精品解析：江苏省徐州市树恩中学2024-2025学年高二下学期4月期中学情调研数学试题

徐州市树恩高中2024-2025学年第二学期中学情调研 高二年级数学试卷（选修） 命题：马卫东 审核：刘太丰 一､单选题 1. 函数可导，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 函数的导函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 3. 设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 若，则（ ） A. B. 4 C. D. 5. 已知，，则等于 A. B. C. D. 6. 设，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，其中甲厂、乙厂、丙厂生产的分别为5盒、3盒、2盒，且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 的展开式中常数项是（    ） A. -252 B. -220 C. 220 D. 252 二､多选题 9. （多选）已知函数的图象在x＝1处的切线的斜率为-3，则（ ） A. B. 在处取得极大值 C 当时，有最小值 D. 的极大值为 10. 下列等式正确的是（    ） A. B. C D. 11. 若，则（ ） A. B. C. D 三､填空题 12. （1）__________；（2）被5除所得的余数是__________. 13. 已知函数导函数为，且满足，则______. 14. 春节文艺汇演中需要将A，B，C，D，E，F六个节目进行排序，若A，B两个节目必须相邻，且都不能排在3号位置，则不同的排序方式有__________种． 四､解答题 15. 如图所示，在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？ 16. （1）一天有6节课，安排6门学科，这一天的课程表有几种排法？ （2）上午有4节课，一个教师要上3个班级课，每个班1节课，若不能连上3节，则这个教师的课有几种排法？ 17. 已知函数f(x)=ax2+lnx的导数为， （1）求； （2）若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围． 18. 已知的展开式中各项的二项式系数之和为64． （1）求该展开式的各项的系数之和； （2）求该展开式的所有偶数项的系数之和． 19. “猜灯谜”起源于春秋战国时期，是我国汉族特有的一种民俗文化娱乐活动形式，具有浓郁的民族风格，其灯谜的谜体多种多样，基本可以归为：正扣法、反扣法、侧扣法、增字法、损字法等二十种法门．在一次猜灯谜的活动中，甲、乙两名同学分别抽到正扣法与反扣法两种谜体，将其汇总后共有10道灯谜，其中正扣法有4道灯谜，现甲、乙两人先后依次抽取其中一道． （1）求甲抽到正扣法且乙抽到反扣法的概率； （2）在甲抽到正扣法灯谜的条件下，乙抽到反扣法灯谜的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 徐州市树恩高中2024-2025学年第二学期中学情调研 高二年级数学试卷（选修） 命题：马卫东 审核：刘太丰 一､单选题 1. 函数可导，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义即可得出. 【详解】解:. 所以C选项是正确的. 【点睛】本题考查了导数的定义,属于基础题. 2. 函数的导函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数奇偶性，特殊点的函数值排除求解即可. 【详解】易得，而，故，故是奇函数，排除A,D，而，排除B，故C正确. 故选：C 3. 设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】D 试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算． 解：， ∴y′（0）=a﹣1=2， ∴a=3． 故答案选D． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 4. 若，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知，再令，得，令，得，进而得. 【详解】因为， 所以． 令，得，即． 令，可得． 所以， 故选：C． 【点睛】本题考查二项式定理求值，考查运算求解能力，是中档题.解题的关键在于赋值和求解. 5. 已知，，则等于 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式，即可求解答案. 【详解】由题意，根据条件概率的计算公式， 由已知， 则， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算公式的应用，其中熟记条件概率的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率公式可求出，然后根据对立事件概率公式即可求出的值. 【详解】因，，， 所以． 故选：C． 7. 设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，其中甲厂、乙厂、丙厂生产的分别为5盒、3盒、2盒，且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由全概率公式即可处理. 【详解】设=“任取一个X光片为次品”，=“X光片为某厂生产”（甲、乙、丙厂依次对应） 则,且两两互斥. 由题意可得：, . 故选：A. 8. 的展开式中常数项是（    ） A. -252 B. -220 C. 220 D. 252 【答案】A 【解析】 【分析】化简二项式为，求得展开式的通项，令，求得，代入即可求解． 【详解】由， 可得二项式的展开式通项为： ， 令，解得， ∴展开式的常数项为． 故选：A． 二､多选题 9. （多选）已知函数的图象在x＝1处的切线的斜率为-3，则（ ） A. B. 在处取得极大值 C. 当时，有最小值 D. 的极大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，求出的值，判断A; 根据的值，求出导数，利用导数判断B,C,D即可. 【详解】解：因为，所以，所以，故A正确； 因为， 所以当时，；当时，； 当时，，所以在处取得极大值，为， 故B错误，D正确； 因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最小值为，故C正确． 故选：ACD． 10. 下列等式正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用排列数和组合数公式求解即可. 详解】根据组合数公式得，则A错误； 根据排列数公式得，则B正确； 根据排列数公式得，则C正确； 根据组合数公式得，， 即，则D正确． 故选:BCD. 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法，对于A，取x=0；对于B，取x=1，-1并作差；对于C，取x=-1；对于D，取，计算已知等式的两边即可得解. 【详解】因， 对于A，令，可得，A正确； 对于B，令，可得， 令，可得， 两式相减除以2，可得， B错误； 对于C，因，令， ，C正确； 令，可得，则，D正确. 故选：ACD 三､填空题 12. （1）__________；（2）被5除所得的余数是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）把，看出的展开式的偶数项的二项式系数之和，结合二项式系数的性质，即可求解； （2）化简，得到除了最后一项外，其余各项都能被5整除，进而得到答案. 【详解】（1）对于，即为的展开式的偶数项的二项式系数之和， 根据二项式系数的性质，可得偶数项的二项式系数转化为； （2）由， 除了最后一项外，其余各项都能被5整除，所以它被5除所得的余数为. 故答案为：；. 13. 已知函数的导函数为，且满足，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】对原函数求导，将代入求即可. 【详解】由题设，则. 故答案为： 14. 春节文艺汇演中需要将A，B，C，D，E，F六个节目进行排序，若A，B两个节目必须相邻，且都不能排在3号位置，则不同的排序方式有__________种． 【答案】144 【解析】 【分析】将A，B捆绑，先确定A，B的位置，再将剩余节目排序，即可得出答案. 【详解】解：将A，B捆绑，先确定A，B的位置，有种可能，再将剩余节目排序，有种可能，所以不同的排序方式有（种）． 故答案为：144. 四､解答题 15. 如图所示，在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？ 【答案】见解析 【解析】 【分析】设箱子的底边长为x cm，则箱子高h＝cm.故其体积V(x)＝ (0<x<60)．V′(x)＝60x－x2＝0，据此结合函数的单调性确定箱子容积的最大值即可. 【详解】设箱子的底边长为x cm，则箱子高h＝cm. 箱子容积V＝V(x)＝x2h＝ (0<x<60)． 求V(x)导数，得V′(x)＝60x－x2＝0， 解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝40. 当x在(0,60)内变化时，导数V′(x)的正负如下表： x (0,40) 40 (40,60) V′(x) ＋ 0 － 因此在x＝40处，函数V(x)取得极大值，并且这个极大值就是函数V(x)的最大值． 将x＝40代入V(x)得最大容积V＝402×＝16 000(cm3)． 所以箱子底边长取40 cm时，容积最大，最大容积为16 000 cm3. 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的最值，实际问题抽象为数学模型的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16. （1）一天有6节课，安排6门学科，这一天的课程表有几种排法？ （2）上午有4节课，一个教师要上3个班级的课，每个班1节课，若不能连上3节，则这个教师的课有几种排法？ 【答案】(1)720；(2)12. 【解析】 【分析】(1)根据排列数的定义表示课程表的排法数并化简；(2)先求从4节课中选取三节不相连的课的方法，再求安排教师的上课顺序的方法，由此可得总的排课方法数. 【详解】(1)一天有6节课，安排6门学科相当于将6个元素按顺序排成一列，所以课程表的排法与6个元素排成一列的排列数相等，故这一天的课程表有种排法，即720种排法. (2)安排该教师的课课分为两步实现，第一步从上午的四节课中选3节不相连的课有选1,2,4和选1,3,4两种选法，第二步将该教师所教的3个班级安排到所选的三个位置，由分步乘法计数原理可得总的排法数为，即12，所以这个教师的课有12种排法. 17. 已知函数f(x)=ax2+lnx的导数为， （1）求； （2）若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围． 【答案】（1）3a＋1；（2） 【解析】 【分析】(1)先求导得，再分别计算与即可得解； (2)根据给定条件可得切线斜率为0，利用方程在内有解即可计算作答. 【详解】（1）依题意，f(x)=ax2+lnx的定义域为(0，+∞)，由f(x)=ax2+lnx求导得：， 于是得，而， 所以； （2）因曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，则此时切线斜率为0，由导数的几何意义知，方程在内有解， 于是得方程，即在内有解，则， 所以实数a的取值范围是. 18. 已知的展开式中各项的二项式系数之和为64． （1）求该展开式的各项的系数之和； （2）求该展开式的所有偶数项的系数之和． 【答案】（1）1；（2）-364. 【解析】 【分析】（1）由二项式系数之和为64，得到，解得，再令得到各项系数之和； （2）记，由（1）知， 令，可得．从而计算可得； 【详解】解：（1）由题可知，， 解得， 令，得该展开式的各项的系数之和为． （2）记． 由（1）知， 令，可得． 所以该展开式的所以偶数项的系数之和为． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，利用赋值法求展开式系数和的问题，属于中档题. 19. “猜灯谜”起源于春秋战国时期，是我国汉族特有的一种民俗文化娱乐活动形式，具有浓郁的民族风格，其灯谜的谜体多种多样，基本可以归为：正扣法、反扣法、侧扣法、增字法、损字法等二十种法门．在一次猜灯谜的活动中，甲、乙两名同学分别抽到正扣法与反扣法两种谜体，将其汇总后共有10道灯谜，其中正扣法有4道灯谜，现甲、乙两人先后依次抽取其中一道． （1）求甲抽到正扣法且乙抽到反扣法的概率； （2）在甲抽到正扣法灯谜的条件下，乙抽到反扣法灯谜的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用古典概型概率公式，结合排列组合公式计算； （2）运用条件概率公式计算即可. 【小问1详解】 记“甲抽到正扣法”为事件，“乙抽到反扣法”为事件，“甲抽到正扣法且乙抽到反扣法”即为事件，则由题可得， 因为，所以． 【小问2详解】 “在甲抽到正扣法灯谜的条件下，乙抽到反扣法灯谜”即为事件发生的条件下，事件发生的概率，显然， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$