专题07 唯一零点求值问题-2025年新高考数学函数与导数压轴小题专题突破

专题07 唯一零点求值问题 【题型归纳】 题型一：二次函数与指数、对数混合 题型二：指数函数与三角函数混合 题型三：与数列结合的综合应用 【方法技巧总结】 1、参数分离法：将参数分离至等式一侧，转化为求函数值域或最值问题。 2、图像分析法：将问题转化为两个函数图像的上下关系，构建方程求解。 3、导数工具法：求导分析函数极值点，结合单调性判断零点唯一性。 4、对称性利用：对于特殊函数形式（如偶函数），利用对称性简化求解。 【典型例题】 题型一：二次函数与指数、对数混合 【例1】（2025·高三·海南海口·阶段练习）已知函数有唯一零点，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以 所以，故函数关于直线对称， 故由函数存在唯一零点得零点只在处取得即， 所以，解得. 故选：A. 【变式1-1】（2025·贵州毕节·模拟预测）若函数有唯一零点，则实数（    ） A．2 B． C．4 D．1 【答案】A 【解析】由 ， 得，即函数的图象关于对称， 要使函数有唯一的零点， 则，即，得． 故选：A． 【变式1-2】（2025·高一·重庆沙坪坝·期末）已知函数(是自然对数的底数)有唯一零点，则 . 【答案】 【解析】根据函数为偶函数可知零点为，从而可求的值.，故为偶函数， 而为唯一零点，故零点为，故即， 故答案为：2. 【变式1-3】（2025·高三·上海普陀·阶段练习）已知函数有唯一零点，则a的值为 ． 【答案】2 【解析】 ， 函数关于对称， 若函数有唯一零点， 则该零点必为2，即， 解得， 故答案为：2． 题型二：指数函数与三角函数混合 【例2】（2025·高一·四川宜宾·期末）若函数有唯一零点，则实数 ． 【答案】-2 【解析】函数有唯一零点， 等价于方程有一个解， 即函数与函数只有一个交点， 结合对勾函数的性质，可知在上单调减，在上单调增， 在处取得最小值2，所以一定有，即， 故答案是：. 【变式2-1】（2025·高三·安徽六安·阶段练习）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（   ） A．或 B．1或 C．或2 D．或1 【答案】A 【解析】已知，① 且，分别是上的偶函数和奇函数， 则， 得：，② ①+②得：，则， 由为偶函数，关于对称， 则关于对称， 又为偶函数，关于对称， 则关于对称， 故关于对称， 由于有唯一零点， 则必有， 即：， 解得：或. 故选：A. 【变式2-2】（2025·高一·安徽合肥·期末）已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D．1或 【答案】D 【解析】因为，① 分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以， 即，② 由①+②，得， 由①-②，得， 又因为有唯一零点， 即有唯一解， 因为为偶函数，图象关于轴对称， 所以图象关于轴对称， 的图象也关于轴对称， 所以的图象关于轴对称， 所以，即，解得或. 故选：D. 【变式2-3】（2025·高一·安徽合肥·期末）已知函数，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（   ） A．或 B．1或 C．或1 D．或2 【答案】A 【解析】函数，分别为定义在上的偶函数和奇函数， 则，， 所以，解得， 由为偶函数，关于对称，则关于对称， 又为偶函数，关于对称，则关于对称， 所以关于对称， 则有唯一零点一定在处取得， 故有， 化简得，解得或. 故选：A. 题型三：与数列结合的综合应用 【例3】（2025·高三·全国·专题练习）在数列中，，且函数的导函数有唯一零点，则的值为 ． 【答案】1021 【解析】由在R上有唯一零点， 而， 所以 为偶函数，则，故，且， 所以是首项为4，公比为2的等比数列，则， 则； 故答案为：1021. 【变式3-1】（2025·高二·天津·期末）已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足，若函数有唯一零点，则实数的值为 . 【答案】或 【解析】因为函数有唯一零点， 所以函数有唯一零点， 因为函数是定义在上的偶函数，所以， 所以， 所以函数为偶函数，又函数有唯一零点， 所以函数的零点为， 所以， 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 又由可得，所以， 所以 解得或． 故答案为：或． 【变式3-2】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）在数列中，为其前项和，首项，且函数的导函数有唯一零点，则 ． 【答案】502 【解析】，令， 显然定义域关于原点对称，且， 结合已知有偶函数有唯一零点， 则这个零点只能是（否则若，则有，这与有唯一零点矛盾）， 所以，即，经检验符合题意， 注意到， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 从而，所以， 所以. 故答案为：502. 【变式3-3】（2025·安徽芜湖·二模）在数列中，为其前n项和，首项，且函数的导函数有唯一零点，则=（    ） A．26 B．63 C．57 D．25 【答案】C 【解析】因为， 所以，由题意可知：有唯一零点. 令，可知为偶函数且有唯一零点， 则此零点只能为0，即，代入化简可得：， 又，所以，，，，所以. 故选：C 【过关测试】 1．（2025·湖南岳阳·二模）若函数有唯一零点，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】由于有唯一的零点，所以也有唯一的零点， 由于均为偶函数，所以为偶函数， 因此，故， 故选：C 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知条件可知 由函数奇偶性易知 令，为偶函数. 当时，， 单调递增，当时，单调递减，仅有一个极小值点 图象右移一个单位，所以仅在处有极小值， 则函数只有一个零点，即， 解得， 故选：A 3．（2025·全国·模拟预测）若函数有唯一零点，则实数的值为（    ） A．0 B．－2 C．2 D．－1 【答案】B 【解析】设， ∴ 故函数为偶函数，则函数的图像关于轴对称，故函数的图像关于直线对称， ∵有唯一零点 ∴，即， 经检验，仅有1个零点. 故选：B. 4．（2025·高一·山西晋中·期末）已知函数有唯一零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的定义域为， ， 所以，函数的图象关于直线对称， 因为函数有唯一零点，则，解得. 故选：C. 5．（2025·高三·云南·阶段练习）已知函数有唯一零点，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】把函数等价转化为偶函数，利用偶函数性质，有唯一零点，由得解.因为， 令 则， 因为函数有唯一零点， 所以也有唯一零点，且为偶函数，图象关于轴对称，由偶函数对称性得，所以，解得， 故选：D. 6．（2025·高三·广西·阶段练习）已知关于的函数有唯一零点，则（    ） A． B．3 C．或3 D．4 【答案】B 【解析】，令， 则有是偶函数， 若只有唯一零点，则必过原点，即，从而. 当时，有3个零点，舍去. 故，此时，则，故. 故选：B 7．（2025·高一·四川遂宁·阶段练习）已知函数有唯一零点，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为函数， 令， 则为偶函数， 因为函数有唯一零点， 所以有唯一零点， 根据偶函数的对称性，则， 解得， 故选：B 8．（2025·高三·云南曲靖·阶段练习）已知函数有唯一零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】有零点，则， 令，则上式可化为， 因为恒成立，所以， 令，则， 故为偶函数， 因为有唯一零点，所以函数的图象与有唯一交点， 结合为偶函数，可得此交点的横坐标为0， 故. 故选：D 9．（2025·全国·模拟预测）已知函数（），若函数在上有唯一零点，则的值为（    ） A．1 B．或0 C．1或0 D．2或0 【答案】C 【解析】求出函数的导函数，当时，只需，即，令，利用导数求其单调区间，即可求出参数的值，当时，根据函数的单调性及零点存在性定理可判断；∵（）， ∴，∴当时，由得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以是极小值，∴只需， 即.令，则，∴函数在上单 调递增.∵，∴； 当时，，函数在上单调递减，∵，，函数在上有且只有一个零点，∴的值是1或0. 故选：C 10．（2025·高三·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数有唯一零点，则实数（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】通过转化可知问题等价于函数的图象与函数的图象只有一个交点求的值，分，，三种情况，结合函数的单调性分析可得结论.函数有唯一零点，等价于函数的图象与函数的图象只有一个交点， 当时，，此时有两个零点，不满足题意； 当时，由于在上单调递减，在上单调递增，且在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的图象最低点为，函数的图象最低点为，由于，故两个函数的图象有两个交点，不满足题意； 当时，由于在上单调递减，在上单调递增，且在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的图象最低点为，函数的图象最低点为，若两函数只有一个交点，则，即. 故选：D. 11．（2025·高二·全国·课后作业）若函数有唯一零点，则 ． 【答案】0 【解析】有1个零点，则方程有1个实数根， 令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，又当时，；当时，， 所以要与的图象有一个交点，则，解得． 故答案为：0 12．（2025·高一·浙江衢州·期末）已知函数有唯一零点，则 ． 【答案】2 【解析】， 因为， 所以函数关于对称， 要使函数有唯一零点， 所以函数的零点只能为， ，所以， 此时， 令，设， 则 ， 因为，所以，则， 所以， 即， 所以函数在上递增， 又在上递增， 所以函数在上递增，在上递减， 又，故可知函数有唯一零点，符合题意， 所以. 故答案为：. 13．（2025·高三·福建宁德·阶段练习）已知函数有唯一零点，则 . 【答案】/ 【解析】令，则方程有且仅有一个解， 所以，令，则， 令，， 又因为，则为偶函数； ，也为偶函数， 若与在有至少一个交点， 则在也至少有一个交点，则与题意不符. 故与在上没有交点， 即存在唯一解， 所以，解得. 故答案为：. 14．（2025·高一·江苏苏州·期末）已知函数g(x)，h(x)分别是定义在R的偶函数和奇函数，且满足则函数g(x)的解析式为 ；若函数有唯一零点，则实数λ的值为 . 【答案】 或 【解析】构造函数方程并根据奇偶性可求得函数g(x)的解析式；转化为有唯一解，构造偶函数，根据偶函数的对称性列式可求得结果.∵，分别是定义在R上的偶函数和奇函数， ∴， 又∵①， ∴② ①+②：，∴, 又∵， 又∵有唯一零点，等价于有唯一解， 设， ∵为偶函数，∴当且仅当时为唯一零点， ∴，解得或. 故答案为：；或 15．（2025·天津南开·一模）已知函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为 【答案】－1或 【解析】因为函数有唯一零点， 所以函数有唯一零点，又， ， 所以函数是偶函数，又函数有唯一零点， 则的零点为0，所以， 因为是R上的奇函数，所以， 由，解得， 所以，解得或. 故答案为：或. 16．（2025·高一·北京·阶段练习）已知函数有唯一零点，则实数的值是 . 【答案】2 【解析】设，则原函数可化为：， 因为，所以为定义在上的偶函数. 原函数只有唯一零点，转化为有唯一零点，又的图象关于轴对称， 所以只有. 故答案为： 17．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，有唯一零点，则的值为 . 【答案】2 【解析】由题意知有唯一解，， 故， 设，即，设，则， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增；， 故方程有唯一解，即有唯一解，即有唯一解， 设，，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当趋近于0和趋近于时，趋近于， 故只需满足， 设，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 故，故成立. 18．（2025·高一·云南·期末）若函数有唯一零点，则 ． 【答案】 【解析】，， 则有唯一零点等价于，图象有唯一交点, 因为的定义域为， 所以在内单调递增，在内单调递减，其最大值为． 由于为偶函数，, 故的图象关于对称． 而， 的图象也关于对称，结合如图所示的，图象可知， 仅当，即时，，图象有唯一交点， 故． 故答案为：. 19．（2025·高二·山东菏泽·期末）已知函数（）有唯一零点，则 . 【答案】/ 【解析】由题意可得，， 即， 构造函数，其中， 则，所以在上单调递增， 由可得，，所以， 所以. 故答案为： 20．（2025·高一·上海普陀·期末）若函数有唯一零点，则实数的值为 . 【答案】 【解析】 是偶函数 根据偶函数的性质，可得，，解得 当时，此时，有唯一零点； 当时，此时，也有唯一零点； 故时有唯一零点. 故答案为： 21．（2025·高三·上海闵行·阶段练习）已知函数有唯一零点，则 【答案】 【解析】 设，则 定义域为， 所以为偶函数， 所以的图像关于成轴对称 要使有唯一零点， 则只能， 即 解得， 故答案为：. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 唯一零点求值问题 【题型归纳】 题型一：二次函数与指数、对数混合 题型二：指数函数与三角函数混合 题型三：与数列结合的综合应用 【方法技巧总结】 1、参数分离法：将参数分离至等式一侧，转化为求函数值域或最值问题。 2、图像分析法：将问题转化为两个函数图像的上下关系，构建方程求解。 3、导数工具法：求导分析函数极值点，结合单调性判断零点唯一性。 4、对称性利用：对于特殊函数形式（如偶函数），利用对称性简化求解。 【典型例题】 题型一：二次函数与指数、对数混合 【例1】（2025·高三·海南海口·阶段练习）已知函数有唯一零点，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式1-1】（2025·贵州毕节·模拟预测）若函数有唯一零点，则实数（    ） A．2 B． C．4 D．1 【变式1-2】（2025·高一·重庆沙坪坝·期末）已知函数(是自然对数的底数)有唯一零点，则 . 【变式1-3】（2025·高三·上海普陀·阶段练习）已知函数有唯一零点，则a的值为 ． 题型二：指数函数与三角函数混合 【例2】（2025·高一·四川宜宾·期末）若函数有唯一零点，则实数 ． 【变式2-1】（2025·高三·安徽六安·阶段练习）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（   ） A．或 B．1或 C．或2 D．或1 【变式2-2】（2025·高一·安徽合肥·期末）已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D．1或 【变式2-3】（2025·高一·安徽合肥·期末）已知函数，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（   ） A．或 B．1或 C．或1 D．或2 题型三：与数列结合的综合应用 【例3】（2025·高三·全国·专题练习）在数列中，，且函数的导函数有唯一零点，则的值为 ． 【变式3-1】（2025·高二·天津·期末）已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足，若函数有唯一零点，则实数的值为 . 【变式3-2】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）在数列中，为其前项和，首项，且函数的导函数有唯一零点，则 ． 【变式3-3】（2025·安徽芜湖·二模）在数列中，为其前n项和，首项，且函数的导函数有唯一零点，则=（    ） A．26 B．63 C．57 D．25 【过关测试】 1．（2025·湖南岳阳·二模）若函数有唯一零点，且，则（    ） A． B． C． D．1 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·全国·模拟预测）若函数有唯一零点，则实数的值为（    ） A．0 B．－2 C．2 D．－1 4．（2025·高一·山西晋中·期末）已知函数有唯一零点，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高三·云南·阶段练习）已知函数有唯一零点，则（    ） A．1 B． C． D． 6．（2025·高三·广西·阶段练习）已知关于的函数有唯一零点，则（    ） A． B．3 C．或3 D．4 7．（2025·高一·四川遂宁·阶段练习）已知函数有唯一零点，则（    ） A． B． C． D．1 8．（2025·高三·云南曲靖·阶段练习）已知函数有唯一零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·全国·模拟预测）已知函数（），若函数在上有唯一零点，则的值为（    ） A．1 B．或0 C．1或0 D．2或0 10．（2025·高三·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数有唯一零点，则实数（    ） A． B．2 C． D． 11．（2025·高二·全国·课后作业）若函数有唯一零点，则 ． 12．（2025·高一·浙江衢州·期末）已知函数有唯一零点，则 ． 13．（2025·高三·福建宁德·阶段练习）已知函数有唯一零点，则 . 14．（2025·高一·江苏苏州·期末）已知函数g(x)，h(x)分别是定义在R的偶函数和奇函数，且满足则函数g(x)的解析式为 ；若函数有唯一零点，则实数λ的值为 . 15．（2025·天津南开·一模）已知函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为 16．（2025·高一·北京·阶段练习）已知函数有唯一零点，则实数的值是 . 17．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，有唯一零点，则的值为 . 18．（2025·高一·云南·期末）若函数有唯一零点，则 ． 19．（2025·高二·山东菏泽·期末）已知函数（）有唯一零点，则 . 20．（2025·高一·上海普陀·期末）若函数有唯一零点，则实数的值为 . 21．（2025·高三·上海闵行·阶段练习）已知函数有唯一零点，则 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$