5.3.2 第1课时等比数列的前n项和(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ５． ３． ２　 等比数列的前ｎ项和 第１课时　 等比数列的前ｎ项和 !"#$%&'( 课程目标 １．借助教材实例了解等比数列前ｎ项和公式的推导过程．（逻辑推理） ２．借助教材掌握ａ１，ａｎ，ｑ，ｎ，Ｓｎ的关系．（数学运算） ３．掌握等比数列的前ｎ项和公式、性质及其应用．（数学运算） 学法指导 １．充分类比等差数列求和的方法，结合等比数列的性质，体会错位求和的含义与操作过程中蕴含 的求和思想． ２．充分挖掘等比数列前ｎ项和公式的特征，构建等比数列通项与前ｎ项和的一次线性表示． ３．类比指数函数的性质，感受等比数列前ｎ项和公式与指数函数的联系． )*+,%-.+ 等比数列的前ｎ项和公式 已知量首项、公比与项数 首项、末项与公比 选用 公式Ｓｎ ＝ 　 　 　 ，ｑ ＝１， 　 　 　 ，ｑ≠１{ ． Ｓｎ ＝ 　 　 　 ，ｑ ＝１，　 　 　 ，ｑ≠１{ ． 　 　 知识解读：对等比数列前ｎ项和公式的说明 （１）在求等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和公式时， 应分ｑ ＝１和ｑ≠１两种情况，若题目中没有指明， 切不可忘记对ｑ ＝１这一情形的讨论． （２）等比数列的通项公式及前ｎ项和公式共 涉及五个量，即ａ１，ａｎ，ｑ，ｎ，Ｓｎ，通常已知其中三个 量可求另外两个量，这一方法简称为“知三求二”． （３）等比数列前ｎ项和公式与其公比ｑ的关系 　 　 ①当公比ｑ≠１时，等比数列的前ｎ项和公式 是Ｓｎ ＝ ａ１（１ － ｑ ｎ） １ － ｑ ，它可以变形为Ｓｎ ＝ － ａ１ １ － ｑ·ｑ ｎ ＋ ａ１ １ － ｑ，设Ａ ＝ ａ１ １ － ｑ，则上式可写成Ｓｎ ＝ － Ａｑ ｎ ＋ Ａ 的形式． 则数列Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，…，Ｓｎ，…的图像是函数ｙ ＝ － Ａｑｘ ＋ Ａ图像上的一群孤立的点． 由此可见，非常数列的等比数列的前ｎ项和 Ｓｎ是一个关于ｎ的指数型函数与一个常数的和， 且指数型函数的系数与常数项互为相反数． ②当公比ｑ ＝１时，因为ａ１≠０，所以Ｓｎ ＝ ｎａ１， 则数列Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，…，Ｓｎ，…的图像是正比例函数ｙ ＝ ａ１ｘ图像上的一群孤立的点． 等比数列前ｎ项和的性质 　 　 （１）若｛ａｎ｝是公比为ｑ的等比数列，则Ｓｎ ＋ ｍ ＝ Ｓｎ ＋ ｑ ｎＳｍ． （２）在等比数列｛ａｎ｝中，当项数为２ｎ（ｎ∈ Ｎ）时，Ｓ偶Ｓ奇＝ ｑ． （３）｛ａｎ｝是公比不为－ １的等比数列，则Ｓｎ， Ｓ２ｎ － Ｓｎ，Ｓ３ｎ － Ｓ２ｎ仍成等比数列，其公比为ｑｎ． 知识解读：对于等比数列｛ａｎ｝来说，Ｓｎ，Ｓ２ｎ － Ｓｎ，Ｓ３ｎ － Ｓ２ｎ等均有为０的可能性，此时Ｓｎ，Ｓ２ｎ － Ｓｎ，Ｓ３ｎ － Ｓ２ｎ不能构成等比数列，所以在使用此性 质时，一定要注意性质中公比不为－１的前提                                    ． !$! ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # /012%345 题型探究 题型一与等比数列前ｎ项和有关的基本运算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．在等比数列｛ａｎ｝中，公比为ｑ，前ｎ项和 为Ｓｎ． （１）若ａ１ ＝ ８，ａｎ ＝ １４，Ｓｎ ＝ ６３ ４ ，求ｎ； （２）若Ｓ３ ＝ ７２，Ｓ６ ＝ ６３ ２ ，求ａｎ及Ｓｎ； （３）若ａ６ － ａ４ ＝ ２４，ａ３·ａ５ ＝ ６４，求Ｓ８； （４）若ａ３ ＝ ３２，Ｓ３ ＝ ４ １ ２，求ａ１ ． ［分析］　 在等比数列中，对于ａ１，ａｎ，ｎ，ｑ，Ｓｎ 五个量，若已知其中三个量就可求出其余两个量， 常列方程（组）来解答问题．当涉及高次方程或指 数方程时，要注意表达式的特点，采取相应的方法 处理． 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 等比数列前ｎ项和运算的技巧 （１）在等比数列的通项公式和前ｎ项和公式 中，共涉及五个量：ａ１，ａｎ，ｎ，ｑ，Ｓｎ，其中首项ａ１ 和 公比ｑ为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来 解答． （２）对于基本量的计算，列方程组求解是基 本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元， 有时会用到整体代换． 提醒：两式相除是解决等比数列基本量运算 常用的运算技巧． 对点训练? （１）（２０２３·甲卷（文））记 Ｓｎ为等比数列ａ{ }ｎ 的前ｎ项和．若８Ｓ６ ＝ ７Ｓ３，则 ａ{ }ｎ 的公比为　 　 　 　 　 ． （２）（２０２３·辽宁高二检测）已知数列｛ａｎ｝是 等比数列，其前ｎ项和为Ｓｎ，ａ１ ＝ １３，６ａ ２ ３ ＝ ａ６，则 Ｓ５ ＝ 　 　 　 　 　 ． （３）（２０２３·湖北荆门高一期末）已知等比数 列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，若ａ２ ＝ ２３，Ｓ３ ＝ ２６ ９，则数列 ｛ａｎ｝的公比ｑ ＝ （Ｃ ） Ａ． ３ Ｂ． １３ Ｃ． ３或１３ Ｄ．以上都不对 题型二 等比数列前ｎ项和公式的函数特征 ２．（２０２４·上海高二检测）已知数列｛ａｎ｝是 等比数列，其前ｎ项和为Ｓｎ ＝ ３ｎ － １ ＋ ｋ（ｎ∈Ｎ）， 则常数ｋ ＝ 　 　 　 　 ． ［规律方法］　 等比数列前ｎ项和公式的特征 数列｛ａｎ｝是非常数数列的等比数列Ｓｎ ＝ － Ａｑｎ ＋ Ａ（Ａ≠０，ｑ≠０，１，ｎ∈Ｎ）． 即指数式的系数与常数项互为相反数，其中Ａ ＝ ａ１ １ － ｑ． 对点训练? （２０２３·贵州贵阳高三期 末）设等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，且Ｓｎ ＝ ｋ· ２ｎ －３，则ａｋ ＝ （Ｃ ） Ａ． ４ Ｂ． ８ Ｃ． １２ Ｄ． １６ 题型三 等比数列的前ｎ项和的性质的应用 ３．（１）（２０２３·云南昆明高三模拟）已知等比 数列｛ａｎ｝的各项都是正数，Ｓｎ 为其前ｎ项和，若 Ｓ４ ＝ ８，Ｓ８ ＝ ２４，则Ｓ１６ ＝ （Ｄ ） Ａ． ４０ Ｂ． ５６ Ｃ． ７２ Ｄ． １２０ （２）（２０２４·江西南昌高三模拟）下列说法正 确的是 （Ｃ ） ①若数列｛ａｎ｝是等差数列，且ａｍ ＋ ａｎ ＝ ａｓ ＋ ａｔ（ｍ，ｎ，ｓ，ｔ∈Ｎ），则ｍ ＋ ｎ ＝ ｓ ＋ ｔ； ②若Ｓｎ是等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，则Ｓｎ， Ｓ２ｎ － Ｓｎ，Ｓ３ｎ － Ｓ２ｎ成等差数列； ③若Ｓｎ是等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，则Ｓｎ， Ｓ２ｎ － Ｓｎ，Ｓ３ｎ － Ｓ２ｎ成等比数列                                                                    ； !$" # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ④若Ｓｎ是等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，且Ｓｎ ＝ Ａｑｎ ＋ Ｂ（其中Ａ，Ｂ是非零常数，ｎ∈Ｎ），则Ａ ＋ Ｂ 为零． Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．②④ Ｄ．③④ ［规律方法］　 等比数列前ｎ项和的性质 （１）｛ａｎ｝是公比不为－ １的等比数列，则Ｓｎ， Ｓ２ｎ － Ｓｎ，Ｓ３ｎ － Ｓ２ｎ仍成等比数列，其公比为ｑｎ． （２）在等比数列｛ａｎ｝中，当项数为２ｎ（ｎ∈ Ｎ）时，Ｓ偶Ｓ奇＝ ｑ． 对点训练? （１）（２０２４·山西太原高三 模拟）已知一个项数为偶数的等比数列｛ａｎ｝，所 有项之和为所有偶数项之和的４倍，前３项之积 为６４，则ａ１ ＝ （Ｂ ） Ａ． １１ Ｂ． １２ Ｃ． １３ Ｄ． １４ （２）（２０２４·江西师大附中高一月考）设正项 等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，若Ｓ３ ＝ ３，Ｓ９ － Ｓ６ ＝ １２，则Ｓ６ ＝ 　 　 　 　 ． 题型四 等比数列前ｎ项和公式的实际应用 ４．某企业年初有资金１ ０００万元，如果该企 业经过生产经营，每年资金增长率为５０％，但每 年年底都要扣除消费资金ｘ万元，余下的资金投 入再生产．为实现５年后，资金达到２ ０００万元（扣 除消费资金后），那么每年年底扣除的消费资金应 是多少万元？（精确到１万元） 　 　 ［分析］　 依次写出每年年底扣除消费资金 后的资金，寻找规律写出第五项求解． 　 　 ［尝试作答          ］ 　 　 对点训练? （２０２３·汕尾高二检测）中 国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题： 今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰： “我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿 之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊 吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿５斗粟． 羊 主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主 人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按 此比例偿还，他们各偿还多少？该问题中，１斗为 １０升，则羊主人应偿还多少升粟？ （Ｃ ） Ａ． ２５３ Ｂ． ５０ ３ Ｃ． ５０７ Ｄ． １００ ７ 易错警示 　 　 忽略对公比ｑ的讨论致误 ５．已知等比数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ ２，Ｓ３ ＝ ６，求ａ３ 和ｑ． ［错解］　 由等比数列的前ｎ项和公式得Ｓ３ ＝ ａ１（１ － ｑ３） １ － ｑ ＝ ２（１ － ｑ３） １ － ｑ ＝６， ∴ （１ － ｑ）（１ ＋ ｑ ＋ ｑ ２） １ － ｑ ＝３， ∴ １ ＋ ｑ ＋ ｑ２ ＝ ３，∴ ｑ２ ＋ ｑ －２ ＝ ０． ∴ ｑ ＝ － ２或ｑ ＝ １（舍去）∴ ａ３ ＝ ａ１ｑ２ ＝ ２ × （－２）２ ＝ ８． ［误区警示］　 错解中由于没讨论公比ｑ是否 为１，就直接使用了等比数列的前ｎ项和公式Ｓｎ ＝ ａ１（１ － ｑｎ） １ － ｑ ，从而导致漏解． 　 　 ［正解                                                                               ］ !$# ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 6789%:;< １．已知在等比数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ ３，ａｎ ＝ ９６，Ｓｎ ＝ １８９，则ｎ的值为 （Ｃ ） Ａ． ４　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ５ Ｃ． ６ Ｄ． ７ ２．等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，且４ａ１，２ａ２，ａ３ 成等差数列．若ａ１ ＝ １，则Ｓ４等于 （Ｃ ） Ａ． ７ Ｂ． ８ Ｃ． １５ Ｄ． １６ ３．（２０２３·新高考Ⅱ）记Ｓｎ为等比数列ａ{ }ｎ 的前ｎ 项和，若Ｓ４ ＝ － ５，Ｓ６ ＝ ２１Ｓ２，则Ｓ８ ＝ （Ｃ ） Ａ． １２０ Ｂ． ８５ Ｃ． － ８５ Ｄ． － １２０ ４．若等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，ａ３ ＝ ３２，Ｓ３ ＝ ９ ２，则公比ｑ ＝ 　 　 　 　 ． ５．已知等差数列｛ａｎ｝满足ａ３ ＝ ２，前３ 项和 Ｓ３ ＝ ９ ２ ． （１）求｛ａｎ｝的通项公式； （２）设等比数列｛ｂｎ｝满足ｂ１ ＝ ａ１，ｂ４ ＝ ａ１５，求 ｛ｂｎ｝的前ｎ项和Ｔｎ． 请同学们认真完成练案［９                          ］ 第２课时　 等比数列习题课 !"#$%&'( 课程目标 １．进一步理解等比数列中ａｎ与Ｓｎ的关系．（数学运算） ２．掌握几种与等比数列有关的求和方法．（数学运算） 学法指导 体会不同的求和方法中所蕴含的求和思想，能针对不同的数列选择恰当的求和方法． /012%345 题型探究 题型一 等比数列ａｎ与Ｓｎ的关系 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）已知正项等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为 Ｓｎ，ａ１ ＝ １，且－ ａ３，ａ２，ａ４ 成等差数列，则Ｓｎ 与ａｎ 的关系是 （Ａ ） Ａ． Ｓｎ ＝２ａｎ －１ Ｂ． Ｓｎ ＝２ａｎ ＋１ Ｃ． Ｓｎ ＝４ａｎ －３ Ｄ． Ｓｎ ＝４ａｎ －１ （２）数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，对任意正整 数ｎ，ａｎ ＋ １ ＝ ３Ｓｎ，则下列关于｛ａｎ｝的论断中正确的 是 （Ｂ ） Ａ．一定是等差数列 Ｂ．可能是等差数列，但不会是等比数列 Ｃ．一定是等比数列 Ｄ．可能是等比数列，但不会是等差数列 　 　 ［规律方法］　 关于等比数列Ｓｎ与ａｎ的关系 （１）Ｓｎ与ａｎ的关系可以由Ｓｎ ＝ ａ１ － ａｎｑ１ － ｑ 得到， 一般已知ａ１，ｑ即可得到二者之间的关系，也可以 通过特殊项验证判断． （２）Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ ａｎ（ｎ≥２）是Ｓｎ与ａｎ                 之间的内 !$$ 　 　 对点训练３：（１）２５　 解法一：∵ ａ７ａ１２ ＝ ａ８ａ１１ ＝ ａ９ａ１０ ＝ ５， ∴ ａ８ａ９ａ１０ａ１１ ＝ ５ ２ ＝ ２５． 解法二：由已知得ａ１ｑ６·ａ１ｑ１１ ＝ ａ２１ｑ１７ ＝ ５， ∴ ａ８ａ９ａ１０ａ１１ ＝ ａ１ｑ ７·ａ１ｑ８·ａ１ｑ９·ａ１ｑ１０ ＝ ａ１ ４·ｑ３４ ＝（ａ２１· ｑ１７）２ ＝ ２５． （２）１或６４　 ∵ ａ１ａ９ ＝ ａ３ａ７ ＝ ６４，∴ ａ３，ａ７ 是方程ｘ２ － ２０ｘ ＋ ６４ ＝ ０的两根． 解得ａ３ ＝ ４， ａ７ ＝ １６{ ，或 ａ３ ＝ １６， ａ７ ＝ ４{ ． ①若ａ３ ＝ ４，ａ７ ＝ １６，则由ａ７ ＝ ａ３ｑ４得，ｑ４ ＝ ４， ∴ ａ１１ ＝ ａ７ｑ ４ ＝ １６ × ４ ＝ ６４． ②若ａ７ ＝ ４，ａ３ ＝ １６，则由ａ７ ＝ ａ３ｑ４得，ｑ４ ＝ １４ ， ∴ ａ１１ ＝ ａ７ｑ ４ ＝ ４ × １４ ＝ １．故ａ１１ ＝ ６４，或ａ１１ ＝ １． （３）５０　 由ａ１０ａ１１ ＋ ａ９ａ１２ ＝ ２ｅ５，可得ａ１０ａ１１ ＝ ｅ５ ． 令Ｓ ＝ ｌｎ ａ１ ＋ ｌｎ ａ２ ＋…＋ ｌｎ ａ２０，则２Ｓ ＝（ｌｎ ａ１ ＋ ｌｎ ａ２０）＋ （ｌｎ ａ２ ＋ ｌｎ ａ１９）＋…＋（ｌｎ ａ２０ ＋ ｌｎ ａ１）＝ ２０ｌｎ（ａ１ａ２０） ＝ ２０ｌｎ（ａ１０ａ１１）＝ ２０ｌｎ ｅ５ ＝ １００，所以Ｓ ＝ ５０． 　 　 例４：设四个数为２ａｑ － ａ， ａ ｑ ，ａ，ａｑ， 则由题意得 ａ２ ｑ ＝ １６， （２ａｑ － ａ）·ａｑ ＝ － １２８{ ， 解得ａ ＝ ８， ｑ{ ＝ ４ 或ａ ＝ － ８，ｑ ＝ ４{ ． 因此所求的四个数为－４，２，８，３２或４，－２，－８，－３２． 　 　 对点训练４：（１）３，６，１２，２４　 设这四个数分别为ａ，ａｑ，ａｑ２， ａｑ３，则ａ － １，ａｑ － １，ａｑ２ － ４，ａｑ３ － １３成等差数列， ∴ ２（ａｑ － １）＝（ａ － １）＋（ａｑ２ － ４）， ２（ａｑ２ － ４）＝（ａｑ － １）＋（ａｑ３ － １３{ ）， 整理得ａ（ｑ － １） ２ ＝ ３， ａｑ（ｑ － １）２ ＝ ６{ ，解得ｑ ＝ ２，ａ ＝ ３． 因此所求四个数为３，６，１２，２４． （２）－ ４，２，８　 由已知，可设这三个数为ａ － ｄ，ａ，ａ ＋ ｄ，则 ａ － ｄ ＋ ａ ＋ ａ ＋ ｄ ＝ ６，∴ ａ ＝ ２， 这三个数可表示为２ － ｄ，２，２ ＋ ｄ， ①若２ － ｄ为等比中项，则有（２ － ｄ）２ ＝ ２（２ ＋ ｄ），解之得 ｄ ＝ ６，或ｄ ＝ ０（舍去）．此时三个数为－ ４，２，８． ②若２ ＋ ｄ是等比中项，则有（２ ＋ ｄ）２ ＝ ２（２ － ｄ），解之得 ｄ ＝ －６，或ｄ ＝０（舍去）．此时三个数为８，２，－４． ③若２为等比中项，则２２ ＝（２ ＋ ｄ）·（２ － ｄ），∴ ｄ ＝ ０（舍 去）． 综上可知此三数为－ ４，２，８． 　 　 例５：Ａ　 因为｛ａｎ｝为等比数列，所以ａ３ａ７ ＝ ａ４ａ６ ＝ ａ１ａ９ ． 所以（ａ１ａ９）２ ＝ ８１，即ａ１ａ９ ＝ ± ９． 因为在等比数列｛ａｎ｝中，奇数项（或偶数项）的符号相同， 所以ａ１，ａ９同号，所以ａ１ａ９ ＝ ９． 课堂检测·固双基 １． Ｃ　 当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等 比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不 是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列． ２． Ｂ　 ∵ ａ２ａ１１ ＝ ａ４ａ９，∴ ａ４ａ９ ＝ ６， 又ａ４ ＋ ａ９ ＝ ５，且ａｎ ＜ ａｎ ＋ １，∴ ａ４ ＝ ２，ａ９ ＝ ３， 又ａ６ａ１１ ＝ ａ４ ａ９ ＝ ２３ ，故选Ｂ． ３． Ａ　 由等比数列的性质，得ａ４ａ６ ＝ ａ５ ２，ａ２ａ４ ＝ ａ３ ２， ∴ （ａ３ ＋ ａ５）２ ＝ ａ３ ２ ＋ ２ａ３ａ５ ＋ ａ５ ２ ＝ ａ２ａ４ ＋ ２ａ３ａ５ ＋ ａ４ａ６ ＝ ２５， ∴ ａ３ ＋ ａ５ ＝ ± ５． ∵ ａｎ ＞ ０，∴ ａ３ ＋ ａ５ ＝ ５． ４． ５６７　 解法一：可知ａ４，ａ６，ａ８，ａ１０、ａ１２成等比数列． 其公比为ａ６ａ４ ＝ ２１ ７ ＝ ３，所以ａ１２ ＝ ａ４·３ ５ －１ ＝ ７ × ３４ ＝ ５６７． 解法二：设等比数列｛ａｎ｝的公比为ｑ，则ａ６ａ４ ＝ ｑ ２ ＝ ３． ∴ ａ１２ ＝ ａ４·ｑ８ ＝ ７ × ３４ ＝ ５６７． 解法三：由ａ４ ＝ ７， ａ６ ＝ ２１{ ，得 ａ１ｑ ３ ＝ ７， ａ１ｑ ５ ＝ ２１{ ，两式相比得ｑ２ ＝ ３． ａ１２ ＝ ａ１·ｑ１１ ＝（ａ１·ｑ５）·ｑ６ ＝ ａ６·（ｑ２）３ ＝ ２１ × ３３ ＝ ５６７． ５．解法一：设三个数依次为ａ，ａｑ，ａｑ２， 由题意得ａ·ａｑ·ａｑ ２ ＝ ２７， ａ２ ＋ ａ２ｑ２ ＋ ａ２ｑ４ ＝ ９１{ ， ∴ （ａｑ）３ ＝ ２７， ａ２（１ ＋ ｑ２ ＋ ｑ４）＝ ９１{ ， 即ａｑ ＝ ３， ａ２（１ ＋ ｑ２ ＋ ｑ４）＝ ９１{ ， ∴ ｑ ２ １ ＋ ｑ２ ＋ ｑ４ ＝ ９９１， ∴ ９ｑ４ － ８２ｑ２ ＋ ９ ＝ ０，解得ｑ２ ＝ ９或ｑ２ ＝ １９ ， ∴ ｑ ＝ ± ３或ｑ ＝ ± １３ ， 若ｑ ＝ ３，则ａ１ ＝ １；若ｑ ＝ － ３，则ａ１ ＝ － １； 若ｑ ＝ １３ ，则ａ１ ＝ ９；若ｑ ＝ － １ ３ ，则ａ１ ＝ － ９． 故这三个数为：１，３，９或－ １，３，－ ９或９，３，１或－ ９，３，－ １． 解法二：设这三个数分别为ａｑ ，ａ，ａｑ． 由题意，得 ａ ｑ·ａ·ａｑ ＝２７， ａ２ ｑ２ ＋ ａ２ ＋ ａ２ｑ２ ＝９１{ ，∴ ａ ＝３，ａ２ １ｑ２ ＋１ ＋ ｑ( )２ ＝９１{ ， ∴ ９ｑ４ － ８２ｑ２ ＋ ９ ＝ ０， 即得ｑ２ ＝ １９或ｑ ２ ＝ ９． ∴ ｑ ＝ ± ３或ｑ ＝ ± １３ ， 故这三个数为：１，３，９或－１，３，－９或９，３，１或－９，３，－１． ５． ３． ２　 等比数列的前ｎ项和 第１课时　 等比数列的前ｎ项和 必备知识·探新知 　 　 知识点１　 ｎａ１ 　 ａ１（１ － ｑ ｎ） １ － ｑ 　 ｎａ１ 　 ａ１ － ａｎｑ １ － ｑ 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）显然ｑ≠１，∴由Ｓｎ ＝ ８ － １４ ｑ １ － ｑ ＝ ６３ ４ ，得ｑ ＝ １ ２ ． 又ａｎ ＝ ａ１ｑｎ － １，即８ ×（１２ ） ｎ － １ ＝ １４ ，∴ ｎ ＝ ６． （２）方法一：由Ｓ６≠２Ｓ３知ｑ≠１                                                                      ． —１３４— 由题意得 ａ１（１ － ｑ３） １ － ｑ ＝ ７ ２ ，① ａ１（１ － ｑ６） １ － ｑ ＝ ６３ ２ ，{ ② ② ÷①，得１ ＋ ｑ３ ＝ ９，∴ ｑ３ ＝ ８，即ｑ ＝ ２． 将ｑ ＝ ２代入①得ａ１ ＝ １２ ， ∴ ａｎ ＝ ａ１ｑ ｎ － １ ＝ １２ × ２ ｎ － １ ＝ ２ｎ － ２，Ｓｎ ＝ ａ１（１ － ｑ ｎ） １ － ｑ ＝ ２ｎ － １ － １２ ． 方法二：由Ｓ３ ＝ ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３，Ｓ６ ＝ Ｓ３ ＋ ａ４ ＋ ａ５ ＋ ａ６ ＝ Ｓ３ ＋ ｑ３（ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３）＝ Ｓ３ ＋ ｑ３Ｓ３ ＝（１ ＋ ｑ３）Ｓ３，得１ ＋ ｑ３ ＝ Ｓ６Ｓ３ ＝ ９， ∴ ｑ３ ＝ ８，∴ ｑ ＝ ２． 将ｑ ＝ ２代入Ｓ３ ＝ ａ１（１ － ｑ ３） １ － ｑ ＝ ７ ２得ａ１ ＝ １ ２ ， ∴ ａｎ ＝ ａ１ｑ ｎ － １ ＝ １２ × ２ ｎ － １ ＝ ２ｎ － ２，Ｓｎ ＝ ａ１（１ － ｑ ｎ） １ － ｑ ＝ ２ｎ － １ － １２ ． （３）方法一：由题意，得ａ１ｑ ５ － ａ１ｑ ３ ＝ ２４， （ａ１ｑ２）（ａ１ｑ４）＝ ６４{ ， 化简得ａ１ｑ ３（ｑ２ － １）＝ ２４，③ ａ１ｑ ３ ＝ ± ８，{ ④ ③ ÷④，得ｑ２ － １ ＝ ± ３，负值舍去，∴ ｑ２ ＝ ４，∴ ｑ ＝ ２或ｑ ＝ － ２． 当ｑ ＝ ２时，代入③得ａ１ ＝ １，∴ Ｓ８ ＝ ａ１（１ － ｑ ８） １ － ｑ ＝ ２５５． 当ｑ ＝ － ２时，代入③得ａ１ ＝ － １，∴ Ｓ８ ＝ ａ１（１ － ｑ ８） １ － ｑ ＝ ２５５ ３ ． 综上可知，Ｓ８ ＝ ２５５或２５５３ ． 方法二：由等比数列的性质得ａ３·ａ５ ＝ ａ２４ ＝ ６４， ∴ ａ４ ＝ ± ８． 当ａ４ ＝ ８时，∵ ａ６ － ａ４ ＝ ２４，∴ ａ６ ＝ ３２，∴ ｑ２ ＝ ａ６ａ４ ＝ ４，∴ ｑ ＝ ± ２． 当ａ４ ＝ － ８时，∵ ａ６ － ａ４ ＝ ２４，∴ ａ６ ＝ １６，∴ ｑ２ ＝ ａ６ａ４ ＝ － ２， 无解． 故ｑ ＝ ± ２，ａ４ ＝ ８． 当ｑ ＝ ２时，ａ１ ＝ ａ４ｑ３ ＝ １，Ｓ８ ＝ ａ１（１ － ｑ８） １ － ｑ ＝ ２５５； 当ｑ ＝ － ２时，ａ１ ＝ ａ４ｑ３ ＝ － １，Ｓ８ ＝ ａ１（１ － ｑ８） １ － ｑ ＝ ２５５ ３ ． 综上可知，Ｓ８ ＝ ２５５或２５５３ ． （４）当ｑ ＝ １时，ａ１ ＝ ａ２ ＝ ａ３ ＝ ３２ ，满足Ｓ３ ＝ ４ １ ２ ． 当ｑ ≠ １ 时，由题意得 ａ１ｑ ２ ＝ ３２ ， ａ１（１ － ｑ３） １ － ｑ ＝ ４ １ ２ { ，解得 ａ１ ＝ ６， ｑ ＝ － １２ { ．综上可知，ａ１ ＝ ３２或６． 　 　 对点训练１：（１）－ １２ 　 等比数列ａ{ }ｎ 中，８Ｓ６ ＝ ７Ｓ３， 则ｑ≠１， 所以８ × ａ１（１ － ｑ ６） １ － ｑ ＝ ７ × ａ１（１ － ｑ３） １ － ｑ ， 解得ｑ ＝ － １２ ． 故答案为－ １２ ． （２）３１３ 　 设等比数列｛ａｎ｝的公比为ｑ． 因为ａ１ ＝ １３ ，６ａ ２ ３ ＝ ａ６，所以６ × １３ ｑ( )２ ２ ＝ １３ ｑ ５， 解得，ｑ ＝ ２，则Ｓ５ ＝ １ ３ （１ － ２ ５） １ － ２ ＝ ３１ ３ ． （３）Ｃ　 由Ｓ３ ＝ ２６９得ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＝ ２６ ９ ，所以 ａ２ ｑ ＋ ａ２ ＋ ａ２ｑ ＝ ２６９ ． 因为ａ２ ＝ ２３ ，所以 １ ｑ ＋ １ ＋ ｑ ＝ １３ ３ ， 所以３ｑ２ － １０ｑ ＋ ３ ＝ ０，解得ｑ ＝ １３或ｑ ＝ ３．故选Ｃ． 　 　 例２：－ １３ 　 方法一：由已知得，ａ１ ＝ Ｓ１ ＝ １ ＋ ｋ，ａ２ ＝ Ｓ２ － Ｓ１ ＝ ２，ａ３ ＝ Ｓ３ － Ｓ２ ＝ ６． 因为数列｛ａｎ｝是等比数列，故ａ２２ ＝ ａ１ａ３， 即２２ ＝ ６（１ ＋ ｋ），解得ｋ ＝ － １３ ． 方法二：因为数列｛ａｎ｝是等比数列， 故Ｓｎ ＝ ａ１（１ － ｑ ｎ） １ － ｑ ＝ － ａ１ １ － ｑｑ ｎ ＋ ａ１ １ － ｑ． 又因为Ｓｎ ＝ ３ｎ － １ ＋ ｋ ＝ ３ｎ × １３ ＋ ｋ，故可得ｋ ＝ － １ ３ ． 　 　 对点训练２：Ｃ　 当ｎ≥２时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ ｋ·２ｎ － １； 当ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ Ｓ１ ＝ ２ｋ － ３ ＝ ｋ·２１ －１， 解得ｋ ＝ ３，∴ ａｋ ＝ ａ３ ＝ ３·２３ －１ ＝ １２．故选Ｃ． 　 　 例３：（１）Ｄ　 因为Ｓ４ ＝ ８，Ｓ８ － Ｓ４ ＝ １６，Ｓ１２ － Ｓ８，Ｓ１６ － Ｓ１２成等 比数列， 所以Ｓ１２ － Ｓ８ ＝ ３２，Ｓ１６ － Ｓ１２ ＝ ６４，Ｓ１６ ＝ Ｓ４ ＋ （Ｓ８ － Ｓ４）＋ （Ｓ１２ － Ｓ８）＋（Ｓ１６ － Ｓ１２）＝ ８ ＋ １６ ＋ ３２ ＋ ６４ ＝ １２０． （２）Ｃ　 ①若数列｛ａｎ｝是常数列，对任意的正整数ｍ，ｎ，ｓ，ｔ 都有ａｍ ＋ ａｎ ＝ ａｓ ＋ ａｔ，①错误； ②设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ，首项是ａ１，Ｓｎ ＝ ａ１ ＋ ａ２ ＋… ＋ ａｎ，Ｓ２ｎ － Ｓｎ ＝ ａｎ ＋ １ ＋ ａｎ ＋ ２ ＋…＋ ａ２ｎ ＝ （ａ１ ＋ ｎｄ）＋ （ａ２ ＋ ｎｄ） ＋…＋（ａｎ ＋ ｎｄ）＝ Ｓｎ ＋ ｎ２ｄ，同理Ｓ３ｎ － Ｓ２ｎ ＝（Ｓ２ｎ － Ｓｎ）＋ ｎ２ｄ，因 此２（Ｓ２ｎ － Ｓｎ）＝ Ｓｎ ＋（Ｓ３ｎ － Ｓ２ｎ），则Ｓｎ，Ｓ２ｎ － Ｓｎ，Ｓ３ｎ － Ｓ２ｎ成等差 数列，②正确； ③若等比数列｛ａｎ｝的公比ｑ ＝ － １，ａ１ ＝ ２，则Ｓ２ ＝ ０，Ｓ４ － Ｓ２ ＝ ０，Ｓ６ － Ｓ４ ＝ ０，不可能成等比数列，③错误； ④等比数列的前ｎ项和为Ｓｎ ＝ Ａｑｎ ＋ Ｂ，则ｑ≠１，否则Ｓｎ ＝ ｎａ１，所以Ｓｎ ＝ ａ１（１ － ｑ ｎ） １ － ｑ ＝ － ａ１ １ － ｑ·ｑ ｎ ＋ ａ１ １ － ｑ，即Ａ ＝ － ａ１ １ － ｑ， Ｂ ＝ ａ１ １ － ｑ，Ａ ＋ Ｂ ＝ ０，④正确．故选Ｃ． 　 　 对点训练３：（１）Ｂ　 由题意可得所有项之和为Ｓ奇＋ Ｓ偶是 所有偶数项之和的４倍，∴ Ｓ奇＋ Ｓ偶＝ ４Ｓ偶．设等比数列｛ａｎ｝                                                                      的公 —１３５— 比为ｑ，由等比数列的性质可得Ｓ偶＝ ｑＳ奇，即Ｓ奇＝ １ｑ Ｓ偶， ∴ １ｑ Ｓ偶＋ Ｓ偶＝ ４Ｓ偶． ∵ Ｓ偶≠０，∴解得ｑ ＝ １３ ．又前３项之积ａ１ａ２ａ３ ＝ ａ ３ ２ ＝ ６４，解 得ａ２ ＝ ４，∴ ａ１ ＝ ａ２ｑ ＝ １２．故选Ｂ． （２）９　 因为数列｛ａｎ｝为正项等比数列，所以Ｓ３，Ｓ６ － Ｓ３， Ｓ９ － Ｓ６也成等比数列，则（Ｓ６ － Ｓ３）２ ＝ Ｓ３·（Ｓ９ － Ｓ６），将Ｓ３ ＝ ３， Ｓ９ － Ｓ６ ＝ １２代入，可得Ｓ６ ＝ ９． 　 　 例４：设ａｎ表示第ｎ年年底扣除消费资金后的资金，则： ａ１ ＝ １ ０００ １ ＋( )１２ － ｘ，ａ２ ＝ １ ０００ １ ＋( )１２ －[ ]ｘ １ ＋( )１２ － ｘ ＝ １ ０００ １ ＋( )１２ ２ － ｘ １ ＋( )１２ － ｘ， ａ３ [ (＝ １ ０００ １ ＋ )１２ ２ － (ｘ １ ＋ )１２ － ] (ｘ １ ＋ )１２ － ｘ ＝ (１ ０００ １ ＋ )１２ ３ － (ｘ １ ＋ )１２ ２ － (ｘ １ ＋ )１２ － ｘ． 依此类推，得： ａ５ (＝ １ ０００ １ ＋ )１２ ５ － (ｘ １ ＋ )１２ ４ － (ｘ １ ＋ )１２ ３ － (ｘ １ ＋ )１２ ２ － (ｘ １ ＋ )１２ － ｘ． 则 (１ ０００ × )３２ ５ － [ (ｘ )３２ ４ (＋ )３２ ３ ＋… ]＋１ ＝２ ０００， (∴ １ ０００ × )３２ ５ － ｘ· (１ － ) ３ ２ ５ １ － ３２ ＝ ２ ０００． 解得ｘ≈４２４（万元）． ∴每年年底扣除的消费资金为４２４ 万元． 　 　 对点训练４：Ｃ　 设牛、马、羊所吃禾苗分别为ａ１，ａ２，ａ３，则 ｛ａｎ｝是公比为１２的等比数列， 所以Ｓ３ ＝ ａ１ １ － １ ２( )３ １ － １２ ＝ ５０， 解得ａ１ ＝ ２００７ ，所以羊主人应偿还： ａ３ ＝ ２００ ７ × １ ４ ＝ ５０ ７升粟． 　 　 例５：若ｑ ＝ １，则Ｓ３ ＝ ３ａ１ ＝ ６，符合题意．此时，ｑ ＝ １，ａ３ ＝ ａ１ ＝ ２． 若ｑ≠１，则由等比数列的前ｎ项和公式，得Ｓ３ ＝ ａ１（１ － ｑ ３） １ － ｑ ＝ ２（１ － ｑ ３） １ － ｑ ＝ ６， 解得ｑ ＝ １（舍去）或ｑ ＝ － ２． 此时，ａ３ ＝ ａ１ｑ２ ＝ ２ ×（－ ２）２ ＝ ８． 综上所述，ｑ ＝ １，ａ３ ＝ ２或ｑ ＝ － ２，ａ３ ＝ ８． 课堂检测·固双基 １． Ｃ　 由ａｎ ＝ ａ１ｑｎ － １，得９６ ＝ ３ｑｎ － １，∴ ｑｎ － １ ＝ ３２ ＝ ２５ ． 令ｎ ＝ ６，ｑ ＝ ２，这时Ｓ６ ＝ ３（１ － ２ ６） １ － ２ ＝ １８９，符合题意， 故选Ｃ． ２． Ｃ　 设等比数列｛ａｎ｝的公比为ｑ． ∵ ４ａ１，２ａ２，ａ３成等差数列， ∴ ４ａ２ ＝ ４ａ１ ＋ ａ３，即４ａ１ｑ ＝ ４ａ１ ＋ ａ１ｑ２，即ｑ２ － ４ｑ ＋ ４ ＝ ０． 解得ｑ ＝ ２．又∵ ａ１ ＝ １，∴ Ｓ４ ＝ １ － ２ ４ １ － ２ ＝ １５．故选Ｃ． ３． Ｃ　 等比数列ａ{ }ｎ 中，Ｓ４ ＝ － ５，Ｓ６ ＝ ２１Ｓ２，显然公比ｑ≠１， 设首项为ａ１，则ａ１（１ － ｑ ４） １ － ｑ ＝ － ５ ①， ａ１（１ － ｑ６） １ － ｑ ＝ ２１ａ１（１ － ｑ２） １ － ｑ ②， 化简②得ｑ４ ＋ ｑ２ － ２０ ＝ ０，解得ｑ２ ＝ ４或ｑ２ ＝ － ５（不合题意， 舍去）， 代入①得ａ１１ － ｑ ＝ １ ３ ， 所以Ｓ８ ＝ ａ１（１ － ｑ ８） １ － ｑ ＝ ａ１ １ － ｑ（１ － ｑ ４）（１ ＋ ｑ４）＝ １３ ×（－ １５）× （１ ＋ １６）＝ － ８５． 故选Ｃ． ４． １或－ １２ 　 因为ａ３ ＝ ３ ２ ，Ｓ３ ＝ ９ ２ ，所以ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＝ ９ ２ ， 则ａ１ ＋ ａ２ ＝ ３， 所以３ ２ｑ２ ＋ ３２ｑ ＝３，化简得２ｑ ２ － ｑ －１ ＝０，解得ｑ ＝１或－ １２ ． ５．（１）设｛ａｎ｝的公差为ｄ，则由已知条件得ａ１ ＋ ２ｄ ＝ ２，３ａ１ ＋ ３ × ２ ２ ｄ ＝ ９ ２ ，化简得ａ１ ＋ ２ｄ ＝ ２，ａ１ ＋ ｄ ＝ ３ ２ ，解得ａ１ ＝ １，ｄ ＝ １ ２ ，故通项公式ａｎ ＝ １ ＋ ｎ － １ ２ ， 即ａｎ ＝ ｎ ＋ １２ ． （２）由（１）得ｂ１ ＝ １，ｂ４ ＝ ａ１５ ＝ １５ ＋ １２ ＝ ８．设｛ｂｎ｝的公比为ｑ，则 ｑ３ ＝ ｂ４ ｂ１ ＝ ８，从而ｑ ＝ ２．故｛ｂｎ｝的前ｎ项和Ｔｎ ＝ ｂ１（１ －ｑ ｎ） １ －ｑ ＝ １ ×（１ －２ｎ） １ －２ ＝２ ｎ － １． 第２课时　 等比数列习题课 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）Ａ　 设等比数列的公比为ｑ（ｑ ＞ ０）， 由ａ１ ＝ １，且－ ａ３，ａ２，ａ４成等差数列， 得２ａ２ ＝ ａ４ － ａ３，即２ｑ ＝ ｑ３ － ｑ２，得ｑ ＝ ２． 所以Ｓｎ ＝ １ － ａｎ × ２１ － ２ ，则Ｓｎ ＝ ２ａｎ － １． （２）Ｂ　 ａｎ ＋ １ ＝ ３Ｓｎ，ａｎ ＝ ３Ｓｎ － １，故ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ ３ａｎ，即ａｎ ＋ １ ＝ ４ａｎ（ｎ≥２），而ｎ ＝ １时，ａ２ ＝ ３Ｓ１ ＝ ３ａ１，可知该数列不是等比数 列．当ａｎ ＝ ０时，数列ａｎ为等差数列．故本题正确答案为Ｂ． 　 　 对点训练１：（１）Ｓｎ ＝ １ － ３ａｎ１ － ３ ＝ ３ ２ ａｎ － １ ２ ． （２）－ ６３　 依题意， Ｓｎ ＝ ２ａｎ ＋ １， Ｓｎ ＋ １ ＝ ２ａｎ ＋ １ ＋ １{ ，作差得ａｎ ＋ １ ＝ ２ａｎ， 所以数列｛ａｎ｝是公比为２的等比数列， 又因为ａ１ ＝ Ｓ１ ＝ ２ａ１ ＋ １， 所以ａ１ ＝ － １，所以ａｎ ＝ － ２ｎ － １， 所以Ｓ６ ＝ － １ ×（１ － ２ ６） １ － ２ ＝ － ６３． 　 　 例２：（１）ａｎ ＝ １ ＋ ２ ＋ ２２ ＋…＋ ２ｎ － １ ＝ １ － ２ ｎ １ － ２ ＝ ２ ｎ － １． ∴这个数列的通项公式为ａｎ ＝ ２ｎ － １                                                                       ． —１３６—