【领航密卷】2025年普通高等学校招生全国统一考试数学押题卷(1)

YT1 数学试卷 第1 页(共4页) 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 押题卷(一) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1. 已知集合A={x|a-1<x<a+2},B={x|x2-6x+5<0},若A ∩B={x|a-1< x<5}≠ ⌀,则实数a 的取值范围是 A.[3,+∞) B.[2,+∞) C.[3,6) D.[2,6) 2. 若z= 3-i 1+i ,则z的虚部为 A.2 B.-2 C.2i D.-2i 3.已知2sin α=3+23cos α,则sin2α- π 6 = A.- 1 8 B.- 7 8 C. 3 4 D. 7 8 4. 设O 为坐标原点,F1,F2 分别是双曲线C: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,已知双曲线 C 的离心率为 3,过F2 作一条渐近线的垂线,垂足为P,则 |PF1| |OP|= A.62 B.2 C.3 D.6 5. 若圆x2+y2-2x-2ay+a2=0截直线x-2y+1=0所得弦长为2,则a= A.-1 B.0 C.1 D.2 YT1 数学试卷 第2 页(共4页) 6. 数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,a2=2,且an+2=(2+|cos nπ 2| )an -|sin nπ 2| ,则S2 024= A.32 024-1 011 B.32 024+1 011 C.31 012-1 011 D.31 012+1 011 7. 已知函数f(x)=3x3- 2 ex +1 +2,且f(a2)+f(3a-4)>2,则实数a 的取值范围是 A.(-4,1) B.(-∞,-4)∪ (1,+∞) C.(-∞,-1)∪ (4,+∞) D.(-1,4) 8. 已知a=ln 4 3 ,b= 2 7 ,c=sin 2 7 ,则 A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.a<c<b 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要 求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9. 函数f(x)=cos(ωx+ π 6 )(ω>0)的图象向左平移 π 2 个单位长度后与原图象关于x轴对称,则下 列结论一定正确的是 A.f( π 2 )=- 3 2 B.f (x)的一个周期是π C.f(x- π 12 )是偶函数 D.f(x)在(0, π 3ω )上单调递减 10. 已知x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,则下列结论正确的是 A.xy 的取值范围是(0,9] B.x+y 的取值范围是[2,3) C.x+2y 的最小值是42-3 D.x+4y 的最小值是3 11. “未来之星”少儿才艺大赛,选手通过自我介绍和才艺表演,展示仪表形象、表达能力、风度气质 等自身的整体形象,评委现场打分.若九位评委对某选手打分分别是x1,x2,…,x9,记这组数据 的平均数、中位数、标准差、极差分别为x 􀳯 ,z,s,j,去掉一个最高分和一个最低分后,剩余数据的 平均数、中位数、标准差、极差分别为x 􀳯 ',z',s',j',则下列判断中一定正确的是 A.x 􀳯 =x 􀳯 ' B.z=z' C.s≥s' D.j≥j' 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12. (x + 1 x )6 的展开式中常数项为 .(用数字作答) 13. 直线2x-2y-1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于M,N 两点,|MN|=4,M,N 在C 的 YT1 数学试卷 第3 页(共4页) 准线l上的射影分别为S,T,则四边形 MNTS 绕准线l 旋转一周所得几何体的体积为 . 14. 已知同一平面内的单位向量a,b,c,满足a+b+ 1 3c=0 ,则|a-b|= . 四、解答题:本题共5小题,共25分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13分) 等差数列{an}满足a5=5,a1+a7=8,正项等比数列{bn}满足b2=a2,b4是a1和a64的等比中 项. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)记cn =an +bn,求数列{cn}的前n 项和Sn. 16. (15分) 如图,在五面体ABCDE 中,AD ⊥ 平面ABC,AD ∥BE,AD=2BE,AB=BC. (1)问:在线段CD 上是否存在点P,使得PE ⊥ 平面ACD? 若存在,请指出点P 的位置,并证 明;若不存在,请说明理由. (2)若AB= 3,AC=2,AD=2,求平面ECD 与平面ABC 夹角的余弦值. 17. (15分) 甲、乙两人进行抛掷骰子的游戏,两人轮流抛掷一枚质地均匀的骰子.规定:先掷出点数6的人获 胜,此时游戏结束. (1)记两人抛掷骰子的总次数为X,若每人最多抛掷两次骰子,求比赛结束时,X 的分布列和期 望; (2)已知甲先掷,求甲恰好抛掷n 次骰子并获得胜利的概率. 18. (17分) 已知椭圆C:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的离心率为 2 2 ,其左焦点为F1(-2,0). (1)求椭圆C 的方程. YT1 数学试卷 第4 页(共4页) (2)如图,过椭圆C 的上顶点P,作以F1 为圆心的动圆D 的切线,两条切线分别交椭圆于M,N 两点,请判断是否存在圆D 使得△PMN 是以PN 为斜边的直角三角形.若存在,求出圆D 的半 径;若不存在,请说明理由. 19. (17分) 已知函数f(x)= x ex -aex,a∈R. (1)当a=0时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程; (2)当a=1时,求f(x)的单调区间和极值; (3)若对任意x ∈R,f(x)≤ex-1 恒成立,求a 的取值范围. 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 押题卷(一) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1. C 2. B 3. A 4. D 5.C 【解析】由x2+y2-2x-2ay+a2=0,得(x-1)2+(y-a)2=1,表示圆心为(1,a),半径为1 的圆.因为直线x-2y+1=0被圆(x-1)2+(y-a)2=1所截得的弦长为2,所以弦长等于圆 的直径,所以圆心(1,a)在直线x-2y+1=0上,得1-2a+1=0,解得a=1,故选C. 6. D 【解析】当n为奇数时,an+2=2an-1,又a1=1,所以a1=a3=a5=…=a2 023=1;当n为偶数时, an+2=3an,又a2 =2,所以{an}的偶数项是公比为3,首项为2的等比数列.所以S2 024 = (1+1+􀆺+1) 1 012个1 +(2+2×3+2×32+…+2×31 011)=1 012+ 2×(1-31 012) 1-3 = 31 012+1 011, 故选D. 7. B 8. B 【解析】构造函数f(x)=sin x-x,x∈ (0, π 2 ),则f'(x)=cos x-1<0,∴f(x)在(0, π 2 )上 单调递减,∴f(x)<0,x∈(0, π 2 ),∴sin x<x,x∈(0, π 2 ),故c=sin 2 7< 2 7=b. 排除A,C. 构造函数g(x)=ln x -2· x-1 x+1 ,x ∈ (1,+ ∞),则g'(x)= 1 x -2 ·x+1- (x-1) (x+1)2 = (x-1)2 x(x+1)2 ,当x>1时,g'(x)>0,∴g(x)单调递增,∴g(x)>0,x∈ (1,+∞),故a=ln 4 3 >2× 4 3-1 4 3+1 = 2 7=b ,选B. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要 求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9. ABD 10. BC 11. BCD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12. 15 13. 282π 3 【解析】如图,设M(x1,y1),N(x2,y2),由 2x-2y-1=0 y2=2px ,得y2-2py-p=0,Δ>0显然成 立,y1+y2=2p,y1y2=-p,所以|MN|= 1+12· (y1+y2)2-4y1y2= 2· 4p2+4p =4,整理可得,p2+p-2=0,解得p=1,或p=-2(舍),所以抛物线的方程为y2=2x,准线方 程为x=- 1 2 ,且y1+y2=2,y1y2=-1.所以x1+x2=y1+y2+1=3,x1x2= (y1y2)2 4 = 1 4. 四边形 MNTS 绕准线l旋转一周所得几何体为圆台,M 到准线的距离r1=|MS|=x1+ 1 2 ,N 到准线的距离r2=|NT|=x2+ 1 2 ,所以r1+r2=x1+x2+1=4,r1r2=(x1+ 1 2 )(x2+ 1 2 ) =x1x2+ 1 2 (x1+x2)+ 1 4= 1 4+ 1 2×3+ 1 4=2. 设圆台的高为h,则h=|ST|=|y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2 = 22-4×(-1)=22,π(r21+r22)=π[(r1+r2)2-2r1r2]=π×(16 -2×2)=12π,πr21·πr22= π2(r1r2)2=πr1r2=2π,所以V圆台 = 1 3 (πr21+πr22+ πr21·πr22) ·h= 1 3× (12π+2π)×22= 282π 3 . 14. 35 3 【解析】由题意可知a+b=- 1 3c ,则(a+b)2=1+1+2a·b= 1 9 ,则2a·b=- 17 9 ,∴|a-b |= (a-b)2 = 2-2a·b= 35 3 . 四、解答题:本题共5小题,共25分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13分) 【解】(1)解法一 记{an}的公差为d. 由题意可得 a5=a1+4d=5 a1+a7=2a1+6d=8 , 所以an =a1+(n-1)d=n. 又bn >0且b2=a2=2,b4= a1a64 =8, 所以{bn}的公比q= b4 b2 =2, 所以bn =b2qn-2=2n-1. 解法二 由题意可得,a1+a7=2a4=8,所以a4=4, 则{an}的公差d=a5-a4=1, 所以an =a4+(n-4)d=n. 下同解法一. (2) 因为cn =an +bn =n+2n-1, 所以Sn =(1+20)+(2+21)+(3+22)+…+(n+2n-1) =(1+2+3+…+n)+(20+21+22+…+2n-1) = n(1+n) 2 + 20(1-2n) 1-2 = n2+n 2 +2 n -1. 16. (15分) 【解】(1)当点P 为线段CD 的中点时,PE ⊥ 平面ACD. 证明如下: 解法一 如图1,分别取AC,CD 的中点O,P,连接OB,PE,OP. 在 △ACD 中,∵O,P 分别是AC,CD 的中点,∴OP􀱀12AD. ∵AD ∥BE,AD=2BE,即BE􀱀 1 2AD ,∴OP􀱀BE, ∴ 四边形OBEP 是平行四边形,∴OB ∥PE. ∵AD ⊥ 平面ABC,OB ⊂ 平面ABC,∴AD ⊥OB,则有PE ⊥AD. 由AB=BC 知OB ⊥AC,则有PE ⊥AC. 又AC ∩AD=A,AC ⊂ 平面ACD,AD ⊂ 平面ACD,(注:未列举全三个条件,本得分点不得 分) ∴PE ⊥ 平面ACD. 解法二 分别取AC,CD 的中点O,P,连接OB,PE,OP,∵在△ACD 中,O,P 分别是AC,CD 的中点,∴OP􀱀12AD. 又AD ⊥ 平面ABC,∴OP ⊥ 平面ABC. ∵AB=BC,O 是AC 的中点,∴OB ⊥AC,∴OP,OB,AC 两两垂直,故可建立如图2所示的空 间直角坐标系O-xyz. 令AD=2BE=2a,OB=c,OA=OC=b,则O(0,0,0),D(0,-b,2a),C(0,b,0),E(c,0,a), P(0,0,a), ∴CD → =(0,-2b,2a),OC → =(0,b,0),PE → =(c,0,0). ∵PE → ·OC → =0,PE → ·CD → =0,OC → ,CD → 为平面ACD 上的两个不共线向量, ∴PE → 为平面ACD 的一个法向量, ∴PE ⊥ 平面ACD. (2)解法一 如图3,在平面ABED 内分别延长DE,AB 交于点F,并连接CF. ∵AD ⊥ 平面ABC,AC ⊂ 平面ABC, ∴AD ⊥AC. 由BE􀱀12AD ,知点B 是AF 的中点. 又由(1)知,O 是AC 的中点,∴BO ∥FC. 由(1)可得OB ⊥ 平面ACD,∴FC ⊥ 平面ACD. 又AC,CD ⊂ 平面ACD,∴AC ⊥FC,CD ⊥FC. 又平面ECD ∩ 平面ABC=FC,∴∠ACD 是平面ECD 与平面ABC 的夹角. 在Rt△ACD 中,AC=2,AD=2,∴DC=22, ∴cos∠ACD= AC DC= 2 22 = 2 2 , 即平面ECD 与平面ABC 夹角的余弦值为 22. 解法二 过点O 作Oz∥AD,结合已知可得Oz,OB,AC 两两垂直,故可建立如图4所示的空 间直角坐标系O-xyz,(注:若第(1)问已经建系,则不重复给分) 则A(0,-1,0),D(0,-1,2),C(0,1,0),∵OB= AB2-AO2 = 2,∴E(2,0,1), ∴CD → =(0,-2,2),DE → =(2,1,-1). 设n=(j,k,l)是平面ECD 的法向量,则 n·CD → =0-2k+2l=0 n·DE → = 2j+k-l=0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 , 令l=1,则k=1,j=0,即n=(0,1,1). ∵AD ⊥ 平面ABC,∴ 平面ABC 的一个法向量为AD → =(0,0,2). 设平面ECD 与平面ABC 的夹角为θ,则cos θ=| AD → ·n |AD → |·|n| |=| 0+0+2 2× 2 |= 2 2 , 即平面ECD 与平面ABC 夹角的余弦值为 22. 解法三(射 影 面 积 法) 由 题 可 知,AD ⊥ 平 面 ABC, AD ∥ BE, ∴BE ⊥ 平 面 ABC, ∴△CDE 在底面ABC 上的射影为 △ABC.(注:无此步骤,本得分点不得分) 在等腰 △ECD 中,易知CE=DE=2,CD=22,∴CE2+DE2=CD2,∴CE⊥DE,S△ECD = 1 2 ×2×2=2. 在等腰 △ABC 中,AB=BC= 3,AC=2,S△ABC = 1 2×2× (3)2-12 = 2. 设平面ECD 与平面ABC 的夹角为θ,则cos θ= S△ABC S△ECD = 2 2 , 即平面ECD 与平面ABC 夹角的余弦值为 22. 17. (15分) 【解】(1) 则P(X =1)= 1 6 ,P(X =2)= 5 6× 1 6= 5 36 , P(X =3)= 5 6× 5 6× 1 6= 25 216 ,P(X =4)= 5 6× 5 6× 5 6= 125 216. 所以X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 16 5 36 25 216 125 216 所以X 的数学期望E(X)=1× 1 6+2× 5 36+3× 25 216+4× 125 216= 671 216. (2)解法一 设事件“甲抛掷第n 次且不获胜”的概率为an, 由题可知,a1= 5 6 ,且an =an-1× 5 6× 5 6= 25 36an-1 (n≥2且n∈N*), 所以数列{an}是以 5 6 为首项,25 36 为公比的等比数列,则an = 5 6 ·(25 36 )n-1, 所以甲恰好抛掷n 次并获得胜利的概率Pn =an-1× 5 6× 1 6= 1 6 (25 36 )n-1(n≥2且n∈N*), 当n=1时符合,所以Pn = 1 6 (25 36 )n-1= 52n-2 62n-1 . 解法二(根据概率乘法公式直接求出甲恰好抛掷n 次并获得胜利的概率) 甲抛掷了n 次,乙抛掷了n-1次,共抛掷了2n-1次,则甲抛掷n 次并获得胜利的概率为 P=( 5 6 )n-1(5 6 )n-11 6= 1 6 (5 6 )2n-2= 52n-2 62n-1 . 18. (17分) 【解】(1) 由题意得 c a = 2 2 c=2 a2=b2+c2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,得a=22 b=2 , 所以椭圆C 的方程为x 2 8+ y2 4=1. (2) 若一条切线的斜率不存在,则圆D 的半径为2,此时另一条切线与椭圆无除点P 以外的交点,所 以切线的斜率存在. 设切线PM:y=k1x+2,由 y=k1x+2 x2 8 + y2 4=1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,得x 2+2(k1x+2)2-8=0, 即(1+2k21)x2+8k1x=0,即x[(1+2k21)x+8k1]=0,解得x1=0,x2= -8k1 1+2k21 , 当x= -8k1 1+2k21 时,y= -8k21 1+2k21 +2= 2-4k21 1+2k21 ,则 M( -8k1 1+2k21 ,2-4k 2 1 1+2k21 ), 同理设切线PN:y=k2x+2,则N( -8k2 1+2k22 ,2-4k 2 2 1+2k22 ), 则 kMN = 2-4k22 1+2k22 - 2-4k21 1+2k21 -8k2 1+2k22 - -8k1 1+2k21 = -8k22 1+2k22 - -8k21 1+2k21 -8k2 1+2k22 - -8k1 1+2k21 = -8k22(1+2k21)+8k21(1+2k22) -8k2(1+2k21)+8k1(1+2k22) = 8(k21-k22) 16k1k2(k2-k1)+8(k1-k2) = (k1+k2)(k1-k2) 2k1k2(k2-k1)+(k1-k2) = k1+k2 1-2k1k2 . 由 MN ⊥PM,得kMN·k1=-1,即 k1+k2 1-2k1k2 ·k1=-1, 即k21+k1k2=2k1k2-1,即k1k2-k21=1 (*). 设圆D:(x+2)2+y2=r2(r>0),圆D 过点P 的切线方程为y=kx+2, 即kx-y+2=0,则圆心到切线的距离d= |-2k+2| 1+k2 =r,即4k2+4-8k=r2+r2k2, 即(r2-4)k2+8k+r2-4=0, 由k1,k2 为方程的两根,得 r2-4≠0 64-4(r2-4)2>0 k1+k2= -8 r2-4 k1k2=1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 , 由k1k2=1,知k1k2≠ 1 2 ,故直线 MN 的斜率确实存在,将k1k2=1代入(*)式, 得k1=0,矛盾,从而不存在满足条件的圆D. 19. (17分) 【解】(1)当a=0时,f(x)= x ex ,则f'(x)= 1-x ex ,f'(1)=0,又f(1)= 1 e , 所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y= 1 e. (2)当a=1时,f(x)=xe-x -ex,则f'(x)=(1-x)e-x -ex = 1-x-e2x ex . 令g(x)=1-x-e2x,则g'(x)=-1-2e2x <0, 故g(x)在R 上单调递减,又g(0)=0, 因此0是g(x)在R 上的唯一零点, 即0是f'(x)在R 上的唯一零点. 当x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,0) 0 (0,+∞) f'(x) + 0 - f(x) 单调递增 -1 单调递减 所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞), f(x)的极大值为f(0)=-1,无极小值. (3)由题意知xe-x -aex ≤ex-1,即a≥ xe-x -ex-1 ex ,即a≥ x e2x - 1 e. 设m(x)= x e2x - 1 e ,则m'(x)= e2x -2xe2x (e2x)2 = 1-2x e2x , 令m'(x)=0,解得x= 1 2 , 当x ∈ (-∞, 1 2 )时,m'(x)>0,m(x)单调递增,当x ∈ ( 1 2 ,+∞)时,m'(x)<0,m(x)单 调递减, 所以m(x)max=m( 1 2 )= 1 2e- 1 e =- 1 2e. 所以a≥- 1 2e ,即a 的取值范围为[- 1 2e ,+∞).