专题11.3 反比例函数k的几何意义与面积之间的关系【十大题型】-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（苏科版）

专题11.3 反比例函数k的几何意义与面积之间的关系【十大题型】 【苏科版】 【题型1 由反比例函数的k的几何意义求三角形的面积】 1 【题型2 由反比例函数的k的几何意义求四边形的面积】 3 【题型3 由反比例函数的k的几何意义判断面积的大小关系】 4 【题型4 由反比例函数的k的几何意义求阴影部分图形的面积】 6 【题型5 由三角形的面积求反比例函数的比例系数】 7 【题型6 由四边形的面积求反比例函数的比例系数】 8 【题型7 由阴影部分图形的面积求反比例函数的比例系数】 9 【题型8 由面积之间的关系求反比例函数的比例系数】 11 【题型9 由反比例函数k的几何意义求坐标】 13 【题型10 由直线分面积求参数的值】 14 知识点：反比例函数的k的几何意义 由y＝(k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k|. 如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|； 同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|. 【题型1 由反比例函数的k的几何意义求三角形的面积】 【例1】（2024·吉林长春·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，线段与反比例函数相交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好落在双曲线上，则的面积为（    ） A．3 B． C． D．6 【变式1-1】（2024·浙江·八年级期末）如图，已知点 A ，B分别在反比例函数与的图象上，且．若，则的面积为 ． 【变式1-2】（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反比例函数 在第一象限的图象经过点 ，则 与 的面积之差为 ． 【变式1-3】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示：已知直线 与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4． (1)求k的值； (2)若双曲线上的一点C的纵坐标为8，求的面积？ (3)在坐标轴上是否存在一点M使得的值最小，若存在，请求出M点坐标．不存在，请说明理由． 【题型2 由反比例函数的k的几何意义求四边形的面积】 【例2】（2024·黑龙江佳木斯·八年级期末）如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】（24-25八年级·北京·开学考试）如图，点A、B是函数与的图象的两个交点，作轴于C，作轴于D，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级·上海·阶段练习）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且 轴，过点、分别向轴作垂线，垂足分别为点、，那么四边形的面积是 ． 【变式2-3】（2024春·山东烟台·八年级 统考期中）如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的中点P，与交于E、F两点，则四边形的面积是 ．    【题型3 由反比例函数的k的几何意义判断面积的大小关系】 【例3】（2024八年级·河南·专题练习）小明在研究矩形面积S与矩形的边长x，y之间的关系时，得到下表数据： x 0.5 1 1.5 2 3 4 6 12 y 12 6 4 3 2 1 0.5 结果发现一个数据被墨水涂黑了． （1）被墨水涂黑的数据为 ． （2）y与x之间的函数关系式为 （其中x＞0），且y随x的增大而 ． （3）如图是小明画出的y关于x的函数图象，点B、E均在该函数的图象上，其中矩形OABC的面积记为S1，矩形ODEF的面积记为S2，请判断S1和S2的大小关系，并说明理由． （4）在（3）的条件下，DE交BC于点G，反比例函数y＝的图象经过点G交AB于点H，连接OG、OH，则四边形OGBH的面积为 ． 【变式3-1】（24-25八年级·湖南株洲·期中）如图：点P、Q是反比例函数图象上的两点，轴于点A，轴于点N，作轴于点M，轴于点B，连接、，的面积记为，的面积记为，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·四川成都·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象上有三点，，，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，，记，，的面积分别为，，，则，和的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·吉林长春·八年级期末）已知点在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，点、为、轴上任意一点，则和面积的大小关系为（    ）． A． B． C． D．无法确定 【题型4 由反比例函数的k的几何意义求阴影部分图形的面积】 【例4】（24-25八年级·江苏南京·期末）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式4-1】（2024·北京·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C在双曲线上，轴于点D，轴于点E，点F在x轴上，且，则图中阴影部分的面积之和为 ．    【变式4-2】（2024八年级·全国·竞赛）如图，点在第一象限，且为反比例函数图象上的两点，点关于原点对称的对应点分别为点，若点的横坐标是点横坐标的4倍，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式4-3】（2024·山东济宁·八年级期末）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则的值为（    ） A．1 B．2024 C． D． 【题型5 由三角形的面积求反比例函数的比例系数】 【例5】（2024·安徽合肥·八年级期末）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A，B两点，点在反比例函数第一象限的图象上且坐标为，若的面积为12，则的值为 ． 【变式5-1】（24-25八年级·江苏镇江·期末）如图，点A、B分别是x轴、y轴上的点，过点A、B分别作x轴、y轴的垂线交于点C，反比例函数的图像分别与交于点D、E，连接，若，且的面积是9，则k的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·江苏盐城·八年级期末）如图，反比例函数在第三象限的图象是，在第四象限的图象是，点A、C在上，过A点作轴交于B点，过C点作轴于D点，点P为x轴上任意一点，连接，若，则 ． 【变式5-3】（24-25八年级·江苏无锡·期末）如图，点在双曲线上，过作直线交双曲线于点，过作轴于，连接，若的面积为1，则的值为 ．    【题型6 由四边形的面积求反比例函数的比例系数】 【例6】（24-25八年级·江苏扬州·期末）如图，点O为坐标原点，菱形的边在x轴的正半轴上，对角线交于点D，反比例函数的图象经过点A和点D，若菱形的面积为6，则为（　　  ） A．2 B．1 C．3 D．6 【变式6-1】（24-25八年级·江苏常州·期末）如图，直线与反比例函数交于A、B两点，过点B作x轴的平行线，点C是该平行线上的一点，连接，使得，过点C作x轴的垂线交于点D，以为边作矩形，若，则 ． 【变式6-2】（24-25八年级·河南南阳·阶段练习）如图，平行四边形的顶点O在坐标原点上，点B在y轴上，点A在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上．若平行四边形的面积为10，则 ． 【变式6-3】（2024·江苏淮安·八年级期末）平面直角坐标系中，已知点、、、是函数图象上的四点．若四边形 的面积为4，则k的值为 ． 【题型7 由阴影部分图形的面积求反比例函数的比例系数】 【例7】（2024·广东东莞·八年级期末）如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为（     ） A．6 B．12 C．24 D．48 【变式7-1】（24-25八年级·全国·课后作业）如图，点A，B在反比例函数的图象上，过A，B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接，若（分别为和中空白部分的面积），S阴影＝1，则k的值为 ． 【变式7-2】（2024·陕西咸阳·八年级期末）如图，矩形、矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B在x轴正半轴上，E、D在y轴正半轴上，顶点C、P在第一象限，M为的中点，反比例函数（，k为常数，）的图像恰好经过点M、P，若阴影部分面积为8，则k的值为 ． 【变式7-3】（2024八年级·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，矩形的边在上，．反比例函数的图象经过点B，若阴影部分面积为6，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．6 D．12 【题型8 由面积之间的关系求反比例函数的比例系数】 【例8】（2024·吉林长春·八年级期末）如图，平行四边形中点的坐标为，在轴的负半轴上，、两点落在反比例函数上，且点的横坐标为3，四边形的面积是面积的3倍，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式8-1】（24-25八年级·浙江杭州·期末）如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【变式8-2】（24-25八年级·浙江金华·期中）如图，四边形、是面积分别为、的正方形，点A在x轴上，点F在上，点E在反比例函数的图象上，若，则k值为 ． 【变式8-3】（2024·山东济宁·八年级期末）如图，点，是反比例函数的图象上的两点，连接、． (1)求的值； (2)求的面积； (3)若点的坐标为，点是反比例函数图象上的点，若的面积等于面积的3倍，求点的坐标． 【题型9 由反比例函数k的几何意义求坐标】 【例9】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数的图像交于A，C两点与x轴交于B，D两点，连接AC，点A，B对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽度，，则点C的坐标是 ． 【变式9-1】（24-25八年级·河南南阳·期末）如图，、两点的坐标分别为，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为，反比例函数的图象经过点．    (1)直接写出点的坐标，并求反比例函数的解析式； (2)点在反比例函数的图象上，当的面积为9时，求点的坐标． 【变式9-2】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接，且．点是x轴上一点，连接，，若，，则与y轴交点C的坐标为 ．    【变式9-3】（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是6，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型10 由直线分面积求参数的值】 【例10】（24-25八年级·浙江宁波·期中）如图，经过原点O的直线与反比例函数的图像交于A，B两点（点A在第一象限），点C，D在反比例函数的图像上，轴，轴，将四边形的面积分成7：5的两部分，则的面积为 ，k的值为 ． 【变式10-1】（24-25八年级·江苏苏州·期中）如图，直线与反比例函数交于点，与轴交于点，过双曲线上的一点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点．若将四边形分成两个面积相等的三角形，则点坐标为 ． 【变式10-2】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，平面直角坐标系中有一个由个边长为的正方形所组成的图形，反比例函数的图象与图形外侧两个交点记为点，点，若线段把该图形分成面积为的两部分，则的值为 ． 【变式10-3】（2024·山东聊城·中考真题）如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线于点E，且．    (1)求k，p的值； (2)若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.3 反比例函数k的几何意义与面积之间的关系【十大题型】 【苏科版】 【题型1 由反比例函数的k的几何意义求三角形的面积】 1 【题型2 由反比例函数的k的几何意义求四边形的面积】 8 【题型3 由反比例函数的k的几何意义判断面积的大小关系】 11 【题型4 由反比例函数的k的几何意义求阴影部分图形的面积】 15 【题型5 由三角形的面积求反比例函数的比例系数】 20 【题型6 由四边形的面积求反比例函数的比例系数】 24 【题型7 由阴影部分图形的面积求反比例函数的比例系数】 29 【题型8 由面积之间的关系求反比例函数的比例系数】 34 【题型9 由反比例函数k的几何意义求坐标】 39 【题型10 由直线分面积求参数的值】 45 知识点：反比例函数的k的几何意义 由y＝(k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k|. 如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|； 同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|. 【题型1 由反比例函数的k的几何意义求三角形的面积】 【例1】（2024·吉林长春·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，线段与反比例函数相交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好落在双曲线上，则的面积为（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，全等三角形的判定和性质． 过点A作轴于点C，过带你B作轴于点D，过点O作于点E，推出为反比例函数图象的对称轴，通过证明，得出，的面积，即可解答． 【详解】解：过点A作轴于点C，过带你B作轴于点D，过点O作于点E， 由旋转可知， ∵， ∴点A和点B关于对称，， ∴为反比例函数图象的对称轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴的面积， 故选：D． 【变式1-1】（2024·浙江·八年级期末）如图，已知点 A ，B分别在反比例函数与的图象上，且．若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．过点A作轴，过B作轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形与三角形相似，由A、B分别在反比例函数与的图象上，利用反比例函数k的几何意义求出三角形与三角形面积，进而得到面积之比，利用面积比等于相似比的平方确定出相似比，即为与之比，设出，，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出与的长，即可求出三角形的面积． 【详解】解：过点A作轴，过B作轴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵点A，B分别在反比例函数与图象上， ∴，，即， ∴， 在中，设，则， ， 根据勾股定理得：，即， 解得：（负值舍去）， ∴， 则． 故答案为：． 【变式1-2】（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反比例函数 在第一象限的图象经过点 ，则 与 的面积之差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，面积公式，平方差公式，根据和都是等腰直角三角形可得出、，设，，则点的坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出，再根据三角形的面积即可得出与的面积之差，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 设，， 则点的坐标为， ∵反比例函数在第一象限的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示：已知直线 与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4． (1)求k的值； (2)若双曲线上的一点C的纵坐标为8，求的面积？ (3)在坐标轴上是否存在一点M使得的值最小，若存在，请求出M点坐标．不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M点坐标为，理由见解析 【分析】（1）利用一次函数求出点坐标，再将其代入双曲线中求解，即可解题； （2）利用反比例函数求出点C，过点C作轴于点，过点A作轴于点，，的延长线相加于点，连接，，结合的几何意义根据求解，即可解题； （3）根据点M在坐标轴上使得的值最小分以下两种情况讨论，①当M点在轴上时，②当M点在轴上时，根据以上两种情况结合轴对称性质，两点之间线段最短，待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数与坐标轴交点情况分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：直线 与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4， 将点A的横坐标代入得， 点A的坐标为， 将点A的坐标代入得：， 解得：， 故的值为； （2）解：由（1）可知：双曲线解析式为， 点C在双曲线上，点C的纵坐标为8， 将点C的纵坐标代入得：， 解得：，点C的坐标为， 如图，过点C作轴于点，过点A作轴于点，，的延长线相加于点，连接，， ； （3）解：存在，理由如下： ①当M点在轴上时， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点M，连接， 根据轴对称性质可知，， ， 根据两点之间线段最短可知即为的最小值，与轴的交点即为M点， 点C的坐标为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将、坐标代入得：，解得：， 直线的解析式为， 令，代入得：， 解得：， 点坐标为． 此时最小值为. ②当M点在轴上时， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点M，连接， 根据轴对称性质可知，， ， 根据两点之间线段最短可知即为的最小值，与轴的交点即为M点， 点C的坐标为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将、坐标代入得：，解得：， 直线的解析式为， 令，代入得：， 点坐标为， 此时最小值为，且. 综上所述，M点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，轴对称性质，两点之间线段最短，割补法求面积，的几何意义，以及一次函数与坐标轴交点情况，解题的关键在于熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质． 【题型2 由反比例函数的k的几何意义求四边形的面积】 【例2】（2024·黑龙江佳木斯·八年级期末）如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键． 延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点，    ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于； 故选：B． 【变式2-1】（24-25八年级·北京·开学考试）如图，点A、B是函数与的图象的两个交点，作轴于C，作轴于D，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义和三角形的面积公式 根据函数的解析式得到各线段的长度，将四边形分为四个小三角形即可求出面积 【详解】解：根据反比例函数的对称性可知，， ∴的面积都等于， ∴四边形的面积为， 故选：D. 【变式2-2】（24-25八年级·上海·阶段练习）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且 轴，过点、分别向轴作垂线，垂足分别为点、，那么四边形的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了反比例函数关系k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得出矩形的面积为1，矩形的面积是3，则矩形的面积为． 【详解】解：过点A作轴于点E， 轴， 则点在同一直线上， ∵点A在双曲线上，点B在双曲线上， ∴矩形的面积为1，矩形的面积是3， ∴矩形的面积为， 故答案为：2． 【变式2-3】（2024春·山东烟台·八年级 统考期中）如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的中点P，与交于E、F两点，则四边形的面积是 ．    【答案】6 【分析】设P点的坐标为，根据矩形性质求得的坐标，根据反比例函数的几何意义可得，根据，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， 轴，轴， ∵在反比例函数图象上， ， 设P点的坐标为，而点P在反比例函数图像上，则， 又∵矩形对角线的中点为P， ，，， ， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的性质，中点坐标公式，设点的坐标求解是解题的关键． 【题型3 由反比例函数的k的几何意义判断面积的大小关系】 【例3】（2024八年级·河南·专题练习）小明在研究矩形面积S与矩形的边长x，y之间的关系时，得到下表数据： x 0.5 1 1.5 2 3 4 6 12 y 12 6 4 3 2 1 0.5 结果发现一个数据被墨水涂黑了． （1）被墨水涂黑的数据为 ． （2）y与x之间的函数关系式为 （其中x＞0），且y随x的增大而 ． （3）如图是小明画出的y关于x的函数图象，点B、E均在该函数的图象上，其中矩形OABC的面积记为S1，矩形ODEF的面积记为S2，请判断S1和S2的大小关系，并说明理由． （4）在（3）的条件下，DE交BC于点G，反比例函数y＝的图象经过点G交AB于点H，连接OG、OH，则四边形OGBH的面积为 ． 【答案】（1）1.5；（2）y＝；减少；（3）S1＝S2，理由详见解析；（4）4 【分析】（1）由表格直接可得； （2）在表格中发现xy=6，故得到y=； （3）由反比例函数k的几何意义可知S1=OA•OC=k=6，S2=OD•OF=k=6； （4）根据反比例函数k的几何意义，得到S四边形OCBA=6，S△OCG=1，S△OAH=1； 【详解】（1）从表格可以看出s=6， ∴墨水盖住的数据是6÷4=1.5； 故答案为1.5； （2）由xy=6，得到y＝， ∴y是x的反比例函数，k=6＞0，当x>0时，y随x的增大而减少； 故答案为y=；减少； （3）S1＝S2．      S1＝OA•OC＝k＝6，S2＝OD•OF＝k＝6， ∴S1＝S2； （4）∵点B在y＝上， ∴S四边形OCBA= 6， ∵点G、H在y＝上， S△OCG=1，S△OAH=1， ∴S四边形OGBH=S四边形OCBA-S△OCG-S△OAH=6-1-1=4； 故答案为4． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，k的几何意义；理解反比例函数|k|与面积的关系是解题的关键． 【变式3-1】（24-25八年级·湖南株洲·期中）如图：点P、Q是反比例函数图象上的两点，轴于点A，轴于点N，作轴于点M，轴于点B，连接、，的面积记为，的面积记为，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义． 设，，根据三角形的面积公式和的几何意义，即可求出结果． 【详解】解：设，， 则， ， 点，在反比例函数的图象上， ， ． 故选：B． 【变式3-2】（2024·四川成都·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象上有三点，，，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，，记，，的面积分别为，，，则，和的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求解． 【详解】解：由函数系数k的几何意义可得，S1，S2，S3均为， ∴S1=S2=S3， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质和系数k的几何意义． 【变式3-3】（2024·吉林长春·八年级期末）已知点在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，点、为、轴上任意一点，则和面积的大小关系为（    ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】D 【分析】如下图，在反比例函数上取点、，点P不变，发现△ACP的面积是在变化的，同理分析可得△ABQ的面积也是变化的，从而得出选项． 【详解】如下图，在反比例函数上取点、，点P不变 则由图形可知： ∵点C、P可任意选取，则△APC的面积可任意变化 同理，△ABQ的面积可任意变化 故选：D 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题关键是判断出三角形的面积是始终变化的． 【题型4 由反比例函数的k的几何意义求阴影部分图形的面积】 【例4】（24-25八年级·江苏南京·期末）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 由，得，，，所以，，根据，解得，即得，进而即可求得． 【详解】解：如图所示， ，， ，， ， ， 平分矩形， ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 【变式4-1】（2024·北京·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C在双曲线上，轴于点D，轴于点E，点F在x轴上，且，则图中阴影部分的面积之和为 ．    【答案】16 【分析】过A作垂直于x轴，交x轴于点G，由，利用三线合一得到G为的中点，根据等底同高得到三角形的面积等于三角形的面积，再由A，B及C三点都在反比例函数图象上，根据反比例的性质得到，及的面积都相等，都为，由反比例解析式中的k值代入，求出三个三角形的面积，问题随之得解． 【详解】解：过A作轴，交x轴于点G，如图所示：    ∵，， ∴G为的中点，即， ∴， 又∵A，B及C点都在反比例函数上，轴，轴， ∴， ∴， 则， 故答案为：16． 【点睛】本题考查反比例函数，掌握反比例函数的性质，运用反比例函数的性质来解答本题关键． 【变式4-2】（2024八年级·全国·竞赛）如图，点在第一象限，且为反比例函数图象上的两点，点关于原点对称的对应点分别为点，若点的横坐标是点横坐标的4倍，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，设点A的横坐标为，则点的横坐标为，根据求出，再根据点关于原点对称的对应点分别为点，得到，即可得到图中阴影部分的面积． 【详解】解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点F， 设点A的横坐标为，则点的横坐标为， ∵点在第一象限，且为反比例函数图象上的两点， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴ ∵点关于原点对称的对应点分别为点， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 【变式4-3】（2024·山东济宁·八年级期末）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则的值为（    ） A．1 B．2024 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 将面积为的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，然后再利用求解即可． 【详解】解：∵的横坐标依次为1，2，3，…，2024，， ∴阴影矩形的一边长都为1， 如图：记轴于点D，轴于点C，轴于点A，且交于点B， 将面积为的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 把代入得：，即， ∴， 根据反比例函数中的几何意义，可得：，． 故选D． 【题型5 由三角形的面积求反比例函数的比例系数】 【例5】（2024·安徽合肥·八年级期末）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A，B两点，点在反比例函数第一象限的图象上且坐标为，若的面积为12，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，连接, 作轴于, 轴于,则，根据题意求得,由，即可得出 ，解方程求得m的值，从而求得 ． 【详解】连接, 作轴于, 轴于,则， ∴， ∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于两点, ∴关于原点对称， ， ， 设, ， ， ∴， ，即 ， 解得，（舍去） ， 故答案为:． 【变式5-1】（24-25八年级·江苏镇江·期末）如图，点A、B分别是x轴、y轴上的点，过点A、B分别作x轴、y轴的垂线交于点C，反比例函数的图像分别与交于点D、E，连接，若，且的面积是9，则k的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，解题的关键设出点的坐标．设，则，用表示出，的坐标，利用面积求出即可解答． 【详解】解：设，， 则， ， ，， ， ， 解得， ． 故选：C． 【变式5-2】（2024·江苏盐城·八年级期末）如图，反比例函数在第三象限的图象是，在第四象限的图象是，点A、C在上，过A点作轴交于B点，过C点作轴于D点，点P为x轴上任意一点，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，设点，得到，设设点，则，根据求出，即可得到答案． 【详解】解：设点，则， ∵轴， ∴点B的纵坐标是b， ∵点B在上， ∴点， ∴，点P到的距离为， ∵， ∴， 设点，则， ∵过点作轴于点， ∴，点P到的距离为， ∴， 即， ∴， ∴ 故答案为： 【变式5-3】（24-25八年级·江苏无锡·期末）如图，点在双曲线上，过作直线交双曲线于点，过作轴于，连接，若的面积为1，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查已知图形的面积求值，先求出点坐标进而求出的解析式，设，根据三角形的面积公式，求出点坐标，即可得出值． 【详解】解：点在双曲线上， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为， 则：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型6 由四边形的面积求反比例函数的比例系数】 【例6】（24-25八年级·江苏扬州·期末）如图，点O为坐标原点，菱形的边在x轴的正半轴上，对角线交于点D，反比例函数的图象经过点A和点D，若菱形的面积为6，则为（　　  ） A．2 B．1 C．3 D．6 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用，设，，中点坐标公式求出，根据点D在反比例函数图象上，以及菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：设，， ∵菱形， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 【变式6-1】（24-25八年级·江苏常州·期末）如图，直线与反比例函数交于A、B两点，过点B作x轴的平行线，点C是该平行线上的一点，连接，使得，过点C作x轴的垂线交于点D，以为边作矩形，若，则 ． 【答案】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了等腰三角形三线合一的性质，反比例函数系数的几何意义，求得是解题的关键． 作于，交于点，利用等腰三角形三线合一的性质得出，即可求得，由反比例函数的对称性得出， ，求得，进而求得． 【详解】解：作于，交于点， ， ， ∵， ∴， ∵直线与反比例函数交于、两点，轴， ，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ， 故答案为：6． 【变式6-2】（24-25八年级·河南南阳·阶段练习）如图，平行四边形的顶点O在坐标原点上，点B在y轴上，点A在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上．若平行四边形的面积为10，则 ． 【答案】 【分析】过点A作轴于点E，过点C作轴于点D，根据平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质得出与的面积相等，与的面积相等，再由反比例函数的几何意义得出，确定，再次利用反比例函数的几何意义即可得出结果． 【详解】解：过点A作轴于点E，过点C作轴于点D， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴与的面积相等， 同理可得与的面积相等， ∵若的面积为10， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∵在第二象限， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的几何意义，平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 【变式6-3】（2024·江苏淮安·八年级期末）平面直角坐标系中，已知点、、、是函数图象上的四点．若四边形 的面积为4，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，求反比例函数解析式，坐标与图形，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 分两种情况：若A、B在第四象限内，点C、D在第二象限内，即时，若A、B在第二象限内，点C、D在第四象限内，即时，分别 求出a值，再根据求解即可． 【详解】解：∵、、、是函数图象上的四点． ∴ ∴，， ∴函数图象在第二、四象限内， 若A、B在第四象限内，点C、D在第二象限内，即时， 过点A、C分别作x轴的平行线、，过点B、D分别作y轴的平行线、，与相交于E， 与相交于F ， 与相交于H， 与相交于G ， 如图， ∵、、、 ∴ ∵ ∴ ∴，（舍去） ∴ 若A、B在第二象限内，点C、D在第四象限内，即时，同理可求得 综上， ∴， 故答案为：． 【题型7 由阴影部分图形的面积求反比例函数的比例系数】 【例7】（2024·广东东莞·八年级期末）如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为（     ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】设，则，从而可得、，由正方形的性质可得，由轴，点P在上，可得，由于Q为的中点，轴，可得，则，由于点Q在反比例函数的图象上可得，根据阴影部分为矩形，且长为，宽为a，面积为6，从而可得，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵Q为的中点， ∴， ∴， ∵Q在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵P在上， ∴P点纵坐标为， ∵P点在反比例函数的图象上， ∴P点横坐标为， ∴， 设、交于点H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形得判定及其面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 【变式7-1】（24-25八年级·全国·课后作业）如图，点A，B在反比例函数的图象上，过A，B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接，若（分别为和中空白部分的面积），S阴影＝1，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键；利用，根据题意，即可求解 【详解】解：由题意，知和都是直角三角形， ，      ， ， ， 由图，可知， 故答案为： 【变式7-2】（2024·陕西咸阳·八年级期末）如图，矩形、矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B在x轴正半轴上，E、D在y轴正半轴上，顶点C、P在第一象限，M为的中点，反比例函数（，k为常数，）的图像恰好经过点M、P，若阴影部分面积为8，则k的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，中点坐标，矩形的性质，求出矩形的面积是解题的关键； 根据题意，可设出点P、M的坐标，然后利用反比例函数的性质和矩形的性质即可求得k的值． 【详解】解：反比例函数的图象恰好经过点M、P， 设点P的横坐标为a，则纵坐标为，点M的横坐标为b，则纵坐标为， 在矩形和矩形中，轴，轴， M为的中点， 点C的横坐标为b，则纵坐标为， A、B在x轴正半轴上，E、D在y轴正半轴上，顶点C、P在第一象限，阴影部分面积为8， ，，，， 阴影面积， 解得：， 故答案为：8. 【变式7-3】（2024八年级·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，矩形的边在上，．反比例函数的图象经过点B，若阴影部分面积为6，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数中k值的几何意义，全等三角形的性质和判定，不规则图形面积，掌握理解k值的几何意义，把不规则图形面积转化为规则图形面积是解题关键． 转化阴影部分面积为的面积，与k值的几何意义结合，根据图象的位置确定k值的正负即可． 【详解】解：设与的交点为Q， ， 设，， ， 四边形和四边形是矩形， ， ，， ． ， ． 阴影部分面积为， ， ， ， 点在反比例函数图像上，且在第一象限， ， ． 故选：D． 【题型8 由面积之间的关系求反比例函数的比例系数】 【例8】（2024·吉林长春·八年级期末）如图，平行四边形中点的坐标为，在轴的负半轴上，、两点落在反比例函数上，且点的横坐标为3，四边形的面积是面积的3倍，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】先根据四边形的面积是三角形面积的3倍，结合平行四边形的性质得出是的中点，、两点的横坐标互为相反数，设点横坐标为，则点横坐标为．再由平行四边形中点的坐标为，点的横坐标为3，求出．设，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，再利用平行四边形的性质求出，，那么． 【详解】解：四边形的面积是面积的3倍， ， 是的中点， 在轴上，横坐标是0， 、两点的横坐标互为相反数，设点横坐标为，则点横坐标为， 平行四边形中点的坐标为，点的横坐标为3， ，即， 解得， 设， 、两点落在反比例函数上， 点纵坐标为， ， ，，，，且四边形是平行四边形， ，即， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的定义，平行四边形的性质，求出、两点的横坐标是解题的关键． 【变式8-1】（24-25八年级·浙江杭州·期末）如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，设，则，，，根据坐标求得，，推得，即可求得． 【详解】解：依题意，设，则，， ∵点A在的图象上 则， 同理∵B，D两点在的图象上， 则 ∵ ∴， 又∵， 故， ∴， 故选：D． 【变式8-2】（24-25八年级·浙江金华·期中）如图，四边形、是面积分别为、的正方形，点A在x轴上，点F在上，点E在反比例函数的图象上，若，则k值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的知识点是反比例函数系数k的几何意义，根据已知条件得出点D、E、F的坐标是解此题的关键．设正方形、的边长分别为a，b，则可表示出，，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出，利用点E与点D的纵坐标相同，求解即可． 【详解】解：设正方形、的边长分别为a，b， 则，，， ∵点E与点D的纵坐标相同， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 【变式8-3】（2024·山东济宁·八年级期末）如图，点，是反比例函数的图象上的两点，连接、． (1)求的值； (2)求的面积； (3)若点的坐标为，点是反比例函数图象上的点，若的面积等于面积的3倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2)的面积为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）将点，代入，求出，将点代入，即可求解， （2）由反比例函数的几何意义得，由，可得，即可求解， （3）设点坐标为，作轴，用含的代数式表示出的长度，代入，即可求解， 本题考查了求反比函数解析式，反比例函数的几何意义，求特殊图形的面积，解题的关键是：熟练应用数形结合的思想． 【详解】（1）解：∵点，是反比例函数的图象上的两点， ∴，解得：， ∴反比例函数解析式为：， ∴，解得：， 故答案为：， （2）解：过点，，作轴，轴，垂足分别为，， 由（1）可知，点，是反比例函数的图象上的两点， ∴，，,，， ∵， ∴， 故答案为：的面积为， （3）解：设点坐标为，过点，作轴，垂足为， ∴，， ∴， 即：，解得：或， ∴或， 故答案为：点的坐标为或． 【题型9 由反比例函数k的几何意义求坐标】 【例9】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数的图像交于A，C两点与x轴交于B，D两点，连接AC，点A，B对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽度，，则点C的坐标是 ． 【答案】(6，2) 【分析】首先根据点、对应直尺上的刻度分别为5、2，．，即可求得的坐标，，的坐标，，关键是根据面积列出关于的方程，求出，即可求得的坐标． 【详解】解：直尺平行于轴，、对应直尺的刻度为5、2，且， 则的坐标为，，则的坐标为， ，， ， 又， ， ， ， 的坐标为 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，解题的关键是掌握反比例函数图像上点的坐标特征、比例系数的几何意义；熟练运用几何图形的面积的和差计算不规则的图形的面积． 【变式9-1】（24-25八年级·河南南阳·期末）如图，、两点的坐标分别为，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为，反比例函数的图象经过点．    (1)直接写出点的坐标，并求反比例函数的解析式； (2)点在反比例函数的图象上，当的面积为9时，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】（1）根据图形旋转的性质可证明，进而可推算出点的坐标，再根据待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2）设点的坐标为，利用，建立关于的方程解出值即可． 【详解】（1）解：根据线段绕点逆时针旋转得到线段可知：，， 又∵， 又∵ ∴ ， ，， ， ． 在上，， 反比例函数解析式为：． （2）设点的坐标为， ， ，即：， ，， 这样的点坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，利用面积求符合条件的点的坐标． 【变式9-2】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接，且．点是x轴上一点，连接，，若，，则与y轴交点C的坐标为 ．    【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键． 设点A的坐标为，由轴，得点，根据，得，由此解出，进而表示点B的坐标，再根据得由此解出，进而得点，然后利用待定系数法求出直线的表达式，据此可得点C的坐标， 【详解】点A在反比例函数的图象上， 设点A的坐标为， 轴， 点B的纵坐标为， 点B在反比例函数的图象上， ， 解得：， 点B的坐标为， ， ， ， 解得：， 点B的坐标为， 点， ， ， ， ， 整理得：， ， 由，解得， 由，解得，不合题意，舍去 当时，点A的坐标为，点B的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入得， ， 解得：， 直线的表达式为：， 当时， 点C的坐标为 故答案为： 【变式9-3】（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是6，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点D坐标求出反比例函数和正比例函数解析式，再设出点C坐标，利用平行四边形的性质和正比例函数解析式表示出点B的坐标，从而可得BC，再用BC与点C的纵坐标表示出平行四边形的面积，求解即可． 【详解】解：∵点D（2，1）在反比例函数上， ∴k=2×1=2， ∴反比例函数解析式为：， 设直线OB的函数解析式为y=mx， ∵点D（2，1）在对角线OB上， ∴2m=1，即， ∴OB的解析式为：, ∵点C在反比例函数图象上， ∴设点C坐标为（a，）， ∵四边形OABC为平行四边形， ∴BCOA， ∴点B的纵坐标为， 将y=代入， 解得：x=， ∴点B坐标为（，）， ∴BC=， ∵平行四边形OABC的面积是6， ∴（）×=6， 解得：a=1或a=-1（舍去）， ∴，， ∴点B坐标为：， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，平行四边形的性质，一次函数图象等知识点，解题的关键是利用反比例函数和一次函数将点C，点B的坐标统一表示出来． 【题型10 由直线分面积求参数的值】 【例10】（24-25八年级·浙江宁波·期中）如图，经过原点O的直线与反比例函数的图像交于A，B两点（点A在第一象限），点C，D在反比例函数的图像上，轴，轴，将四边形的面积分成7：5的两部分，则的面积为 ，k的值为 ． 【答案】 【分析】首先根据题意设出，，，，然后表示出，，然后利用将四边形的面积分成7：5的两部分列方程求出，延长，交于点E，根据代入可求出k的值． 【详解】∵经过原点O的直线与反比例函数的图像交于A，B两点， ∴设，， ∵点C，D在反比例函数的图像上，轴，轴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵将四边形的面积分成7：5的两部分， ∴，即， ∴解得， 如图所示，延长，交于点E， ∴， ∴， ∴解得． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，三角形的面积，解题的关键在于添加常用辅助线，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【变式10-1】（24-25八年级·江苏苏州·期中）如图，直线与反比例函数交于点，与轴交于点，过双曲线上的一点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点．若将四边形分成两个面积相等的三角形，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图形和性质，一次函数的图象和性质．先求得直线，反比例函数解析式，设，根据将四边形分成两个面积相等的三角形，得到，据此列出关于n的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵反比例函数经过点，直线经过点， ∴，， ∴ ∴，， 令，则， 即． 设，且， ∴． ∵将四边形分成两个面积相等的三角形， ∴， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验是原方程的解， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【变式10-2】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，平面直角坐标系中有一个由个边长为的正方形所组成的图形，反比例函数的图象与图形外侧两个交点记为点，点，若线段把该图形分成面积为的两部分，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，根据图形面积求比例系数，解一元一次方程等．根据题意可得线段把该图形分成面积为和的两部分，得出点的纵坐标为，点的纵坐标为，代入反比例解析式求出点和点的坐标，得出，，，求出梯形的面积，再加上个小正方形的面积，可得出线段的左侧部分图形的面积，据此列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：如图： ∵线段把该图形分成面积为的两部分，且图形的总面积是， ∴线段把该图形分成面积为和的两部分， 根据题意可得点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵反比例函数的图象与图形外侧两个交点记为点，点， 故，， 则，，， 故梯形的面积为：， 即或， 解得：或． 故答案为：或． 【变式10-3】（2024·山东聊城·中考真题）如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线于点E，且．    (1)求k，p的值； (2)若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为(4，2) 【分析】（1）先求出点B的坐标，得到，结合点A的横坐标为2，求出的面积，再利用求出，设，代入面积中求出k，得到反比例函数解析式，再将点A横坐标代入出点A纵坐标，最后将点A坐标代入直线即可求解； （2）根据（1）中点C的坐标得到点E的坐标，结合OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，列出关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交点为B， ∴， 即． ∵点A的横坐标为2， ∴． ∵， ∴， 设， ∴， 解得． ∵点在双曲线上， ∴， 把点代入，得， ∴，； （2）解：由（1）得， ∴． ∵OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形， ∴， ∵，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为（4，2）． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图形和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质及待定系数法求函数解析式是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$