5.3.1 第2课时等比数列的性质(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 易错警示 　 　 忽略等比数列中所有项均不为零致错 ４．已知等比数列｛ａｎ｝中的前三项为ａ，２ａ ＋ ２，３ａ ＋３，则实数ａ的值为　 － ４． ［错解］　 因为２ａ ＋ ２为等比中项，所以（２ａ ＋２）２ ＝ ａ（３ａ ＋３），整理得ａ２ ＋ ５ａ ＋ ４ ＝ ０，解得ａ ＝ －１或ａ ＝ －４． 答案为ａ ＝ －１或－４． ［误区警示］　 因为等比数列中各项均不为 零，所以解题时一定要注意将所求结果代入题中 验证，若所求结果使数列中的某些项为零，则该结 果不合题意，要舍去． 　 　 ［正解                                   ］ 6789%:;< １．已知等比数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＋ ａ２ ＝ ３，ａ２ ＋ ａ３ ＝ ６， 则ａ７等于 （Ａ ） Ａ． ６４　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ８１ Ｃ． １２８ Ｄ． ２４３ ２．在等比数列｛ａｎ｝中，ａ３ ＋ ａ４ ＝ ４，ａ２ ＝ ２，则公比ｑ 等于 （Ｂ ） Ａ． －２ Ｂ． １或－２ Ｃ． １ Ｄ． １或２ ３．给出下列命题：①若ａ－ ｂ ＝ － ｂ ｃ ，则－ ａ，ｂ，－ ｃ成 等比数列（ａｂｃ≠０）；②若ｂ２ ＝ ａｃ，则ａ，ｂ，ｃ成等 比数列；③若ａｎ ＋ １ ＝ ａｎｑ（ｑ为常数），则｛ａｎ｝是 等比数列．其中正确的命题有 （Ｂ ） Ａ． ０个 Ｂ． １个 Ｃ． ２个 Ｄ． ３个 ４．等比数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ ９８，ａｎ ＝ １ ３，公比ｑ ＝ ２ ３，则ｎ ＝ 　 　 　 ． ５．数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ － １，且ａｎ ＝３ａｎ － １ － ２ｎ ＋３（ｎ ∈Ｎ，且ｎ≥２）． （１）求ａ２，ａ３，并证明数列｛ａｎ － ｎ｝是等比数列； （２）求数列｛ａｎ｝的通项公式． 请同学们认真完成练案［７                       ］ 第２课时　 等比数列的性质 !"#$%&'( 课程目标 １．掌握等比数列的性质．（逻辑推理） ２．能利用等比数列的性质解决相关问题．（数学运算） ３．体会等比数列与指数函数的关系．（直观想象） 学法指导 要善于从指数函数的角度看待等比数列的性质和特征． ! ' ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # )*+,%-.+ 等比中项 　 　 如果在ａ与ｂ中间插入一个数Ｇ，使ａ，Ｇ，ｂ 成　 等比数列，那么Ｇ叫做ａ与ｂ的等比中项． 由等比中项的定义可知：Ｇａ ＝ ｂ ＧＧ ２ ＝ ａｂＧ ＝ 　 ±槡ａｂ． 反之，若Ｇ２ ＝ ａｂ（ａｂ≠０），则Ｇａ ＝ ｂ Ｇ，即　 ａ， Ｇ，ｂ成等比数列． 综上，ａ，Ｇ，ｂ成等比数列Ｇ２ ＝ ａｂ（ａｂ≠０）． 知识解读：１．在等比数列｛ａｎ｝中，任取相邻的 三项ａｎ － １，ａｎ，ａｎ ＋ １，则ａｎ 是ａｎ ＋ １与ａｎ － １的等比中 项．由此可得等比数列的第二种判定方法——等 比中项法，即判断ａｎ ＋ １ａｎ ＝ ａｎ ａｎ － １ （ｎ≥２）是否成立． ２．“ａ，Ｇ，ｂ成等比数列”与“Ｇ２ ＝ ａｂ”是不等价 的．前者可以推出后者，但后者不能推出前者．如 Ｇ ＝ ａ ＝０，ｂ ＝１，满足Ｇ２ ＝ ａｂ，而０，０，１不成等比数 列．因此“ａ，Ｇ，ｂ成等比数列”是“Ｇ２ ＝ ａｂ”的充分 不必要条件． 等比数列的项之间的关系 　 　 １．（１）两项关系 通项公式的推广： ａｎ ＝ ａｍ·　 ｑｎ － ｍ（ｍ，ｎ∈Ｎ）． （２）多项关系 项的运算性质 若ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑ（ｍ，ｎ，ｐ，ｑ∈Ｎ）， 则ａｍ·ａｎ ＝ 　 ａｐ·ａｑ ． 特别地，若ｍ ＋ ｎ ＝２ｐ（ｍ，ｎ，ｐ∈Ｎ）， 则ａｍ·ａｎ ＝ 　 ａ２ｐ ． ２．等比数列的项的对称性 有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项 之积等于首末两项的积（若有中间项则等于中间项 的平方），即ａ１·ａｎ ＝ ａ２·　 ａｎ －１ ＝ ａｋ·　 ａｎ － ｋ ＋１ ＝ ａ２ｎ ＋１ ２ （ｎ为正奇数）． ３．等比数列的运算数列的性质 （１）若｛ａｎ｝是公比为ｑ的等比数列，则 ①｛ｃ·ａｎ｝（ｃ是非零常数）是公比为　 　 　 的等比数列； ②｛｜ ａｎ ｜｝是公比为　 　 　 　 的等比数列． （２）若｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝分别是公比为ｑ１，ｑ２的等比数 列，则数列｛ａｎ·ｂｎ｝是公比为　 ｑ１·ｑ２的等比数列． 等比数列的单调性 　 　 已知等比数列｛ａｎ｝的首项为ａ１，公比为ｑ，则 （１）当ａ１ ＞ ０， ｑ{ ＞１ 或　 　 　 　 时，等比数列｛ａｎ｝ 为递增数列； （２）当ａ１ ＞ ０， ０ ＜ ｑ{ ＜１或　 　 　 　 时，等比数列 ｛ａｎ｝为递减数列； （３）当ｑ ＝ １时，等比数列｛ａｎ｝为　 常数列 （这个常数列中各项均不等于０）； （４）当ｑ ＜０时，等比数列｛ａｎ｝为摆动数列（它所 有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项 与偶数项异号）． 　 　 知识解读：等比数列与指数函数的关系 　 　 等比数列｛ａｎ｝的通项公式ａｎ ＝ ａ１ｑｎ － １，还可 以整理为ａｎ ＝ ａ１ｑ·ｑ ｎ，当ｑ ＞ ０且ｑ≠１时，等比数 列｛ａｎ｝的第ｎ项ａｎ 是指数函数ｆ（ｘ）＝ ａ１ｑ·ｑ ｘ（ｘ ∈Ｒ）当ｘ ＝ ｎ时的函数值，即ａｎ ＝ ｆ（ｎ）（如图所 示）．因此等比数列｛ａｎ｝的图像是函数ｆ（ｘ）＝ ａ１ｑ· ｑｘ（ｘ∈Ｒ）图像上的一些孤立的点．                                                                    !#( # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # /012%345 题型探究 题型一 等比中项的应用 １．（１）若三个实数ａ，ｂ，ｃ成等比数列，其中 ａ ＝３ －槡５，ｃ ＝３ ＋槡５，则ｂ ＝ （Ｃ ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 Ａ． ２ Ｂ． －２ Ｃ． ±２ Ｄ． ４ （２）设等差数列｛ａｎ｝的公差ｄ不为０，ａ１ ＝ ９ｄ，若ａｋ是ａ１与ａ２ｋ的等比中项，则ｋ等于（Ｂ ） Ａ． ２ Ｂ． ４ Ｃ． ６ Ｄ． ８ 对点训练? （１）等差数列｛ａｎ｝的公差不 为零，首项ａ１ ＝ １，ａ２是ａ１和ａ５的等比中项，则数 列｛ａｎ｝的前１０项之和是 （Ｂ ） Ａ ９０ Ｂ １００ Ｃ １４５ Ｄ １９０ （２）互不相等的实数ａ，ｂ，ｃ成等差数列，ｃ，ａ， ｂ成等比数列，且ａ ＋３ｂ ＋ ｃ ＝１０，则ａ ＝ 　 － ４． 题型二 等比数列的单调性 ２．在等比数列｛ａｎ｝中，已知ａ１ ＞ ０，８ａ２ － ａ５ ＝ ０，则数列｛ａｎ｝为 （Ａ ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 Ａ．递增数列 Ｂ．递减数列 Ｃ．常数列 Ｄ．无法确定单调性 　 　 ［规律方法］　 由等比数列的通项公式可知， 公比影响数列各项的符号：一般地，ｑ ＞ ０时，等比 数列各项的符号相同；ｑ ＜ ０时，等比数列各项的 符号正负交替． 对点训练? （２０２４·山东潍坊期中）在等 比数列｛ａｎ｝中，如果公比为ｑ，且ｑ ＜１，那么等比数列 ｛ａｎ｝是 （Ｄ ） Ａ．递增数列 Ｂ．递减数列 Ｃ．常数列 Ｄ．无法确定单调性 题型三 等比数列性质的应用 ３．（１）（２０２３·乙卷（理））已知ａ{ }ｎ 为等比数 列，ａ２ａ４ａ５ ＝ ａ３ａ６，ａ９ａ１０ ＝ － ８，则ａ７ ＝ 　 　 － ２　 ． （２）（２０２４·江西省六校联考）已知等比数列 ｛ａｎ｝满足ａｎ ＞ ０，ｎ ＝ １，２，…，且ａ５·ａ２ｎ － ５ ＝ ２２ｎ（ｎ ≥３），则当ｎ≥１时，ｌｏｇ２ａ１ ＋ ｌｏｇ２ａ３ ＋…＋ ｌｏｇ２ａ２ｎ － １ ＝ （Ｃ ） Ａ． ｎ（２ｎ －１） Ｂ．（ｎ ＋１）２ Ｃ． ｎ２ Ｄ．（ｎ －１）２ ［分析］　 观察已知条件与所求式子的特征→ 利用等比数列 的性质求解 ［规律方法］　 （１）若｛ａｎ｝是等比数列，ｍ，ｎ， ｐ，ｎ，ｑ∈Ｎ ＋，且ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑ，则ａｍ·ａｎ ＝ ａｐ·ａｑ ． （２）若｛ａｎ｝是等比数列，ｍ，ｎ，ｋ∈Ｎ ＋，且ｍ ＋ ｎ ＝２ｋ，则ａｍ·ａｎ ＝ ａ２ｋ ． 对点训练? （１）在等比数列｛ａｎ｝中，已 知ａ７ａ１２ ＝ ５，则ａ８ａ９ａ１０ａ１１ ＝ 　 　 　 　 ； （２）数列｛ａｎ｝为等比数列，且ａ１ａ９ ＝ ６４，ａ３ ＋ ａ７ ＝ ２０，则ａ１１ ＝ 　 　 　 　 ； （３）若等比数列｛ａｎ｝的各项均为正数，且 ａ１０ａ１１ ＋ ａ９ａ１２ ＝ ２ｅ ５，则ｌｎ ａ１ ＋ ｌｎ ａ２ ＋…＋ ｌｎ ａ２０ ＝ 　 　 　 　 ． 题型四 等比数列与等差数列的综合应用 ４．已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中 间两数之积为１６，首尾两个数之积为－１２８，求这四个 数． ［分析］　 求四个数，给出四个条件，若列四 个方程组成方程组虽可解，但较麻烦，因此可依据 条件减少未知数的个数．设未知数时，可以根据前 三个数成等差来设，也可以依据后三个数成等比 来设，还可以依据中间（或首尾）两数之积来设， 关键是要把握住未知量要尽量少，下一步运算要 简捷． 　 　 ［尝试作答                                                                             ］ ! ) ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 　 　 ［点评］　 （１）根据四个数中前３个成等差、 后三个成等比列方程时，可以据后三个成等比用 ａ，ｑ表示四个数，也可以据前三个成等差，用ａ，ｄ 表示四个数，由于中间两数之积为１６，将中间两 个数设为ａｑ，ａｑ这样既可使未知量减少，同时解方 程也较为方便． （２）注意到中间两数的特殊地位，可设第三 个数为ｘ，则第二个数为１６ｘ，则第一个数为 ３２ ｘ － ｘ， 最后一个数为ｘ ３ １６，再利用首尾两数之积为－ １２８ 可列出关于ｘ的方程ｘ ３ １６· ３２ ｘ －( )ｘ ＝ － １２８，解之 得ｘ ＝ ±８，则更简捷． ［规律方法］　 等比数列中的设项方法与技巧 （１）若三个数成等比数列，可设三个数为ａ， ａｑ，ａｑ２或ａｑ，ａ，ａｑ． （２）若四个数成等比数列，可设为ａ，ａｑ，ａｑ２， ａｑ３；若四个数均为正（负）数，可设ａ ｑ３ ，ａｑ，ａｑ，ａｑ ３ ． 对点训练? （１）有四个数成等比数列， 将这四个数分别减去１，１，４，１３，则成等差数列，则 这四个数为　 　 　 　 　 ． （２）三个互不相等的数成等差数列，如果适 当排列三个数，又可成为等比数列，这三个数的和 为６，则这三个数为　 　 　 　 ． 易错警示 　 　 忽略等比数列中的项的符号致错 ５．在等比数列｛ａｎ｝中，ａ３ａ４ａ６ａ７ ＝ ８１，则ａ１ａ９ 的值为 （Ａ ） Ａ． ９ Ｂ． －９ Ｃ． ±９ Ｄ． １８ ［错解］　 ∵ ａ３ａ７ ＝ ａ４ａ６ ＝ ａ１ａ９， ∴ （ａ１ａ９）２ ＝ ８１，∴ ａ１ａ９ ＝ ± ９，故选Ｃ． ［误区警示］　 本题易忽略在等比数列中，奇 数项（或偶数项）符号相同这一条件，而得到ａ１ａ９ ＝ ± ９． 　 　 ［正解                                                      ］ 6789%:;< １．已知｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝都是等比数列，那么 （Ｃ ） Ａ．｛ａｎ ＋ ｂｎ｝，｛ａｎ·ｂｎ｝都一定是等比数列 Ｂ．｛ａｎ ＋ ｂｎ｝一定是等比数列，但｛ａｎ·ｂｎ｝不一 定是等比数列 Ｃ．｛ａｎ ＋ ｂｎ｝不一定是等比数列，但｛ａｎ·ｂｎ｝一 定是等比数列 Ｄ．｛ａｎ ＋ ｂｎ｝，｛ａｎ·ｂｎ｝都不一定是等比数列 ２．在等比数列｛ａｎ｝中，ａｎ ＜ ａｎ ＋ １，且ａ２ａ１１ ＝ ６，ａ４ ＋ ａ９ ＝ ５，则ａ６ａ１１等于 （Ｂ ） Ａ． ６　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ２３ Ｃ． － １６ Ｄ． ３ ２ ３．已知｛ａｎ｝是等比数列，且ａｎ ＞ ０，ａ２ａ４ ＋ ２ａ３ａ５ ＋ ａ４ａ６ ＝ ２５，那么ａ３ ＋ ａ５ ＝ （Ａ ） Ａ ５ Ｂ １０ Ｃ １５ Ｄ ２０ ４．已知等比数列｛ａｎ｝中，ａ４ ＝ ７，ａ６ ＝ ２１，则ａ１２ ＝ 　 ５６７． ５．已知三个数成等比数列，它们的积为２７，它们的 平方和为９１，求这三个数． 请同学们认真完成练案［８                       ］ !#* ∴ ｑ ＝ ２，或ｑ ＝ １２ ．当ｑ ＝ ２时，ａ１ ＝ １，ａｎ ＝ ２ ｎ － １；当ｑ ＝ １２时， ａ１ ＝ ４，ａｎ ＝ ２３ － ｎ ． 解法二：∵ ａ１ａ３ ＝ ａ２２，∴ ａ１ａ２ａ３ ＝ ａ３２ ＝ ８，∴ ａ２ ＝ ２． 从而ａ１ ＋ ａ３ ＝ ５， ａ１ａ３ ＝ ４{ ， 解之得ａ１ ＝ １，ａ３ ＝ ４，或ａ１ ＝ ４，ａ３ ＝ １，当 ａ１ ＝ １时，ｑ ＝ ２；当ａ１ ＝ ４时，ｑ ＝ １２ ．故ａｎ ＝ ２ ｎ － １，或ａｎ ＝ ２３ － ｎ ． 　 　 例３：（１）证明：∵ ａｎ ＋１ ＝２ａｎ ＋１，∴ ａｎ ＋１ ＋１ ＝２（ａｎ ＋１），即ｂｎ ＋１ ＝２ｂｎ， ∵ ｂ１ ＝ ａ１ ＋ １ ＝ ２≠０． ∴ ｂｎ≠０，∴ ｂｎ ＋ １ｂｎ ＝ ２，∴ ｛ｂｎ｝是等比 数列． （２）由（１）知｛ｂｎ｝是首项ｂ１ ＝ ２，公比为２的等比数列， ∴ ｂｎ ＝ ２ × ２ ｎ － １ ＝ ２ｎ，即ａｎ ＋ １ ＝ ２ｎ，∴ ａｎ ＝ ２ｎ － １． 　 　 对点训练３：（１）由Ｓ１ ＝ １３ （ａ１ － １）， 得ａ１ ＝ １３ （ａ１ － １），所以ａ１ ＝ － １ ２ ， 又Ｓ２ ＝ １３ （ａ２ － １）， 即ａ１ ＋ ａ２ ＝ １３ （ａ２ － １），得ａ２ ＝ １ ４ ． （２）当ｎ≥２时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ １３ （ａｎ － １）－ １ ３ （ａｎ － １ － １）， 得ａｎａｎ － １ ＝ － １ ２ ，又ａ１ ＝ － １ ２ ， 所以｛ａｎ｝是首项为－ １２ ，公比为－ １ ２的等比数列． 　 　 例４：－ ４　 同上解， 但当ａ ＝ － １时，第二、三项均为零， 故ａ ＝ － １应舍去， 综上，ａ ＝ － ４． 课堂检测·固双基 １． Ａ　 设等比数列的公比为ｑ， ∵ ａ１ ＋ ａ２ ＝ ３，ａ２ ＋ ａ３ ＝ ｑ（ａ１ ＋ ａ２）＝ ６，∴ ｑ ＝ ２． 又ａ１ ＋ ａ２ ＝ ａ１ ＋ ａ１ｑ ＝ ３，∴ ３ａ１ ＝ ３． ∴ ａ１ ＝ １， ∴ ａ７ ＝ ２ ６ ＝ ６４． ２． Ｂ　 ∵在等比数列｛ａｎ｝中，ａ３ ＋ ａ４ ＝ ４，ａ２ ＝ ２，∴ ａ３ ＋ ａ４ ＝ ａ２ｑ ＋ ａ２ｑ ２ ＝ ２ｑ ＋ ２ｑ２ ＝ ４，即ｑ２ ＋ ｑ － ２ ＝ ０．解得ｑ ＝ １或ｑ ＝ － ２．故 选Ｂ． ３． Ｂ 　 ①显然正确；②中当ａｂｃ ＝ ０时不成立；③中当ｑ ＝ ０时不 成立．故选Ｂ． ４． ４　 由ａｎ ＝ ａ１ｑｎ － １，得１３ ＝ ９ ８ × ( )２３ ｎ － １ ，即( )２３ ｎ － １ ＝ ８２７，故 ｎ ＝ ４． ５．（１）∵ ａ１ ＝ － １，ａｎ ＝ ３ａｎ － １ － ２ｎ ＋ ３， ∴ ａ２ ＝ ３ａ１ － ２ × ２ ＋ ３ ＝ － ４，∴ ａ３ ＝ ３ａ２ － ２ × ３ ＋ ３ ＝ － １５． ａｎ ＋１ －（ｎ ＋１） ａｎ －ｎ ＝ ３ａｎ －２（ｎ ＋１）＋３ －（ｎ ＋１） ａｎ －ｎ ＝ ３ａｎ － ３ｎ ａｎ － ｎ ＝ ３（ｎ ＝ １，２，３，…）． 又ａ１ － １ ＝ － ２，∴ ｛ａｎ － ｎ｝是以－ ２为首项，以３为公比的等 比数列． （２）由（１）知ａｎ － ｎ ＝ － ２·３ｎ － １， 故ａｎ ＝ ｎ － ２·３ｎ － １ ． 第２课时　 等比数列的性质 必备知识·探新知 　 　 知识点１　 等比数列　 ±槡ａｂ　 ａ，Ｇ，ｂ 　 　 知识点２　 １．（１）ｑｎ － ｍ 　 （２）ａｐ·ａｑ 　 ａ２ｐ 　 ２． ａｎ － １ 　 ａｎ － ｋ ＋ １ 　 ３．（１）ｑ　 ｜ ｑ ｜ 　 （２）ｑ１·ｑ２ 　 　 知识点３　 （１） ａ１ ＜ ０， ０ ＜ ｑ{ ＜ １　 （２） ａ１ ＜ ０，ｑ{ ＞ １ 　 （３）常数列 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）Ｃ　 三个实数ａ，ｂ，ｃ成等比数列，则ｂ２ ＝ ａｃ ＝（３ － 槡５）（ 槡３ ＋ ５）＝ ９ － ５ ＝ ４，则ｂ ＝ ± ２． （２）Ｂ　 因为ａｎ ＝（ｎ ＋ ８）ｄ，又因为ａ２ｋ ＝ ａ１·ａ２ｋ， 所以［（ｋ ＋ ８）ｄ］２ ＝ ９ｄ·（２ｋ ＋ ８）ｄ， 解得ｋ ＝ － ２（舍去）或ｋ ＝ ４． 　 　 对点训练１：（１）Ｂ　 设公差为ｄ，由题意得ａ２２ ＝ ａ１·ａ５， ∵ ａ１ ＝ １，∴ （１ ＋ ｄ）２ ＝ １ ＋ ４ｄ，∴ ｄ２ － ２ｄ ＝ ０，∵ ｄ≠０， ∴ ｄ ＝ ２， ∴ Ｓ１０ ＝ １０ × １ ＋ １０ × ９ ２ × ２ ＝ １００，故选Ｂ． （２）－ ４　 由题意知２ｂ ＝ ａ ＋ ｃ， ａ２ ＝ ｂｃ{ ， 消去ａ得４ｂ２ － ５ｂｃ ＋ ｃ２ ＝ ０， 因为ｂ≠ｃ，所以ｃ ＝ ４ｂ，所以ａ ＝ － ２ｂ， 代入ａ ＋ ３ｂ ＋ ｃ ＝ １０中解得ｂ ＝ ２，所以ａ ＝ － ４． 　 　 例２：Ａ　 由８ａ２ － ａ５ ＝ ０，可知ａ５ａ２ ＝ ｑ ３ ＝ ８，解得ｑ ＝ ２． 又ａ１ ＞ ０，所以数列｛ａｎ｝为递增数列． 　 　 对点训练２：Ｄ　 如等比数列｛（－ １）ｎ｝的公比为－ １，为摆动 数列，不具有单调性；等比数列( )１２{ } ｎ 的公比为１２ ，是递减数 列；等比数列－ ( )１２{ } ｎ 的公比为１２ ，是递增数列． 　 　 例３：（１）－ ２　 ∵等比数列ａ{ }ｎ ， ∴ ａ２ａ４ａ５ ＝ ａ２ａ３ａ６ ＝ ａ３ａ６，解得ａ２ ＝ １， 而ａ９ａ１０ ＝ ａ２ｑ７ａ２ｑ８ ＝（ａ２）２ｑ１５ ＝ － ８，可得ｑ１５ ＝（ｑ５）３ ＝ － ８， 即ｑ５ ＝ － ２， ａ７ ＝ ａ２·ｑ５ ＝ １ ×（－ ２）＝ － ２． 故答案为－ ２． （２）Ｃ　 方法一：由ａ５·ａ２ｎ － ５ ＝ ２２ｎ得ａ１ｑ４·ａ１ｑ２ｎ － ６ ＝ ａ２１ｑ２ｎ － ２ ＝ ２２ｎ，所以（ａ１ｑｎ － １）２ ＝（２ｎ）２ ． 又ａｎ ＞ ０，所以ａ１ｑｎ － １ ＝ ２ｎ ． 故ｌｏｇ２ａ１ ＋ ｌｏｇ２ａ３ ＋…＋ ｌｏｇ２ａ２ｎ － １ ＝ ｌｏｇ２（ａ１·ａ３·…· ａ２ｎ － １） ＝ ｌｏｇ２（ａｎ１ ｑ２ ＋ ４ ＋…＋（２ｎ － ２））＝ ｌｏｇ２［ａｎ１ ｑｎ（ｎ － １）］ ＝ ｌｏｇ２（ａ１ｑｎ － １）ｎ ＝ ｌｏｇ２（２ｎ）ｎ ＝ ｎ２ ． 方法二：由等比中项的性质，得ａ５·ａ２ｎ － ５ ＝（ａｎ）２ ＝ ２２ｎ，注 意到ａｎ ＞ ０，所以ａｎ ＝ ２ｎ ． 利用特殊值法，如令ｎ ＝ ２，则ｌｏｇ２ａ１ ＋ ｌｏｇ２ａ３ ＝ ｌｏｇ２（２·２３） ＝ ｌｏｇ２２ ４ ＝ ４．只有Ｃ选项符合． 方法三：由等比中项的性质，得ａ５·ａ２ｎ － ５ ＝（ａｎ）２ ＝ ２２ｎ，注 意到ａｎ ＞ ０，所以ａｎ ＝ ２ｎ ． 于是ｌｏｇ２ａ１ ＋ ｌｏｇ２ａ３ ＋…＋ ｌｏｇ２ａ２ｎ － １ ＝ １ ＋ ３ ＋…＋（２ｎ － １） ＝ ｎ２ ． 方法四：ａ１·ａ２ｎ － １ ＝ ａ３·ａ２ｎ － ３ ＝ ａ５·ａ２ｎ － ５ ＝…＝（ａｎ）２ ＝ ２２ｎ，所以ｌｏｇ２ａ１ ＋ ｌｏｇ２ａ３ ＋…＋ ｌｏｇ２ａ２ｎ － １ ＝ ｌｏｇ２（ａ１ａ３…ａ２ｎ － １）＝ ｌｏｇ２［（ａ１ａ２ｎ － １）（ａ３ａ２ｎ － ３）…（ａ２ｎ － １ａ１）］ １ ２ ＝ ｌｏｇ２２ ｎ２ ＝ ｎ２                                                                       ． —１３３— 　 　 对点训练３：（１）２５　 解法一：∵ ａ７ａ１２ ＝ ａ８ａ１１ ＝ ａ９ａ１０ ＝ ５， ∴ ａ８ａ９ａ１０ａ１１ ＝ ５ ２ ＝ ２５． 解法二：由已知得ａ１ｑ６·ａ１ｑ１１ ＝ ａ２１ｑ１７ ＝ ５， ∴ ａ８ａ９ａ１０ａ１１ ＝ ａ１ｑ ７·ａ１ｑ８·ａ１ｑ９·ａ１ｑ１０ ＝ ａ１ ４·ｑ３４ ＝（ａ２１· ｑ１７）２ ＝ ２５． （２）１或６４　 ∵ ａ１ａ９ ＝ ａ３ａ７ ＝ ６４，∴ ａ３，ａ７ 是方程ｘ２ － ２０ｘ ＋ ６４ ＝ ０的两根． 解得ａ３ ＝ ４， ａ７ ＝ １６{ ，或 ａ３ ＝ １６， ａ７ ＝ ４{ ． ①若ａ３ ＝ ４，ａ７ ＝ １６，则由ａ７ ＝ ａ３ｑ４得，ｑ４ ＝ ４， ∴ ａ１１ ＝ ａ７ｑ ４ ＝ １６ × ４ ＝ ６４． ②若ａ７ ＝ ４，ａ３ ＝ １６，则由ａ７ ＝ ａ３ｑ４得，ｑ４ ＝ １４ ， ∴ ａ１１ ＝ ａ７ｑ ４ ＝ ４ × １４ ＝ １．故ａ１１ ＝ ６４，或ａ１１ ＝ １． （３）５０　 由ａ１０ａ１１ ＋ ａ９ａ１２ ＝ ２ｅ５，可得ａ１０ａ１１ ＝ ｅ５ ． 令Ｓ ＝ ｌｎ ａ１ ＋ ｌｎ ａ２ ＋…＋ ｌｎ ａ２０，则２Ｓ ＝（ｌｎ ａ１ ＋ ｌｎ ａ２０）＋ （ｌｎ ａ２ ＋ ｌｎ ａ１９）＋…＋（ｌｎ ａ２０ ＋ ｌｎ ａ１）＝ ２０ｌｎ（ａ１ａ２０） ＝ ２０ｌｎ（ａ１０ａ１１）＝ ２０ｌｎ ｅ５ ＝ １００，所以Ｓ ＝ ５０． 　 　 例４：设四个数为２ａｑ － ａ， ａ ｑ ，ａ，ａｑ， 则由题意得 ａ２ ｑ ＝ １６， （２ａｑ － ａ）·ａｑ ＝ － １２８{ ， 解得ａ ＝ ８， ｑ{ ＝ ４ 或ａ ＝ － ８，ｑ ＝ ４{ ． 因此所求的四个数为－４，２，８，３２或４，－２，－８，－３２． 　 　 对点训练４：（１）３，６，１２，２４　 设这四个数分别为ａ，ａｑ，ａｑ２， ａｑ３，则ａ － １，ａｑ － １，ａｑ２ － ４，ａｑ３ － １３成等差数列， ∴ ２（ａｑ － １）＝（ａ － １）＋（ａｑ２ － ４）， ２（ａｑ２ － ４）＝（ａｑ － １）＋（ａｑ３ － １３{ ）， 整理得ａ（ｑ － １） ２ ＝ ３， ａｑ（ｑ － １）２ ＝ ６{ ，解得ｑ ＝ ２，ａ ＝ ３． 因此所求四个数为３，６，１２，２４． （２）－ ４，２，８　 由已知，可设这三个数为ａ － ｄ，ａ，ａ ＋ ｄ，则 ａ － ｄ ＋ ａ ＋ ａ ＋ ｄ ＝ ６，∴ ａ ＝ ２， 这三个数可表示为２ － ｄ，２，２ ＋ ｄ， ①若２ － ｄ为等比中项，则有（２ － ｄ）２ ＝ ２（２ ＋ ｄ），解之得 ｄ ＝ ６，或ｄ ＝ ０（舍去）．此时三个数为－ ４，２，８． ②若２ ＋ ｄ是等比中项，则有（２ ＋ ｄ）２ ＝ ２（２ － ｄ），解之得 ｄ ＝ －６，或ｄ ＝０（舍去）．此时三个数为８，２，－４． ③若２为等比中项，则２２ ＝（２ ＋ ｄ）·（２ － ｄ），∴ ｄ ＝ ０（舍 去）． 综上可知此三数为－ ４，２，８． 　 　 例５：Ａ　 因为｛ａｎ｝为等比数列，所以ａ３ａ７ ＝ ａ４ａ６ ＝ ａ１ａ９ ． 所以（ａ１ａ９）２ ＝ ８１，即ａ１ａ９ ＝ ± ９． 因为在等比数列｛ａｎ｝中，奇数项（或偶数项）的符号相同， 所以ａ１，ａ９同号，所以ａ１ａ９ ＝ ９． 课堂检测·固双基 １． Ｃ　 当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等 比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不 是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列． ２． Ｂ　 ∵ ａ２ａ１１ ＝ ａ４ａ９，∴ ａ４ａ９ ＝ ６， 又ａ４ ＋ ａ９ ＝ ５，且ａｎ ＜ ａｎ ＋ １，∴ ａ４ ＝ ２，ａ９ ＝ ３， 又ａ６ａ１１ ＝ ａ４ ａ９ ＝ ２３ ，故选Ｂ． ３． Ａ　 由等比数列的性质，得ａ４ａ６ ＝ ａ５ ２，ａ２ａ４ ＝ ａ３ ２， ∴ （ａ３ ＋ ａ５）２ ＝ ａ３ ２ ＋ ２ａ３ａ５ ＋ ａ５ ２ ＝ ａ２ａ４ ＋ ２ａ３ａ５ ＋ ａ４ａ６ ＝ ２５， ∴ ａ３ ＋ ａ５ ＝ ± ５． ∵ ａｎ ＞ ０，∴ ａ３ ＋ ａ５ ＝ ５． ４． ５６７　 解法一：可知ａ４，ａ６，ａ８，ａ１０、ａ１２成等比数列． 其公比为ａ６ａ４ ＝ ２１ ７ ＝ ３，所以ａ１２ ＝ ａ４·３ ５ －１ ＝ ７ × ３４ ＝ ５６７． 解法二：设等比数列｛ａｎ｝的公比为ｑ，则ａ６ａ４ ＝ ｑ ２ ＝ ３． ∴ ａ１２ ＝ ａ４·ｑ８ ＝ ７ × ３４ ＝ ５６７． 解法三：由ａ４ ＝ ７， ａ６ ＝ ２１{ ，得 ａ１ｑ ３ ＝ ７， ａ１ｑ ５ ＝ ２１{ ，两式相比得ｑ２ ＝ ３． ａ１２ ＝ ａ１·ｑ１１ ＝（ａ１·ｑ５）·ｑ６ ＝ ａ６·（ｑ２）３ ＝ ２１ × ３３ ＝ ５６７． ５．解法一：设三个数依次为ａ，ａｑ，ａｑ２， 由题意得ａ·ａｑ·ａｑ ２ ＝ ２７， ａ２ ＋ ａ２ｑ２ ＋ ａ２ｑ４ ＝ ９１{ ， ∴ （ａｑ）３ ＝ ２７， ａ２（１ ＋ ｑ２ ＋ ｑ４）＝ ９１{ ， 即ａｑ ＝ ３， ａ２（１ ＋ ｑ２ ＋ ｑ４）＝ ９１{ ， ∴ ｑ ２ １ ＋ ｑ２ ＋ ｑ４ ＝ ９９１， ∴ ９ｑ４ － ８２ｑ２ ＋ ９ ＝ ０，解得ｑ２ ＝ ９或ｑ２ ＝ １９ ， ∴ ｑ ＝ ± ３或ｑ ＝ ± １３ ， 若ｑ ＝ ３，则ａ１ ＝ １；若ｑ ＝ － ３，则ａ１ ＝ － １； 若ｑ ＝ １３ ，则ａ１ ＝ ９；若ｑ ＝ － １ ３ ，则ａ１ ＝ － ９． 故这三个数为：１，３，９或－ １，３，－ ９或９，３，１或－ ９，３，－ １． 解法二：设这三个数分别为ａｑ ，ａ，ａｑ． 由题意，得 ａ ｑ·ａ·ａｑ ＝２７， ａ２ ｑ２ ＋ ａ２ ＋ ａ２ｑ２ ＝９１{ ，∴ ａ ＝３，ａ２ １ｑ２ ＋１ ＋ ｑ( )２ ＝９１{ ， ∴ ９ｑ４ － ８２ｑ２ ＋ ９ ＝ ０， 即得ｑ２ ＝ １９或ｑ ２ ＝ ９． ∴ ｑ ＝ ± ３或ｑ ＝ ± １３ ， 故这三个数为：１，３，９或－１，３，－９或９，３，１或－９，３，－１． ５． ３． ２　 等比数列的前ｎ项和 第１课时　 等比数列的前ｎ项和 必备知识·探新知 　 　 知识点１　 ｎａ１ 　 ａ１（１ － ｑ ｎ） １ － ｑ 　 ｎａ１ 　 ａ１ － ａｎｑ １ － ｑ 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）显然ｑ≠１，∴由Ｓｎ ＝ ８ － １４ ｑ １ － ｑ ＝ ６３ ４ ，得ｑ ＝ １ ２ ． 又ａｎ ＝ ａ１ｑｎ － １，即８ ×（１２ ） ｎ － １ ＝ １４ ，∴ ｎ ＝ ６． （２）方法一：由Ｓ６≠２Ｓ３知ｑ≠１                                                                      ． —１３４—