猜押05 解直角三角形的实际应用（解答题必考题）（5类题型）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（安徽专用）

猜押05 解直角三角形的实际应用（解答题） 考点 5年考题 考情分析 光线折射角 2024年第19题 解三角形问题是安徽中考数学中的必考问题，题目数量一般是一个题，一般以解答题的形式出现，预计2025年中考数学中仍会作为解答题来考察．所以掌握其基本的考试题型及解题技巧是非常有必要的．对于解直角三角形的应用考查，中考涉及到仰角、俯角、方位角、坡度等重要知识点。 仰角俯角问题 2023年第19题 方位角问题 2022年第20题 测量零件角度问题 2021年第17题 坡度坡比问题 2020年第18题 题型一 光线折射角 1．（安徽中考新趋势跨学科）如图，光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面B点后折射光线射到池底点D处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面C点后折射光线射到池底点E处，入射角，折射角．，、为法线．入射光线、和折射光线、及法线、都在同一平面内，点A到直线的距离为6米．    (1)求的长；（结果保留根号） (2)如果米，求水池的深．（参考数据：取1.41，取1.73，取0.37，取0.93，取0.4，取0.65，取0.76，取0.85） 2．（2025·安徽滁州·一模）小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（为入射角，为折射角），现有一块折射率、横截面为矩形的玻璃块，如图，若光线经边的中点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，已知，，求截面的面积．（精确到，，，） 3．（2025·安徽滁州·一模）如图1所示的是水平放置的水槽截面，，，一束光线从水槽边的处投射到空气和液体的分界上的中点处，入射光线与水槽内壁的夹角，与法线的夹角为，折射光线与法线的夹角．已知在光源沿向下移动的过程中，比值不随，的变化而变化．当入射点位置不变，光源沿向下移动到点时，折射光线通过点，如图2所示，求的长．（参考数据：） 题型二 仰角俯角问题 4．(叠合式)子母型（2025·安徽合肥·一模）马鞍山长江公铁大桥是巢马城际铁路控制性工程，主桥采用主跨三塔钢桁梁斜拉桥，总长3248米，为世界上首座双主跨超千米的三塔斜拉桥，图1是正在建设中的边塔．如图2，为了测量边塔上的点到的高度，数学测绘社团在与塔底同一平面上选取两个测量点，，使得点，，在同一条直线上，测得点的仰角，，用米尺测得，之间的距离为160米，求的高．（参考数据：，，．，，．） 5．拥抱型（2025·安徽合肥·一模）如图，在淮河的右岸边有一座高楼，左岸边有一坡度的山坡，点与点在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了米到达点处，在水平面上的投影为点，此时在处测得楼顶的仰角恰好等于，求楼的高度．（结果保留整数）（参考数据） 6．（2025·安徽合肥·一模）为了提升全社会对古树的保护意识，增强生态韧性，实现绿色发展，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度的山坡上发现一棵古树，测得古树底端C到山脚点A的距离米，在距山脚点A水平距离6米的点B处放置测角仪，测角仪支架的高度为米，在点E处测得古树顶端D的仰角（点A，B，C，D，E，F，P在同一平面内，古树与直线垂直），求古树的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，） 7．背靠背型（2025·安徽淮北·一模）某中心广场的塔楼是该市最高楼．如图，某学习研究小组利用无人机在该中心广场塔楼的正前方测量并计算．当无人机飞行到点C处时，无人机到地面的距离，无人机测得该塔楼底端处点B的俯角，测得该塔楼顶端处点A的仰角．点A、B、C、D、E都在同一平面内，求塔楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 8．（2025·安徽芜湖·一模）春天到了，万物复苏，小明在公园里放风筝，一开始小明站在处，风筝在空中的处，此时风筝线与地平线的夹角为，为了保证风筝能够平稳飞行，小明走到了外的处，此时风筝线与地平线的夹角为，而风筝的高度依然不变．求风筝的高度．（，，最后结果精确到米） 9．（2025·安徽淮北·一模）小鹏想测量学校内一棵古树的高度．如图，小鹏在B 处测得树顶A的仰角α为，然后他向前走了到达C处，测得树顶A的仰角β为．已知，点B，C，O在同一条直线上，请你帮助小鹏计算出古树的高度．(结果精确到，参考数据：，，，) 10．（2025·安徽池州·一模）兴趣小组同学为测量学校实验楼的高度，在实验楼正对面点C处，用高度为1.2m的测角仪观测的最高处点A的仰角为，再向前走了到点E处，观测最高处点A的仰角为，且A，B，C，D，E，F在同一平面内，B，E，C在同一条直线上．求实验楼的高度．（参考数据：，，，，，．结果保留整数） 11．（2025·安徽芜湖·一模）中国南北分界线位于安徽蚌埠龙子湖畔，以淮河地理分界为基准，核心景观是“火凤凰·龙”青铜雕塑，其顶部红蓝双色球象征南北气候冷暖差异，青龙（北）、朱雀（南）对应地域文化．下表是某校九年级学生在测量该雕塑高度的活动中的记录单． 活动项目 测量南北分界线雕塑的高度 活动方案 方案一 方案二 测量工具 测角仪、卷尺 平面镜、卷尺 方案示意图 测量过程 ①站在与雕塑底端B位于同一水平面的点D处； ②用测角仪测量从点C处观察雕塑顶点A的仰角； ③测量点C到地面的高度． ①站在与雕塑底端B位于同一水平面的点D处； ②在线段上放置一个平面镜，调整平面镜E的位置，后退到点D使观测者刚好从镜中看到雕塑的顶点A； ③测量B，E两点和D，E两点间的距离； ④测量C到地面的高度． 活动数据 ，，，，，． ，，． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直． ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选其中一种，计算雕塑的高度．（结果精确到米） 题型三 方位角问题 12．（解两个直角三角形）数学兴趣小组的成员在观察点测得观察点在的正北方向，古树在的东北方向，；在处测得在的南偏东的方向上，已知在正北方向上，即，求古树，之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，，，，， 13．（2025·安徽宣城·一模）如图，某地规划建设一段东西走向的高速公路，点周围200米范围内为居民区，在上的点处测得点在点的北偏东方向上，从点向东走700米到达点处，测得点在点的北偏西方向上．根据相关规定，高速公路与居民区之间的安全距离不少于30米，那么高速公路在此处修建是否符合规定？请通过计算说明理由．（参考数据：，，） 14．（2025·安徽芜湖·一模）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西方向上（点A、B、C、D在同一平面内），求隧道的长度．（参考数据：，，，结果精确到个位） 15．（2024·安徽·二模）如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶1500米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果保留整数，参考数据：，，，） 题型四 坡度坡比问题 16．（2025·安徽安庆·一模）2025年亚冬会在哈尔滨举行．亚布力滑雪场初级赛道截面图，如图所示，平台长10米，滑道长400米，滑道的坡角，雪场电梯坡角，点、、在同一条直线上．已知，，运动员滑下后从点走到点的速度为50米/分，坐电梯从到点的速度为100米/分． (1)求雪场电梯的长度． (2)计算运动员从点走到点，再坐电梯从到点，所需的时间．（，，，，，结果保留整数） 17．（2025·安徽·一模）随着时代的发展和人们生活水平的提高，私家车越来越多，停车越来越难，停车场的建造就成为解决问题的途径之一．如图是一个新建的地下停车场的设计示意图，已知坡道的坡比，的长为8.4米，的长为0.9米．按规定，停车场坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人其车辆能否安全驶入，请根据所给数据，确定该停车场入口的限高，即的长为多少？ 18．（安徽中考新趋势新科技文化）（2025·安徽蚌埠·一模）【研究背景】今年春晚，《秧》的特别表演惊艳了所有的观众，它的成功无疑是一次科技与人文的璀璨碰撞．高精度激光雷达、深度相机、激光 技术等先进技术，实现了实时捕捉环境数据、毫米级空间定位等功能，从而确保了舞蹈动作的精准匹配和协同一致．这不仅展示了机器人在运动控制方面的卓越能力，更体现了科技在文化传承与创新中的重要作用． 【数据采集】如图，在测试机器人宇树 爬坡(坡角)能力的过程中，当机器人行走至 点时，测得小腿与斜坡的夹角，大腿 与小腿 的夹角，． 【数据应用】已知机器人的小腿 的长度为，大腿上 点与 点的连线与水平面 垂直．根据上述数据，计算大腿 的长度(结果精确到，参考数据：) 题型五 解直角三角形实际应用 19．（2024·安徽合肥·一模）华为手机自带测量工具，用手机就能测量长度和身高，测距的原理可以简单概括为三角形测量法．如图①为学校外墙上的浮雕像，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准浮雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出浮雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者与浮雕像垂直于地面，若手机显示，，，求浮雕像的高度．（结果精确到，参考数据，，，） 20．（2025·安徽合肥·一模）图是一款可调节椅背的办公室沙发椅，它可以减轻使用者的脊椎压力，图是它的侧面示意图已知椅背，现将椅背角度从调节到（即， ），过点，作，，分别交直线于点，． (1)求水平方向增加的距离长．（结果精确到；参考数据：，， ） (2)求调节过程中椅背扫过的面积结果保留 21．新文化背景题（2025·安徽合肥·一模）桑梯是我国古代的一种采桑工具．如图1，这是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知点在线段上，米，米，，，，，垂足分别是，，求线段的长．（参考数据：，，） 22．（科技与视力）为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） (2)当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度增加还是减少？面板上端E离桌面的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 23．（安徽中考新趋势跨学科）（2025·安徽合肥·一模）如图1为世界上早期的潜望镜，记载于公元前2世纪西汉《淮南万毕术》：中国古代潜望镜的制法：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻也”，实现了在院墙内监测到墙外人员的实时工作状态，其工作原理为物理学中光的反射原理，如图2为其抽象的数学示意图，点为水盆，点为被观测者，现测得入射角，，与为法线，．若长为，求长度（精确到）．参考数据：，，，． 24．（绿色出行）（2025·安徽宣城·一模）为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．如图1，这是一辆自行车的实物图．图2是其平面示意图，测得一些数据，如表所示． 目标 自行车 图形 测得数据 ，，， 求车链横档的长．（结果保留整数．参考数据：，，） 25．（2024·安徽合肥·三模）某校数学兴趣小组一次综合实践活动中，利用无人机测量一个池塘的宽度．如图，无人机在距离地面的铅直高度为米的处测得池塘左岸处的俯角为63.4°，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得池塘右岸的俯角为30°．求池塘的宽度（结果精确到1米，参考数据：， ，，）． 26．（2025·安徽宣城·一模）宣纸是中国独特的手工艺品，具有质地绵韧、光洁如玉、不蛀不腐、墨韵万变之特色，享有“千年寿纸”的美誉，被誉为“国宝”．宣纸制作包括108道工序，其中“打浆”这一工序需要使用工具“碓”（图1），图2是其示意图．为转动点，，与水平线的夹角，，，当点绕点旋转下落到上时，线段，旋转到线段，位置，那么点在竖直方向上上升了多少？ 27．（2025·安徽合肥·一模）如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看立柱高，踏板静止时踏板连杆与上的线段重合，长为，当踏板连杆绕着点A旋转到处时，测得，此时点C离地面的距离是，求和的长．（结果精确到．参考数据：，，） 28．（2025·安徽合肥·一模）明代徐光启创作的《农政全书》成书于万历年间，基本囊括了中国明代农业生产和人民生活的各个方面．书中插图绘制了古代劳动人民发明的一种采桑工具——桑梯，如图1，其模型如图2所示，已知米，，梯子的踏脚点为D，梯脚为点C，且．请求出踏脚点D距地面的高度．（结果精确到0.1，参考数据：） 29．（2025·安徽合肥·一模）如图1所示，在水平桌面上放置着一盏台灯．如图2，水平桌面记为，台灯的底座高度为，支撑架长度为，连接杆长度为，且点、、在一条直线上，灯盘与连接杆垂直，其长度为．如图2，当连接杆绕点逆时针旋转后得到，且灯盘始终与连接杆垂直，求此时点离桌面的高度．（结果保留整数．参考数据：，，） 30．（2025·安徽阜阳·一模）综合与实践 【活动主题】支持乡村振兴，班级同学在老师的带领下前往某养鱼场开展综合实践活动． 【项目背景】其中一个项目是测算养鱼场长度（如图所示）． 【工具准备】皮尺、测角仪、计算器等． 【测量过程】在点测得，在点测得． 【数据信息】用计算器算得如下参考数据：，，，，，． 【完成任务】请你根据以上数据信息，求养鱼场长度． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押05 解直角三角形的实际应用（解答题） 考点 5年考题 考情分析 光线折射角 2024年第19题 解三角形问题是安徽中考数学中的必考问题，题目数量一般是一个题，一般以解答题的形式出现，预计2025年中考数学中仍会作为解答题来考察．所以掌握其基本的考试题型及解题技巧是非常有必要的．对于解直角三角形的应用考查，中考涉及到仰角、俯角、方位角、坡度等重要知识点。 仰角俯角问题 2023年第19题 方位角问题 2022年第20题 测量零件角度问题 2021年第17题 坡度坡比问题 2020年第18题 题型一 光线折射角 1．（安徽中考新趋势跨学科）如图，光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面B点后折射光线射到池底点D处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面C点后折射光线射到池底点E处，入射角，折射角．，、为法线．入射光线、和折射光线、及法线、都在同一平面内，点A到直线的距离为6米．    (1)求的长；（结果保留根号） (2)如果米，求水池的深．（参考数据：取1.41，取1.73，取0.37，取0.93，取0.4，取0.65，取0.76，取0.85） 【答案】(1)米 (2)4米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得和的值，然后即可计算出的值； （2）根据（1）中的结果和锐角三角函数，可以求得水池的深． 【详解】（1）解：作，交的延长线于点F，则， ∴，， ∵，， ∴，， ∵米， ∴（米），（米）， ∴（米）， 即的长为米； （2）解：设水池的深为x米，则米， 由题意可知：，，米， ∴（米），（米）， ∵， ∴， 解得， 即水池的深约为4米．    【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2．（2025·安徽滁州·一模）小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（为入射角，为折射角），现有一块折射率、横截面为矩形的玻璃块，如图，若光线经边的中点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，已知，，求截面的面积．（精确到，，，） 【答案】截面的面积为． 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，由题意可知，四边形为矩形，由折射率，得到，进一步得到，设，则，由勾股定理得到，解出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意可知，四边形为矩形， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，点是的中点， ∴，， ∵， 设，则， 在中，， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴， ∴截面的面积． 3．（2025·安徽滁州·一模）如图1所示的是水平放置的水槽截面，，，一束光线从水槽边的处投射到空气和液体的分界上的中点处，入射光线与水槽内壁的夹角，与法线的夹角为，折射光线与法线的夹角．已知在光源沿向下移动的过程中，比值不随，的变化而变化．当入射点位置不变，光源沿向下移动到点时，折射光线通过点，如图2所示，求的长．（参考数据：） 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．由图1可知，，得出，再由图2可知，，，得出，得到，在中利用正弦的定义求出的长，再利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：由图1可知，， ， 由图2可知，，， ， 由题意得，， ， ， ， ， 由题意得，， 在中，， ， ， ，， ，即， ， ． 的长为． 题型二 仰角俯角问题 4．(叠合式)子母型（2025·安徽合肥·一模）马鞍山长江公铁大桥是巢马城际铁路控制性工程，主桥采用主跨三塔钢桁梁斜拉桥，总长3248米，为世界上首座双主跨超千米的三塔斜拉桥，图1是正在建设中的边塔．如图2，为了测量边塔上的点到的高度，数学测绘社团在与塔底同一平面上选取两个测量点，，使得点，，在同一条直线上，测得点的仰角，，用米尺测得，之间的距离为160米，求的高．（参考数据：，，．，，．） 【答案】的高为210米． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用．设的高度为x米，在中可得出，在求得，根据米，列式可求出x的值． 【详解】解：设建筑物的高度为x米， 在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∵米， ∴，即， 解得， 答：的高为210米． 5．拥抱型（2025·安徽合肥·一模）如图，在淮河的右岸边有一座高楼，左岸边有一坡度的山坡，点与点在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了米到达点处，在水平面上的投影为点，此时在处测得楼顶的仰角恰好等于，求楼的高度．（结果保留整数）（参考数据） 【答案】137米 【知识点】根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】设米，根据题意可有米，利用勾股定理解得的值，易得米，米；过点作，垂足为，易知四边形为矩形，可得，再证明是等腰直角三角形，并设米，则可确定，的长度，然后在中，利用三角函数解得的值，即可获得答案． 【详解】解：由于山坡的坡度，设米，则米， 又∵， ∴，即， 解得米， ∴米，米， 过点作，垂足为，如图所示， 则有， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， 设米， ∴米，米， 在中，，即， 解得， 答：楼的高度约为137米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理等知识，正确作出辅助线，熟练运用相关知识是解题关键． 6．（2025·安徽合肥·一模）为了提升全社会对古树的保护意识，增强生态韧性，实现绿色发展，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度的山坡上发现一棵古树，测得古树底端C到山脚点A的距离米，在距山脚点A水平距离6米的点B处放置测角仪，测角仪支架的高度为米，在点E处测得古树顶端D的仰角（点A，B，C，D，E，F，P在同一平面内，古树与直线垂直），求古树的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，） 【答案】古树的高度约为． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长交的延长线于点F，交的延长线于点G，则，可求，设，则，可求，从而可求，，由，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，交的延长线于点G，则， 则四边形是矩形， 山坡上坡度， ， ， 设，则， 在中， ， ， 解得：， ，， ， 在中，， ， ， ； 答：古树的高度约为． 7．背靠背型（2025·安徽淮北·一模）某中心广场的塔楼是该市最高楼．如图，某学习研究小组利用无人机在该中心广场塔楼的正前方测量并计算．当无人机飞行到点C处时，无人机到地面的距离，无人机测得该塔楼底端处点B的俯角，测得该塔楼顶端处点A的仰角．点A、B、C、D、E都在同一平面内，求塔楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】塔楼的高度约为 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．延长，交于点，先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，再在中，解直角三角形可得的长，然后在中，解直角三角形可得的长，最后根据求解即可得． 【详解】解：如图，延长，交于点， 由题意得：， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴， 答：塔楼的高度约为． 8．（2025·安徽芜湖·一模）春天到了，万物复苏，小明在公园里放风筝，一开始小明站在处，风筝在空中的处，此时风筝线与地平线的夹角为，为了保证风筝能够平稳飞行，小明走到了外的处，此时风筝线与地平线的夹角为，而风筝的高度依然不变．求风筝的高度．（，，最后结果精确到米） 【答案】风筝的高度为 【知识点】特殊三角形的三角函数、解直角三角形的相关计算、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的计算，解直角三角形的应用，根据题意作适合的辅助线以构造直角三角形是解题关键． 过点作，交延长线于点，通过三角函数可得、，利用构建一元一次方程，解方程，再把代入计算即可． 【详解】解：过点作，交延长线于点，如图所示： 则，， 在中，， ∴， 在中，， ， ， 解得：， 答：风筝的高度为． 9．（2025·安徽淮北·一模）小鹏想测量学校内一棵古树的高度．如图，小鹏在B 处测得树顶A的仰角α为，然后他向前走了到达C处，测得树顶A的仰角β为．已知，点B，C，O在同一条直线上，请你帮助小鹏计算出古树的高度．(结果精确到，参考数据：，，，) 【答案】古树的高度约为． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设，在中，求得，在中，求得，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：延长交于点F，则， ，． 设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 由题意得， ∴，即， 解得，即． ∴． 答：古树的高度约为． 10．（2025·安徽池州·一模）兴趣小组同学为测量学校实验楼的高度，在实验楼正对面点C处，用高度为1.2m的测角仪观测的最高处点A的仰角为，再向前走了到点E处，观测最高处点A的仰角为，且A，B，C，D，E，F在同一平面内，B，E，C在同一条直线上．求实验楼的高度．（参考数据：，，，，，．结果保留整数） 【答案】实验楼的高度约为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点F作于点G，利用解直角三角形列方程，即可解答，熟练运用三角函数是解题的关键． 【详解】解：如图，过点F作于点G． 根据题意，得D，F，G三点共线，，，， ，． 设，在中，， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， 解得， 经检验是原方程的解 ∴． 答：实验楼AB的高度约为16m． 11．（2025·安徽芜湖·一模）中国南北分界线位于安徽蚌埠龙子湖畔，以淮河地理分界为基准，核心景观是“火凤凰·龙”青铜雕塑，其顶部红蓝双色球象征南北气候冷暖差异，青龙（北）、朱雀（南）对应地域文化．下表是某校九年级学生在测量该雕塑高度的活动中的记录单． 活动项目 测量南北分界线雕塑的高度 活动方案 方案一 方案二 测量工具 测角仪、卷尺 平面镜、卷尺 方案示意图 测量过程 ①站在与雕塑底端B位于同一水平面的点D处； ②用测角仪测量从点C处观察雕塑顶点A的仰角； ③测量点C到地面的高度． ①站在与雕塑底端B位于同一水平面的点D处； ②在线段上放置一个平面镜，调整平面镜E的位置，后退到点D使观测者刚好从镜中看到雕塑的顶点A； ③测量B，E两点和D，E两点间的距离； ④测量C到地面的高度． 活动数据 ，，，，，． ，，． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直． ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选其中一种，计算雕塑的高度．（结果精确到米） 【答案】雕塑的高度约为． 【知识点】相似三角形实际应用、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查三角函数测高与相似测高，选择方案一，利用三角函数测高的方法，解直角三角形即可得到答案；选择方案二，利用三角形相似的判定与性质，由相似比列方程求解即可得到答案；熟练掌握三角函数测高与相似测高的方法，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：选择方案一， ， ∴四边形是矩形， ， 在中，，， ， ， 答：雕塑的高度约为； 解：选择方案二， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 答：雕塑的高度约为． 题型三 方位角问题 12．（解两个直角三角形）数学兴趣小组的成员在观察点测得观察点在的正北方向，古树在的东北方向，；在处测得在的南偏东的方向上，已知在正北方向上，即，求古树，之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，，，，， 【答案】62.9米 【知识点】矩形性质理解、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】过作于，过作于，根据矩形的性质得到，，解直角三角形即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作于，过作于， ∵，，点在的正北方向 ∴四边形是矩形， ，， ，， ， ， （米， ， ， ， （米， （米， 答：古树、之间的距离约为62.9米． 13．（2025·安徽宣城·一模）如图，某地规划建设一段东西走向的高速公路，点周围200米范围内为居民区，在上的点处测得点在点的北偏东方向上，从点向东走700米到达点处，测得点在点的北偏西方向上．根据相关规定，高速公路与居民区之间的安全距离不少于30米，那么高速公路在此处修建是否符合规定？请通过计算说明理由．（参考数据：，，） 【答案】高速公路在此处修建是符合规定．理由见解析 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，过点C作于点，则，设，得到，根据米列方程，求出，比较后即可得到结论． 【详解】解：过点C作于点，则，设， ∵， ∴， ∵米， ∴ 解得， ∵， ∴高速公路在此处修建是符合规定． 14．（2025·安徽芜湖·一模）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西方向上（点A、B、C、D在同一平面内），求隧道的长度．（参考数据：，，，结果精确到个位） 【答案】隧道的长为米． 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．如图，过点D作于点E，根据方位图易得，，， 再根据三角函数即可求出的长；进而求出的长，的长，即可求出的长． 【详解】解：如图 如图，过点D作于点E，反向延长至， ， ， 又， ， ， ∴． ∵，． 在中， ． 在中， ． ∴． 答：隧道的长为米． 15．（2024·安徽·二模）如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶1500米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】982米 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键．分别过点，作，垂足分别为，结合矩形的判定和性质可得出，．根据三角形外角的性质可求出，即得出．再根据锐角三角函数可求出，，进而即可由求解． 【详解】解：分别过点，作，垂足分别为， 四边形为矩形， ，． ， ， ． 在中，，， ，， ． 在中，， ， 米． 答：大桥的长度约是982米． 题型四 坡度坡比问题 16．（2025·安徽安庆·一模）2025年亚冬会在哈尔滨举行．亚布力滑雪场初级赛道截面图，如图所示，平台长10米，滑道长400米，滑道的坡角，雪场电梯坡角，点、、在同一条直线上．已知，，运动员滑下后从点走到点的速度为50米/分，坐电梯从到点的速度为100米/分． (1)求雪场电梯的长度． (2)计算运动员从点走到点，再坐电梯从到点，所需的时间．（，，，，，结果保留整数） 【答案】(1)224米 (2)运动员从点走到点，再坐电梯从点到点所需时间大约需要6分钟 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于点．在中，解直角三角形得米，由矩形性质得，在中，利用直角三角形的性质即可得解； （2）在中，解直角三角形得米，由矩形性质得，米，在中，解直角三角形得米，米，从而即可得解． 【详解】（1）解：过点作于点． 在中，，， （米） ∵四边形是矩形， ∴ 在中，，， ∴（米） （2）解：在中，，， （米） ∵四边形是矩形， ∴ ∴（米） 在中 ∵， ∴（米） ∴（米） ∴所需总时间为：（分钟） 答：运动员从点走到点，再坐电梯从点到点所需时间大约需要6分钟． 17．（2025·安徽·一模）随着时代的发展和人们生活水平的提高，私家车越来越多，停车越来越难，停车场的建造就成为解决问题的途径之一．如图是一个新建的地下停车场的设计示意图，已知坡道的坡比，的长为8.4米，的长为0.9米．按规定，停车场坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人其车辆能否安全驶入，请根据所给数据，确定该停车场入口的限高，即的长为多少？ 【答案】2.4米 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，掌握坡度是坡角的正切值． 延长交于点E，根据坡道的坡比，可得，即可求出米，进而得出米，再证明，则，设，，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：延长交于点E， ， ， ， ， ， ． ， ． ∴， 设，， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴米． 答：点D到的距离的长为2.4米． 18．（安徽中考新趋势新科技文化）（2025·安徽蚌埠·一模）【研究背景】今年春晚，《秧》的特别表演惊艳了所有的观众，它的成功无疑是一次科技与人文的璀璨碰撞．高精度激光雷达、深度相机、激光 技术等先进技术，实现了实时捕捉环境数据、毫米级空间定位等功能，从而确保了舞蹈动作的精准匹配和协同一致．这不仅展示了机器人在运动控制方面的卓越能力，更体现了科技在文化传承与创新中的重要作用． 【数据采集】如图，在测试机器人宇树 爬坡(坡角)能力的过程中，当机器人行走至 点时，测得小腿与斜坡的夹角，大腿 与小腿 的夹角，． 【数据应用】已知机器人的小腿 的长度为，大腿上 点与 点的连线与水平面 垂直．根据上述数据，计算大腿 的长度(结果精确到，参考数据：) 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；延长交于点，根据已知条件得出延长交于点，进而解，求得的长，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∵， 在中，， ∴ 题型五 解直角三角形实际应用 19．（2024·安徽合肥·一模）华为手机自带测量工具，用手机就能测量长度和身高，测距的原理可以简单概括为三角形测量法．如图①为学校外墙上的浮雕像，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准浮雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出浮雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者与浮雕像垂直于地面，若手机显示，，，求浮雕像的高度．（结果精确到，参考数据，，，） 【答案】浮雕像的高度约为2.0米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，将解直角三角形与实际问题结合，需要构造合适的直角三角形．过点于F点，在中，求出，即可得到，再利用勾股定理即可求出． 【详解】.解：过点于F点， 在中，，， ，， ， ∴在中， . 答：浮雕像的高度约为． 20．（2025·安徽合肥·一模）图是一款可调节椅背的办公室沙发椅，它可以减轻使用者的脊椎压力，图是它的侧面示意图已知椅背，现将椅背角度从调节到（即， ），过点，作，，分别交直线于点，． (1)求水平方向增加的距离长．（结果精确到；参考数据：，， ） (2)求调节过程中椅背扫过的面积结果保留 【答案】(1)水平方向增加的距离长约为 (2)调节过程中椅背扫过的面积为 【知识点】求图形旋转后扫过的面积、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用及扇形的面积． （1）由题意得，求出，，解直角三角形求出，，即可求解； （2）先求出，再根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ，， ，， ，， ， ，， ， 答：水平方向增加的距离长约为； （2）解：由题意得， ； 答：调节过程中椅背扫过的面积为． 21．新文化背景题（2025·安徽合肥·一模）桑梯是我国古代的一种采桑工具．如图1，这是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知点在线段上，米，米，，，，，垂足分别是，，求线段的长．（参考数据：，，） 【答案】0.34米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据三角形内角和算出，结合，得出（米），再得出（米），然后根据线段的和差进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 在中，， （米）． 米，米， （米）． 在中，， （米）， （米）， 答：线段的长为0.34米． 22．（科技与视力）为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） (2)当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度增加还是减少？面板上端E离桌面的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2)高度是增加了，增加了约 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）过点C作于点F，过点B作于点M，则四边形为矩形，可得，．求出，解直角三角形求出的长，即可得解； （2）过点C作，过点E作于点H，分别求出从变化到的过程中的值，即可得解． 【详解】（1）解：过点C作于点F，过点B作于点M， ∴． 由题意得，， ∴四边形为矩形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 答：支点C离桌面的高度为． （2）解：过点C作，过点E作于点H， ∴． ∵，， ∴． 当时，； 当时，； ∴ ∴当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度是增加了，增加了约． 23．（安徽中考新趋势跨学科）（2025·安徽合肥·一模）如图1为世界上早期的潜望镜，记载于公元前2世纪西汉《淮南万毕术》：中国古代潜望镜的制法：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻也”，实现了在院墙内监测到墙外人员的实时工作状态，其工作原理为物理学中光的反射原理，如图2为其抽象的数学示意图，点为水盆，点为被观测者，现测得入射角，，与为法线，．若长为，求长度（精确到）．参考数据：，，，． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】此题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． 如图所示，过点A作于点E，求出，然后求出，勾股定理求出，然后求出，然后解直角三角形求解即可． 【详解】如图所示，过点A作于点E， ∵入射角， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 24．（绿色出行）（2025·安徽宣城·一模）为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．如图1，这是一辆自行车的实物图．图2是其平面示意图，测得一些数据，如表所示． 目标 自行车 图形 测得数据 ，，， 求车链横档的长．（结果保留整数．参考数据：，，） 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，过点A作，垂足为H，根据平行线的性质得，再由三角形内角和定理得，解等腰直角三角形得，再根据三角函数的定义得，代入计算即可得解． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为H． ， ， ， ， 在中，， 在中，， ． 答：车链横档的长约为． 25．（2024·安徽合肥·三模）某校数学兴趣小组一次综合实践活动中，利用无人机测量一个池塘的宽度．如图，无人机在距离地面的铅直高度为米的处测得池塘左岸处的俯角为63.4°，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得池塘右岸的俯角为30°．求池塘的宽度（结果精确到1米，参考数据：， ，，）． 【答案】池塘的宽度约为64米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了关于俯仰角的解直角三角形的问题．作垂线构造直角三角形是解题关键． 过点作于点，过点作于点，分别解、即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点． 则四边形是矩形． 在中， 在中， ， 米 答：池塘的宽度约为64米． 26．（2025·安徽宣城·一模）宣纸是中国独特的手工艺品，具有质地绵韧、光洁如玉、不蛀不腐、墨韵万变之特色，享有“千年寿纸”的美誉，被誉为“国宝”．宣纸制作包括108道工序，其中“打浆”这一工序需要使用工具“碓”（图1），图2是其示意图．为转动点，，与水平线的夹角，，，当点绕点旋转下落到上时，线段，旋转到线段，位置，那么点在竖直方向上上升了多少？ 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了旋转变换，矩形判定和性质，含30度直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质，位似三角形性质等知识，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键． 连接，过点作于点，过作于点，于点，则四边形是矩形，则，，得，求出，证明，得，得，得，根据，即得． 【详解】解：设上升的高度为， 连接，过点作于点，过作于点，于点，则四边形是矩形， ， ，， ， 于点，， ， ， ， ， ， ． ，即， ， ， ． ，， ． 答：点在竖直方向上上升了． 27．（2025·安徽合肥·一模）如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看立柱高，踏板静止时踏板连杆与上的线段重合，长为，当踏板连杆绕着点A旋转到处时，测得，此时点C离地面的距离是，求和的长．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】的长约为，的长约为 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点作于，则四边形是矩形，根据矩形的性质可得，设,则．根据列方程求解即可． 【详解】解：过点C作与G，设． 则． 在中， 即 解得 答：的长约为，的长约为． 28．（2025·安徽合肥·一模）明代徐光启创作的《农政全书》成书于万历年间，基本囊括了中国明代农业生产和人民生活的各个方面．书中插图绘制了古代劳动人民发明的一种采桑工具——桑梯，如图1，其模型如图2所示，已知米，，梯子的踏脚点为D，梯脚为点C，且．请求出踏脚点D距地面的高度．（结果精确到0.1，参考数据：） 【答案】踏脚点与地面的高度约为米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是构造直角三角形，过点作，垂足为，根据，求出，，再根据，即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为， 米，， 米， ∵，， ∴， 在中，， （米）， 答：踏脚点与地面的高度约为米． 29．（2025·安徽合肥·一模）如图1所示，在水平桌面上放置着一盏台灯．如图2，水平桌面记为，台灯的底座高度为，支撑架长度为，连接杆长度为，且点、、在一条直线上，灯盘与连接杆垂直，其长度为．如图2，当连接杆绕点逆时针旋转后得到，且灯盘始终与连接杆垂直，求此时点离桌面的高度．（结果保留整数．参考数据：，，） 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过作于，过作交于，过作交于，过作交于，由三角函数得，，由线段和差得，即可求解；掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 【详解】解：过作于，过作交于，过作交于，过作交于， ， ， 四边形和四边形都是矩形， ， ， ， ， ， 在中， ， 在中， ， （）， 答：此时点离桌面的高度． 30．（2025·安徽阜阳·一模）综合与实践 【活动主题】支持乡村振兴，班级同学在老师的带领下前往某养鱼场开展综合实践活动． 【项目背景】其中一个项目是测算养鱼场长度（如图所示）． 【工具准备】皮尺、测角仪、计算器等． 【测量过程】在点测得，在点测得． 【数据信息】用计算器算得如下参考数据：，，，，，． 【完成任务】请你根据以上数据信息，求养鱼场长度． 【答案】养鱼场长度约为． 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用．作于，于，求得，在中，利用三角函数的定义求得，，在中，利用三角函数的定义求得，据此求解即可． 【详解】解：作于，于，则四边形为矩形， ∴， 在中，，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴ 在中，，． ∵， ∴， ∴， ∴， 即养鱼场长度约为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$