精品解析：海南省海口市2024-2025学年高三下学期仿真考试数学试题

海口市2025届高三年级仿真考试 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，再根据集合交集的运算得答案. 【详解】集合，， 所以. 故选：B. 2. 已知双曲线的离心率为2，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线方程确定，由离心率列方程可得的值. 【详解】双曲线的， 所以， 则离心率，解得. 故选：D. 3. 已知角终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求出的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】因为角终边过点，由三角函数的定义可得， 由二倍角的余弦公式可得. 故选：A. 4. 已知向量，，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算与定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为向量，，且与的夹角为， 所以，，即，可得，解得， 故选：D. 5. 已知变量和变量的一组成对样本数据，其经验回归方程为，若，，新样本数据得到的经验回归方程依然为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记，，分析可知，点、都在直线上，将这两点的坐标都代入回归直线方程，对比方程可求得实数的值. 【详解】记，， 则，同理， 所以，点、都在直线上， 所以，，解得. 故选：C. 6. 在中，，，的角平分线交于，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理可判断AB选项；利用三角形的面积公式可判断CD选项. 【详解】如下图所示： 在中，，，则， 在中，， 所以，， 在中，由正弦定理可得，所以，A错； 在中，，则， 且， 由正弦定理可得，则，B对； ，D错； 因为， 所以，，C错. 故选：B. 7. 函数满足，且，若，则可以取到的最大值为（ ） A. 60 B. 61 C. 62 D. 63 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可得数列为正项递增数列，若要使得取到最大值，则要尽可能取最小，可得到数列是以为首项，为公差的等差数列，根据等差数列求和公式列不等式求得可以取到的最大值. 【详解】因为函数满足，且， 所以数列为正项递增数列，满足， 若要使得取到最大值，则要尽可能取最小，所以， 又，满足取到最大值，则， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 则，满足此式的最大的为61. 故选：B. 8. 石墩是常见的维护交通秩序的道路设施．某路口放置的石墩（如图），其上部是原球半径为15cm的球缺，下部可看作是上、下底面半径分别为9cm、16cm的圆台，球缺的截面圆与圆台的上底面完全吻合，整个石墩的高为33cm，则石墩的体积为（ ） （注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高，球缺的体积，其中为原球半径，为球缺的高．） A. 4374cm3 B. 5048cm3 C. 5336cm3 D. 7260cm3 【答案】C 【解析】 【分析】根据球的几何性质确定求缺的高以及圆台的高，再根据球缺与圆台的体积公式即可得组合体石墩的体积. 【详解】如图，为整个几何体的高度，设为球心，分别为圆台上下底面圆心， 则，，， 所以，则球缺的高， 则圆台的高， 故石墩的体积为 . 故选：C. 【点睛】方法点睛：组合体体积常见解法 （1）补形法：将不规则的几何体补成常规几何体，利用大几何体体积减去小几何体体积得答案，适用于大小几何都能直接求解的； （2）切割法：将不规则的几何体分割成若干个常规几何体，将所有切割部分的小几何体体积合起来得答案，适用于不规则几何都能分割成常规几何的. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数是奇函数且为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义、基本初等函数的单调性以及导数法逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数是定义域为上的奇函数，且为增函数，A满足条件； 对于B选项，设，该函数的定义域为， ，故函数为偶函数，B不满足条件； 对于C选项，设，该函数的定义域为， ，故函数为奇函数， 对任意的恒成立， 所以，函数在上为增函数，C满足条件； 对于D选项，函数为奇函数，且该函数在定义域上不单调，D不满足条件. 故选：AC. 10. 是定义在区间上的函数，其导函数的图象如图所示，则在区间内（ ） A. 函数有三个极值点 B. 函数的单调增区间为 C. 函数的最大值可能为 D. 函数的最小值可能为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数图象分析函数的单调性，结合极值与最值与导数的关系逐项判断即可. 【详解】对于AB选项，由图象可知，当或时，，当时，. 所以，函数的减区间为、，增区间为， 所以，函数只有两个极值点，A错， 函数的单调增区间为，B对； 对于CD选项，函数的最大值可能为，C对， 因为函数在上单调递减，则，故函数的最小值不可能为，D错. 故选：BC. 11. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线有公共点 B. 曲线关于原点对称 C. 若曲线与圆都没有公共点，则 D. 直线过点交曲线于点，且与直线垂直，垂足为，为原点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】联立曲线，解方程确定交点情况，即可判断A；曲线上任取一点，其关于原点的对称点为，确定是否在曲线，反之在曲线任取一点判断即可判断B；分别讨论的正负确定曲线的方程，从而得曲线图像，同理得曲线的图像，结合曲线图像确定圆都没有公共点时的范围，即可判断C；根据到直线的距离可得的值，从而得的值，利用数量积的几何意义化简并求的值，即可判断D. 【详解】对于A，联立得矛盾，方程无解，则曲线没有公共点，故A不正确； 对于B，曲线上任取一点，则， 而关于原点的对称点为，满足方程， 则在曲线上，反之也成立，所以曲线关于原点对称，故B正确； 对于C，对于曲线，当时，方程为；当时，方程为； 当时，方程不成立；当时，方程为； 可作出曲线的图像， 曲线同理可得，如图， 若曲线与圆都没有公共点，则，故C正确； 对于D，点到直线的距离，则， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆、曲线与曲线、曲线与圆的位置关系综合，关键处理圆与曲线相交情况，结合绝对值分类讨论思想以及采用数形结合的思想提高解题效率，从而确定圆与曲线没有交点时半径的取值范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则___． 【答案】 【解析】 【分析】先计算复数，再根据复数的模的定义求结果. 【详解】由，故. 故答案为： 13. 已知，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的运算性质计算可得出所求代数式的值. 【详解】因为，则当时，. 所以，. 故答案为：. 14. 从集合中随机取一个数记为，使得关于的不等式在区间内有解的概率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】令，由已知不等式变形得出，令，对实数的取值进行分类讨论，结合一次函数的基本性质可得出关于的不等式，求出实数的取值集合，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】当时，令，由可得， 即，化简得， 令， 当时，即当时，此时只需，解得或， 此时，； 当时，即当时，此时只需，解得或， 此时，； 当时，即当时，，不合乎题意. 综上所述，或， 所以，满足条件的的取值集合为， 由古典概型的概率公式可知，所求概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列，其前项和为，，． （1）求数列的通项公式及前项和； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可得出数列的通项公式，利用等差数列的求和公式可求出的表达式； （2）推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，结合等比数列的求和公式可求出的表达式. 【小问1详解】 因为数列的前项和为，，， 所以，，即， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，，. 【小问2详解】 因为，则且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 故. 16. 如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点． （1）证明：平面； （2）过点作与平面平行的直线，交于点，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 在直三棱柱中，，则两两垂直，如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 由，则， ，则， 又，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明位置关系； （2）求出平面的一个法向量，利用向量法求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，平面的一个法向量为，， 由平面，则，得，即， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，得， 设与平面所成角为， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为. 17. 已知点为圆的动点，轴，为垂足，点满足，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线（当经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）． （1）求曲线的方程； （2）为曲线上一点，且在第一象限，点，在轴上是否存在一点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在点使得是以为直角顶点的等腰直角三角形 【解析】 【分析】（1）设点，根据可得，由于点在圆上运动，代入整理可得曲线的方程； （2）设直线的程为，联立直线与椭圆方程可得点的坐标，再根据是以为直角顶点的等腰直角三角形，确定的位置以及可得的值，从而确定点的坐标符合题意. 【小问1详解】 设点， 因为，则有， 因为点在圆上运动，所以， 化简得， 故曲线的方程为； 【小问2详解】 假设在轴上存在一点，满足条件. 设直线的程为，在第一象限，则， 代入椭圆方程中，整理得， 所以，即， 设线段中点为，则， 所以线段的中垂线方程为， 因为为等腰直角三角形，所以在线段的中垂线上，且， 令得，则， 则， 所以， 整理得：，解得或（舍）， 因为，所以，代入得， 所以存在点使得是以为直角顶点的等腰直角三角形. 18. 2025年央视春晚人形机器人展示了科技的飞速发展，随着人工智能和机器学习技术的不断升级，作为人形机器人核心部件的灵巧手在感知能力和操作精准度上大幅度提升，某公司针对代号和的两只灵巧手进行一次操作比赛，比赛结果将影响后续的研发投入．比赛流程如下：和需依次完成三个项目，分别是电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝，完成每个项目的得分依次为5分、3分、2分，未完成项目得0分，以三个项目的总分评定胜负，总分高者获胜．两只灵巧手分别对比赛项目进行了30次赛前模拟，数据如下： 完成电路板焊接次数 完成精密设备开启次数 完成精准打螺丝次数 10 18 24 15 15 15 若视赛前模拟的频率为概率，且两只灵巧手能否完成每个项目都相互独立． （1）求比赛中只完成了一个项目的概率； （2）记在比赛中的总分为，求的分布列； （3）已知本次比赛获胜，求的总分不低于5分的概率． 【答案】（1）比赛中只完成了一个项目的概率为 （2） （3）已知本次比赛获胜，求的总分不低于5分的概率为 【解析】 【分析】（1）分析可得每个项目完成的概率均为，结合二项分布求解概率即可； （2）记比赛中得分，则的可能取值为，确定完成电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝的概率，由此可确定随机变量对应的概率，从而得分布列； （3）记在比赛中的总分为，的可能取值为，求解的概率，再结合条件概率公式即可得所求. 【小问1详解】 由于进行了30次赛前模拟，每个项目完成的次数均为30次， 则每个项目完成的概率均为， 设完成比赛项目个数为，则， 则， 故比赛中只完成了一个项目的概率为； 【小问2详解】 记比赛中得分，则的可能取值为， 完成电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝的概率分别为， 所以， 所以的分布列为： 【小问3详解】记在比赛中的总分为，的可能取值为， 所以，， 记比赛“获胜”为事件，“的总分不低于5分”为事件， 则， 故已知本次比赛获胜，求的总分不低于5分的概率为. 19. 已知函数． （1）求证：曲线在处的切线恒过定点； （2）判断在上最多有几个零点，并说明理由； （3）设数列，通项公式，前项和为，求证：当时，． 【答案】（1）由，， 则，则， 所以曲线在处的切线方程为， 当时，， 则曲线在处的切线恒过定点. （2）在上最多有3个零点，理由如下： 由，，， 则， 设，，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 而，，， ①当，即时，，即， 此时函数在上单调递减，又， 则函数在上有1个零点； ②当，即时，，， 则存在，使得， 当时，，，函数单调递增， 当时，，，函数单调递减， 又，则，又， 所以函数在上也有一个零点， 所以函数在上有2个零点； ③当，且，即时， 存在，使得， 当时，，，函数单调递减， 当时，，，函数单调递增， 当时，，，函数单调递减， 又，， 此时函数在上可能存在3个零点， 取，，， 此时函数在上有3个零点. 综上所述，函数在上最多存在3个零点. （3）证明：由（2）知，当时，函数在上单调递减， 则，即，则， 则， 设，，则， 所以函数在上单调递减，则， 则,， 取，则， 所以， 则， 则. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线方程，进而求解定点； （2）求导，利用导数分析其单调性，进而判断零点的情况； （3）由（2）可得函数在上单调递减，可得，进而得到，则，设，，所以函数在上单调递减，则， 则,，利用导数分析其单调性，可得，取，可得，进而得到，进而求证即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海口市2025届高三年级仿真考试 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线的离心率为2，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 3. 已知角终边过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知变量和变量的一组成对样本数据，其经验回归方程为，若，，新样本数据得到的经验回归方程依然为，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，的角平分线交于，，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数满足，且，若，则可以取到的最大值为（ ） A. 60 B. 61 C. 62 D. 63 8. 石墩是常见的维护交通秩序的道路设施．某路口放置的石墩（如图），其上部是原球半径为15cm的球缺，下部可看作是上、下底面半径分别为9cm、16cm的圆台，球缺的截面圆与圆台的上底面完全吻合，整个石墩的高为33cm，则石墩的体积为（ ） （注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高，球缺的体积，其中为原球半径，为球缺的高．） A. 4374cm3 B. 5048cm3 C. 5336cm3 D. 7260cm3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数是奇函数且为增函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 是定义在区间上的函数，其导函数的图象如图所示，则在区间内（ ） A. 函数有三个极值点 B. 函数的单调增区间为 C. 函数的最大值可能为 D. 函数的最小值可能为 11. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线有公共点 B. 曲线关于原点对称 C. 若曲线与圆都没有公共点，则 D. 直线过点交曲线于点，且与直线垂直，垂足为，为原点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则___． 13. 已知，则_____________． 14. 从集合中随机取一个数记为，使得关于的不等式在区间内有解的概率为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列，其前项和为，，． （1）求数列的通项公式及前项和； （2）若，求数列的前项和． 16. 如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点． （1）证明：平面； （2）过点作与平面平行的直线，交于点，求与平面所成角的正弦值． 17. 已知点为圆的动点，轴，为垂足，点满足，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线（当经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）． （1）求曲线的方程； （2）为曲线上一点，且在第一象限，点，在轴上是否存在一点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 18. 2025年央视春晚人形机器人展示了科技的飞速发展，随着人工智能和机器学习技术的不断升级，作为人形机器人核心部件的灵巧手在感知能力和操作精准度上大幅度提升，某公司针对代号和的两只灵巧手进行一次操作比赛，比赛结果将影响后续的研发投入．比赛流程如下：和需依次完成三个项目，分别是电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝，完成每个项目的得分依次为5分、3分、2分，未完成项目得0分，以三个项目的总分评定胜负，总分高者获胜．两只灵巧手分别对比赛项目进行了30次赛前模拟，数据如下： 完成电路板焊接次数 完成精密设备开启次数 完成精准打螺丝次数 10 18 24 15 15 15 若视赛前模拟的频率为概率，且两只灵巧手能否完成每个项目都相互独立． （1）求比赛中只完成了一个项目的概率； （2）记在比赛中的总分为，求的分布列； （3）已知本次比赛获胜，求的总分不低于5分的概率． 19. 已知函数． （1）求证：曲线在处的切线恒过定点； （2）判断在上最多有几个零点，并说明理由； （3）设数列，通项公式，前项和为，求证：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $