第三章 专题强化 卫星的变轨和双星问题-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一物理必修第二册教师用书（教科版2019）

专题强化　卫星的变轨和双星问题 ［学习目标］　1.理解卫星变轨的原因，会分析卫星变轨前后的物理量变化(重难点)。2.知道航天器的对接问题的处理方法。3.掌握双星运动的特点，会分析双星的相关问题(重点)。 一、卫星的变轨问题 如图是飞船从地球上发射到绕月球运动过程的飞行示意图。 (1)从绕地球运动的轨道上进入奔月轨道，飞船应采取什么措施？为什么？ (2)从奔月轨道进入月球轨道，又应采取什么措施？为什么？ 答案　(1)从绕地球运动的轨道上加速，使飞船做离心运动。当飞船加速时，飞船所需的向心力F向=m增大，万有引力不足以提供飞船所需的向心力，飞船将做离心运动，向高轨道变轨。 (2)飞船从奔月轨道进入月球轨道应减速。当飞船减速时，飞船所需的向心力F向=m减小，万有引力大于所需的向心力，飞船将做近心运动，向低轨道变轨。 1.变轨过程 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火加(选填“加”或“减”)速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动所需的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加(选填“加”或“减”)速进入圆轨道Ⅲ。 2.变轨过程各物理量分析 (1)两个不同轨道的“切点”处线速度v不相等，图中vⅢ>vⅡB，vⅡA>vⅠ(均选填“>”“<”或“=”)。 (2)两个不同圆轨道上的线速度v不相等，轨道半径越大，v越小，图中vⅠ>vⅢ(选填“>”“<”或“=”)。 (3)不同轨道上运行周期T不相等。根据开普勒第三定律=k知，低轨道的周期小于高轨道的周期，图中TⅠ<TⅡ<TⅢ。 (4)两个不同轨道的“切点”处加速度a相同，图中aⅢ=aⅡB，aⅡA=aⅠ。 (5)每加速一次，对卫星做功，卫星机械能增加。卫星仅在引力作用下运动，引力势能与动能相互转化，机械能不变，故EⅢ>EⅡ>EⅠ。 例1　(2023·绵阳中学高一期中)“天问一号”探测器经过多次制动变轨后登陆火星的轨迹示意图如图所示，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆。探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的切点，O、Q还分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点。关于探测器，下列说法正确的是(　　) A.由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速 B.在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期 C.在轨道Ⅱ上运行的线速度大于火星的第一宇宙速度 D.在轨道Ⅲ上，探测器运行到O点的线速度大于运行到Q点的线速度 答案　A 解析　由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速，A正确；根据开普勒第三定律，因轨道Ⅱ的半径大于轨道Ⅲ的半长轴，所以在轨道Ⅱ上运行的周期大于在轨道Ⅲ上运行的周期，B错误；根据v=可知，在轨道Ⅱ上运行的线速度小于火星的第一宇宙速度，C错误；根据开普勒第二定律可知，在轨道Ⅲ上，探测器运行到O点的线速度小于运行到Q点的线速度，D错误。 拓展　(1)在轨道Ⅲ上，探测器经过O点时的速率　　　　它在轨道Ⅰ上经过O点时的速率；  (2)在轨道Ⅲ上，探测器经过O点时的加速度大小　　　　它在轨道Ⅰ上经过O点时的加速度大小；在轨道Ⅲ上探测器经过O点时的加速度大小　　　　它在Q点时的加速度大小。  答案　(1)小于　(2)等于　小于 判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路 1.判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断。 2.判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。 3.判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。 4.判断卫星在某点的加速度大小时，可根据a=G判断。 二、航天器的对接问题 1.如图所示，若两个航天器在同一轨道上运动，后面的航天器加速会追上前面的航天器吗？ 答案　不会，后面的航天器加速会做离心运动进入高轨道，减速会做近心运动进入低轨道，都不会追上前面的航天器。 2.怎样才能使后面的航天器追上前面的航天器？ 答案　如图所示，后面的航天器先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使后面的航天器追上前面的航天器时恰好具有相同的速度。 例2　(2023·福建福州高一期末)我国先发射“天宫二号”空间实验室，之后又发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是(　　) A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接 B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接 C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 答案　C 解析　在同一轨道上运行，加速做离心运动，减速做向心运动，均不可实现对接，则A、B错误；飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，则其做离心运动可使飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接，则C正确；飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，则其做近心运动，不可能与空间实验室相接触，则D错误。 三、双星及多星问题 1.双星模型 (1)如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”。 (2)特点 ①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同。 ②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。 ③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1+r2=L，两星轨道半径之比等于两星质量的反比。 (3)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即=m1ω2r1，G=m2ω2r2。 2.多星系统 (1)多颗星体共同绕空间某点做匀速圆周运动。如： 三星模型 四星模型 (2)每颗星体做匀速圆周运动的周期和角速度都相同，以保持其相对位置不变。 (3)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它引力的合力提供的。 例3　(2023·四川达州高一期中)假设两个质量分别为m1和m2(m1>m2)的星体A和B组成一双星系统，二者中心之间的距离为L，运动的周期为T，引力常量为G，下列说法正确的是(　　) A.因为m1>m2，所以星体A对星体B的万有引力大于星体B对星体A的万有引力 B.星体A做圆周运动的半径为L C.星体B的线速度大小为 D.两星体的质量之和为 答案　D 解析　星体A对星体B的万有引力与星体B对星体A的万有引力是一对相互作用力，大小相等，故A错误； 两星体角速度相同，根据万有引力提供向心力，有=m1ω2R1=m2ω2R2，L=R1+R2，星体A做圆周运动的半径为R1=L，故B错误；星体B做圆周运动的半径为R2=L，星体B的线速度大小为v2==，故C错误；根据=m1ω2R1=m2ω2R2，ω=，可得m1+m2=，故D正确。 例4　(2023·山东泰安高一期中)宇宙间存在一些离其他恒星较远的“三星系统”，如图所示，三颗质量均为M的恒星位于等边三角形的三个顶点上，任意两颗恒星间的距离均为L，三颗星绕其中心O做匀速圆周运动。忽略其他星体对它们的引力作用，引力常量为G，三颗恒星均可视为质点。求： (1)每一颗恒星所受的万有引力的大小； (2)每一颗恒星转动的角速度大小。 答案　(1)G　(2) 解析　(1)任意两颗恒星之间的万有引力大小F0=G，则任意一颗恒星所受合力大小F=2F0cos 30°，解得F=G。 (2)每颗恒星运动的轨道半径R=Lcos 30°=L，根据万有引力提供向心力有F=Mω2R，解得ω=。 专题强化练　［分值：100分］ 1~6题每题7分，共42分 考点一　卫星的变轨和对接问题 1.1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则(　　) A.v1>v2，v1= B.v1>v2，v1> C.v1<v2，v1= D.v1<v2，v1> 答案　B 解析　根据开普勒第二定律知，v1>v2，在近地点画出近地圆轨道，如图所示，由=可知，过近地点做匀速圆周运动的速度为v=，由于“东方红一号”在椭圆轨道上运动，所以v1>，故选B。 2.(多选)(2023·遂宁市高一期中)2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空。6时56分，神舟十三号飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接。在对接前，神舟十三号的轨道半径比空间站的小，对接前神舟十三号与空间站都沿圆轨道运行，空间站对接前后半径保持不变。下列说法正确的是(　　) A.神舟十三号发射速度小于7.9 km/s B.对接前神舟十三号运行速度大于空间站运行速度 C.神舟十三号直接减速即可与空间站对接 D.神舟十三号与空间站对接后周期变大 答案　BD 解析　7.9 km/s为地球的第一宇宙速度，即人造卫星的最小发射速度，神舟十三号发射速度应大于7.9 km/s，A错误；根据万有引力提供向心力可得=，解得v=，在对接前，神舟十三号的轨道半径比空间站的小，则运行速度大于空间站运行速度，B正确；神舟十三号变轨至高轨道运行，需要通过加速实现变轨，C错误；根据万有引力提供向心力可得=，解得T=2π，神舟十三号与空间站对接后轨道半径变大，对应的运行周期也变大，D正确。 3.(多选)(2023·四川成都高一期中)观众分析某影片中的发动机推动地球的原理：行星发动机通过逐步改变地球绕太阳运行的轨道，达到极限以后通过引力弹弓效应弹出地球。具体过程如图所示，轨道1为地球公转的近似圆轨道，轨道2、3为椭圆轨道，P、Q为椭圆轨道3长轴的两端点。以下说法正确的是(　　) A.地球在1、2、3轨道的运行周期分别为T1、T2、T3，则T1<T2<T3 B.地球在1、2、3轨道运行时经过P点的速度分别为v1、v2、v3，则v1>v2>v3 C.地球在3轨道运行时经过P、Q点的速度分别为vP、vQ，则vP<vQ D.地球在1轨道P点加速后进入2轨道，在2轨道P点再加速后进入3轨道 答案　AD 解析　根据开普勒第三定律=k，根据题图中1、2、3轨道半长轴(或半径)r1<r2<r3，可知地球在1、2、3轨道的运行周期关系为T1<T2<T3，故A正确；地球从轨道1上的P点进入轨道2要做离心运动，需点火加速，可知v1<v2；同理，地球从轨道2上的P点进入轨道3需点火加速，可知v2<v3；所以有v1<v2<v3，故B错误，D正确；根据开普勒第二定律可知，地球在近日点的速度比在远日点的速度大，即vP>vQ，故C错误。 考点二　双星及多星问题 4.在太空中，两颗靠得很近的星球可以组成双星系统，它们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。则下列说法错误的是(　　) A.两颗星有相同的角速度 B.两颗星的运动半径与质量成反比 C.两颗星的向心加速度大小与质量成反比 D.两颗星的线速度大小与质量成正比 答案　D 解析　双星由彼此间的万有引力提供做圆周运动的向心力，令双星的质量分别为m和M，圆周运动的半径分别为r和R，两星间的距离为R+r。 双星绕连线上某点做圆周运动，故双星的周期和角速度相同，故A正确； 运动半径满足mrω2=MRω2，可见两颗星的运动半径与质量成反比，故B正确； 两颗星的向心力大小相等，则满足mam=MaM，两颗星的向心加速度大小与质量成反比，故C正确； 线速度v=Rω，两星的角速度相等，而半径与质量成反比，故线速度大小与质量成反比，故D错误。 5.(2023·四川广元高一期中)冥王星与其附近的星体卡戎可视为双星系统，他们的质量比约为7∶1，两星绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，由此可知，卡戎绕O点运动的(　　) A.线速度大小约为冥王星的 B.向心力大小约为冥王星的 C.角速度大小约为冥王星的7倍 D.轨道半径约为冥王星的7倍 答案　D 解析　万有引力提供向心力，故卡戎绕O点运动的向心力大小与冥王星相等，故B错误；冥王星与其附近的星体卡戎为双星系统，双星系统中运动周期和角速度相等，故C错误；设冥王星质量为m，轨道半径为r1，运行速度为v1，卡戎质量为M，轨道半径为r2，运行速度为v2，根据万有引力定律可得G=mω2r1，G=Mω2r2，可得==，根据ω==，可得==，故A错误，D正确。 6.(2023·四川省泸县第四中学高一期中)如图所示，某双星系统由A、B两个黑洞组成，不考虑其他天体对他们的作用。若已知A、B绕连线上的点O做匀速圆周运动，A、B间的距离为L，引力常量为G，相对速度(即线速度v1、v2大小之和)为v，则(　　) A.可以求A、B各自的线速度大小 B.可以求A、B的质量之和 C.可以求A、B的质量之积 D.以上说法都不正确 答案　B 解析　设A、B运动的半径分别为r1、r2，质量分别为m1、m2，角速度为ω，根据牛顿第二定律，对A有=m1ω2r1，则m2=，同理可得m1=，由v=ωr，可得v=v1+v2=ω(r1+r2)=ωL，则m1+m2=+=，故选B。 7~9题每题10分，10题16分，共46分 7.(2023·四川遂宁射洪中学校考高一期中)如图所示，飞行器在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，当到达椭圆轨道Ⅱ的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，则(　　) A.飞行器在B点处变轨时需向后喷气加速 B.由已知条件不能求出飞行器在椭圆轨道Ⅱ上的运行周期 C.只受万有引力情况下，飞行器在椭圆轨道Ⅱ上通过B点的加速度大于在轨道Ⅲ上通过B点的加速度 D.飞行器在轨道Ⅲ上绕月球运行一周所需的时间为2π 答案　D 解析　由椭圆轨道变轨到圆形轨道做近心运动，要实现这个运动必须万有引力大于飞船所需向心力，所以应给飞船点火减速，所以飞行器在B点处变轨时需向前喷气，故A错误；设飞船在近月轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为T3，则mg0=mR，解得T3=2π，根据几何关系可知，Ⅱ轨道的半长轴为a=，根据开普勒第三定律有=，可得T2=5π，故B错误，D正确；万有引力提供向心力，飞行器在轨道Ⅱ上通过B点与在轨道Ⅲ通过B点与月球间的距离相等，万有引力大小相同，则加速度大小相等，故C错误。 8.双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互之间引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做匀速圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时两星做匀速圆周运动的周期为(　　) A.T B.T C.T D.T 答案　B 解析　设两恒星原来的质量分别为m1、m2，距离为L，双星靠彼此的万有引力提供向心力，则有 G=m1r1，G=m2r2，并且r1+r2=L，解得T=2π，当两星总质量变为原来的k倍，两星之间距离变为原来的n倍时，T'=2π=T，故选B。 9.(2023·四川绵阳市南山中学期中)仙王座VV是一对双星系统，分别由一颗红特超巨星VVA(主星)和一颗蓝矮星VVB(伴星)组成，这是一个食变双星，两颗星会互相围绕着公共质心(质量中心，即质量集中的假想点)公转，其中VVA和VVB间的距离为25 AU(1 AU等于日地平均距离)，它们绕公共质心公转的周期为20年，由于会有物质从VVA喷发出去，最终全部流向VVB，导致伴星的质量增大而主星的质量减小，假定在这个过程中两星间的距离不变，则在VVA的质量减小到两星的质量相等的过程中(　　) A.公共质心离VVB越来越远 B.两星间的引力将减小 C.两星绕公共质心公转的周期大于20年 D.两星绕公共质心公转的角速度不变 答案　D 解析　由于VVA和VVB两星间是由彼此的万有引力来提供向心力，即两星的向心力大小相等，且两星做圆周运动的周期、角速度相等，由F向=MAω2rA=MBω2rB，可知轨道半径与天体的质量成反比，VVB的质量增大，VVA的质量减小，则VVB的轨道半径减小，VVA的轨道半径增大，公共质心离VVB越来越近，A项错误；两星的质量之和不变，且质量之差减小，当MA=MB时，MA·MB有最大值，由F引=，可知两星间的引力将增大，B项错误；对VVA和VVB有F向==MArA，F向==MBrB，rA+rB=L，解得T=2π，由于VVA和VVB两星的总质量不变，所以两星绕公共质心公转的周期不变，仍为20年，角速度ω=也不变，故C错误，D正确。 10.(16分)(2022·信阳市高一期中)如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知星球A、B的中心和O三点始终共线，星球A和B分别在O的两侧，引力常量为G。 (1)(8分)求两星球做圆周运动的周期； (2)(8分)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做匀速圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg。求T2与T1两者平方之比(计算结果保留四位有效数字)。 答案　(1)2πL　(2)1.012 解析　(1)两星球围绕同一点O做匀速圆周运动，它们的角速度相同，周期也相同，其所需向心力由两者间的万有引力提供，设A、B的轨道半径分别为r1、r2， 对B有：G=Mr2 对A有：G=mr1 又r1+r2=L 联立解得T=2πL (2)若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周运动，根据题意可知m地=5.98×1024 kg，m月=7.35×1022 kg，地月距离设为L'，由(1)可知地球和月球绕其轨道中心的运行周期为T1=2π 若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得=m月L' 解得T2=2π 则= 故=≈1.012。 　(12分) 11.(2022·景德镇高一期中)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，引力常量为G，则(　　) A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同 B.直线三星系统的运动周期为4πR C.三角形三星系统中星体间的距离为L=R D.三角形三星系统的线速度大小为 答案　B 解析　直线三星系统中甲星和丙星角速度相同，运动半径相同，由v=ωR可知甲星和丙星的线速度大小相等，方向不同，故A错误；直线三星系统中万有引力提供向心力，由G+G=MR得T=4πR，故B正确；两种系统的运动周期相同，根据题意可得，三角形三星系统中任意星体所受合力为F=2Gcos 30°=G，则F=Mr，由几何关系知轨道半径r与边长L的关系为L=r，又已知两种系统的运动周期相同，联立解得L=R，故C错误；三角形三星系统的线速度大小为v=，得v=×，故D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $$ DISANZHANG 第三章 专题强化　卫星的变轨和双星问题 1 1.理解卫星变轨的原因，会分析卫星变轨前后的物理量变化(重难点)。 2.知道航天器的对接问题的处理方法。 3.掌握双星运动的特点，会分析双星的相关问题(重点)。 学习目标 2 一、卫星的变轨问题 二、航天器的对接问题 专题强化练 三、双星及多星问题 内容索引 3 卫星的变轨问题 一 4 如图是飞船从地球上发射到绕月球运动过程的飞行示意图。 (1)从绕地球运动的轨道上进入奔月轨道，飞船应采取什么措施？为什么？ 答案　从绕地球运动的轨道上加速，使飞船做离心运动。当飞船加速时，飞船所需的向心力F向=m增大，万有引力不足以提供飞船所需的向心力，飞船将做离心运动，向高轨道变轨。 (2)从奔月轨道进入月球轨道，又应采取什么措施？为什么？ 答案　飞船从奔月轨道进入月球轨道应减速。当飞船减速时，飞船所需的向心力F向=m减小，万有引力大于所需的向心力，飞船将做近心运动，向低轨道变轨。 1.变轨过程 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射 卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。 梳理与总结 (2)在A点(近地点)点火 (选填“加”或“减”)速，由于速度变 ，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动所需的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火 (选填“加”或“减”)速进入圆轨道Ⅲ。 加 大 加 2.变轨过程各物理量分析 (1)两个不同轨道的“切点”处线速度v不相等，图中 vⅢ vⅡB，vⅡA vⅠ(均选填“>”“<”或“=”)。 (2)两个不同圆轨道上的线速度v不相等，轨道半径越大，v越 ，图中vⅠ vⅢ(选填“>”“<”或“=”)。 (3)不同轨道上运行周期T不相等。根据开普勒第三定律=k知，低轨道的周期 高轨道的周期，图中TⅠ<TⅡ<TⅢ。 > > 小 > 小于 (4)两个不同轨道的“切点”处加速度a相同，图中aⅢ=aⅡB，aⅡA=aⅠ。 (5)每加速一次，对卫星做功，卫星机械能增加。卫星仅在引力作用下运动，引力势能与动能相互转化，机械能不变，故EⅢ>EⅡ>EⅠ。 　 (2023·绵阳中学高一期中)“天问一号”探测器经过多次制动变轨后登陆火星的轨迹示意图如图所示，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆。探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的切点，O、Q还分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点。关于探测器，下列说法正确的是 A.由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速 B.在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期 C.在轨道Ⅱ上运行的线速度大于火星的第一宇宙速度 D.在轨道Ⅲ上，探测器运行到O点的线速度大于运行到Q点的线速度 例1 √ 由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速，A正确； 根据开普勒第三定律，因轨道Ⅱ的半径大于轨道Ⅲ 的半长轴，所以在轨道Ⅱ上运行的周期大于在轨道 Ⅲ上运行的周期，B错误； 根据v=可知，在轨道Ⅱ上运行的线速度小于火星的第一宇宙速度，C错误； 根据开普勒第二定律可知，在轨道Ⅲ上，探测器运行到O点的线速度小于运行到Q点的线速度，D错误。 拓展　(1)在轨道Ⅲ上，探测器经过O点时的速率　　　　它在轨道Ⅰ上经过O点时的速率；  (2)在轨道Ⅲ上，探测器经过O点时的加速度大小　　　　它在轨道Ⅰ上经过O点时的加速度大小；在轨道Ⅲ上探测器经过O点时的加速度大小 　　　　它在Q点时的加速度大小。  小于 等于 小于 总结提升 判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路 1.判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断。 2.判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。 3.判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。 4.判断卫星在某点的加速度大小时，可根据a=G判断。 返回 航天器的对接问题 二 14 1.如图所示，若两个航天器在同一轨道上运动，后面的航天器加速会追上前面的航天器吗？ 答案　不会，后面的航天器加速会做离心运动进入高轨道，减速会做近心运动进入低轨道，都不会追上前面的航天器。 2.怎样才能使后面的航天器追上前面的航天器？ 答案　如图所示，后面的航天器先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使后面的航天器追上前面的航天器时恰好具有相同的速度。 　(2023·福建福州高一期末)我国先发射“天宫二号”空间实验室，之后又发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是 A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接 B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接 C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船 逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船 逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 例2 √ 在同一轨道上运行，加速做离心运动，减速做 向心运动，均不可实现对接，则A、B错误； 飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速， 则其做离心运动可使飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接，则C正确； 飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，则其做近心运动，不可能与空间实验室相接触，则D错误。 返回 双星及多星问题 三 19 1.双星模型 (1)如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”。 (2)特点 ①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动， 两星的运行周期、角速度相同。 ②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。 ③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1+r2=L，两星轨道半径之比等于两星质量的反比。 (3)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即=m1ω2r1，G=m2ω2r2。 2.多星系统 (1)多颗星体共同绕空间某点做匀速圆周运动。如： 三星模型 四星模型         (2)每颗星体做匀速圆周运动的周期和角速度都相同，以保持其相对位置不变。 (3)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它引力的合力提供的。 　(2023·四川达州高一期中)假设两个质量分别为m1和m2(m1>m2)的星体A和B组成一双星系统，二者中心之间的距离为L，运动的周期为T，引力常量为G，下列说法正确的是 A.因为m1>m2，所以星体A对星体B的万有引力大于星体B对星体A的万有 引力 B.星体A做圆周运动的半径为L C.星体B的线速度大小为 D.两星体的质量之和为 例3 √ 星体A对星体B的万有引力与星体B对星体A的万有引力是一对相互作用力，大小相等，故A错误； 两星体角速度相同，根据万有引力提供向心力，有=m1ω2R1=m2ω2R2，L=R1+R2，星体A做圆周运动的半径为R1=L，故B错误； 星体B做圆周运动的半径为R2=L，星体B的线速度大小为v2==，故C错误； 根据=m1ω2R1=m2ω2R2，ω=，可得m1+m2=，故D正确。 　(2023·山东泰安高一期中)宇宙间存在一些离其他恒星较远的“三星系统”，如图所示，三颗质量均为M的恒星位于等边三角形的三个顶点上，任意两颗恒星间的距离均为L，三颗星绕其中心O做匀速圆周运动。忽略其他星体对它们的引力作用，引力常量为G，三颗恒星均可视为质点。求： (1)每一颗恒星所受的万有引力的大小； 例4 答案　G 任意两颗恒星之间的万有引力大小F0=G，则任意一颗恒星所受合力大小F=2F0cos 30°，解得F=G。 (2)每一颗恒星转动的角速度大小。 答案　 每颗恒星运动的轨道半径R=Lcos 30°=L，根据万有引力提供向心力有F=Mω2R，解得ω=。 返回 专题强化练 四 29 对一对 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B BD AD D D B D B 题号 9 11 答案 D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 30 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. (1)2πL　(2)1.012 31 考点一　卫星的变轨和对接问题 1.1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则 A.v1>v2，v1= B.v1>v2，v1> C.v1<v2，v1= D.v1<v2，v1> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础对点练 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 根据开普勒第二定律知，v1>v2，在近地点画 出近地圆轨道，如图所示，由=可知， 过近地点做匀速圆周运动的速度为v=，由于“东方红一号”在椭圆轨道上运动，所以v1>，故选B。 答案 2.(多选)(2023·遂宁市高一期中)2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空。6时56分，神舟十三号飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接。在对接前，神舟十三号的轨道半径比空间站的小，对接前神舟十三号与空间站都沿圆轨道运行，空间站对接前后半径保持不变。下列说法正确的是 A.神舟十三号发射速度小于7.9 km/s B.对接前神舟十三号运行速度大于空间站运行速度 C.神舟十三号直接减速即可与空间站对接 D.神舟十三号与空间站对接后周期变大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7.9 km/s为地球的第一宇宙速度，即人造卫星的最小发射速度，神舟十三号发射速度应大于7.9 km/s，A错误； 根据万有引力提供向心力可得=，解得v=，在对接前，神舟十三号的轨道半径比空间站的小，则运行速度大于空间站运行速度，B正确； 神舟十三号变轨至高轨道运行，需要通过加速实现变轨，C错误； 根据万有引力提供向心力可得=，解得T=2π，神舟十三号与空间站对接后轨道半径变大，对应的运行周期也变大，D正确。 答案 3.(多选)(2023·四川成都高一期中)观众分析某影片中的发动机推动地球的原理：行星发动机通过逐步改变地球绕太阳运行的轨道，达到极限以后通过引力弹弓效应弹出地球。具体过程如图所示，轨道1为地球公转的近似圆轨道，轨道2、3为椭圆轨道，P、Q为椭圆轨道3长轴的两端点。以下说法正确的是 A.地球在1、2、3轨道的运行周期分别为T1、T2、T3， 则T1<T2<T3 B.地球在1、2、3轨道运行时经过P点的速度分别为 v1、v2、v3，则v1>v2>v3 C.地球在3轨道运行时经过P、Q点的速度分别为vP、vQ，则vP<vQ D.地球在1轨道P点加速后进入2轨道，在2轨道P点再加速后进入3轨道 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 根据开普勒第三定律=k，根据题图中1、2、3轨道 半长轴(或半径)r1<r2<r3，可知地球在1、2、3轨道的 运行周期关系为T1<T2<T3，故A正确； 地球从轨道1上的P点进入轨道2要做离心运动，需点火加速，可知v1<v2；同理，地球从轨道2上的P点进入轨道3需点火加速，可知v2<v3；所以有v1<v2<v3，故B错误，D正确； 根据开普勒第二定律可知，地球在近日点的速度比在远日点的速度大，即vP>vQ，故C错误。 答案 考点二　双星及多星问题 4.在太空中，两颗靠得很近的星球可以组成双星系统，它们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。则下列说法错误的是 A.两颗星有相同的角速度 B.两颗星的运动半径与质量成反比 C.两颗星的向心加速度大小与质量成反比 D.两颗星的线速度大小与质量成正比 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 双星由彼此间的万有引力提供做圆周运动的向心力，令双星的质量分别为m和M，圆周运动的半径分别为r和R，两星间的距离为R+r。 双星绕连线上某点做圆周运动，故双星的周期和角速度相同，故A正确； 运动半径满足mrω2=MRω2，可见两颗星的运动半径与质量成反比，故B正确； 两颗星的向心力大小相等，则满足mam=MaM，两颗星的向心加速度大小与质量成反比，故C正确； 线速度v=Rω，两星的角速度相等，而半径与质量成反比，故线速度大小与质量成反比，故D错误。 答案 5.(2023·四川广元高一期中)冥王星与其附近的星体卡戎可视为双星系统，他们的质量比约为7∶1，两星绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，由此可知，卡戎绕O点运动的 A.线速度大小约为冥王星的 B.向心力大小约为冥王星的 C.角速度大小约为冥王星的7倍 D.轨道半径约为冥王星的7倍 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 万有引力提供向心力，故卡戎绕O点运动的向心力大小与冥王星相等，故B错误； 冥王星与其附近的星体卡戎为双星系统，双星系统中运动周期和角速度相等，故C错误； 设冥王星质量为m，轨道半径为r1，运行速度为v1，卡戎质量为M，轨道半径为r2，运行速度为v2，根据万有引力定律可得G=mω2r1，G=Mω2r2，可得==，根据ω==，可得==，故A错误，D正确。 答案 6.(2023·四川省泸县第四中学高一期中)如图所示，某双星系统由A、B两个黑洞组成，不考虑其他天体对他们的作用。若已知A、B绕连线上的点O做匀速圆周运动，A、B间的距离为L，引力常量为G，相对速度(即线速度v1、v2大小之和)为v，则 A.可以求A、B各自的线速度大小 B.可以求A、B的质量之和 C.可以求A、B的质量之积 D.以上说法都不正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 设A、B运动的半径分别为r1、r2，质量分别为m1、m2， 角速度为ω，根据牛顿第二定律，对A有= m1ω2r1，则m2=，同理可得m1=，由v=ωr， 可得v=v1+v2=ω(r1+r2)=ωL，则m1+m2=+=，故选B。 答案 7.(2023·四川遂宁射洪中学校考高一期中)如图所示，飞行器在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，当到达椭圆轨道Ⅱ的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，则 A.飞行器在B点处变轨时需向后喷气加速 B.由已知条件不能求出飞行器在椭圆轨道Ⅱ上的运行周期 C.只受万有引力情况下，飞行器在椭圆轨道Ⅱ上通过B点的 加速度大于在轨道Ⅲ上通过B点的加速度 D.飞行器在轨道Ⅲ上绕月球运行一周所需的时间为2π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 能力综合练 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由椭圆轨道变轨到圆形轨道做近心运动，要实现这个 运动必须万有引力大于飞船所需向心力，所以应给飞 船点火减速，所以飞行器在B点处变轨时需向前喷气， 故A错误； 设飞船在近月轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为T3，则mg0=mR，解得T3=2π，根据几何关系可知，Ⅱ轨道的半长轴为a=，根据开普勒第三定律有=，可得T2=5π，故B错误，D正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 万有引力提供向心力，飞行器在轨道Ⅱ上通过B点与在轨道Ⅲ通过B点与月球间的距离相等，万有引力大小相同，则加速度大小相等，故C错误。 答案 8.双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互之间引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做匀速圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时两星做匀速圆周运动的周期为 A.T B.T C.T D.T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 设两恒星原来的质量分别为m1、m2，距离为L，双星靠彼此的万有引力提供向心力，则有 G=m1r1，G=m2r2，并且r1+r2=L，解得T=2π，当两星总质量变为原来的k倍，两星之间距离变为原来的n倍时，T'=2π=T，故选B。 答案 9.(2023·四川绵阳市南山中学期中)仙王座VV是一对双星系统，分别由一颗红特超巨星VVA(主星)和一颗蓝矮星VVB(伴星)组成，这是一个食变双星，两颗星会互相围绕着公共质心(质量中心，即质量集中的假想点)公转，其中VVA和VVB间的距离为25 AU(1 AU等于日地平均距离)，它们绕公共质心公转的周期为20年，由于会有物质从VVA喷发出去，最终全部流向VVB，导致伴星的质量增大而主星的质量减小，假定在这个过程中两星间的距离不变，则在VVA的质量减小到两星的质量相等的过程中 A.公共质心离VVB越来越远 B.两星间的引力将减小 C.两星绕公共质心公转的周期大于20年 D.两星绕公共质心公转的角速度不变 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由于VVA和VVB两星间是由彼此的万有引力来提供向心力，即两星的向心力大小相等，且两星做圆周运动的周期、角速度相等，由F向=MAω2rA=MBω2rB，可知轨道半径与天体的质量成反比，VVB的质量增大，VVA的质量减小，则VVB的轨道半径减小，VVA的轨道半径增大，公共质心离VVB越来越近，A项错误； 两星的质量之和不变，且质量之差减小，当MA=MB时，MA·MB有最大值，由F引=，可知两星间的引力将增大，B项错误； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 对VVA和VVB有F向==MArA，F向==MBrB，rA+rB=L，解得T=2π，由于VVA和VVB两星的总质量不变，所以两星绕公共质心公转的周期不变，仍为20年，角速度ω=也不变，故C错误，D正确。 答案 10.(2022·信阳市高一期中)如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知星球A、B的中心和O三点始终共线，星球A和B分别在O的两侧，引力常量为G。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (1)求两星球做圆周运动的周期； 答案　2πL 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 两星球围绕同一点O做匀速圆周运动，它们的角速度相同，周期也相同，其所需向心力由两者间的万有引力提供，设A、B的轨道半径分别为r1、r2， 对B有：G=Mr2 对A有：G=mr1 又r1+r2=L 联立解得T=2πL 答案 (2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做匀速圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg。求T2与T1两者平方之比(计算结果保留四位有效数字)。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案　1.012 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周运动，根据题意可知m地=5.98×1024 kg，m月=7.35×1022 kg，地月距离设为L'，由(1) 可知地球和月球绕其轨道中心的运行周期为T1=2π 若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得=m月L' 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解得T2=2π 则= 故=≈1.012。 答案 11.(2022·景德镇高一期中)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星 体的质量均为M，并设两种系统的运动周 期相同，引力常量为G，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 尖子生选练 答案 A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同 B.直线三星系统的运动周期为4πR C.三角形三星系统中星体间的距离为L=R D.三角形三星系统的线速度大小为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 直线三星系统中甲星和丙星角速度相同， 运动半径相同，由v=ωR可知甲星和丙星 的线速度大小相等，方向不同，故A错误； 直线三星系统中万有引力提供向心力，由G+G=MR得T=4πR，故B正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 两种系统的运动周期相同，根据题意可 得，三角形三星系统中任意星体所受合 力为F=2Gcos 30°=G，则F= Mr，由几何关系知轨道半径r与边长L的关系为L=r，又已知两种系统的运动周期相同，联立解得L=R，故C错误； 三角形三星系统的线速度大小为v=，得v=×，故D错误。 返回 答案 BENKEJIESHU 本课结束 $$