 2k22+1 k22+1 ), 又k1·k2=1, 所以 1 |AB|+ 1 |CD|= 1 42 (2k 2 1+1 k21+1 + 2 k21 +1 1 k21 +1 )= 2 8 (2k 2 1+1 k21+1 + k21+2 k21+1 )= 32 8 . 故|AB|+|CD|= 32 8 |AB| ·|CD|. 因此存在λ= 32 8 ,使|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立. 19. (17分) 【解】(1) 当a=1时,f(x)=ex -ln x,x >0. 因为f'(x)=ex - 1 x ,所以f'(1)=e-1. 因为f(1)=e1-ln 1=e,所以切点为(1,e), 所以曲线y=f(x)在点(1,e)处的切线方程为y=(e-1)x+1. (2) f'(x)=aex - 1 x (a≥ 1 e ,x >0), 设g(x)=f'(x),则g'(x)=aex + 1 x2 >0(a≥ 1 e ,x >0), 所以f'(x)在(0,+∞)上单调递增. 又f'(2)>0,f'( 1 2ae )<0, 所以存在β∈ ( 1 2ae ,2),使得f'(β)=0, 即aeβ = 1 β ,a= 1 βeβ . 所以当x ∈ (0,β)时,f'(x)<0,f(x)在(0,β)上单调递减; 当x ∈ (β,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(β,+∞)上单调递增. 所以f(x)≥f(β)=aeβ -ln β+ln a= 1 β -β-2ln β. 令h(x)= 1 x -x-2ln x,φ(x)=h(x)-(-4x+4)= 1 x +3x-2ln x-4, 则φ'(x)= (x-1)(3x+1) x2 ,所以当0<x<1时,φ'(x)<0,φ(x)在(0,1)上单调递减,当x >1时,φ'(x)>0,φ(x)在(1,+∞)上单调递增. 所以φ(x)≥φ(1)=0, 所以h(x)的图象在直线y=-4x+4的上方,且h(x)的图象与直线y=-4x+4的唯一交点 为(1,0), 所以f(x)≥-4x+4. (3)直线y=-4x+4为圆x2+(y+ 1 4 )2= 17 16 的切线,切点为(1,0). 显然,圆x2+(y+ 1 4 )2= 17 16 在直线y=-4x+4的下方. 又f(x)≥-4x+4,且点(β,f(β))在圆x2+(y+ 1 4 )2= 17 16 上, 所以β=1,a= 1 e. YT4 数学试卷 第1 页(共4页) 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 押题卷(四) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1. 已知集合A={x|x2<1},B={x|x>0},则A ∪B= A.(0,1) B.(0,+∞) C.(-1,+∞) D.(-∞,+∞) 2. 复数z满足z(1-i)+2=0,i为虚数单位,则|z|= A.12 B. 2 2 C.1 D.2 3.在 △ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=acos B+bcos A=1,sin C= 2 2 ,则 A.b=1 B.b= 2 C.c= 2 D.c= 3 4. 过双曲线E:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的左焦点F 作圆x2+y2=a2 的一条切线,设切点为T, 该切线与双曲线E 在第一象限交于点A,若FA → =3FT → ,则双曲线E 的离心率为 A.3 B.5 C.132 D. 15 2 5. 过点(-2,0)与圆x2+y2-4x-m=0相切的两条直线垂直,则m= A.-4 B.-22 C.22 D.4 6. 已知数列{an}是等比数列,Sn 为其前n 项和,若a1+a2+a3=3,a4+a5+a6=9,则S12= A.27 B.39 C.81 D.120 YT4 数学试卷 第2 页(共4页) 7. 已知函数f(x)=ln(x2+1+x)- 2 ex +1 ,则不等式f(x)+f(2x-1)>-2的解集是 A.(13 ,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞, 1 3 ) D.(-∞,1) 8. 已知f(x)是定义在R 上的可导函数,其导函数为f'(x).若对任意x∈R有f'(x)>1,f(1+x) +f(1-x)=0,且f(0)=-2,则不等式f(x-1)>x-1的解集为 A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(2,+∞) D.(3,+∞) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要 求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9. 函数f(x)=sin ωx(ω >0)在区间[- π 2 ,π 2 ]上为单调函数,其图象关于直线x= 2π 3 对称,则 A.ω= 3 4 B.将函数f(x)的图象向右平移 2π 3 个单位长度,所得图象关于y 轴对称 C.若函数f(x)在区间(a, 14π 9 )上没有最小值,则实数a 的取值范围是(- 2π 9 ,14π 9 ) D.若函数f(x)在区间(a, 14π 9 )上有且仅有2个零点,则实数a 的取值范围是[- 4π 3 ,0) 10. 已知抛物线C:y2=4x,O 为坐标原点,直线l交抛物线C 于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若OA → ·OB → =-4,则 A.y1y2=-8 B.直线l过定点(2,0) C.S△AOB 的最小值为22 D. 1 x1 + 4 x2 的最小值为2 11. 已知一组样本数据xi(i=1,2,3,…,20),其中xi(i=1,2,3,…,20)为正实数,满足x1≤x2≤ x3≤ … ≤x20,下列说法正确的是 A.样本数据的第50百分位数为x10 B.去掉样本的一个数据,样本数据的极差可能不变 C.若数据的频率分布直方图为单峰不对称,且在左边“拖尾”,则样本数据的平均数小于中位数 D.若样本数据的方差s2= 1 20􀰐i=1 20 x2i -16,则这组样本数据的总和等于80 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 YT4 数学试卷 第3 页(共4页) 12. 在(x+2)5(1-y)4 的展开式中,x3y2 的系数为 . 13. 已知三棱锥S-ABC 如图所示,AS,AB,AC 两两垂直,且AS=AB=AC=22, 点E,F 分别 是棱AS,BS 的中点,点G 在棱SC 上且CG = 1 4CS ,则空间几何体EFG -ABC 的体积为 . 14. 已知A1,A2,A3,A4,A5 五个点,满足:An → ·An+1 → =0(n=1,2,3),|An → ||An+1 → |=n(n=1,2,3), 则|A1 → |的最小值为 . 四、解答题:本题共5小题,共25分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13分) 已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=2,b5=16,a1=2b1,a3=b4. (1)求{an}、{bn}的通项公式; (2)设cn =an·bn,求数列{cn}的前n 项和Sn. 16. (15分) 如图,以AD 所在直线为轴将直角梯形ABCD 翻折到AEFD 的位置,得到三棱台ABE-DCF, 其中AB ⊥BC,AB=2BC=2CD. (1)求证:AD ⊥BE; (2)若 ∠EAB= π 3 ,求直线AD 与平面CDF 所成角的正弦值. 17. (15分) 猜灯谜,是我国的民俗文娱活动,是从古代就开始流传的元宵节特色活动.每逢农历正月十五, 传统民间会把谜语写在纸条上并将其贴在彩灯上供人猜.在一次猜灯谜活动中,若甲、乙两名同 YT4 数学试卷 第4 页(共4页) 学分别独立竞猜,甲同学猜对每个灯谜的概率为2 3 ,乙同学猜对每个灯谜的概率为1 2. 假设甲、乙 猜对每个灯谜都是等可能的,试求: (1)甲、乙任选1个独立竞猜,求甲、乙恰有1人猜对的概率. (2)活动规定:若某人任选2个进行有奖竞猜,都猜对则可以在A 箱中参加抽取新春大礼包的活 动,抽中的概率是2 3 ;没有都猜对则在B 箱中参加抽取新春大礼包的活动,抽中的概率是14. 求甲 同学抽中新春大礼包的概率. (3)甲、乙各任选2个独立竞猜,设甲、乙猜对灯谜的个数之和为X,求X 的分布列与数学期望. 18. (17分) 如图,已知椭圆x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的离心率为 2 2 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1, F2为顶点的三角形的周长为4(2+1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P 为该双曲线 上异于顶点的任一点,且点P 不在椭圆上,直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A,B 和C,D. (1)求椭圆和双曲线的标准方程. (2)设直线PF1,PF2 的斜率分别为k1,k2,证明k1·k2=1. (3)是否存在常数λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立? 若存在,求λ的值;若不存 在,请说明理由. 19. (17分) 已知a≥ 1 e ,函数f(x)=aex -ln x+ln a. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求证:f(x)≥-4x+4; (3)若β 为f(x)的极值点,点(β,f(β))在圆x2+(y+ 1 4 )2= 17 16 上,求a.