19.4 综合与实践 多边形的镶嵌-2024-2025学年八年级下册数学同步测控全优设计（沪科版）

19.4综合与实践多边形的镶嵌0|数学 19.4综合与实践 多边形的镶嵌 8.如图所示的地面全是用正三 知识清单 角形的材料铺设而成的。 (1)用这种形状的材料为什么能铺成平整、无隙的 用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域， 地面？ 使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在儿何里 (2)像上面那样铺地砖，能否全用正十边形的材料？ 面叫平面镶嵌， 为什么？ (3)你能不能另外想出一种用多边形（不一定是正多 练基础千里之行始于是下 边形)的材料铺地面的方案？把你想到的方案画 成草图。 知识点平面镶嵌 1.下列多边形中，不能进行平面镶嵌的是( A.三角形 B.四边形 C.正七边形 D.正六边形 2.商店出售下列形状的地砖： ①长方形：②正方形：③正五边形：④正六边形. 若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地 砖共有( A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 3.能和正十二边形组合铺满地面的是() A.正方形 B.正六边形 C.正八边形 D.正三角形 4.用两种正多边形镶嵌，不能与正三角形匹配的正多 边形是() A.正方形 B.正六边形 练提能1百尺竿头更进一步 C.正八边形 D.正十二边形 5.一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的 9.我们知道正五边形不能进行平面镶 正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三角形、正 嵌，若将三个全等的正五边形按如图 方形、正六边形，那么另外一个是( 所示拼接在一起，那么图中的∠1的 A.正三角形 B.正方形 度数是 ( C.正五边形 D.正六边形 A.18 B.30 C.36 D.54 6.一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形 10.(辽宁营口一楼)用正三角形和正六边形铺成一个 镶嵌而成.其中的两个分别是正方形和正六边形，则 平面，则在同一个顶点处，正三角形和正六边形的 第三个正多边形的边数是 个数之比为( A.4:1 B.11 7.如图，某文化广场的地面是由正五边形与图形个密 C.1:4 D.4:1或1：1 铺而成，图中图形< 的尖角∠ABC 11.用正多边形来镶嵌平面的原理是共顶点的各个角 之和必须等于360°，现在有七种不同的正多边形： ①正三角形②正方形、③正六边形，①正八边形、 ⑤正十边形，⑥正十二边形，⑦正十五边形.请你用 其中不同的三种正多边形来镶嵌平面，这三种正多 边形可以是： .(请用序号表示，只需写 出两种即可) 57 |数学|o第19章四边形 12.用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正 15.我们知道，可以单独用正三角形，正方形或正六边 八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正 形铺满地面，如果我们要同时用两种不同的正多边 方形，如图1：用”个全等的正六边形按这种方式进 形铺满地面，可以设计出几种不同的组合方案？ 行拼接，如图2.若围成一圈后中间形成一个正多边 问题解决： 形，则n的值为 猜想1：是否可以同时用正方形，正八边形两种正多 边形组合铺满地面？ 验证1并完成填空：在铺地面时，设围绕某一个点 有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一 图1 图2 个周角.根据题意：可得方程①： 13,用正多边形镶嵌，设在一个顶点周围有m个正方 整理，得②： 形，n个正八边形，则m= 我们可以找到方程的正整数解为③： 结论1：铺满地面时，在一个顶点周围围绕着 14.已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点 ④ 个正方形和⑤ 个正八边 周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个 形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和 内角的度数的2 正八边形两种正多边形组合可以铺满地面. 猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种 (1)试分别确定A,B是什么正多边形？ 正多边形组合铺满地面？若能，请按照上述方法进 (2)画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形 行验证，并写出所有可能的方案：若不能，请说明 (画一→种即可)： 理由， (3)判断你所断图形的对称性（直接写出结果）， 58 19.4综合与实践多边形的镶嵌0|数学 16.阅读下面内容并回答问题： (1)有若干边长相等、边数分别为x,y,:的三种不 |练素养|探究创新发展率养 同的正多边形，若这三种正多边形能镶嵌整个 平面，试猜想x,y,x之间的关系，你能对你的这 如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA,现要分 个猜想给出证明吗？ 别以∠APB,∠APC,∠BPC为内角作正多边形，且 解：边数为x的正多边形的一个内角为 边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后 度， 成为一个图案. 边数为y的正多边形的一个内角为度， 例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正 边数为：的正多边形的一个内角为度， 因为能进行平面镶嵌，即各取三种正多边形的 方形，此时∠BPC=90,雨罗=45是360（多边形 一个内角能拼成360°角， 的外角和)的写，这样就恰好可作出两个边长均为】 所以有 的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案， =360, 如图2所示 在等式两边同时除以180，得 图2中的图案的外轮廓周长是 因为二2=工-2=1-2 x 在所有符合要求的图案中选一个外轮廓最大的定为 所以(1-）十 会标，则会标的外轮廓周长是 =2, 所以-（+号+）-1 在等式两边同时除以（一2，得（二十号+） 图1 图2 2 (2)根据上面得到的结论，从正三角形，正方形中选 一种，再在其他正多边形中选两种，请尝试找出 一个三种不同的正多边形镶嵌的方案.（直接写 出方案即可) 59∠AG=00 128,写解桥是松D,根据正方形的性清，得D 17.旺明如国，线M会前作E 19,4综合与实我多边形的镶嵌 ,1n=4-DE=1,AE=3- BE-AF干Ak=干了=4 第=M-于C,AE-(F2,国出E An文F手E,FC见 A子F, 侧厚地每BEF是平杆四 1.C2D4.C 在R心AE中，于AXAE--EXA 0深--？二3-工可为青请边利r为菱都，两出 天5解新正二角附。正方彩，正止速利的内角分利为 DF=DE=BF。F√+可2乃，所x雪进利 ,厚连形A议D是区岁附， ∠ACm9,∠AHD ,36们-行--13=0， 川E取的其长是4×1高- …等一个为工方0 年D解督德度A中的四这形是短利：选便目中的同速 1a8 解相镜IE=a,剩C=-AD=D=2: 限解(1)每小调点两图有6个正三角彩的内角，格好值成 的同建郑是正者。 十什理动用EF是正方形 7.任明，四注形AKD是是形 世赠克利AGF是L者利，∠AF=5 WE-MF △DH是苦晚直周三A形，，D=DH=2r ,1⊥AV.∠=， )不线.延十速形的内两不越包点 人AE年境熟秒 ∠FfE=,∠CWE∠FMN 3》姓，多发不单一-中国两希： .AE=AF,∠AE求m∠AFEm 品-DH0-,身女2--厚 1s,解11短明：世∠议D=.∠Q=”. ∠FD=∠AEB10-45了一5， .8H·i0-(山-2r3·=2. 品∠HCP∠DQ .△A”2A54A写. R=ENBE=1=了 =D AB=AD,想A指D是正求 48-+-r-1@ 在△P和△Q中.《∠P=∠D口. 线静 等证明小》同形ACD是平什国填和：从)=从 C-QC 又”△ACE是等边三角形， 1①如周， .1=0106236 品平行四填非A联D是菱： W△BCP△DQ 10,D解折：正★填的角及为12，土三满形的内 12:△AE是￥过玉青U,,∠AE纪= ∠DF,具 有，，120+=360, ∠RC-∠FE 写“？时，一，身是三周形和江六连的的个载戈出 B1M,4∠AB)-字∠A'-河 ∠DEF=∠改下= 111 ∠AED-2∠EAD.,∠ED= 店⊥Q小 ∴，AX=∠A0中A=A5, N I C 巴以△P为等进三角利 为4#1 ,围请形A兴D是菱 14正明出臂纯相AD风主方 kF=,川=0L ∴∠℃D=,又中=CD, 只食三作瓜多这都的内商可以注成一个周角，即可形 国生时A溪)是正方和 夏AMHE, ZCPD∠P= 这不明的二种是多连形来组我平面： i∠MI+∠E=w-∠AFD+∠MME 12.6解折两 一个会异A数但的 煤提能 失C解”同形AD是和 ,∠EA=∠AF ∴∠EP0=1=∠CPD=∠CPB=1产=G 鱼为10：就扣翼是管横，则需要一年州月为120的 ∠A=,HA=A.∠H4R=∠DAE=5 △m@△MFAA8,EF, L多边1.热正凌竹考方)，址备为 文AE=AE.△ABE△ADERAR △DEP角等壁直商三高都. ∠ADE ABE90- ,ADC∠D=∠E,∠AM=∠ 活素表 有5=2特他1 ∠A=140”一45-°=7 灵0是D的令A.“C=0, 解A是∠F的平分线：（是∠F的平分 14,解具山的内用考时A的内用为营不 ·△MUDE2△EC GH是∠，C的平令我，CHA∠D对的平命瓶，证 (21s∠n=∠AE港=4 男*下，”臂边彩D为玉为都， ”2女多线形A和3中压多边每BT处一是闻图 时，赠边制A》是王方 模采（密线， :公ADE福LE起米是△A上E AWD3AEC. 3+2子-0.新月士=0 ·ADAF,∠D=∠AFB-9-.AB=AP ,.41=. R△，ARLFGCHI.. 21多量不唯一，如屑所女： ACED死平骨可边形， ”.1=1,AA, 在AD◆，AB=AD,∠AC=∠MC AB-AE.ZBAE A是∠F的平线：是∠BF的平真 90 GH⊥G∠GH■'： :时边彩AD是平行球边彩 40 ME+∠HE=0-∠GB+∠HC-: AP=P.AH=A,∠BA'=∠DA=5 △ABP△ADPISAS.HP=DP 平什同形AED是， 中(H是∠C的平◆找， AB-AEAN-CD.AF-CD 11幼时物国U,答重不生+与1时众中可1 PELA罪，PF1BC,∠AC=。 如4，过玉H作HN⊥C于孟N, .遵形P军是绿形 15.期唯路1d9+B-9X18y- 16正明(1)W理填0D具色为都 ∠AG=∠-，AD=,夏，AG1述 D十3y=洛 LD期后图，是排， .∠D4+∠DF-9=∠CD+∠ADF, ∠D.G■∠DE, 六，△A△k7ASA》: 解纤，Gm→缝二x y=1 延吴气干日， C M N 些理，得⊙2十3y=8, E是C的中点 ∠NH-∠AI. 正星兵解为3二 ..BE-CE. -∠M+/C=阳，/B+∠M,=D', 光C=∠HBE9 tt1:④1G2 点B和点D展于直线C对非 NB-ND. △0n△HEA ∠-∠MD-4.∠MH- 证写烧某一个A有：个正三岛相仁y个正★雄师的 制B1现是DN十1N的最今植， ,BH■CnAB, ∠AG,品AGGH 内鸟可以得或一个尾用。事爆理套可停才程0：十 ,AA@GNHCAAS》, 方形ACD的边表是8，D=2,M= .枫=fN,4N=AB=仪，.HG=N. ..Mtn. 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