专题04 随机变量及其分布（七大题型）（福建专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题04 随机变量及其分布 题型概览 题型01条件概率与独立事件 题型02全概率公式 题型03离散型随机变量及其分布列 题型04离散型随机变量的期望与方差 题型05超几何分布 题型06二项分布 题型07正态分布 ( 题型01 ) 条件概率与独立事件 1．（23-24高二下·福建福州·期中）从含有3个红球，2个白球的口袋中随机取出一个球，记下颜色后放回，并加进一个同色球，如此共取i次.记事件：“第i次取出的球是红球”，事件：“第i次取出的球是白球”，则（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·福建厦门·期中）现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，则在已知抽到两名同学性别相同的条件下，抽到两名女同学的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·福建福州·期中）从3，4，5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”，则 . 4．（23-24高二下·福建福州·期中）正值春夏交接时节，学生极易发生感冒.某学校高一、高二、高三三个年级的人数之比为3:2:1，且这三个年级分别有、、的人患有感冒.现在从这三个年级中任选一人进行调查，在此人患了感冒的条件下，此人来自高二年级的概率最大.则下列取值可能的是（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 ( 题型02 ) 全概率公式 5．（23-24高二下·福建龙岩市第一中学·期中）随着社会经济的不断发展，电子商务平台使人们购物更加方便快捷， 假设某电商平台的市场占有率和产品优质率的信息如表： 电商平台 甲 乙 其他市场 占有率 50% 40% 10% 优质产品率 90% 90% 80% 用，，分别表示某网民使用甲、乙、其他电商平台购物，B表示买到优质产品，若该网民在市场中随机选择一个电商平台购物，则 ． 6．（23-24高二下·福建福州·期中）某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题，箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子． (1)若同学甲从箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； (2)若同学乙从箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了箱，接着同学丙从箱中抽取题目作答， （i）求丙取出的第一道题是选择题的概率； （ii）已知丙取出的第一道题是选择题，求乙从箱中取出的是两道论述题的概率． 7．（23-24高二下·福建莆田第二中学·期中）袋子中混有除颜色外均相同的2个白球和2个红球，每次从中不放回的随机取出1个球，当袋中的红球全部取出时停止取球. 甲表示事件“第二次取出的球是红球”，乙表示事件“停止取球时袋中剩余1个白球”. (1)求甲发生的概率； (2)证明：甲与乙相互独立. ( 题型03 ) 离散型随机变量及其分布列 8．（23-24高二下·福建福州·期中）下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某电子元件的寿命 B．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 C．某人早晨在车站等出租车的时间 D．测量某零件的长度产生的测量误差 9．（23-24高二下·福建龙岩·期中）若随机变量X服从两点分布，，则（    ） A．0.5 B．0.57 C．0.67 D．0.77 10．（23-24高二下·福建莆田锦江中学·期中）盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中. 使用过的球即成为旧球. (1)求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率； (2)设两局比赛后盒中新球的个数为，求的分布列. ( 题型0 4 )离散型随机变量的期望与方差 11．（23-24高二下·福建泉州·期中）已知离散型随机变量的分布列如下所示，则下列结论正确的是（    ） -2 1 3 A． B． C． D． 12．（23-24高二下·福建福州·期中）随机变量的分布列如下，且，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 13．（23-24高二下·福建福州·期中）已知不透明的袋子中装有7个大小质地完全相同的小球，其中2个白球，5个黑球，从中无放回地随机取球，每次取一个． (1)求前两次取出的球颜色相同的概率； (2)当白球被全部取出时，停止取球，记取球次数为随机变量，求的分布列以及数学期望． 14．（23-24高二下·福建龙岩·期中）一个不透明盒子里装有7个大小相同、质地均匀的小球，其中白色小球3个（分别标有数字1，2，3），黑色小球4个（分别标有数字2，3，4，5）.现从盒子中一次性随机取出3个小球. (1)求取出的3个小球上的数字之和等于10的概率； (2)在取出的3个小球中有黑色小球的情况下，黑色小球上的数字的最大值为X（当只取到1个黑色小球时，该球上的数字即为X），求随机变量X的分布列与数学期望. 15．（23-24高二下·福建莆田·期中）某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗，依次不放回地从中取出2个盲盒. (1)求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率； (2)求第2次取到的是小狗盲盒的概率； (3)若随机变量X表示取到小狗的盲盒数，求X的分布列和数学期望. ( 题型0 5 )超几何分布 16．（23-24高二下·福建龙岩·期中）一箱零件中共有12个零件，其中有3个是尺寸不达标的，从这箱零件中任意选取4个，则恰有2个的尺寸不达标的概率为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二下·福建·期中）第七届数字中国建设峰会数字福建建设成果摄影展向社会进行作品征集，该摄影展从全新的视角呈现了数字福建近年来的建设成果，展现了数字福建蓬勃发展的朝气.某企业计划从信息基础设施领域的幅作品和文化领域的幅作品中随机选取若干幅作品参赛，若选取幅作品，全是文化领域的概率为. (1)求的值； (2)若选取幅作品，假设选取的文化领域的作品个数为，求的分布列和数学期望． ( 题型 0606 0 5 )二项分布 18．（23-24高二下·福建三明·期中）在图1杨辉三角和图2高尔顿板模型中，在一块木板上钉着若干排相互平行且相互错开的圆柱形钉子，钉子之间留有空隙作为通道，让一个小球从高尔顿板上方的入口落下，小球在下落的过程中与钉子碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉到下方的某一球槽内，如图，小球从高尔顿板第1行的第一个缝隙落下的概率是，第二个缝隙落下的概率是；从第2行第一个缝隙落下的概率是，第二个缝隙落下的概率，第三个缝隙落下的概率是，小球从第行第个缝隙落下的概率可以由杨辉三角快速算出，那么小球从第6行某个缝隙落下的概率可能为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高二下·福建莆田·期中）某学校工会组织趣味投篮比赛，每名选手只能在下列两种比赛方式中选择一种. 方式一：选手投篮3次，每次投中可得1分，未投中不得分，累计得分； 方式二：选手最多投3次.如第1次投中可进行第2次投篮，如第2次投中可进行第3次投篮.如某次未投中，则投篮中止.每投中1次可得2分，未投中不得分，累计得分； 若甲乙两位老师参加比赛，已知甲选择方式一参加比赛，乙选择方式二参加比赛. 假设甲，乙每次投中的概率均为，且每次投篮相互独立. (1)求甲得分不低于2分的概率； (2)求乙得分的分布列及期望； (3)求甲胜出的概率. 20．（23-24高二下·福建福州市八县协作校·期中）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. (1)求的值; (2)以频率估计概率，完成下列问题. (i)若从所有花卉中随机抽株，记高度在内的株数为，求 的分布列及数学期望； (ii)若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率. ( 题型0 5 )正态分布 21．（23-24高二下·福建福州·期中）已知随机变量服从正态分布，，则 . 22．（23-24高二下·福建三明·期中）红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温X服从正态分布，若的值在内的概率约为，则n的值约为（    ） （参考数据：若，则）. A．3 B．4 C．5 D．6 23．（23-24高二下·福建福州·期中）某企业生产一种零部件，其质量指标介于(49.4，50.6)的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为 ．(若，则，) 24．（23-24高二下·福建三明市第一中学·期中）已知随机变量X，Y分别满足，，且均值，方差，则 . 一、单选题 1．（23-24高二下·福建南平·期中）已知随机变量，且，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 2．（23-24高二下·福建厦门·期中）现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法不正确的是（    ） A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是 B．第二次取到1号球的概率 C．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大 D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种 3．（23-24高二下·福建厦门·期中）已知随机变量的分布列如下： 2 3 6 则的值为（    ） A．20 B．18 C．8 D．6 4．（23-24高二下·福建福州·期中）随机变量的分布列如下： 1 2 若，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 二、多选题 5．（23-24高二下·福建福州·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·福建福州·期中）已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若，且，，则 B．若，且，，则 C．若，，则 D．若，，，则 7．（23-24高二下·福建福州·期中）下列说法中正确的是（    ） A．“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的必要不充分条件 B．已知随机变量的方差为，则 C．已知随机变量服从二项分布，则 D．已知随机变量服从正态分布且，则 三、解答题 8．（23-24高二下·福建泉州·期中）某区教育局为了了解高三学生在疫情期间网上的学习情况，在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了名学生进行了问卷调查为了方便表述，把日学习时间在分钟内的学生称为类；把日学习时间在分钟内的学生称为类；把日学习时间在分钟内的学生称为类随机调查的这名学生的日学习时间人数的频率分布直方图如图所示． (1)在这名学生中，、、三类学生分别有多少人？ (2)在、、三类学生中，用分层抽样的方法从这名学生中随机抽取人，并在这人中任意邀请人进行电话访谈，求在被邀请的人中类学生人数的分布列和数学期望． (3)某校高三班有名学生，某天语文和数学老师计划分别在：：和：：在线上与学生交流学习问题，由于受校园网络平台的限制，每次即这两个时间段中的每个时间段都只能容纳个学生登录进行在线学习交流，假设这两个时间段高三班的全部名学生都会积极登录参加学习交流，设是在语文和数学学习交流中至少有一次登录成功的人数，问：当为多少时，其概率最大？ 9．（23-24高二下·福建泉州·期中）某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客．为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调查，据统计，有的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024年的“清明文化节”，只参加“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分．假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率． (1)从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的分布列； (2)2024年的“清明文化节”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务．已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为，如此往复． （i）求甲第二天选择“单车自由行”的概率； （ii）求甲第n（n＝1，2，…，16）天选择“单车自由行”的概率Pn，并帮甲确定在2024年“清明文化节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数． 10．（23-24高二下·福建龙岩·期中）已知福建某地生产的桂圆干是按包销售的，每包桂圆干的质量M（单位：g）服从正态分布，. (1)求； (2)若从该地生产的桂圆干中随机选取3包，记质量在247g～253g内的包数为X，求及. 11．（23-24高二下·福建福州·期中）现有4张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列． (1)将余下4个半张随机翻开两张，然后将桌上4个半张再随机翻开两张，求这四个半张扑克上的数字恰好有2个相同的概率； (2)将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个数记为，求的分布列及数学期望． 12．（23-24高二下·福建三明·期中）医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，则需要检验次； 方式二：混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验． 若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为． (1)现有4份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率． (2)现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次为． （i）若，试求关于的函数关系式； （ii）若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值． 参考数据：，，． 13．（23-24高二下·福建三明·期中）学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望； (3)若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望. 14．（23-24高二下·福建福州·期中）为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值． (1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）； ①；②；③． 评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级． (2)将直径小于或等于或直径大于的零件认为是次品． ①从设备的生产流水线上随意抽取2个零件，计算其中次品个数的数学期望； ②从样本中随意抽取2个零件，计算其中次品个数的分布列．（答案用分数表示，要画表格） 15．（23-24高二下·福建·期中）某商场周年庆进行大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏，游戏规则如下：在一个盒子里放着六枚硬币，其中有三枚正常的硬币，一面印着字，一面印着花；另外三枚硬币是特制的，有两枚双面都印着字，一枚双面都印着花，规定印着字的面为正面，印着花的面为反面．游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一枚硬币并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是正面，则进入最终挑战，否则游戏结束．最终挑战的方式是进行第三次投掷，有两个方案可供选择：方案一：继续投掷之前抽取的那枚硬币；方案二，不使用之前抽取的硬币，从盒子里剩余的五枚硬币中随机抽取一枚投掷．不管选择方案一还是方案二，如果掷出正面向上，则获奖 (1)求第一次投掷后，向上的面为正面的概率； (2)若已知某顾客进入了最终挑战，求他抽到的硬币是正常硬币的概率； (3)在已知某顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获奖的概率，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 随机变量及其分布 题型概览 题型01条件概率与独立事件 题型02全概率公式 题型03离散型随机变量及其分布列 题型04离散型随机变量的期望与方差 题型05超几何分布 题型06二项分布 题型07正态分布 ( 题型01 ) 条件概率与独立事件 1．（23-24高二下·福建福州·期中）从含有3个红球，2个白球的口袋中随机取出一个球，记下颜色后放回，并加进一个同色球，如此共取i次.记事件：“第i次取出的球是红球”，事件：“第i次取出的球是白球”，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用古典概率计算，可判断A；利用条件概率计算，可判断B、C；利用互斥事件的概率和相互独立事件的概率公式，可判断D作答. 【详解】对于A中，由题意得，第一次取到白球的概率，所以A正确； 对于B中，由，，则有，所以 B正确 对于C中，在已知第二次取出1个红球的条件下，第一次取得1个白球，，所以C不正确；； 对于D中，由事件是以下4个互斥事件的和：，，，， 则 ，所以D正确. 故选：ABD 2．（23-24高二下·福建厦门·期中）现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，则在已知抽到两名同学性别相同的条件下，抽到两名女同学的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设表示事件“抽到两名同学性别相同”，表示事件“抽到两名女同学”， 分别求出，，根据条件概率的计算公式即可求得答案. 【详解】设表示事件“抽到两名同学性别相同”，表示事件“抽到两名女同学”， , 表示事件“抽到两名女同学”，则, 故. 故选：A. 3．（23-24高二下·福建福州·期中）从3，4，5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”，则 . 【答案】 【分析】用列举法，可得事件包含的基本事件有9个，事件包含的基本事件有3个，用古典概型概率计算公式可求得､，再由条件概率公式加以计算，可得的值. 【详解】事件：取到的两个数之和为偶数，所包含的基本事件有：､､，､，，，，， ， 事件：取到的两个数均为偶数，所包含的基本事件有，，， ， 由条件概率公式，可得. 故答案为：. 4．（23-24高二下·福建福州·期中）正值春夏交接时节，学生极易发生感冒.某学校高一、高二、高三三个年级的人数之比为3:2:1，且这三个年级分别有、、的人患有感冒.现在从这三个年级中任选一人进行调查，在此人患了感冒的条件下，此人来自高二年级的概率最大.则下列取值可能的是（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】D 【分析】设事件分别表示“此人高一，高二，高三的学生”，事件D表示“此人感冒”，利用条件概率公式求出，根据题中条件可得出关于的不等式，解出之间的大小关系，分别对选项进行比较即可. 【详解】设事件分别表示此人高一，高二，高三的学生，事件D表示此人感冒， 则, ， 则， 因为来自高二年级概率最大，所以, 即, 即， 即，即， 故选：D. ( 题型02 ) 全概率公式 5．（23-24高二下·福建龙岩市第一中学·期中）随着社会经济的不断发展，电子商务平台使人们购物更加方便快捷， 假设某电商平台的市场占有率和产品优质率的信息如表： 电商平台 甲 乙 其他市场 占有率 50% 40% 10% 优质产品率 90% 90% 80% 用，，分别表示某网民使用甲、乙、其他电商平台购物，B表示买到优质产品，若该网民在市场中随机选择一个电商平台购物，则 ． 【答案】0.89 【分析】根据全概率公式计算可得． 【详解】依题意，，，，，，， 所以. 故答案为：0.89 6．（23-24高二下·福建福州·期中）某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题，箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子． (1)若同学甲从箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； (2)若同学乙从箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了箱，接着同学丙从箱中抽取题目作答， （i）求丙取出的第一道题是选择题的概率； （ii）已知丙取出的第一道题是选择题，求乙从箱中取出的是两道论述题的概率． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）设出事件,利用全概率公式求解即可； （2）设出事件，，，并求出对应的概率，利用全概率公式求出，然后利用条件概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件表示“甲第i次从B信封中取到论述题”，，2， 则，，，. 由全概率公式得第2题抽到论述题的概率. （2）设事件A为“丙从B信封中取出的第一个题是选择题”， 事件为“乙从A信封中取出2个选择题”， 事件为“乙从A信封中取出1个选择题和1个论述题”， 事件为“乙从A信封中取出2个论述题”， 则，，两两互斥且， 则，，， ，，， （i）所以丙取出的第一道题是选择题的概率为， （ii）已知丙取出的第一道题是选择题，乙从箱中取出的是两道论述题的概率为. 7．（23-24高二下·福建莆田第二中学·期中）袋子中混有除颜色外均相同的2个白球和2个红球，每次从中不放回的随机取出1个球，当袋中的红球全部取出时停止取球. 甲表示事件“第二次取出的球是红球”，乙表示事件“停止取球时袋中剩余1个白球”. (1)求甲发生的概率； (2)证明：甲与乙相互独立. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）记事件丙为“第一次取出的球是红球” ，则，由古典概型，全概率公式求解； （2）根据相互独立事件的定义证明. 【详解】（1）记事件丙为“第一次取出的球是红球” ， 则，， ，， 所以， 则； （2）由题意知，乙等价于“停止取球时共取出了1个白球和2个红球”， 且第三次取出的球一定为红球， 故此时取出顺序只有“红、白、红”与“白、红、红”两种可能， 则， 其中，甲乙同时发生等价于“白、红、红”的情况， 故， 于是， 所以甲与乙相互独立. ( 题型03 ) 离散型随机变量及其分布列 8．（23-24高二下·福建福州·期中）下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某电子元件的寿命 B．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 C．某人早晨在车站等出租车的时间 D．测量某零件的长度产生的测量误差 【答案】B 【分析】根据离散型随机变量的定义直接求解. 【详解】某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量； 一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量； 等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量； 测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量． 故选：B． 9．（23-24高二下·福建龙岩·期中）若随机变量X服从两点分布，，则（    ） A．0.5 B．0.57 C．0.67 D．0.77 【答案】C 【分析】根据两点分布的概念计算即可. 【详解】. 故选：C 10．（23-24高二下·福建莆田锦江中学·期中）盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中. 使用过的球即成为旧球. (1)求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率； (2)设两局比赛后盒中新球的个数为，求的分布列. 【答案】(1)； (2)分布列见解析. 【分析】（1）相当于比赛前刚好取到了一个新球，一个旧球，即可得答案； （2）由题意分析可知的可能值为0，1，2，3，4.后由题意可得相应概率，即可得分布列. 【详解】（1）因一局比赛后盒中恰有3个新球，则本局比赛取到了一个旧球，一个新球. 因一共有6个球，则总情况数为，取到一个新球，一个旧球的情况数为， 则相应概率为： ； （2）设第一局取到两个旧球为事件，取到新旧两个球为，取到两个新球为， 第二局取到两个旧球为事件，取到新旧两个球为，取到两个新球为， 则两局比赛后新球的个数可能为0，1，2，3，4. ； ； ； ； . 则分布列如下： 0 1 2 3 4 ( 题型0 4 )离散型随机变量的期望与方差 11．（23-24高二下·福建泉州·期中）已知离散型随机变量的分布列如下所示，则下列结论正确的是（    ） -2 1 3 A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据分布列的性质求得，再依次计算期望、方差、概率. 【详解】对于，由分布列的性质可得，解得，故错误； 对于，故B正确； 对于 ，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 12．（23-24高二下·福建福州·期中）随机变量的分布列如下，且，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质和期望可求，，从而可求方差. 【详解】根据题意可得解得 ． 故选:C． 13．（23-24高二下·福建福州·期中）已知不透明的袋子中装有7个大小质地完全相同的小球，其中2个白球，5个黑球，从中无放回地随机取球，每次取一个． (1)求前两次取出的球颜色相同的概率； (2)当白球被全部取出时，停止取球，记取球次数为随机变量，求的分布列以及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）分两次都是黑球还是白球讨论计算； （2）的取值为2，3，4，5，6，7，，计算分布列与期望. 【详解】（1）设事件A为“前两次取出的球颜色相同”， 设事件B为“第一次取黑球，第二次取黑球”，则， 事件C为“第一次取白球，第二次取白球”，则， 因为事件B与C互斥， 所以， 所以前两次取出的球颜色相同的概率为； （2）依题意，的取值为2，3，4，5，6，7， ，， ，， ，， 所以的分布列为 2 3 4 5 6 7 所以． 14．（23-24高二下·福建龙岩·期中）一个不透明盒子里装有7个大小相同、质地均匀的小球，其中白色小球3个（分别标有数字1，2，3），黑色小球4个（分别标有数字2，3，4，5）.现从盒子中一次性随机取出3个小球. (1)求取出的3个小球上的数字之和等于10的概率； (2)在取出的3个小球中有黑色小球的情况下，黑色小球上的数字的最大值为X（当只取到1个黑色小球时，该球上的数字即为X），求随机变量X的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）列出所有满足题意的情况，再利用古典概型即可求出答案； （2）首先分析出X可能的值有5，4，3，2，再分别写出其对应概率，从而得到分布列，再结合数学期望公式即可得解. 【详解】（1）7个球里取3个共有种， 3个小球上的数字之和等于10的含有4，5，1；3，5，2；3，4，3， 其中4，5，1只有一种，而3，5，2有种，即从两个3，两个2里各取一个，3，4，3也只有一种， 所以总共有种， 所以取出的3个小球上的数字之和等于10的概率为. （2）X的可能取值为2，3，4，5. 设“取出的3个小球中有黑色小球”，则， 所以，， ，. 故X的分布列为 X 2 3 4 5 P . 15．（23-24高二下·福建莆田·期中）某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗，依次不放回地从中取出2个盲盒. (1)求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率； (2)求第2次取到的是小狗盲盒的概率； (3)若随机变量X表示取到小狗的盲盒数，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）设事件“第次取到的是小兔盲盒”，，求出，，再根据条件概率的概率公式计算可得； （2）设事件“第次取到的是小狗盲盒”，，求出，，，再根据全概率的概率公式计算可得； （3）列出随机变量的所有可能的值，求出对应的概率，可得分布列，并求期望. 【详解】（1）设事件“第次取到的是小兔盲盒”，， 因为，，所以， 即第次、第次取到的都是小兔盲盒的概率为. （2）设事件“第次取到的是小狗盲盒”，， 因为，，， 所以由全概率公式，可知第次取到的是小狗盲盒的概率为 ； （3）由题意可取0，1，2， ，，. 所以的分布列为： 0 1 2 则. ( 题型0 5 )超几何分布 16．（23-24高二下·福建龙岩·期中）一箱零件中共有12个零件，其中有3个是尺寸不达标的，从这箱零件中任意选取4个，则恰有2个的尺寸不达标的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合超几何分布的概率计算公式，即可求解. 【详解】因为一箱零件中共有12个零件，其中有3个是尺寸不达标的，从中任意选取4个， 由超几何分布概率计算公式，可得恰有2个的尺寸不达标的概率为. 故选：A. 17．（23-24高二下·福建·期中）第七届数字中国建设峰会数字福建建设成果摄影展向社会进行作品征集，该摄影展从全新的视角呈现了数字福建近年来的建设成果，展现了数字福建蓬勃发展的朝气.某企业计划从信息基础设施领域的幅作品和文化领域的幅作品中随机选取若干幅作品参赛，若选取幅作品，全是文化领域的概率为. (1)求的值； (2)若选取幅作品，假设选取的文化领域的作品个数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，． 【分析】（1）用表示“全是文化领域”的概率，利用概率为求得的值； （2）利用超几何分布求得分布列，得到数学期望. 【详解】（1）共有幅作品，抽取幅作品有种方法，其中全是文化领域的有种方法， 因此全是文化领域的概率为，从而解得. （2）的可能取值为 ，， ，， 则随机变量的分布列为 则的数学期望. ( 题型 0606 0 5 )二项分布 18．（23-24高二下·福建三明·期中）在图1杨辉三角和图2高尔顿板模型中，在一块木板上钉着若干排相互平行且相互错开的圆柱形钉子，钉子之间留有空隙作为通道，让一个小球从高尔顿板上方的入口落下，小球在下落的过程中与钉子碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉到下方的某一球槽内，如图，小球从高尔顿板第1行的第一个缝隙落下的概率是，第二个缝隙落下的概率是；从第2行第一个缝隙落下的概率是，第二个缝隙落下的概率，第三个缝隙落下的概率是，小球从第行第个缝隙落下的概率可以由杨辉三角快速算出，那么小球从第6行某个缝隙落下的概率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用次独立重复试验中事件恰好发生次的概率公式，计算取各个值的概率即可判断作答． 【详解】小球落下要经过6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为， 小球从第6行第个缝隙落下，则6次碰撞有次向右， 则小球从第6行第个缝隙落下的概率为， 于是得， ， ，， 所以A、B、D不可能，C可能． 故选：C． 19．（23-24高二下·福建莆田·期中）某学校工会组织趣味投篮比赛，每名选手只能在下列两种比赛方式中选择一种. 方式一：选手投篮3次，每次投中可得1分，未投中不得分，累计得分； 方式二：选手最多投3次.如第1次投中可进行第2次投篮，如第2次投中可进行第3次投篮.如某次未投中，则投篮中止.每投中1次可得2分，未投中不得分，累计得分； 若甲乙两位老师参加比赛，已知甲选择方式一参加比赛，乙选择方式二参加比赛. 假设甲，乙每次投中的概率均为，且每次投篮相互独立. (1)求甲得分不低于2分的概率； (2)求乙得分的分布列及期望； (3)求甲胜出的概率. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，； (3) 【分析】（1）利用二项分布的概率公式计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可； （3）根据甲乙得分情况及独立事件概率的乘法公式计算即可. 【详解】（1）设甲选择方式一参加比赛得分为， ，， 设甲得分不低于2分为事件A，则； （2）设乙选择方式二参加比赛得分为Y，Y的可能取值为0，2，4，6， ，， ，， 所以Y的分布列为： Y 0 2 4 6 P 所以； （3）甲获胜的概率为， 20．（23-24高二下·福建福州市八县协作校·期中）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. (1)求的值; (2)以频率估计概率，完成下列问题. (i)若从所有花卉中随机抽株，记高度在内的株数为，求 的分布列及数学期望； (ii)若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率. 【答案】(1) (2)(i)分布列见解析，；(ii) 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，解得即可； （2）(i)依题意可得，根据二项分布的概率公式求出分布列与数学期望；(ii)利用条件概率的概率公式计算可得. 【详解】（1）依题意可得，解得； （2）(i)由（1）可得高度在的频率为， 所以， 所以，， ，， ， 所以的分布列为： 所以； (ii)在欧阳花卉中随机抽取株，记至少有株高度在为事件， 至多株高度低于为事件， 则， ， 所以. ( 题型0 5 )正态分布 21．（23-24高二下·福建福州·期中）已知随机变量服从正态分布，，则 . 【答案】0.2 / 【分析】由正态分布曲线的对称性即可列式求解． 【详解】因为，则， ∴. 故答案为：0.2 22．（23-24高二下·福建三明·期中）红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温X服从正态分布，若的值在内的概率约为，则n的值约为（    ） （参考数据：若，则）. A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题意，结合，得到，进而利用正态分布的性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为体温X服从正态分布， 所以， 因为的值在内的概率约为，且， 则， 所以， 则，解得， 所以，解得， 故选：D. 23．（23-24高二下·福建福州·期中）某企业生产一种零部件，其质量指标介于(49.4，50.6)的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为 ．(若，则，) 【答案】 【分析】根据题意利用正态分布性质分别计算出技术改造前后的优品率，可得结果. 【详解】技术改造前，易知， 则其优品率为； 技术改造后，其中， 则其优品率为； 所以优品率之差为. 故答案为： 24．（23-24高二下·福建三明市第一中学·期中）已知随机变量X，Y分别满足，，且均值，方差，则 . 【答案】/0.2 【分析】由二项分布和正态分布的期望、方差公式建立方程，求解即可. 【详解】解：因为随机变量X，Y分别满足，， 所以，， 解得， 故答案为：. 一、单选题 1．（23-24高二下·福建南平·期中）已知随机变量，且，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】C 【分析】根据题意结合正态分布的对称性分析求解. 【详解】因为，则，且， 又因为，所以. 故选：C. 2．（23-24高二下·福建厦门·期中）现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法不正确的是（    ） A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是 B．第二次取到1号球的概率 C．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大 D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种 【答案】B 【分析】对于A选项利用条件概率公式求解；对于B选项利用全概率公式求解，对于C选项利用贝叶斯公式求解，对于D选项，不同元素的分配问题，先分类再分配即可求解. 【详解】对于A选项，记事件分别表示第一次、第二次取到号球, ， 则第一次抽到号球的条件下，第二次抽到号球的概率，故A正确； 对于B选项，记事件分别表示第一次、第二次取到号球, , 依题意 两两互斥, 其和为, 并且， ， ， ， 应用全概率公式, 有， 故B错误； 对于C选项，依题设知, 第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上的号数相同, 则， ， ， 故在第二次取到1号球的条件下, 它取自编号为的口袋的概率最大，故C正确； 对于D选项，先将5个不同的小球分成1，1，3或2，2，1三份， 再放入三个不同的口袋， 则不同的分配方法有，故D正确. 故选：B. 3．（23-24高二下·福建厦门·期中）已知随机变量的分布列如下： 2 3 6 则的值为（    ） A．20 B．18 C．8 D．6 【答案】B 【分析】根据概率之和等于1求得，再根据期望公式和方差公式求出期望与方差，再根据方差的性质即可得解. 【详解】根据分布列可知，解得， ， ， 所以. 故选：B. 4．（23-24高二下·福建福州·期中）随机变量的分布列如下： 1 2 若，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据分布列概率之和为1以及期望值列方程组，解方程组求得a、b的值，进而求得方差. 【详解】由题意可知，， 所以. 故选：B 二、多选题 5．（23-24高二下·福建福州·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对ABD选项根据条件概率公式求解；对C选项根据求解. 【详解】因为，所以，A正确； 因为，，所以，B错误； 因此，，C正确； 从而．D正确． 故选：ACD 6．（23-24高二下·福建福州·期中）已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若，且，，则 B．若，且，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BCD 【分析】，，得到A选项；，得到B选项；由条件概率公式得到C、D选项. 【详解】选项A：因为，所以，选项A不正确； 选项B：若，则A，B互斥，由，， 得，选项B正确； 选项C：由，即,事件A，B相互独立，所以事件，也相互独立， 所以， 则，选项C正确； 选项D：由，， 得，，， 所以， 解得，选项D正确. 故选：BCD. 7．（23-24高二下·福建福州·期中）下列说法中正确的是（    ） A．“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的必要不充分条件 B．已知随机变量的方差为，则 C．已知随机变量服从二项分布，则 D．已知随机变量服从正态分布且，则 【答案】AD 【分析】根据互斥事件和对立事件的关系可判断A，利用方差的性质可判断B，利用二项分布的期望公式可判断C，结合正态曲线的对称性可判断D. 【详解】对于A:“与是互斥事件”不能推出“与互为对立事件”，“与互为对立事件”能推出“与是互斥事件”，故“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的必要不充分条件，故A正确； 对于B：随机变量的方差为，则，故B错误； 对于C：随机变量服从二项分布，则，故C错误； 对于D：因为随机变量服从正态分布且，根据对称性可知，， 所以，故D正确． 故选：AD． 三、解答题 8．（23-24高二下·福建泉州·期中）某区教育局为了了解高三学生在疫情期间网上的学习情况，在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了名学生进行了问卷调查为了方便表述，把日学习时间在分钟内的学生称为类；把日学习时间在分钟内的学生称为类；把日学习时间在分钟内的学生称为类随机调查的这名学生的日学习时间人数的频率分布直方图如图所示． (1)在这名学生中，、、三类学生分别有多少人？ (2)在、、三类学生中，用分层抽样的方法从这名学生中随机抽取人，并在这人中任意邀请人进行电话访谈，求在被邀请的人中类学生人数的分布列和数学期望． (3)某校高三班有名学生，某天语文和数学老师计划分别在：：和：：在线上与学生交流学习问题，由于受校园网络平台的限制，每次即这两个时间段中的每个时间段都只能容纳个学生登录进行在线学习交流，假设这两个时间段高三班的全部名学生都会积极登录参加学习交流，设是在语文和数学学习交流中至少有一次登录成功的人数，问：当为多少时，其概率最大？ 【答案】(1)20人，50人，30人； (2)分布列见解析，期望为； (3)42 【分析】（1）根据频率分布直方图即可求出结果. （2）根据分层抽样可知从类中抽2人，类中抽5人，类中抽3人，再根据超几何分布列出分布列，求出期望. （3）学生随机独立参加语文或数学在线辅导所包含的基本事件总数为，事件所包含的基本事件的总数为，由最大，列出不等式组，即可求出结果. 【详解】（1）类学生有：人， 类学生有：人， 类学生有：人. （2）由（1）知，类中抽人，类中抽人，类中抽人， 设邀请的三人中是类的学生人数为，则可取0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望. （3）学生随机独立参加语文或数学在线辅导所包含的基本事件总数为， 当时，只参加语文辅导的人数为，只参加数学辅导的人数为， 语文和数学都参加辅导的人数为， 事件所包含的基本事件的总数为， 则，若最大，即有， 因此， 而，则，所以当时，其概率最大. 9．（23-24高二下·福建泉州·期中）某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客．为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调查，据统计，有的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024年的“清明文化节”，只参加“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分．假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率． (1)从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的分布列； (2)2024年的“清明文化节”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务．已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为，如此往复． （i）求甲第二天选择“单车自由行”的概率； （ii）求甲第n（n＝1，2，…，16）天选择“单车自由行”的概率Pn，并帮甲确定在2024年“清明文化节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数． 【答案】(1)分布列见解析 (2)（i）；（ii），2天 【分析】（1）随机抽取三人，用随机变量X表示三人合计得分，则X可能的取值为3，4，5，6，再分别计算概率即可得分布列； （2）（i）分别分析前后两天选择的情况，再分情况求概率即可； （ii）设甲第n（n＝1，2，…，16）天选择“单车自由行”的概率Pn，再根据题意得出递推公式，进而可得通项公式，再根据题意可得，代入通项公式分析即可. 【详解】（1）由题意，每位游客得1分的概率为，得2分的概率为， 随机抽取三人，用随机变量X表示三人合计得分，则X可能的取值为3，4，5，6， ，， ，， 所以X的分布列为： X 3 4 5 6 P （2）第一天选择“单车自由行”的概率为，则第一天选择“观光电车行”的概率为， 若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为， 若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为， 则后一天选择“单车自由行”的概率为， （i）甲第二天选择“单车自由行”的概率． （ii）甲第n（n＝1，2，…，16）天选择“单车自由行”的概率Pn，有， ，， 又， ∴数列是以为首项，以公比的等比数列， ， 由题意知，，即，， 即， 显然n必为奇数，当n＝1，3，5，…，15时，有即可， n＝1时，成立；n＝3时，成立； n＝5时，，则n＝5时，不成立， n＞5时，不成立． 综上，16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数只有2天． 10．（23-24高二下·福建龙岩·期中）已知福建某地生产的桂圆干是按包销售的，每包桂圆干的质量M（单位：g）服从正态分布，. (1)求； (2)若从该地生产的桂圆干中随机选取3包，记质量在247g～253g内的包数为X，求及. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）根据给定条件，利用正态分布的对称性求出概率. （2）由（1）的结论及二项分布求出概率及方差. 【详解】（1）因为M服从正态分布，且，， 则，所以. （2）依题意，， 所以，. 11．（23-24高二下·福建福州·期中）现有4张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列． (1)将余下4个半张随机翻开两张，然后将桌上4个半张再随机翻开两张，求这四个半张扑克上的数字恰好有2个相同的概率； (2)将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个数记为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用组合知识结合古典概型计算概率即可； （2）利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可. 【详解】（1）由题意可知总情况有种， 而翻开的四个半张扑克恰有2张相同的可能情况有， 所以这四个半张扑克上的数字恰好有2个相同的概率为； （2）由题意可知的可能取值有， 则， ， 所以的分布列为： 0 1 2 4 P 则. 12．（23-24高二下·福建三明·期中）医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，则需要检验次； 方式二：混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验． 若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为． (1)现有4份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率． (2)现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次为． （i）若，试求关于的函数关系式； （ii）若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值． 参考数据：，，． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）结合题意，由排列组合知识及概率公式即可得解； （2）先由已知条件求得关于的函数关系式，再利用导数研究函数的单调性，再结合函数性质即可得解． 【详解】（1）设恰好经过次检验能把阳性样本全部检验出来为事件，则， 所以，恰好经过次检验就能把阳性样本全部检验出来概率为． （2）（i）由已知得，的所有可能取值为、， ，， ， 由，得，化简得； （ii）由题意知，则， ，即， ， 构造函数，则， 当时，，此时函数单调递增； 当时，，此时函数单调递减， ，，，， 所以的最大值为. 13．（23-24高二下·福建三明·期中）学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望； (3)若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)13个工时 【分析】（1）根据条件概率公式，结合组合的定义、古典概型公式进行求解即可； （2）根据超几何分布的概率公式，结合数学期望公式进行求解即可； （3）根据数学期望公式和性质进行求解即可. 【详解】（1）设“有女生参加活动”为事件A，”恰有一名女生参加活动“为事件. 则， 所以. （2）依题意知服从超几何分布，且， ， 所以的分布列为： 0 1 2 ； （3）设一名女生参加活动可获得工时数为，一名男生参加活动可获得工时数为， 则的所有可能取值为，的所有可能取值为， ，， ，， 有名女生参加活动，则男生有名参加活动.， 所以. 即两人工时之和的期望为13个工时. 14．（23-24高二下·福建福州·期中）为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值． (1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）； ①；②；③． 评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级． (2)将直径小于或等于或直径大于的零件认为是次品． ①从设备的生产流水线上随意抽取2个零件，计算其中次品个数的数学期望； ②从样本中随意抽取2个零件，计算其中次品个数的分布列．（答案用分数表示，要画表格） 【答案】(1)性能等级为丙 (2)① ；②分布列见解析 【分析】(1)根据原则，分别求得其对应的概率，进而判断出M的性能级别． (2)通过题意可知，样本中共有6件次品，可知M生产的次品率为0.06．通过二项分布的概率分布即可求得次品的数学期望． 【详解】（1）， 所以由图表知： ， 因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙． （2）样本中次品共6件，可估计设备生产零件的次品率为0.06， 直径小于或等于的零件有2件，大于的零件有4件，共计6件 ①从设备M的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为， 依题意得，； ②由题意可知服从超几何分布，的可能值为：， ，， 所以Z的分布列为： 0 1 2 15．（23-24高二下·福建·期中）某商场周年庆进行大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏，游戏规则如下：在一个盒子里放着六枚硬币，其中有三枚正常的硬币，一面印着字，一面印着花；另外三枚硬币是特制的，有两枚双面都印着字，一枚双面都印着花，规定印着字的面为正面，印着花的面为反面．游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一枚硬币并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是正面，则进入最终挑战，否则游戏结束．最终挑战的方式是进行第三次投掷，有两个方案可供选择：方案一：继续投掷之前抽取的那枚硬币；方案二，不使用之前抽取的硬币，从盒子里剩余的五枚硬币中随机抽取一枚投掷．不管选择方案一还是方案二，如果掷出正面向上，则获奖 (1)求第一次投掷后，向上的面为正面的概率； (2)若已知某顾客进入了最终挑战，求他抽到的硬币是正常硬币的概率； (3)在已知某顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获奖的概率，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适． 【答案】(1) (2) (3)选择方案一的概率为，选择方案二的概率为，选择方案一获奖概率更高更合适. 【分析】（1）根据全概率公式，即可求解； （2）利用全概率公式和条件概率公式，即可求解； （3）根据两种不同的方案，结合题意，求出不同的概率，比较后即可判断. 【详解】（1）设第一次抽到正常硬币为事件，抽到双面都印着字的硬币为事件， 抽到双面都印着花的硬币为事件， 第一次投掷出正面向上为事件， 第二次投掷出正面向上为事件， 选择方案一进行第三次投掷并正面向上事件， 选择方案二进行第三次投掷并证明向上为事件， 由全概率公式可得，， ， （2）由题意知：连续两次都是正面的概率为： ， 所以， 所以； （3）若选择方案一，设第三次投掷后最终获得的礼券为元， 第三次投掷出正面向上为事件， 则 ， ，， 如选择方案二，设第三次投掷后最终获得礼券为元， 第三次投掷出正面向上为事件， ①如果第一次抽到的是正常硬币，设第二次抽到正常硬币为事件， 第二次抽到两面都是字的硬币为事件，第二次抽到两面都是花的硬币为事件， 则 ； ②如果第一次抽到的两面都是字的硬币，设第二次抽到正常硬币为事件， 第二次抽到两面都是字的硬币为事件，第二次抽到两面都是花的硬币为事件， 则 ； 所以，， ， 综上（一）（二）可得，，所以选择方案一的获奖概率更高更适合. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，并正确使用条件概率公式和全概率公式，求解概率. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$